5 igenschappen van driehoeken it kun je al een hoek meten de verschillende soorten driehoeken definiëren 3 de verschillende soorten hoeken definiëren 4 de eigenschappen van de verschillende soorten hoeken gebruiken 5 een vergelijking oplossen Test jezelf lke vraag heeft maar één juist antwoord. ontroleer je antwoord in de correctiesleutel. chter elke vraag staat een verwijzing naar extra oefeningen in je oefenboek of je vademecum. Hoe groot is? Verder oefenen? 90 60 0 ad Wat is de meest passende naam voor de driehoek? gelijkbenige, stomphoekige driehoek rechthoekige, gelijkzijdige driehoek rechthoekige, gelijkbenige driehoek ad 3 In welke figuur vind je overstaande hoeken? oef. nr. 70 4 Vul aan. Verwisselende binnenhoeken zijn bij evenwijdigen en een snijlijn... 5 Los op. x + 5 = 6 it heb je nodig leerwerkboek p. 99-8 oefenboek nr. 87-967 passer geodriehoek groene en rode pen kleurpotloden complementair even groot supplementair oef. nr. 735 x = x = x = 5,5 oef. nr. 45 Inhoud M7 e basishoeken in een gelijkbenige driehoek p. 00 M8 en buitenhoek van een driehoek p. 04 M9 onstructie en classificatie van driehoeken p. 06 M30 e driehoeksongelijkheid p. 08 M3 ewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek p. 0 M3 ewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek p. 4 M33 ewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek p. 6 M34 ewijs: de driehoeksongelijkheid p. 7 99
M7 e basishoeken in een gelijkbenige driehoek Op verkenning a e basishoeken in een gelijkbenige driehoek Vul aan. In de gelijkbenige driehoek is de...hoek, top en zijn de... basis hoeken. Vul de rest van de tabel in. = 0 35 35 =... =... Wat stel je vast? e basishoeken zijn even groot.......... = 90 45 45 =... F =... Wat stel je vast? e basishoeken zijn even groot.......... F Teken een scherphoekige driehoek met twee even grote hoeken. Meet de lengten van de zijden van de driehoek. Noteer op de figuur. Wat stel je vast? e benen zijn even lang, de driehoek is gelijkbenig.......... igenschap de basishoeken in een gelijkbenige driehoek en driehoek is gelijkbenig In Δ geldt: = a.s.a. de basishoeken even groot zijn. = Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M3. ONTROL 5 Is driehoek STU gelijkbenig als S = 70 en T = 55? Verklaar. Û = 80-70 - 55 = 55 e basishoeken zijn even groot, dus de driehoek is gelijkbenig....... 00 igenschappen van driehoeken
b e hoeken in een gelijkzijdige driehoek K M L Noteer de meest passende naam voor de driehoek KLM.... Is deze driehoek ook gelijkbenig? Leg uit.... ekijk de gelijkbenige driehoek KLM met K als tophoek. Wat weet je over de andere hoeken? e andere (basis)hoeken zijn even groot, M = L.... ekijk de gelijkbenige driehoek KLM met L als tophoek. Wat weet je over de andere hoeken? e andere (basis)hoeken zijn even groot, M = K.... Wat besluit je over de grootte van de hoeken in een gelijkzijdige driehoek?... Vul in: K =... L =... M =... igenschap de hoeken in een gelijkzijdige driehoek en driehoek is gelijkzijdig a.s.a. de hoeken even groot zijn. In driehoek geldt: = = 60 = = = 80 3 = 60 60 Het bewijs van die eigenschap vind je in je oefenboek: oef. 95-95. ONTROL 6 Is driehoek XYZ gelijkzijdig als X = 60? Gelijkzijdige (scherphoekige) driehoek Ja, want ten minste twee zijden zijn even lang. 80 = 60 80 = 60 80 3 3 3 = 60 Niet altijd: bv. X = 60 Y = 80 Z = 40 Ze zijn allemaal even groot.... 60 Oefeningen ereken telkens de ontbrekende grootten van de hoeken in de gelijkbenige driehoek F. e hoek is de tophoek. Maak eerst een schets. F 34 34 30 75 60 60 76 5 75 3 60 4 5 F WR? 87-874 875-877 0
M7 e basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) WR? 878 879 880 WR? 88 88-886 ereken de hoeken in de gelijkbenige driehoek met als top. = Maak eerst een schets. Los de oefening op met een vergelijking.... Â + + = 80 gegeven... + + = 80 ig. gelijkbenige driehoek... + + = 80... 4 = 80... = 80 : 4 = 45... = = 45 = 80 45 45 = 90 ntwoord: = 90 = = 45 ontrole: 90 + 45 + 45 = 80 3 Teken de gelijkbenige driehoek GHI die aan de volgende voorwaarden voldoet. basis GH =,8 cm I = 84 Maak eerst de nodige berekeningen. G en H zijn de basishoeken I is de tophoek. G = H 80 84 = = 48.................. G I H WR? 887 888 4 ereken V, I en R. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring. V??? R I Ê = 80 = 69 (def. nevenhoeken)... R = = 68 (ig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek)... V = 80 69 69 = 4 (som van de hoeken in driehoek VR) V = 90 4 = 48 (rechte hoek in V) Î = 80 48 = (som van de hoeken in driehoek VI)......... of I = 80 90 69 = (som van de hoeken in driehoek VIR)... 0 igenschappen van driehoeken
5 Juist of fout? Verklaar telkens en teken een tegenvoorbeeld bij de foute uitspraken. a en gelijkbenige driehoek kan rechthoekig zijn. Juist, de tophoek is dan recht.... WR? 889 890 89 35 b c en gelijkbenige driehoek heeft altijd drie scherpe hoeken. Fout, de tophoek kan ook recht of stomp zijn.... Gelijkzijdige driehoeken zijn steeds scherphoekig. Juist, alle hoeken zijn 60.... d en gelijkbenige driehoek is ook gelijkzijdig. Fout, andersom klopt wel altijd.... 6 onstrueer in een gelijkzijdige driehoek de drie bissectrices. Wat stel je vast? e bissectrices snijden elkaar in één punt.... Noem het snijpunt van de bissectrices S. ereken de hoeken in driehoek S.  = = = 60 = 60 = 30 (def. bissectrice).........  = 60 = 30 (def. bissectrice) S = 80  = 80 30 30 = 0......... 40 d f e S WR? 89 7 Δ is gelijkbenig met tophoek. ereken de ontbrekende hoekgrootten als... 893 a = 50 b = + 30 c = 3  + + = 80  + + = 80  + + = 80 = (eig. basis) hoeken gelijkbenige driehoek  + + = 80  + = 80  = 50 50 + = 80 = 80 50 = 30 = 30 : = 65 ntwoord: = = 65 ontrole: 50 + 65 + 65 = 80 =  + + = 80 =  + 30  +  + 30 +  + 30 = 80 3  = 80 30 30  = 0 : 3 = 40 = = 70 ntwoord:  = 40 = = 70 ontrole: 40 + 70 + 70 = 80 =  + + = 80 =  3  +  +  = 80 3 3 3 ( + 3 + 3 ) = 80 3 3  +  +  = 540 5 = 540 = 540 : 5 = 08 08 = 36 = = 3 3 ntwoord:  = 08 Wat moet je kunnen? de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek verwoorden de eigenschap van de hoeken van een gelijkzijdige driehoek verwoorden = = 36 ontrole: 08 + 36 + 36 = 80 03
M8 en buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) Op verkenning a en buitenhoek van een driehoek Teken [. e binnenhoek van de driehoek in het hoekpunt noem je. e nevenhoek van noem je. FINITI Teken een nevenhoek van. Hoeveel oplossingen heb je?... Wiskundetaal definitie en buitenhoek van een driehoek is een nevenhoek van een binnenhoek van de driehoek. In driehoek is een buitenhoek. a. s. a. en zijn aanliggende hoeken Twee + = 80 Teken alle buitenhoeken van driehoek. Hoeveel buitenhoeken tel je?... 6 b igenschap van een buitenhoek van een driehoek Opdracht Teken een driehoek op een blad papier. Teken een buitenhoek. Kleur de hoeken en in de driehoek in een verschillende kleur. Knip de driehoek met zijn buitenhoek uit, zoals aangegeven op figuur. Knip de hoeken en af, zoals aangegeven op figuur. Leg deze afgeknipte hoeken, netjes aansluitend met de gekleurde hoekpunten tegen elkaar op hoek. Figuur Figuur Figuur 3 Wat stel je vast? e twee afgeknipte hoeken passen precies op de buitenhoek.... Wat vermoed je? en buitenhoek is even groot als... de som van de twee niet-aanliggende hoeken. Neen Is er iemand in de klas die een driehoek kan tekenen waarbij dit niet zo is?... 04 igenschappen van driehoeken
igenschap een buitenhoek van een driehoek en buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken. is een buitenhoek van Δ = + 85 95 30 65 = 65 + 30 = 95 Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M3. Oefeningen 8 Teken alle buitenhoeken van driehoek F. WR? 894-896 F 9 Hoe groot is de buitenhoek in het hoekpunt als in de driehoek = 50 en = 44? Toon je berekening. = + (ig. buitenhoek van een driehoek)... = 50 + 44 = 94...... 897 898 WR? 899-90 90-905 0 Teken de driehoek KLM die voldoet aan de volgende voorwaarden. KL = 4 cm K = 30 buitenhoek L = 0 Maak eerst de nodige berekening. L = 80 0 = 60... K 30 4 M 60 L WR? 906 907 908 ereken, en als je weet dat a // b. Toon je berekening en geef telkens een korte verklaring.... Ê = 80 03 = 77 ( = def. nevenhoeken ) (eig. overeenkomstige hoeken) = = 7 (eig. overeenkomstige hoeken)............... a b 7 Â = 80 Ĉ = 80 7 77 = 3 (eig. som van de hoeken in Δ) Â = 80 Â = 80 3 = 49 (def. buitenhoek van een driehoek) 03 WR? 909 90-94... Wat moet je kunnen? een buitenhoek van een driehoek herkennen de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek verwoorden 05
M9 onstructie en classificatie van driehoeken Op verkenning ad a onstructie van driehoeken onstrueer een ongelijkbenige driehoek met zijden van 4 cm, cm en 3 cm. onstrueer een gelijkbenige driehoek F met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm. F onstrueer een gelijkzijdige driehoek GHI met een zijde van 4 cm. F b lassificatie van driehoeken Teken in de bovenstaande driehoeken alle mogelijke symmetrieassen. Hoeveel symmetrieassen heeft de ongelijkbenige driehoek? Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkbenige driehoek F? Hoeveel symmetrieassen heeft de gelijkzijdige driehoek GHI? Teken ook in de volgende driehoeken alle mogelijke symmetrieassen. 0 3 G I F H K L Q T M P S U R 06 igenschappen van driehoeken
Overzicht classificatie van driehoeken op basis van de symmetrieassen en ongelijkbenige driehoek heeft geen symmetrieassen. en gelijkbenige driehoek die niet gelijkzijdig is, heeft één symmetrieas. en gelijkzijdige driehoek heeft drie symmetrieassen. H F G I Oefeningen onstrueer de gevraagde driehoeken. WR? 95-93 a onstrueer een gelijkbenige driehoek met een basis van 4 cm en opstaande zijden van 3 cm. 933-938 b onstrueer de driehoek met een zijde van 4 cm en drie symmetrieassen. Wat moet je kunnen? een driehoek construeren die aan bepaalde voorwaarden voldoet driehoeken classificeren op basis van het aantal symmetrieassen 07
M30 e driehoeksongelijkheid Op verkenning a Het verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding). Noteer van driehoek : de grootste hoek... de langste zijde... de kleinste hoek... de kortste zijde... estaat er een verband tussen de grootte van de hoeken en de lengte van de zijden? Â [ ] [ ] Welke zijde staat tegenover de grootste hoek?... e langste zijde Welke zijde staat tegenover de kleinste hoek?... e kortste zijde Vul aan. Tegenover de grootste hoek ligt... Teken een ongelijkbenige driehoek. Markeer in de driehoek de kleinste hoek. Markeer in de driehoek de kortste zijde. estaat er een verband tussen beide? de langste zijde. e kleinste hoek ligt tegenover de kortste zijde en omgekeerd.... igenschap verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd. 3 cm 04 4 cm b 45 3 6 cm < < Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M33. ONTROL 7 In de driehoek PQR is [QR] de langste zijde. Welke hoek is de grootste hoek van de driehoek?... riehoeksongelijkheid F G I H P 08 igenschappen van driehoeken
Meet in elke driehoek de lengte van de zijden. Δ ΔF ΔGHI =... =... IH =... + =... F + F =... IG + GH =... Vul aan.,3 cm 5,9 cm 3, cm 4,9 cm,7 cm 5,8 cm e lengte van een zijde is steeds... kleiner dan de som van... de lengten van de twee andere zijden. In de driehoek XYZ is... XY <... YZ +... ZX en... YZ <... XY +... ZX en... ZX <... XY +... YZ J onstrueer de driehoek JKL. JK = 8 cm KL = 4 cm LM = 3 cm Wat stel je vast? 8 cm e driehoek kun je niet construeren. e passerbogen snijden elkaar niet.... K igenschap driehoeksongelijkheid In een driehoek is de lengte van een zijde altijd kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden. In driehoek geldt: < + < + < + 7 cm <,8 cm + 6 cm,8 cm < 7 cm + 6 cm 6 cm < 7 cm +,8 cm 7 cm 6 cm,8 cm Het bewijs van deze eigenschap vind je in les M34. Oefeningen 3 enoem telkens de grootste hoek van de driehoeken. is Â. driehoek = 4,5 cm = 5, cm = 4,8 cm e grootste hoek... driehoek F = 7, cm F = 3,6 cm F = 8 cm e grootste hoek... driehoek GHI GH = 3,4 cm HI = 3 cm IG = 3,4 cm e grootste hoek... is. en zijn H en I. WR? 939-943 944-948 Vul aan en controleer. 4,5 cm 4,8 cm In Δ: <... +... ontrole: 5,... cm<... +... Wat moet je kunnen? de driehoeksongelijkheid tussen de zijden van een driehoek verwoorden 09
M3 ewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek igenschap de basishoeken in een gelijkbenige driehoek en driehoek is gelijkbenig a.s.a. de basishoeken even groot zijn. In driehoek geldt: = = STP Verkennen Lees de eigenschap aandachtig en vul aan. In de eigenschap zie je een dubbele pijl. it betekent... dat de eigenschap uit twee delen bestaat. eel: = = lees je als: ls een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot.... eel: = = lees je als: ls de basishoeken van een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig.... Je bewijst eerst deel (basis) en dan deel (verdieping). L eigenschap ls een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken d vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Δ = Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je aantonen dat hoeken even groot zijn? Welke bijzondere rechte m verdeelt driehoek in twee congruente driehoeken? r zijn verschillende mogelijkheden. Noem het snijpunt van de rechte m met de basis. = Via congruente driehoeken m is de zwaartelijn uit de top In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige hoeken even groot. 0 igenschappen van driehoeken
Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? Δ en Δ ZZZ Z = Z = Z = Δ Δ Neen, hieruit volgt =. ef. zwaartelijn Gemeensch. zijde ef. gelijkbenige driehoek Uit het voorgaande afleiden dat basishoeken even groot zijn. STP 3 L ewijs ewijs (deel ) als een driehoek gelijkbenig is, dan zijn de basishoeken even groot Gegeven: Δ = Te bewijzen: = ewijs: Je hebt verschillende mogelijkheden. mogelijkheid: Teken de zwaartelijn m uit de top. Noem het snijpunt met []. Voor Δ en Δ geldt: Z = (def. zwaartelijn) Z = (def. gelijkbenige driehoek) Z = (gemeenschappelijke zijde) ZZZ Δ Δ ig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken = m e andere mogelijkheden om deze eigenschap te bewijzen vind je in het oefenboek: oef. 949.
M3 ewijs: de eigenschap van de basishoeken in een gelijkbenige driehoek (vervolg) L STP eigenschap ls de basishoeken in een driehoek even groot zijn, dan is de driehoek gelijkbenig nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken m vraag antwoord verklaring Wat is gegeven? Noteer dit in symbolen. uid het gegeven in het groen aan op de figuur. Δ = Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. uid wat bewezen moet worden in het rood aan op de figuur. Hoe kun je aantonen dat zijden even lang zijn? Welke bijzondere rechte m verdeelt de driehoek in twee driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn? r zijn verschillende mogelijkheden. Noem het snijpunt van de rechte h met de basis. Noteer en kleur de driehoeken waarvan je vermoedt dat ze congruent zijn, elk in een andere kleur. Welk congruentiekenmerk kun je gebruiken? Noteer de gelijkheden. Is dit wat je moet bewijzen? Indien niet, welke stap moet je nog zetten? = Via congruente driehoeken m is de hoogtelijn uit de top Δ en Δ ZHH Z = H = H = = 90 Δ Δ Neen, hieruit volgt =. In congruente driehoeken zijn de overeenkomstige zijden even lang. Gemeensch. zijde Gegeven ef. hoogtelijn Ui het voorgaande afleiden dat de opstaande zijden even lang zijn. igenschappen van driehoeken
STP 3 ewijs ewijs (deel ) als een driehoek even grote basishoeken heeft, is de driehoek gelijkbenig Gegeven: Δ = Te bewijzen: = ewijs: Je hebt verschillende mogelijkheden. v.: Teken de hoogtelijn m uit de top. Noem het snijpunt met []. Voor Δ en Δ geldt: H = (gegeven) H = = 90 (def. hoogtelijn) Z = (gemeensch. zijde) HHZ Δ Δ ig. overeenkomstige zijden in congruente driehoeken = ndere mogelijkheden om deze eigenschappen te bewijzen, vind je in het oefenboek: oef. 950. Oefeningen 4 Δ is gelijkbenig met tophoek. [] wordt in drie gelijke delen verdeeld. ewijs dat = F Gegeven: Δ =...... F = F = Te bewijzen: = F......... ewijs:... Voor ΔF en Δ geldt: Z = (def. gelijkbenige driehoek)... F WR? 949-957 958-967 H Â = (eig. gelijkbenige driehoek)... Z F = (geg.)... ZHZ ΔF ~ = Δ...... ig. overeenkomstige hoeken in congruente driehoeken... F =... Wat moet je kunnen? de eigenschap van de basishoeken van een gelijkbenige driehoek bewijzen 3
M3 ewijs: de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek (uitbreiding) igenschap een buitenhoek van een driehoek en buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken. is een buitenhoek van Δ. = + STP Verkennen Lees de eigenschap aandachtig. Welke meetkundige elementen komen er in voor? en buitenhoek van een driehoek en twee niet-aanliggende binnenhoeken.... STP nalyseren: vooruitdenken terugdenken een plan maken Onderzoek de eigenschap voor de buitenhoek. Je kunt deze eigenschap natuurlijk ook met een andere buitenhoek onderzoeken. Wat is gegeven? Wat moet je bewijzen? Noteer dit in symbolen. vraag antwoord verklaring Δ is een buitenhoek van Δ = Â + Welke eigenschap ken je al over de som van de hoeken in Δ? Noteer dit in symbolen. Hoe groot is de som van en? + = Uitdrukking = uitdrukking. Noteer dit in symbolen. Â + + = 80 80 Â + + = + ig. de som van de hoeken van een driehoek is 80. ef. buitenhoek van een driehoek () en () 4 igenschappen van driehoeken
Zoek uit deze vergelijking de grootte van de buitenhoek. Is dit wat je moet bewijzen? Â + Ĉ = Ja ig. van gelijkheden: beide leden verminderd met STP 3 ewijs ewijs een buitenhoek van een driehoek is even groot als de som van de twee niet-aanliggende binnenhoeken van die driehoek Gegeven: driehoek buitenhoek Te bewijzen: = + ewijs: + = 80 (def. nevenhoeken) + + = 80 (eig. som van de hoeken in een driehoek) + + = + + ig. van een gelijkheid beide leden = + Wat moet je kunnen? de eigenschap van een buitenhoek van een driehoek bewijzen 5
M33 ewijs: het verband tussen de hoeken en de zijden in een driehoek (uitbreiding) igenschap verband tussen de hoeken en zijden in een driehoek (uitbreiding) In elke driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde en omgekeerd. 3 cm 04 4 cm 45 6 cm < < 3 ewijs (deel ) in een driehoek ligt tegenover een grotere zijde een grotere hoek Gegeven: Δ > Te bewijzen: > ewijs: ls > dan kun je op [] een punt vinden zodat Δ een gelijkbenige driehoek is. In Δ is = en (eig. basishoeken in een gelijkbenige driehoek). in Δ is > (eig. buitenhoek van de driehoek = + ) en > + = > het geheel is altijd groter dan het deel Waarom wordt in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? In een gelijkbenige driehoek liggen tegenover even lange zijden even grote hoeken en omgekeerd....... ewijs (deel ) in een driehoek ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde Gegeven: Δ > Te bewijzen: > ewijs: ewijs uit het ongerijmde Stel dat niet groter is dan. an heb je twee andere mogelijkheden: Stel dat =, dan zou Δ gelijkbenig zijn en de hoeken en even groot. it is in tegenspraak met het gegeven. Stel dat <, dan zou volgens het eerste deel van het bewijs <. it is in tegenspraak met het gegeven. r blijft dus maar één mogelijkheid over: > Wat is een bewijs uit het ongerijmde? In plaats van de eigenschap rechtstreeks te bewijzen, ga je bewijzen dat elke andere mogelijkheid niet kan.... In het bewijs uit het ongerijmde worden drie mogelijkheden bekeken. Welke? = < >...... Wat moet je kunnen? de eigenschap van het verband tussen hoeken en zijden in een driehoek bewijzen 6
M34 ewijs: de driehoeksongelijkheid igenschap driehoeksongelijkheid In een driehoek is de lengte van een zijde altijd kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden. In driehoek geldt: < + < + < + 7 cm <,8 cm + 6 cm,8 cm < 7 cm + 6 cm 6 cm < 7 cm +,8 cm 7 cm 6 cm,8 cm ewijs in een driehoek is de lengte van een zijde kleiner dan de som van de lengten van de andere twee zijden Gegeven: ΔF F G Te bewijzen: < F + F F + F ewijs: Je maakt de som F + F zichtbaar op de tekening: Je verlengt [F] met [FG] zodat F + FG = G (met F = FG ). = G (eig. basishoeken in gelijkbenige driehoek) en > (het geheel is altijd groter dan het deel want = + ) dus is > G In ΔG ligt tegenover een grotere hoek een grotere zijde: G > of F + F > Waarom wordt er in de eerste stap van het bewijs gesproken over een gelijkbenige driehoek? In een gelijkbenige driehoek zijn de basishoeken even groot. Zo kun je de hoeken vergelijken....... Wat moet je kunnen? de driehoeksongelijkheid bewijzen/verklaren 7
Problemsolving Gamal knipt uit een vel papier een driehoek. Twee zijden van zijn driehoek zijn 6 cm en 8 cm, de hoek tussen deze zijden is een rechte hoek. Hij gaat de driehoek één keer vouwen en kan zo verschillende figuren vormen ijvoorbeeld: of 6 8 3 4 8 Welke van de volgende getallen kan de oppervlakte van een figuur zijn? 9 cm cm 8 cm 4 cm 30 cm e oppervlakte van de driehoek is 6 8 cm = 4 cm. e oppervlakte van de figuur is minder, maar zeker meer dan de helft (je kunt deze driehoek niet precies op zichzelf vouwen). en ongelijkbenige driehoek heeft geen symmetrieassen. e oppervlakte kan inderdaad 8 cm zijn, zoals de figuur hiernaast laat zien. (8 + 4) 3 cm = 8 cm............... en driehoek heeft een hoek van 86. In de driehoek zijn de drie bissectrices getekend. Hoeveel graden is de hoek met het vraagteken? 86... In de grote driehoek is de som van de twee andere hoeken 80 86 = 94.... In de kleine driehoek is de som van de twee scherpe hoeken 90 : = 47... (def. bissectrice).?... e hoek met het vraagteken: 80 47 = 33 3 Van een driehoek zijn twee zijden elk 7 cm lang. e lengte van de derde zijde is een geheel aantal centimeters. Hoeveel cm is de grootste omtrek die zo n driehoek kan hebben? 4 5 7 8... e som van de twee gekende zijden is 4 cm. e lengte van de derde zijde moet... korter zijn dan 4 cm (= de som van de twee andere zijden). 8 cm is bijgevolg... geen mogelijke oplossing. Omdat de grootst mogelijke omtrek gevraagd wordt, is 7 cm het correcte antwoord....... 4 Van een stomphoekige en een scherphoekige driehoek zijn de volgende hoeken gekend: 0, 80, 55 en 0. Hoe groot is de kleinste hoek van de scherphoekige driehoek?... 45... 0 is de enige stompe hoek. In deze driehoek blijft nog 60 over. e hoek van... 55 of de hoek van 0 zijn mogelijkheden. 55 kan echter niet, want dan zou de... scherphoekige driehoek hoeken van 80 en 0 en bijgevolg een rechte hoek hebben. e stomphoekige driehoek heeft dus hoeken van 0, 0 en 50.... e scherphoekige driehoek heeft dan hoeken van 80, 55 en 45. 8 problemsolving