Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten Algemeen Inzicht, getalrelaties, redeneren, procedures Leerlingen kunnen bij opgaven op het gebied van breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen het netwerk van getalrelaties gebruiken dat ze in de loop van de tijd hebben opgebouwd. Ze weten bijvoorbeeld dat - even veel is als - + - en kunnen dat bij een opgave 2 als - + - = inzetten. We bedoelen hier dus het gebruik maken van getalrelaties die, wanneer daar aanleiding toe is, direct bij de leerling opkomen. Het daadwerkelijk benutten van deze kennis vormt dan nog maar een kleine stap. Leerlingen komen echter ook situaties tegen waarvoor hun kennis van getalrelaties niet toereikend is. In dat geval zullen ze vaak al redenerend, vanuit hun inzicht in betekenis en samenhang, toch een antwoord kunnen vinden. Bij dat redeneren wordt uiteraard teruggegrepen op dezelfde kennis, maar die wordt dan ingezet in een activiteit die veel meer het karakter heeft van probleemoplossen. De leerling zal in dit geval meer tijd nodig hebben om tot een oplossing te komen. Tenslotte zullen er ook leerlingen zijn die inmiddels routines of standaardprocedures hebben ontwikkeld die ze met inzicht kunnen inzetten. In dit hoofdstuk werken we wat we geschreven hebben over kerninzichten uit in een serie doelen. Bij de ordening van die doelen volgen we het onderscheid dat we hierboven maakten tussen gebruik maken van getalrelaties, redeneren en gebruikmaken van vaste Algemeen
procedures We beginnen echter met een aantal doelen die het beste rechtstreeks aan inzicht kunnen worden gekoppeld. Inzicht vormt de basis van alles. Het neemt een een aparte positie in omdat het daarbij gaat om een algemene kwaliteit waar alle activiteiten van doortrokken zijn. Het leren beheersen van vaste rekenprocedures vormt géén voor alle leerlingen na te streven doel. Vanwege het gevaar van trucmatige routine is terughoudendheid geboden. In plaats daarvan geven we de voorkeur aan het op een inzichtelijke manier gebruiken van de zakrekenmachine. Procedures kunnen echter differentiële doelen vormen voor een deel van de leerlingen. We ordenen de doelen in de volgende paragrafen: inzicht in betekenis en samenhang; kennen en gebruiken van getalrelaties; redeneren; inzichtelijk gebruik van de zakrekenmachine; gebruiken van procedures (differentieel doel). Waar nodig worden de doelen voorzien van een toelichting en voorbeelden. Inzicht in betekenis en samenhang Kenmerkend voor het leerstofgebied is de sterke samenhang tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen Deze samenhang komt voort uit het feit dat breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten in zekere zin allemaal variaties vormen op hetzelfde thema, namelijk verhoudingen. Bij breuken, kommagetallen en procenten wordt de onderliggende verhouding niet met meerdere getallen beschreven, maar met slechts één enkel getal. We spreken in navolging van Freudenthal van meet- of verhoudingsgetallen. Naast inzicht in deze samenhang moeten de leerlingen ook inzicht hebben in de verschillen tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten. Het zijn verschillen die te maken hebben met de ontstaansgrond van de begrippen, de betekenis die ze hebben en de manier waarop ze in de praktijk worden gebruikt. Breuken beschrijven 2 Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
verhoudingen als deel-geheel relaties. Bij kommagetallen staat het meetaspect op de voorgrond. Ze zijn in contextsituaties meestal gekoppeld aan grootheden. Procenten vergemakkelijken het rekenen en vergelijken door verhoudingen terug te brengen tot standaardverhoudingen, namelijk zoveel op de honderd. Dit alles leidt tot de volgende doelen. Inzicht in de samenhang tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten De leerling is zich bewust van de verwantschap tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten en begrijpt de relaties tussen de verschillende beschrijvingsvormen. Breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten als meet- of verhoudingsgetallen De leerling weet dat het bij breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten in contextopgaven steeds gaat om meet- of verhoudingsgetallen en blijft zich realiseren wat de eenheid is, waar breuk, verhouding, kommagetal of percentage aan refereren. Dit betekent ook dat de leerling breuken, kommagetallen en procenten primair associeert met deel-geheel relaties (al dan niet op basis van het (mentale) beeld van de dubbele strook) en niet zozeer met procedures als: - is in vier stukjes delen en drie stukjes nemen of: 5% is delen door 00 en vermenigvuldigen met 5. Kommagetallen als een manier van systematisch verfijnen De leerling kan de opeenvolgende decimalen in een kommagetal interpreteren als een reeks gewone tiendelige breuken, met de noemers met oplopende machten van tien en realiseert zich dat deze overeenkomen met systematisch verfijnde (maat)eenheden. Procenten als een standaardisering via honderdsten of op de honderd De leerling beseft dat beschrijvingen met procenten een alternatief vormen voor beschrijvingen met breuken of verhoudingen en doorziet Inzicht in betekenis en samenhang
de voor- en nadelen van deze gestandaardiseerde beschrijving. Verhoudingen als verhoudingsgewijs en absoluut redeneren De leerling realiseert zich dat je getallen of grootheden in contextsituaties verhoudingsgewijs dan wel absoluut kunt vergelijken en kan beide benaderingswijzen ook zinvol gebruiken. De leerling is zich er van bewust dat verhoudingsgewijs vergelijken soms ook wordt toegepast in situaties waar we slechts doen alsof er sprake is van recht-evenredigheid. Toelichting Wanneer er bijvoorbeeld een vergelijking wordt gemaakt tussen de criminaliteit in twee steden, dan redeneren we vaak alsof er sprake is van een recht-evenredig verband, dat wil zeggen dat we doen alsof het aantal gevallen van criminaliteit recht evenredig is met het aantal inwoners van een stad. Getalrelaties Hierboven beschreven we inzicht in de samenhang tussen de verschillende deelgebieden als één van de hoofdthema s voor het leerstofgebied. Deze samenhang komt ook naar voren te in: het kennen en benutten van getalrelaties binnen en tussen de deelgebieden. het inzetten van getalrelaties en inzichten voor flexibel en globaal rekenen. Tussen deze onderdelen zit overlap maar voor de overzichtelijkheid beschrijven we ze hieronder als los van elkaar. Getalrelaties kennen en benutten De leerling kan flexibel omgaan met eenvoudige getalrelaties tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten. Toelichting Met getalrelaties bedoelen we zowel relaties binnen een deelgebied als Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
relaties tussen breuken, procenten, kommagetallen en verhoudingen onderling. Leerlingen moeten bij het rekenen kunnen overstappen van de ene soort breuken naar een andere, of van de ene verhouding naar een andere, maar ook van verhoudingen naar breuken, van breuken naar procenten, enzovoort. Het gaat bij deze doelen om eenvoudige breuken - breuken met de noemers 2,,, 5, 8, 0, 00 en 000 - en daarmee overeenkomende verhoudingen, kommagetallen, en procenten. Voor wat betreft procenten betekent het dat de leerling beschikt over referentiepunten voor het beoordelen van de orde van grootte van percentages. Daarbij moet gedacht worden aan veelvouden van 0% en van 25% en -- %, via de associatie met overeenkomstige breuken. De kennis van veelvouden van 2 --% kan gelden als een mogelijke uitbreiding voor sommige leerlingen. Het gaat met name om percentages 2 boven de 00, zoals 50% is - keer en 200% is twee keer zoveel. 2 Voorbeelden Getalrelaties binnen een deelgebied De leerling kent de breuk - als - + -, als x -, als - - en kan deze 2 kennis inzetten bij het oplossen van een opgave als - + - = door te bedenken dat - + - = - + - + - + - = + -. Of door - + - te 2 2 2 interpreteren als - + - + - = -, of door - + - - + - = 2 2 6 - = -. 2 De leerling associeert 0,25 met 0,25 = en met 0,25 = 0,75. De leerling is vertrouwd met relaties als 0 0, = ; 0 0,0 = 0, en 0, 0, = 0,0. De leerling kent veelvouden van 25%, zoals 2 25% = 50%, 25% = 75%, 25% = 00%, 5 25% = 25%. Getalrelaties tussen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten De leerling associeert % met ongeveer --- deel, of iets minder 0 dan -- deel. De leerling herkent een verhouding als 2 : 6 als 2 :. Een verhouding als 80 op 20 - bijvoorbeeld in de context van 80 gram suiker op 20 gram snoep - wordt door de leerling geïnterpreteerd als een deel-geheelrelatie die kan worden voorgesteld met een strook en kan worden vereenvoudigd tot op de Getalrelaties 5
(of van de). De leerling realiseert zich dat dit overeenkomt met 25 - deel, wat geassocieerd wordt met 0,25, of te wel ------ en 25%. De 00 leerling kan dit weer terugkoppelen door gebruik te maken van de wetenschap dat 25% overeen komt met 25 van de 00, wat gelijk is aan van de en aan 80 van de 20 en de leerling weet dat dit gecontroleerd kan worden door 80 : 20 = 0,25 op de rekenmachine uit te rekenen. De leerling kan een opgave als: Hoeveel kost 0,750 kg appels à,80?, oplossen door dit te vertalen in - van,80, wat weer kan worden gesplitst in -- van,80 en - van,80 en resulteert in 2,90 + 0,95 = 2,85. De leerling kan de opgave ook oplossen door 0,750 op te vatten als 750 -------- en de berekening uit te voeren als,80 : 000 = 0,008 en 750 000 0,008 = 2,8500. Of door te bedenken dat 2 0,750 =,5 en eerst de prijs van,5 kg uit te rekenen;,5 kilo kost,80 +,90 = 5,70 en 5,70 gedeeld door 2 is 2,85. Getalrelaties inzetten voor globaal rekenen De leerling is in staat om de getallen in (context)opgaven op het gebied van breuken, verhoudingen, procenten en kommagetallen zo aan te passen dat met een eenvoudige berekening met 'mooie getallen' een globaal antwoord verkregen kan worden. Toelichting Het gaat hier niet om het toepassen van een vaste procedure voor afronden maar om het vereenvoudigen van een berekening door mooie getallen te kiezen waarmee je handig kunt rekenen. Wat mooie getallen zijn heeft weer te maken met de hierboven beschreven getalrelaties en de mate waarin de leerling daarover beschikt. Bij dit globaal rekenen is differentiatie in nauwkeurigheid mogelijk, waarbij het van belang is dat de leerling inzicht heeft in hoeverre de nauwkeurigheid van de uitkomst passend is voor de situatie. Voorbeelden De leerling herkent 0,762 in een opgave als: Hoeveel kost 0,762 kg appels à,80?, ongeveer 0,750 of 0,75. Of de leerling realiseert zich dat 762/000 ofwel 762 van de 000 overeenkomt met 6 Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
ongeveer deel. De leerling brengt gegeven percentages in verband met mooie percentages als 25% en - %, maar kan ze ook relateren aan de dichtstbijzijnde tienvouden. Zoals bijvoorbeeld bij het interpreteren van de uitslag van een stemming waar 60% vóór is, waar de leerling uit afleidt dat er wel een meerderheid is (meer dan de helft), maar geen 2 - - meerderheid. Redeneren Beredeneren van operaties met breuken De leerling kan in eenvoudige situaties op beredeneerde wijze bewerkingen met breuken uitvoeren. Toelichting Het betreft hier primair het bepalen van som en verschil. Het beredeneren van een product of quotiënt blijft beperkt tot gevallen waarin een breuk en een geheel getal gecombineerd worden. Het doel is niet het kennen en toepassen van vaste procedures; wanneer de leerling een regel gebruikt moet hij deze kunnen uitleggen in termen van de concrete situatie. Voorbeelden De leerling kan bij een opgave als - + - 2 = uitleggen hoe je van halven en derden zesden kunt maken, tot op het niveau van een redenering als, Een twee keer zo grote noemer betekent dat er twee keer zoveel stukjes in een hele gaan en dat die stukjes dus twee keer zo klein, of half zo groot, zijn. De leerling realiseert zich dat een opgave als 2 - = kan 2 worden opgelost met herhaald optellen. De leerling kan een opgave als 2 - keer 2 vertalen in twee keer 2 2 plus de helft van 2 (zie ook multiplicatief redeneren) De leerling kan uitleggen dat een opgave als - : 2 = kan worden opgelost door alle stukjes in tweeën te delen en beredeneren dat je zo op - komt. 8 Redeneren 7
De leerling beseft dat je delen van een getal door een breuk kunt vertalen in het herhaald afpassen van die breuk op dat getal of door de verhouding tussen het getal en de breuk te bepalen De voorbeelden zijn hier als kale sommen beschreven, maar het gaat er vooral om dat de leerlingen dergelijke opgaven aankunnen wanneer ze in contextvorm worden aangeboden. Van de betere leerlingen wordt wel verwacht dat ze deze redeneringen los van een context kunnen uitvoeren. Beredeneren van operaties met kommagetallen De leerling kan kennis en inzicht in de structuur en betekenis van kommagetallen inzetten bij het uitvoeren van bewerkingen met kommagetallen en maakt in voorkomende gevallen handig gebruik van maatwisseling, zowel om komma s weg te werken, als om te redeneren over relaties tussen breuken en kommagetallen. Toelichting De moeilijkheid van de bewerking wordt bepaald door de vraag of er slechts een, of meer dan een kommagetal in betrokken is. Voor delen van een geheel getal door een kommagetal en voor het vermenigvuldigen van een kommagetal met een geheel getal kan de leerling gebruik maken van kolomsgewijs rekenen. De basis daarvan ligt in het herhaald aftrekken respectievelijk herhaald optellen. Voor vermenigvuldigen van een kommagetal met een kommagetal en voor het opdelen van de rest in decimalen achter de komma kan de leerling gebruik maken van maatwisseling. Voorbeelden Gebruik van de relatie met gewone tiendelige breuken De leerling kan de uitkomst van 2,95 +,9 =, respectievelijk 2,95 295 9 900 -,9 = berekenen door hetzij 2,95 in ----------- en 0,9 in --- = -------- om 000 0 000 te zetten, dan wel met deze relaties in het achterhoofd te bedenken dat de opgaven overeenkomen met 2,95 +,900 = en 2,95,900 = : De leerling lost een opgave als 2,7 = bijvoorbeeld op via herhaald optellen en een opgave als 269 : 25,8 = via herhaald aftrekken. 8 Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
Ook hier geldt weer dat de opgaven hierboven weliswaar als kale sommen zijn beschreven, maar dat het er vooral om gaat dat de leerlingen dergelijke opgaven aankunnen wanneer ze in contextvorm worden aangeboden. Gebruik van maatwisseling De leerling kan opgaven als de hierboven genoemde 2,7 = en 269 : 25,8 = oplossen met behulp van maatwisseling. Bijvoorbeeld door in een contextopgave,7 te vervangen door 7 cent. (Sommige leerlingen zullen dit ook op een meer formeel niveau kunnen door 2,7 tijdelijk te vervangen door 2 7 om daarna het resultaat weer door 00 te delen.) De leerling kan een opgave als 2,89 +,65 = oplossen door eerst de centen en dan de hele euro s bij elkaar op te tellen, of door de bedragen eerst in eurocenten om te zetten. De leerling kan - liter omzetten in 0,250 liter door te bedenken dat liter overeenkomt met 000 ml en dat - liter dus gelijk is aan 250 ml. De leerling kan het antwoord op een opgave als: Hoeveel kost,8 kilogram appels à,20? berekenen dan wel benaderen door te wisselen tussen kilogrammen en grammen en tussen euro s en centen. Beredeneren van operaties met procenten De leerling kan kennis en inzicht in de structuur en betekenis van procenten inzetten bij het berekenen van en het rekenen met percentages en maakt in voorkomende gevallen handig gebruik van de dubbele strook, getallenlijn of verhoudingstabel om de verhoudingsgetallen stapsgewijs aan te passen. Toelichting We kunnen onderscheid maken tussen situaties waarin het percentage moet worden berekend ( Hoeveel procent is 0 van de 520? ), het deel ( Hoeveel is 25% van 520? ), of het geheel ( Hoeveel is 00% als 25% 0 is? ). Het is overigens niet de bedoeling deze drie situaties te onderscheiden als opzichzelfstaande gevallen die de leerlingen als zodanig zouden moeten kennen. Een combinatie van getalkennis en inzicht moet Redeneren 9
voldoende zijn om in alle gevallen tot een beredeneerd antwoord te komen. Daarbij kan een onderscheid worden gemaakt tussen handig gebruik van getalrelaties en meer algemene aanpakken die onafhankelijk zijn van de getallen in de opgave. Bij het handig gebruik van getalrelaties gaat het om aanpakken waarbij de leerling verhoudingsgetallen stapsgewijs aanpast. (Zie ook Redeneren met evenredigheden.) Wanneer de getallen zich niet lenen voor handig rekenen, kan de leerling de tussenstap maken van het berekenen van één procent. Om een percentage te vinden kan de leerling bijvoorbeeld eerst uitrekenen hoeveel % van het geheel is, om vervolgens te onderzoeken hoe vaak dit op het gegeven deel past. En om een percentage van het geheel te nemen, kan de leerling eerst uitrekenen hoeveel % van het geheel is, om dit vervolgens met het gegeven percentage te vermenigvuldigen. Merk op dat het laatste in de praktijk op hetzelfde neerkomt als het percentage omzetten in zoveel honderdste deel. Ook dat kun je vertalen in het geheel eerst delen door honderd en daarna met het percentage vermenigvuldigen. Voorbeelden De leerling bepaalt hoeveel procent 75 van de 625 geënquêteerden is, via het stapsgewijs aanpassen van de getallen, Ja-stemmers 75 5 7 28 Geënquêteerden 625 25 25 00 Of door eerst % van 625 te berekenen en vervolgens 75 door de uitkomst (6,25) te delen. De leerling berekent hoeveel gram zuiver goud een ketting van 96 gram bevat die voor 5% uit zuiver goud bestaat, via het stapsgewijs aanpassen van de getallen. Percentage 00% 25% 0% 5% Gewicht 96 99 9,6 8,6 0 Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
Of door eerst % van 96 te berekenen en vervolgens de uitkomst (,96) met 5 te vermenigvuldigen (5% is 5 x,96 gram = 8,6 gram). Redeneren met evenredigheden De leerling kan bij een gegeven paar verhoudingsgetallen een reeks gelijkwaardige getallenparen construeren en kan de door deze getallenparen beschreven verhouding ook uitdrukken in een breuk of een percentage. De leerling is bovendien vertrouwd met de strategieën die je kunt gebruiken om equivalente getallenparen te produceren. Toelichting Het gaat hier om strategieën die met de verhoudingstabel zichtbaar gemaakt kunnen worden als verdubbelen, halveren, samennemen, verschil bepalen en met hetzelfde getal vermenigvuldigen, c.q. door hetzelfde getal delen. Voorbeelden De leerling vergelijkt de prijzen van twee verschillende verpakkingen van hetzelfde product, 250 gram à,65 en 200 gram à,25, met elkaar door te berekenen wat een bepaalde hoeveelheid (bijvoorbeeld 000 gram, 00 gram of 50 gram) in beide gevallen kost. Op basis van de werkelijke aantallen kan de leerling vaststellen dat er in Frankrijk in totaal meer fietsen zijn dan in Nederland, maar dat wij er verhoudingsgewijs naar aantallen inwoners meer hebben. De leerling kan % van 720 benaderen door 5% te berekenen met behulp van een verhoudingstabel. Percentage 00% 0% 5% 5% Bedrag 720,= 72,= 6,= 08 Conclusie: % van 720 is dus iets minder dan 08. Wanneer de leerling bedenkt dat % ongeveer 7 is, kan % van 720 op ongeveer 00 geschat worden. Desgewenst kan dit nog preciezer Redeneren
door % uit te rekenen: Percentage 00% 0% 5% 5% % % Bedrag 720 72 6 08 7,2 08,80 Maar wanneer een precieze uitkomt beoogd wordt, is een meer directe methode meer voor de hand liggend, hetzij via: Percentage 00% % % Bedrag 720 7,20 0,80 dan wel via: Percentage 00% 00% Bedrag 720 080 0,80 De leerling kan een vaststelling als: Zo n 500 van de 800 auto s die op het vrachtschip vervoerd werden gingen verloren, omzetten in een percentage door gebruik te maken van de verhoudingstabel: Deel 500 250 25 62,5 Geheel 800 00 200 00 Met behulp van de verhoudingstabel kan zo geconstateerd worden dat 500 van de 800 overeenkomt met 62,5% van het geheel. Wat kan worden afgerond op ruim 60%. Multiplicatief redeneren De leerling weet hoe je contextgebonden beschrijvingen van multiplicatieve relaties in termen van breukrelaties, kommagetallen en percentages kan omzetten in vermenigvuldigingen. 2 Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
Toelichting Dit is een lastige doelstelling en om die te halen zal hier meer aandacht aan moeten worden besteed dan nu gebruikelijk is. Voorbeelden 2 2 De leerling weet dat -- deel van kan worden uitgerekend als --... De leerling weet dat 0,6 gram à kan worden uitgerekend als 0,6... De leerling weet dat 50% van kan worden uitgerekend als,50 De leerling kan beredeneren dat je een onbekend percentage kunt vinden door het quotiënt te bepalen van deel en geheel. Bijvoorbeeld bij het in procenten omzetten van de resultaten van een enquête waaruit blijkt dat 58 van de 987 geënquêteerden te kennen geven hinder te hebben van het vliegtuiglawaai. Een mogelijke uitloop voor een deel van de leerlingen zou kunnen zijn: De leerling kan beredeneren dat een prijs inclusief 7,5% btw neerkomt op 7,5 keer de oorspronkelijke prijs. Zakrekenmachine Het werken met de zakrekenmachine ligt in het verlengde van het beredeneren van operaties. Strategieën voor handig rekenen, waarbij de leerling zich laat leiden door de getallen in de opgave, zijn voor het rekenen op de zakrekenmachine echter minder geschikt. Bij procent rekenen geldt dit met name voor aanpakken waarbij de uitkomst in stapjes benaderd wordt. Een meer algemene strategie, waarin bijvoorbeeld eerst één procent berekend wordt, leent zich veel beter voor het inzetten van de zakrekenmachine. Na het verlaten van de basisschool zal veel rekenwerk met de zakrekenmachine worden uitgevoerd. Het met de hand of uit het hoofd rekenen met breuken, kommagetallen, verhoudingen en procenten betreft in de praktijk vooral het rekenen met eenvoudige getallen en het globaal rekenen. Het complexere rekenwerk wordt met de zakrekenmachine uitgevoerd. We onderscheiden in dit verband de volgende doelen. Zakrekenmachine
Breuken omzetten in kommagetallen met behulp van de zakrekenmachine De leerling begrijpt dat je breuken met behulp van de zakrekenmachine kunt omzetten in kommagetallen door teller en noemer op elkaar te delen. Met kommagetallen werken op de zakrekenmachine De leerlingen kunnen enkelvoudige berekeningen (+,-,, en :) waar kommagetallen in voorkomen op de zakrekenmachine uitvoeren. De leerlingen zijn zich ervan bewust dat het aanbeveling verdient de uitkomst van een berekening op de zakrekenmachine achteraf door een globale berekening controleren. Procentrekenen met de zakrekenmachine De leerling kan de zakrekenmachine met inzicht inzetten bij het berekenen van en het rekenen met percentages. Toelichting Het gaat hier met name om algemene strategieën voor het beredeneren van operaties met procenten die onafhankelijk zijn van de getallen in de opgave. Dit zijn bijvoorbeeld strategieën die steunen op het berekenen van één procent. Zo kan de leerling beredeneren dat je: een deel - geheel relatie kunt omzetten in een percentage, door het geheel door 00 te delen om vervolgens te bepalen hoe vaak de uitkomst op het deel past je het deel kunt berekenen door eerst de waarde van procent te uit te rekenen (door het geheel door 00 te delen) en dit met het percentage te vermenigvuldigen. het geheel kunt berekenen door eerst de waarde van procent te berekenen en die vervolgens met 00 te vermenigvuldigen. Leerlingen die zich het multiplicatief redeneren op een formeel niveau hebben eigen gemaakt zullen ook een percentage van een geheel kunnen nemen, door het percentage om te zetten in een kommagetal en het geheel met dit kommagetal te vermenigvuldigen. Zo zullen er ook leerlingen zijn, die inzien dat je een deel-geheel relatie via een deling kunt omzetten in een kommagetal dat je weer in een percentage kunt omzetten. Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
Procedures (differentieel) Zoals eerder is opgemerkt vormt het beheersen van procedures geen doel dat voor alle leerlingen moet worden nagestreefd. Bovendien geldt dat veel van de doelen die we hier opnoemen overeenkomen met de doelen die hierboven voor het rekenen met de zakrekenmachine zijn geformuleerd. Daarmee wordt tevens het belang van het beheersen van procedures binnen dit domein gerelativeerd. Daarbij moet wel worden aangetekend dat veel wiskundige procedures een culturele waarde hebben en dat het beheersen van procedures de wiskunde in het voortgezet onderwijs kan vergemakkelijken. Er zijn uiteraard verschillende procedures mogelijk. Hieronder noemen we procedures die goed passen bij de beoogde leerlijn. Routinematig optellen en aftrekken van breuken De leerling kan breuken routinematig optellen en aftrekken; bijvoorbeeld door middel van gelijknamig maken, dan wel door het kiezen van een passende ondermaat. Routinematig vermenigvuldigen van breuken De leerling kan breuken routinematig vermenigvuldigen; bijvoorbeeld 2 door tellers en noemers te scheiden. (Een vermenigvuldiging als -- -- wordt dan via = 2 omgezet in 2 = ). 5 2 8 -- -- -- -- ----- ----- 5 5 Toelichting Hierbij past het model van een tegelpleintje, waarbij de oorspronkelijke oppervlaktemaat ( tegel) wordt vervangen door een kleinere ( ----- tegel). Routinematig delen van breuken De leerling kan delen met breuken routinematig oplossen; bijvoorbeeld door de deling op te vatten als een verhouding om de deling zo om te zetten in een deling waar geen breuken meer in voorkomen. (Een deling als 8 -- : -- wordt dan omgezet in : 5 door deeltal en delen met vier 2 te vermenigvuldigen.) 5 5 5 Procedures (differentieel) 5
Routinematig optellen en aftrekken van kommagetallen De leerling kan voor het optellen en aftrekken van kommagetallen gebruik maken van de voor gehele getallen ontwikkelde procedure, door rekening te houden met de positie van de komma. Routinematig vermenigvuldigen en delen van kommagetallen De leerling kan voor het vermenigvuldigen en delen van kommagetallen gebruik maken van de voor gehele getallen ontwikkelde procedures, door de komma s achtereenvolgens weg te laten en terug te plaatsen. Routinematig omzetten van verhoudingen De leerling kan de verhoudingstabel op een standaardmanier gebruiken om een getallenpaar om te zetten in een equivalent getallenpaar, bijvoorbeeld via één vaste tussenstap. Voorbeeld De leerling bepaalt hoeveel procent 75 van de 625 geënquêteerden is, via een tussenstap, ja-stemmers 75 0,28 28 geênquêteerden 625 00 Routinematig rekenen met procenten De leerling kan berekenen hoeveel het deel is dat bij een gegeven percentage van een geheel behoort, bijvoorbeeld door eerst de waarde van procent te berekenen en het resultaat dan met het percentage te vermenigvuldigen, of door het percentage op te vatten als een factor en het geheel daarmee te vermenigvuldigen. De leerling kan bovendien een percentage berekenen wanneer het deel en het geheel gegeven zijn; bijvoorbeeld door het deel en het geheel op elkaar te delen en de uitkomst te vermenigvuldigen met 00, of door eerst % van het geheel te berekenen en dat op het deel te delen. 6 Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten
noten Zie ook de TAL-brochure Hele Getallen Bovenbouw Basisschool. Procedures (differentieel) 7
8 Tal-uitwerking einddoelen breuken, verhoudingen, kommagetallen en procenten