Real Options: Economische techniek bij planning van netwerkinvesteringen.

Vakgroep Informatietechnologie Voorzitter: Prof. Paul Lagasse Real Options: Economische techniek bij planning van netwerkinvesteringen. Door Hendrik De Raeve Promotors: Prof. Dr. Ir. Mario Pickavet en Dr. Ir. Didier Colle Begeleidster: Ir. Sofie Verbrugge Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van licentiaat informatica, optie toepassingsgerichte informatica. Academiejaar 2003-2004

Voorwoord Dankwoord In een thesis kruipt altijd heel veel werk en laat je je altijd weer adviseren en steunen door een heleboel mensen, zonder wie je de opdracht niet tot een goed einde had kunnen brengen. Mijn scriptie vormt hierop geen uitzondering. Daarom wil ik op deze plaats graag enkele mensen bedanken. Vooreerst gaat mijn dank uit naar Ir. Sofie Verbrugge die de dagdagelijkse begeleiding op zich nam. Haar kennis, intuïtie en vele inzichten waren enorm verhelderend voor mij. Hierbij wil ik haar ook danken voor de vele tijd die zij voor mij wist vrij te maken. Mijn promotoren Prof. Dr. Ir. Mario Pickavet en Dr. Ir. Didier Colle stonden ook steeds paraat met goede raad bij de tussentijdse evaluaties. Graag had ik ook Optiver, gespecialiseerd in arbitrage bij aandelenopties, bedankt voor de interessante dag die ik in hun hoofdkantoor te Amsterdam mogen meemaken heb. Het was verrijkend om eens de optiehandel in de praktijk te kunnen zien en zelfs even persoonlijk van de adrenaline te mogen proeven in een simulatie. Tot slot ben ik grote dank verschuldigd aan mijn vrienden die altijd voor me klaar stonden als ik hen nodig had en bovenal aan mijn vriendin, ouders en broers die er steeds voor zorgen dat ik weer kan lachen tijdens moeilijke periodes. ii

Toelating tot bruikleen De auteur geeft de toelating deze scriptie voor consultatie beschikbaar te stellen en delen van deze scriptie te kopiëren voor persoonlijk gebruik. Elk ander gebruik valt onder de beperkingen van het auteursrecht, in het bijzonder met betrekking tot de verplichting de bron uitdrukkelijk te vermelden bij het aanhalen van resultaten uit deze scriptie. Mei 2004 Hendrik De Raeve iii

Real Options: Economische techniek bij planning van netwerkinvesteringen. door Hendrik De Raeve Scriptie ingediend tot het behalen van de academische graad van licentiaat informatica, optie toepassingsgerichte informatica. Promotoren: Prof. Dr. Ir. Mario Pickavet en Dr. Ir. Didier Colle Begeleidster: Ir. Sofie Verbrugge Vakgroep: INTEC Voorzitter: Prof. Paul Lagasse Faculteit Toegepaste Wetenschappen Universiteit Gent Academiejaar 2003-2004 Samenvatting Het doel van dit afstudeerwerk bestaat erin de introductie van een OXC als uitbreidingsinvestering op lange termijn te bestuderen. Real Options is de techniek die we gebruiken, deze is afkomstig uit de economische wereld van de investeringsbeoordeling en is gebaseerd op het waarderen van aandelenopties. Reële opties laat ons toe een waarde te hechten aan de mogelijkheden waarover een goed management beschikt, zoals een project uitbreiden, inkrimpen of stopzetten. We hebben het hier dus over niet-financiële voordelen die met een klassiek waarderingsmodel, zoals de NCW, niet in cijfers kunnen omgezet worden. Alvorens reële opties toe te passen, is het nodig de opties die bij zo een OXC introductie komen kijken te identificeren. We beschouwen een uitbreidingsproject in twee fasen. Fase 1: aankoop OXC en een fase 2 als groei optie: uitbreiden met extra interface kaarten. Als case hebben we voor een Europees backbone netwerk gekozen. In dit netwerk gaan we na in welke knopen zo een OXC project interessant is. En indien het een goed investeringsproject is, op welk tijdstip dit dan het best gebeurt. We maken gebruik van reële opties en maken de vergelijking met de NCW. Hoofdstuk 2 geeft de definitie van een optie en somt de soorten opties op. Hoofdstuk 3 is gewijd aan de aandelenopties. De verschillende methoden voor de waardebepaling van een calloptie komen uitgebreid aan bod. In Hoofdstuk 4 gaan we dieper in op de reële opties: definitie, soorten, voorwaarden. De verschillen van deze methode t.o.v. de NCW methode worden besproken. De voordelen van een OXC en de technologie worden kort samengevat in hoofdstuk 5. Hoofdstuk 6 maakt de brug tussen het economische gedachtegoed en de netwerkkant. We gaan na welke soorten opties we bij de introductie van een OXC kunnen beschouwen. Dan werken we zo een situatie uit en bekomen in welke gevallen het interessant is een OXC te introduceren in een netwerkknoop. In hoofdstuk 7 passen we de methoden uit het vorige hoofdstuk toe op een Europees backbone netwerk. We onderzoeken in welke knopen een OXC een goede investering zou zijn. Uiteindelijk zullen de besluiten in hoofdstuk 8 gebundeld worden. De appendix handelt over het Java programma en de Excel sheets die ontworpen zijn om ons te voorzien van resultaten. Trefwoorden: Breedbandnetwerken, OXC, WDM, reële opties, Black & Scholes iv

Inhoudsopgave 1. Inleiding...1 2. Wat zijn opties?...2 3. Aandelenopties...3 3.1. Soorten Opties...3 3.2. Een eenvoudig voorbeeld van een calloptie...5 3.3. Factoren die een optieprijs bepalen...6 3.4. Veronderstellingen en notaties...7 3.5. Onder en bovengrenzen van een calloptie...8 3.6. De call-put pariteit...8 3.7. Waarderingsmethoden van opties...9 3.7.1. Binomiaalmethode...9 3.7.2. Black en Scholes...13 3.8. Bijlage: Wiener Proces en Itô s Lemma...17 4. Real Options...19 4.1. Inleiding: De NCW methode...19 4.2. Het falen van de NCW methode...20 4.3. De idee achter Real Options...21 4.4. Soorten reële opties...22 4.5. Real Options VS Aandelen opties...23 4.6. Onderstellingen voor reële opties via Black & Scholes te waarderen....24 4.7. Voorbeelden met getallen...25 4.7.1. Voorbeeld met de Black en Scholes Methode...25 4.7.2. Voorbeeld met de Binomiaal Methode...27 4.8. Kritiek op de Real options methode...30 5. Optische netwerktechnologie...31 5.1. Een optisch netwerk met klassieke IP routers...31 5.2. Een optisch netwerk met OXC s...32 6. Real Options toegepast op de introductie van een OXC in één netwerkknoop....36 6.1. Doelstelling en aanpak...36 6.2. Verschillende startsituaties:...36 6.2.1. Definities...36 6.2.2. Situatie 1: Verder investeren/groeien: SWITCH UP:...37 6.2.3. Situatie 2 : Uitstellen/Leren: Study/start...38 6.2.4. Situatie 3 Verder investeren/groeien: Scale up...38 6.2.5. Situatie 4 Verder investeren/groeien: Scale up (2)...39 6.3. Situatie 1 gedetailleerd uitgewerkt...40 6.3.1. Stap 1: Het opstellen van de cashflow tabellen...40 6.3.2. Stap 2: Het berekenen van de waarde van het project met de NCW methode. 46 6.3.3. Stap 3:Het herkennen van de optie en het controleren van de voorwaarden...47 6.3.4. Een betere benadering van het probleem...49 6.3.5. Stap 4: Het berekenen van de waarde van het project met reële opties....51 6.3.6. Stap 5: Besluit...52 6.3.7. EXTRA: De optiewaarde berekent met de binomiaal methode...53 6.4. Sensitiviteitsanalyse op het voorbeeld...54 6.4.1. Analyse 1: het aantal Gbps in het eerste jaar als variërende parameter....54 6.4.2. Analyse 2: de stijging van de internet trafiek als variërende parameter...58 6.4.3. Analyse 3: de prijs per Gb gerouteerd als variërende parameter....59 v

6.4.4. Besluit uit de sensiviteitsanalyses...60 6.5. Situatie 3...61 6.6. Besluit: vergelijking van situatie 1 en 3...61 7. Real Options toegepast op de introductie van OXC s in een Europees netwerk....62 7.1. Doel:...62 7.2. Gegevens:...62 7.3. Bepalen van de trafiek per knoop...63 7.4. Brussel in detail...65 7.4.1. Samenstellen van een OXC voor Brussel...65 7.4.2. Het project Brussel in cijfers...66 7.4.3. Het beste jaar voor fase 2 bepalen voor Brussel...68 7.5. Waar is het beter zonder OXC s in een netwerk?...70 7.6. Besluit...71 8. Besluit...72 9. Appendix: Korte bespreking Java programma en Excel sheets.... I Referenties...II vi

1. Inleiding Het doel van dit afstudeerwerk bestaat erin de introductie van een OXC als uitbreidingsinvestering op lange termijn te bestuderen. Real Options is de techniek die we gebruiken, deze is afkomstig uit de economische wereld van de investeringsbeoordeling en is gebaseerd op het waarderen van aandelenopties. Reële opties laat ons toe een waarde te hechten aan de mogelijkheden waarover een goed management beschikt, zoals een project uitbreiden, inkrimpen of stopzetten. We hebben het hier dus over niet-financiële voordelen die met een klassiek waarderingsmodel, zoals de NCW, niet in cijfers kunnen omgezet worden. Alvorens reële opties toe te passen, is het nodig de opties die bij zo een OXC introductie komen kijken te identificeren. We beschouwen een uitbreidingsproject in twee fasen. Fase 1: aankoop OXC en een fase 2 als groei optie: uitbreiden met extra interface kaarten. Als case hebben we voor een Europees backbone netwerk gekozen. In dit netwerk gaan we na in welke knopen zo een OXC project interessant is. En indien het een goed investeringsproject is, op welk tijdstip dit dan het best gebeurt. We maken gebruik van reële opties en maken de vergelijking met de NCW. Een overzicht van de hoofdstukken: Hoofdstuk 2 geeft de definitie van een optie en somt de soorten opties op. Hoofdstuk 3 is gewijd aan de aandelenopties. De verschillende methoden voor de waardebepaling van een calloptie komen uitgebreid aan bod. In Hoofdstuk 4 gaan we dieper in op de reële opties: definitie, soorten, voorwaarden. De verschillen van deze methode t.o.v. de NCW methode worden besproken. De voordelen van een OXC en de technologie worden kort samengevat in hoofdstuk 5. Hoofdstuk 6 maakt de brug tussen het economische gedachtegoed en de netwerkkant. We gaan na welke soorten opties we bij de introductie van een OXC kunnen beschouwen. Dan werken we zo een situatie uit en bekomen in welke gevallen het interessant is een OXC te introduceren in een netwerkknoop. In hoofdstuk 7 passen we de methoden uit het vorige hoofdstuk toe op een Europees backbone netwerk. We onderzoeken in welke knopen een OXC een goede investering zou zijn. Uiteindelijk zullen de besluiten in hoofdstuk 8 gebundeld worden. De appendix handelt over het Java programma en de Excel sheets die ontworpen zijn om ons te voorzien van resultaten. 1

2. Wat zijn opties? Het woord optie volgens het woordenboek: Het tegen premie verkregen recht tot koop of verkoop van goederen. Definitie: Een optie geeft de koper een recht van beperkte duur om tegen een van te voren bepaalde uitoefenprijs een onderliggende waarde te kopen of te verkopen. Verklaring: Een optie is een recht! Dus geen plicht. Beperkte duur: na een vooraf bepaalde periode vervalt het recht. We spreken over de looptijd van een optie. De datum wanneer het contract afloopt is de uitoefendatum. Uitoefenprijs: de prijs waartegen een optiehouder zijn recht tot kopen of verkopen kan uitoefenen. Ook wel de strikeprijs. De optieprijs of optiepremie of kortweg prijs is de geldwaarde die men moet betalen voor een optie aan te kopen. Deze prijs varieert gedurende de looptijd van het optiecontract. De onderliggende waarde is het goed waarop het optiecontract betrekking heeft. Dit kunnen aandelen, deviezen, obligaties, edele metalen, gronden, huizen enz. zijn. Soorten opties: We onderscheiden verschillende soorten opties. Een klein overzichtje met enkele voorbeelden. Opties in het dagelijkse leven: o in de vastgoedsector: bedenktijd tot aankoop van een huis. De optiepremie is in dit geval wel gratis. Er geldt een beperkte duur. Aandelen opties o een putoptie o een calloptie Real Options = Reële Opties o optie om te wachten o optie om te expanderen of in te krimpen o optie om te groeien o optie om te stoppen o optie om input of output te veranderen o Op de eerste sectie wensen we in deze thesis niet in te gaan, dit dient louter als illustratie. De tweede sectie gaan we uitvoerig bespreken, om dan vanaf deze robuuste basis de sprong te maken naar de real options. 2

3. Aandelenopties Het ligt buiten het bestek van deze thesis om een compleet overzicht aan te bieden van alle mogelijke aandelenopties en hun waarderingsmodellen. De bedoeling is inzicht aan te bieden in de belangrijkste begrippen die nodig zijn om de overstap naar reële opties te kunnen maken. Als de onderliggende waarde aandelen zijn, dan hebben we het over aandelenopties. Die worden op dezelfde wijze als aandelen verhandeld en genoteerd op gespecialiseerde optiebeurzen als de Chicago Board Options Exchange en de Amsterdamse AEX-Optiebeurs. In dit hoofdstuk hebben we gebruik gemaakt van de volgende bronnen: H7 uit [bed_fin] 3.1. Soorten Opties Er bestaan twee basissoorten aandelenopties die dagelijks verhandeld worden: Calloptie: Een calloptie geeft de koper van de optie het recht om het onderliggende aandeel te kopen tegen de uitoefenprijs binnen de looptijd van de optie. We spreken hier dus over een kooprecht. Putoptie: Een putoptie geeft de koper van de optie het recht om het onderliggende aandeel te verkopen tegen de uitoefenprijs binnen de looptijd van de optie. Dit slaat dus op een verkooprecht. Voor deze rechten moet een prijs betaald worden. Dit is de vergoeding die de verkoper van de optie ontvangt voor het aangaan van een verkoopplicht (bij een call) of een koopplicht (bij een put). Er geldt dus een plicht voor de verkoper en een recht voor de koper. In het verdere verloop van deze thesis beperken we ons tot uitleg en voorbeelden voor de call optie. De putoptie is gelijkaardig. We maken de link tussen de twee in de paragraaf 3.6. Koper of verkoper van een optie Er zijn twee kanten aan ieder optie contract. Enerzijds is er iemand die een short positie inneemt, deze verkoopt of schrijft de optie. Hij die een short positie inneemt ontvangt een geldbedrag, maar moet later ook misschien verplichtingen nakomen. Anderzijds hebben we de investeerder die een long positie inneemt, deze koopt de optie. De schrijver zijn winst of verlies is het tegenovergestelde van het verlies of winst van de koper van de optie. 3

Voorbeeld: Een man bezit 100 aandelen Electrabel, genoteerd aan 277 euro (koers op 17 mei 2004) in de Bel_20. De man vermoedt dat de aandelen zullen dalen. Hij schrijft een call optie met een looptijd van één jaar met een uitvoeringsprijs van 277 euro, betrekking hebbend op zijn 100 aandelen. Dit betekent dat de man zich ertoe engageert zijn 100 aandelen te verkopen tegen 277 euro per stuk volgend jaar, indien de koper van zijn optie de optie uitoefent. Hij ontvangt hiervoor een som geld van de bank. De koper van de optie betaalt dezelfde som geld aan de bank. Indien een aandeel Electrabel bijvoorbeeld zou dalen naar 240 euro, dan zal de koper van de optie zijn optiecontract niet wensen uit te oefenen. De schrijver moet zijn aandelen niet verkopen. Even de vier mogelijke types van opties op een rijtje: 1. long positie in een call optie: koper van een call 2. long positie in een put optie: koper van een put 3. short positie in een call optie: verkoper of schrijver van een call 4. short positie in een put optie: verkoper of schrijver van een put Europese of Amerikaanse optie We onderscheiden Europese en Amerikaanse opties. Bij Europese opties kan de houder van de optie enkel zijn recht uitoefenen op de afloopdatum, bij Amerikaanse geldt dit recht gedurende de hele looptijd. Waarde van een optie De waarde van een calloptie is samengesteld uit 2 delen: De intrinsieke waarde, dit is het verschil tussen de waarde van het aandeel en de uitoefenprijs. Een calloptie heeft dus maar intrinsieke waarde als de uitoefenprijs kleiner is dan de waarde van het aandeel. Als dit niet zo is, is de intrinsieke waarde nul. De tijdswaarde, deze wordt bepaald door de looptijd van de optie. Hoe meer tijd er is tot de uitoefendatum, hoe meer tijdswaarde er is. De waarde van een optie kan nooit negatief worden. Dit komt omdat een optie steeds een recht en geen plicht is. Een optie is in/out/at the money Als we de prijs van de optie beschouwen op de afloopdatum, dus de dag waarop de looptijd van de optie vervalt, dan spreken we over de eindwaarde van de optie. Indien de optie een positieve eindwaarde heeft, dan spreken we over een in the money optie. Is dit niet het geval dan is de optie out of the money. Is de aandelenkoers op de afloopdatum van de optie precies gelijk aan de uitoefenprijs van de optie dan is de optie at the money. 4

3.2. Een eenvoudig voorbeeld van een calloptie Gegevens over een aandeel en een calloptie van een firma OXC-company: de huidige aandelenprijs bedraagt 58 euro de prijs van een calloptie bedraagt 5 euro de uitoefenprijs van de optie is 60 euro de looptijd van de optie is 4 maanden omdat het een Europese optie is, kan de investeerder zijn optierecht enkel uitvoeren op de vervaldag van de optie. Een investeerder koopt een calloptie met als onderliggende waarde 1 aandeel OXC-company. Deze calloptie heeft een uitoefenprijs van 60 euro. Als de aandelenkoers op de uitoefendatum lager is dan 60 euro, zal de investeerder zijn optie niet wensen uit te voeren. Hij kan immers het aandeel goedkoper op de huidige aandelenmarkt kopen. In deze omstandigheden verliest hij zijn volledige investering van 5 euro. Als de aandelenkoers boven de 60 euro ligt op de uitoefendatum dan zal hij de optie wel wensen uit te voeren. Bijvoorbeeld als de aandelenkoers 75 euro zou zijn, dan kan hij de optie uitvoeren en 1 aandeel OXC-company kopen tegen 60 euro. Als hij dan dit aandeel direct zou verkopen, maakt de investeerder 15 euro winst. De netto winst is dus 10 euro. Geen rekening houdend met transactiekosten. 30 25 20 Winst(euro) 15 10 5 0 30 40 50 60 70 80 90-5 -10 Prijs aandeel(euro) De figuur toont de investeerder zijn nettowinst of verlies op een optie om 1 aandeel te kopen. Als de prijs van het aandeel op de afloopdatum van de optie kleiner is dan 65, spreekt men van een optie out of the money bij aandelenprijs gelijk aan 65 is de optie at the money en bij een aandelenprijs groter dan 65 is de optie in the money. 5

3.3. Factoren die een optieprijs bepalen Er zijn zes factoren die de prijs van een aandelenoptie bepalen: 1. De huidige aandelenkoers, S 2. De uitoefenprijs, X 3. De tijd tot de vervaldag van de optie, t 4. De volatiliteit van de aandelenkoers, 5. De risico vrije interestvoet, r 6. De verwachtte dividenden gedurende de looptijd van de optie. Bron: [OFoD] en [cf] De aandelenkoers en de uitoefenprijs Als een optie uitgeoefend wordt, dan zal de winst het verschil tussen de aandelenprijs en de uitoefenprijs zijn. Dus callopties worden meer waard als de aandelenprijs stijgt en minder waardevol als de uitoefenprijs stijgt. De tijd tot de vervaldag De waarde van een optie is steeds groter hoe verder we verwijderd zijn van de afloopdatum van de optie. Te verklaren als volgt. Hoe meer tijd er nog rest, hoe meer (positieve) veranderingen in de aandelenkoers er nog kunnen optreden. Dus hoe meer tijd we hebben om de optie nog te verhandelen tegen een hogere waarde. Volatiliteit Dit begrip kunnen we best omschrijven als een uitdrukking voor de onzekerheid van de toekomstige aandeelprijs. De prijs van aandelen hebben een grote volatiliteit indien de prijs moeilijk te voorspellen is en kan schommelen tussen een brede waaier van prijzen. Bijvoorbeeld: Technologie aandelen hebben vaak een grote volatiliteit. Aandelen zoals Electrabel en Fortis hebben eerder een kleine volatiliteit. Hoe groter de volatiliteit, hoe groter het risico. Hoe groter de volatiliteit hoe hoger de waarde van de optie zal zijn. De risicoloze interest voet Een hogere interestvoet doet de waarde van een call optie toenemen. Dit volgt verder uit de formules. In de praktijk is het echter zo dat de waarde van een aandeel vaak daalt als de interestvoeten stijgen. Dit is te verklaren doordat de vraag naar aandelen daalt, aangezien het veiliger is je geld te beleggen aan een mooie interestvoet op de bank. Als de waarde van een aandeel daalt, daalt ook de waarde van een calloptie. Dividenden Een dividend is een bedrag dat door een bedrijf uitgekeerd wordt aan de aandeelhouders voor hun vertrouwen in de firma. Een dividend uitkeren doet de waarde van het aandeel dalen omdat er geld weggeschonken wordt. De waarde van de calloptie zal ook dalen. De dividenden wensen we in deze thesis niet verder te bespreken omdat deze enkel van toepassing zijn op aandelen en niet op real options. 6

Overzicht: Europese Call Europese Put Huidige aandelenprijs + - Strike prijs - + Tijd tot vervaldag + + Volatiliteit + + Risicoloze interest + - Dividenden - + Tabel 1: Effect van de prijs op een optie als de variabele toeneemt en de andere variabelen constant blijven. + staat voor stijgen, - voor dalen. Uit het tabelletje kunnen we zien dat de putopties meestal het tegengestelde resultaat hebben van de calloptie, wat logisch is. Hogere volatiliteit en een langere looptijd geven de beide optie waarden een meeropbrengst. Daar het om een recht gaat, kan de waarde van een optie nooit negatief zijn, want in die gevallen oefent de optiehouder dit recht niet uit. Dit verklaart de positieve invloed van risico (volatiliteit) bij optiewaardering: het verlies is beperkt tot een nulwaarde, de mogelijke winst is heel groot en neemt toe met de mate van onzekerheid. 3.4. Veronderstellingen en notaties Voor het verdere verloop van deze thesis wensen we onderstaande veronderstellingen en symbolen in te voeren. Deze zijn nodig voor het afleiden van de wiskundige formules en zijn geldig in alle volgende paragrafen. 1. Er zijn geen transactiekosten. 2. Alle winsten uit het verhandelen van opties of aandelen zijn aan dezelfde belasting onderheven. Met deze veronderstelling rekening houdend, wensen wij in het verdere verloop van deze bespreking geen rekening te houden met belastingen. 3. Lenen en uitlenen kunnen beiden aan de risicovrije interest. S: Huidige aandelenprijs X: Uitoefenprijs van de optie t: Tijd tot vervaldag van de optie S T : Aandelenprijs op de vervaldag r: Continu samengestelde risicoloze interestvoet voor investering gedurende looptijd T c: Waarde van een Europese calloptie p: Waarde van een Europese putoptie Bron: [OFoD] 7

3.5. Onder en bovengrenzen van een calloptie De bovengrens van een calloptie is steeds de aandelenprijs zelf. Het aandeel blijft op elk moment meer waard dan de optie. Dit is te verklaren doordat het aandeel op elk moment een effectieve waarde heeft, je hebt immers echt iets in handen. Een calloptie daarentegen is enkel en alleen maar een recht tot aankoop van een aandeel. De bovengrens: c S De ondergrens is: c max(s HW(X), 0) In deze uitdrukking is er rekening gehouden met de huidige waarde(=hw) 1 van de uitoefenprijs en ook met het feit dat een optie nooit een negatieve waarde kan hebben, aangezien het een recht blijft. 3.6. De call-put pariteit Tot nu toe zijn we vooral ingegaan op de call optie, dit zullen we ook blijven doen, omdat de putoptie heel gelijkaardig is en steeds kan berekend worden aan de hand van de onderstaande bevindingen en formules. Beschouw twee portefeuilles Portefeuille A: een Europese call optie plus een geldbedrag met gelijke waarde als HW(X). Portefeuille B: een Europese put optie plus een aandeel. Beiden hebben de waarde max(s T, X) op de vervaldag van de opties. De opties moeten ook vandaag dezelfde waarde hebben, aangezien het Europese opties zijn. c + HW(X) = p + S Deze gelijkheid is de call-put pariteit. Dit maakt ons duidelijk dat de waarde van een Europese call met een bepaalde uitoefenprijs en een bepaalde vervaldag kan afgeleid worden van een Europese put met dezelfde uitoefenprijs en dezelfde vervaldag. Of omgekeerd. 1 Als we een geld bedrag vandaag beschouwen is dat meer waard dan een geld bedrag volgend jaar. Je kunt geld vandaag immers uitzetten tegen een de interestvoet. Als we de huidige waarde van een geldsom ontvangen binnen x aantal jaar wensen te kennen is het nodig dit met de volgende formule te berekenen: 1 HW ( bedrag) = bedrag * x (1 + r) HW = Huidige Waarde = PV = present value Bron: [bed_fin], H4. 8

3.7. Waarderingsmethoden van opties 3.7.1. Binomiaalmethode Inleidend voorbeeld Beschouw het aandeel OXC-company, op 1 januari genoteerd aan 550 euro. Stel dat het aandeel slechts twee mogelijke waarden kan aannemen op het einde van het jaar: ofwel stijgt het tot 715 euro ofwel daalt het tot 440 euro. Bedoeling is de waarde te bepalen van een calloptie met uitoefendatum 31 december van hetzelfde jaar en uitoefenprijs 660 euro. De riscovrije interestvoet r bedraagt 10%. 715 De waarde van de call kunnen we bepalen door de constructie van een equivalente portefeuille, bestaande uit het aandeel en een lening. 550 Deze portefeuille wordt zo samengesteld dat ze op 31 december evenveel waard is als de optie. Op basis van het zogenaamde 440 arbitrageprincipe moeten beide portefeuilles daarom ook op 1 januari evenveel waard zijn. Het arbitrageprincipe gaat er immers vanuit dat portefeuilles die onder alle omstandigheden een zelfde resultaat opleveren, ook op het aankooptijdstip een zelfde prijs moeten hebben. Als dit niet zo was, zou de vraag naar de goedkope portefeuille groter zijn dan de vraag naar de dure. Hierdoor zullen uiteindelijk de prijzen van beide portefeuilles aan elkaar gelijk worden. Tabel 2: Samenstelling en waarde van Portefeuille A Portefeuille A Aandelenkoers daalt Aandelenkoers stijgt 1 call optie 0 euro 55 euro Beschouw nu een portefeuille A, die bestaat uit de call optie in kwestie. Als de koers van OXC-company daalt tot 440 euro, is de optie en dus de portefeuille A op 31 december waardeloos. Stijgt de aandelenkoers echter tot 715 euro, dan is ze 55 euro(= 715-660) waard. Beschouw nu portefeuille B, bestaande uit 0.2 aandelen en een lening van 80 euro aangegaan op 1 januari. De waarde van de 0.2 aandelen bedraagt op 31 december ofwel 88 euro ofwel 143 euro. De waarde van de lening op 31 december is ook gekend, namelijk -80 (1 + r) = -88 Tabel 3: Samenstelling en waarde van Portefeuille B Portefeuille B Aandelenkoers daalt Aandelenkoers stijgt 0.2 aandelen 88 euro 143 euro Lening van 80 euro -88 euro -88 euro Totaal 0 euro 55 euro Uit vergelijking van Tabel 2 en Tabel 3 volgt dat een portefeuille B op 31 december evenveel waard is als portefeuille A. Uit het arbitrageprincipe volgt dat ook op 1 januari portefeuille B evenveel waard is als portefeuille A. Aangezien de waarde van portefeuille B op 1 januari gekend is, is de waarde van portefeuille A en dus van de call optie op 1 januari bekend: Waarde van portefeuille A Waarde van call optie = Waarde van portefeuille B = Waarde 0.2 aandelen + Waarde lening van 80 euro = 110 euro 80 euro = 30 euro 9

Algemeen geval Om een call optie te waarderen gaan we net als in het voorbeeld op zoek naar een equivalente portefeuille. Men wil de waarde van een call, die afloopt op t = 1 en een uitoefenprijs X heeft, kennen op t = 0. De koers van het onderliggende aandeel is op t = 0 gelijk aan S. Op t = 1 is de koers gedaald tot D ofwel gestegen tot U. Portefeuille A bestaat uit de call optie in kwestie. De waarde ervan op t = 1 wordt gegeven in Tabel 4. S U D Tabel 4: Samenstelling en waarde Portefeuille A Portefeuille A Aandelenkoers daalt Aandelenkoers stijgt 1 call optie C = MAX ( 0, D X ) C = MAX ( 0, U X ) Net als in het voorbeeld gaan we op zoek naar een equivalente portefeuille B, bestaande uit aandelen en een lening van een bedrag L, zodat de waarde van beide portefeuilles op t = 1 aan elkaar gelijk is. Tabel 5: Samenstelling en waarde portefeuille B Portefeuille B Aandelenkoers daalt Aandelenkoers stijgt +δs δd δu -L -L(1+r) -L(1+r) Met C = δ D L( 1+ r) (1) C = δ U L( 1+ r) (2) Door deze vergelijkingen worden de twee onbekenden en L eenduidig bepaald.. Uit (1)-(2) volgt immers C C = Dδ Uδ Waaruit C C δ = (3) U D Substitutie van deze uitdrukking in (1) of (2) levert de volgende uitdrukking voor L: DC UC L = 1 1+ r * U D (4) L en zijn zo gekozen dat de waarde van portefeuille A op t = 1 gelijk is aan die van portefeuille B. Uit het arbitrageprincipe volgt dan dat beide portefeuilles evenveel waard moeten zijn op t = 0. Met C de waarde van de call op t = 0 komt er dus door de inhoud van portefeuille B op te tellen: C = S L Waarbij en L worden gegeven door (3) en (4) 10

Opmerkingen en veronderstellingen Bovenstaande formule geeft de waarde van een call in het binomiaal één-periode-model. In deze benadering kan het onderliggende aandeel slechts eenmaal veranderen van waarde tijdens de looptijd en slechts twee mogelijke eindwaarden aannemen. Dus we gaan er van uit dat het onderliggende aandeel een binomiale distributie heeft. Het is nodig dat 1 eindwaarde hoger ligt en de andere eindwaarde lager ligt dan de huidige aandelenkoers. De waarde van een call in het binomiaal één-periode-model wordt bepaald door: 1. de aandelenkoers nu (S) 2. de mogelijke aandelenkoersen D en U op uitoefendatum. D voor de lager liggende waarde en U voor de hoger liggende waarde. 3. de uitoefenprijs (X) 4. de risicovrije interestvoet r We merken op dat het resultaat onafhankelijk is van de waarschijnlijkheid van een koersstijging of daling. Het resultaat is ook onafhankelijk van de persoonlijke risicovoorkeur van de belegger. Deze zitten al vervat in de waarden die we toekennen aan D en U. Optiedelta Het aantal aandelen nodig om de equivalente portefeuille samen te stellen, wordt de optiedelta of de hedge ratio genoemd. In formulevorm wordt δ gegeven door (3) of meer algemeen door: δ = Spreiding _ mogelijke _ optiewaarden Spreiding _ mogelijke _ aandelenwaarden Toegepast op de call optie uit het voorbeeld komt er: 55euro δ = = 0.20 275euro De optiedelta ligt steeds tussen 0 en 1, omdat de spreiding van de optiewaarden nooit groter is dan de spreiding van de aandelenwaarden. Het effect van een koersdaling van het onderliggende aandeel wordt bij een call immers beperkt, omdat de mogelijkheid bestaat om de optie niet uit te oefenen. De optiedelta geeft dus weer dat men steeds een risicoloze portefeuille kan vormen door 1 call optie aan te kopen en δ aandelen te verkopen. Uit de vorige paragraaf hebben we: Aankoop call = aankoop δ aandelen + lening OF Aankoop call + verkoop δ aandelen = lening De gecombineerde aankoop van een call en verkoop van δ aandelen is dus equivalent met een lening die inderdaad risicoloos is. 11

In de praktijk Het probleem van deze methode is net zijn eenvoudigheid: het maar bestaan van maar 2 mogelijke waarden. Het is mogelijk deze methode uit te breiden naar een waaier van eindwaarden op dezelfde manier. We denken hierbij aan een boomstructuur. Het gebruik van software is onontbeerlijk. Als binomiale bomen in de praktijk gebruikt worden, verdeeld men meestal de levensloop van een optie in 30 of meer stappen van lengte δ t. In iedere tijdstap is er een binomiale aandelenprijs fluctuatie. Met 30 tijdstappen betekent dit dat er 31 eind aandelenprijzen zijn en 2 30, of ongeveer 1 biljoen, mogelijke aandelenprijzen paden zijn. De parameters U en D worden zo gekozen dat de aandelenprijs volatiliteit erin verwerkt zit. Een veelgebruikte manier om waarden voor U en D te kiezen: σ δt σ δt U = S e en D = S e Dit idee is de basis van Black & Scholes, namelijk we kunnen 1 jaar opsplitsen in oneindig veel intervallen, zodat we een waaier van alle waarden kunnen bestuderen. De tijdsintervallen dienen te convergeren naar 0, en het aantal stappen naar. Als we dit in gedachten houden zal de binomiale verdeling convergeren naar een lognormale verdeling. Dit betekent gewoon dat de aandelenkoers alle waarden kan aannemen tussen 0 en met een hogere waarschijnlijkheid rond een bepaalde waarde. Bron: [OFoD] 12

3.7.2. Black en Scholes We wensen de formule van Black en Scholes op te bouwen. Het startpunt om een wiskundige formule voor optiewaardering op te stellen is het modelleren van de prijs fluctuaties van het onderliggende aandeel. Distributie model opstellen voor de prijsfluctuaties (Bron: [OFW_HB]) Als we een tijdinterval kiezen, bijvoorbeeld 1 dag, en we volgen de verschillende koersen van het aandeel gedurende 1 jaar bekomen we 365 waarden. Belangrijker zijn de prijsverhogingen of verlagingen tussen 2 opeenvolgende dagen. Zo een prijsverhoging of verlaging noemen we een return. Bijvoorbeeld: aandelenkoers dag 1 = 100 aandelenkoers dag 2 = 110 return = Koers _ vandaag Koers _ gisteren Koers _ gisteren = 10% We wensen echter te werken met log(aritmische) returns: logreturns = Koers _ vandaag ln = 9.53% Koers _ gisteren Het voordeel van rekenen met logreturns is dat een tegenovergestelde koersdaling -9.53% zal geven. Bij een gewone return zouden we dan -9,1% krijgen t.o.v. de 10%. Het is onmogelijk uit de gewone returns een verdelingsfunctie af te leiden, aangezien een symmetrische beweging in de returns niet overeen komt met een symmetrische beweging in de aandelenkoersen. Dit probleem is wel degelijk opgelost bij het beschouwen van de logreturns. We kunnen de logreturns uitzetten in een histogram. In het histogram herkennen we dan de normale verdeling. We wensen dit niet verder in meer details uit te werken. 13

Figuur 1: Overzicht van aandelenkoers naar normaalverdeling van de logreturns. Bron: [OFW_HB] De basishypothese van Black en Scholes is dat de logaritmische returns van aandelen normaal verdeeld zijn. Prijsfluctuaties in formulevorm (Bron: [MDUU-HTI] en [OFoD]) Aandelenkoersen gedragen zich stochastisch, meerbepaalt als een Markov proces 2. Dit betekent dat de toekomstige waarden van het aandeel enkel afhangen van de koers van vandaag. Dit wordt weerspiegeld met deze vergelijking: ds = µsdt + Sdw (5) S is de huidige waarde van het aandeel. µ is de jaarlijkse verwachte winst op het aandeel. σ is de standaarddeviatie op de return dw is een Wiener proces of een Browniaanse beweging. ds voldoet aan een Browniaanse beweging. De vergelijking (5) weerspiegelt tevens de basishypothese wegens de eigenschappen van een Wiener proces 3. Dus als een aandeel voldoet aan (5), dan voldoet ze ook aan de basishypothese. Het is dus voldoende (5) aan te tonen om Black en Scholes te mogen toepassen. 2 De appendix op het einde van dit hoofdstuk voorziet meer uitleg over het Markov proces 3 en het Wiener proces. 14