W1AARDER NG VAN VASTGOEDOPT

W1AARDER NG VAN VASTGOEDOPT ANALYSE EN TOEPASSING VAN HET OPTIEWAARDERINGSMODEL VAN BLACK EN SCHOLES VOOR DIRECTE VASTGOEDBELEGGINGEN Stichting voor Belegging- en Vastgoedkunde De Postdoctomle Opleiding Vastgoedkunde drs. G.J.H. Boeve Begeleiders: drs. G.A. Vos (SBVIUvA) Prof. dr. B. J. M. Werker (KUB) ir. F.G. van Hoeken MRE MRICS (SBVIDTZ Zadelhoff v.o. f.) Rhenen, augustus 2002

Inhoudsopgave... 2.. I. Inlezdzng....e.S...... 3 1.1 Achtergrond en vraagstelling nlasterproof... 3 1.2 Onderzoeksopzet en opbouw van de masterproof... 5 2.... Optie waardenngstheomeen... 7 2.1 Inleiding... 7 2.2 Wat is een optie?... 8 2.3 Intrinsieke waarde en tijdwaarde... 10 2.4 De put-call-pariteit... 12 2.5 Het binomiaal model... 14 2.6 Black en Scholes... 17 2.7 Conclusie... 20 3. Black en Scholes en de vastgoedpraktijk... 21 3.1 Inleiding... 21 3.2 Eigenschappen van vastgoedbeleggingen... 21 3.3 Het aangepaste model van Black en Scholes... 23 3.4 Conclusie... 27 4. Het aangepaste optiemodel toegepast... 28 4.1 Inleiding... 28 4.2 De invoervariabelen... 28 4.3 Toepassing van het optiemodel... 33 4.4 Conclusie... 37.. 5. Beperkingen en mogelqkheden... 38 5.1 Inleiding... 38 5.2 Kwalificatie van het optiemodel... 38 5.3 Motieven voor het afsluiten van vastgoedopties... 39 5.4 De reële optietheorie... 41 6. Overwegingen en conclusies... 47 6.1 Overwegingen... 47 6.2 Conclusies... 48 Literatuur / bronnen... 51

1. INLEIDING 1.l ACHTERGROND EN VRAAGSTELLING MASTERPROOF In de afgelopen twee decennia is het aantal nieuwe financiële instrumenten explosief gegroeid. Deze groei heeft zich vooral voorgedaan bij instrumenten die bedoeld zijn om bescherming te bieden tegen grote schommelingen van renteniveaus, aandelen- en valutakoersen. Het is maar ten dele waar dat alle geïntroduceerde financiële instrumenten die de voorgaande bescherming beogen, daadwerkelijk nieuw zijn. Dikwijls wordt een financieel instrument als nieuw gepresenteerd, terwijl het niets anders is dan een combinatie van twee of meerdere bestaande instrumenten. Het motief voor het innoveren en optimaliseren van financiële instrumenten kan met name worden teruggebracht tot één gemeenschappelijk oogmerk, namelijk het vergroten van de flexibiliteit in het financiële management. Deze vergrote flexibiliteit wordt veroorzaakt doordat financiële instrumenten tot op zekere hoogte de mogelijkheid bieden om het risico-rendementsprofiel van een beleggingspositie te manipuleren in een door de belegger gewenst richting. Logischerwijs zien we analoog aan de ontwikkeling van nieuwe financiële instrumenten een ruime belangstelling voor bestaande analysemethoden. De basis voor een adequaat vermogensbeheer bestaat immers mede uit een fundamenteel inzicht in modellen waarmee het (verwachte) rendement en de hierbij behorende risico's kunnen worden gekwantificeerd. Het ligt in de aard van ons maatschappelijk systeem om dergelijke analysemodellen continue te verfijnen. In deze masterproof wordt een poging gedaan om te beoordelen in hoeverre een specifiek onderwerp van deze vergaarde kennis kan worden toegepast op commercieel vastgoed. Hierbij wordt de aandacht gericht op de toepassingsmogelijkheid van één van de meest succesvolle financiële innovaties, namelijk de optie. Het motief voor het schrijven van een masterproof over het onderwerp vastgoedopties hangt nauw samen met ontwikkelingen in de vastgoedpraktijk. Geconstateerd kan worden dat koop- en verkoopopties op vastgoed in de praktijk veelvuldig voorkomen. Gedacht kan worden aan koopoptieclausules in huurovereenkomsten en optierechten gekoppeld aan sale-and-lease-back'-constructies. Over de waardering van deze opties - als deze al separaat worden gewaardeerd - is echter opvallend weinig bekend, laat staan dat er sprake is van een adequate onderbouwing hiervan. In deze masterproof staat de waardering van deze vastgoedopties centraal. Voor het gekozen onderwerp moet echter worden onderkend dat, hoewel er onmiskenbaar praktische toepassingsmogelijkheden bestaan, een adequate waardering van vastgoedopties wordt beperkt door de specifieke kenmerken van deze beleggingscategorie. Deze masterproof pretendeert deze kenmerken te duiden en te kwalificeren, waarna een eerste aanzet wordt gegeven voor de waardering van de vastgoedoptie. Dat de belangstelling voor het thema vastgoedopties verder reikt dan slechts theoretische motieven blijkt uit de concrete behoefte die momenteel bestaat voor het toepassen van dit

financiële instrument. Deze motieven komen deels overeen met vergelijkbare motieven die beleggers in aandelen ertoe bewegen om optiecontracten af te sluiten, zoals de aanpassing van het risico-rendementsprofiel van een beleggingspositie. Daarnaast zijn er meer vastgoedgerelateerde motieven te onderkennen die samenhangen met de specifieke karakteristieken van het beleggingsmedium vastgoed. Zo is het mogelijk om met behulp van de optietheorie inzicht te verkrijgen in de waarde die kan worden toegekend aan de mogelijkheid om een vastgoedontwikkeling gedurende een zekere periode uit te stellen. De theoretische achtergrond waarop deze benadering is gebaseerd staat bekend als de Reële Optie Theorie. Weer een ander motief voor het gebruik van vastgoedopties kan zijn gelegen in het profiteren van de bestaande belastingwetgeving. Waarderingsmodellen voor de bepaling van de waarde van vastgoedopties bestaan op dit moment nog niet in Nederland. Een mogelijke benadering is door vastpoedopties te waarderen naar analogie van optiewaarderingsmoddlen die zijn ontwikkeld op basis van de karakteristieken van de geïnstitutionaliseerde aandelenmarkt. In dit kader kan met name worden gedacht aan het optiewaarderingsmodel van Black en Scholes, welk model momenteel een algemeen aanvaarde en gehanteerde benchmark verschaft voor de bepaling van de premiewaarden van een aandelenoptie. Interessant is om te onderzoeken in hoeverre dit model kan worden toegepast op vastgoedobjecten. Hierbij dient kritisch te worden stilgestaan bij alle impliciete en expliciete veronderstellingen die in het model van Black en Scholes worden gemaakt, en de repercussies van deze theoretische veronderstellingen op de toepasbaarheid op vastgoedbeleggingen. Het centrale doel van dit onderzoek bestaat uit het bepalen van de mate van toepasbaarheid van het optiewaarderingsmodel van Black en Scholes op de vastgoedmarkt, inclusief de modelmatige nuanceringen die in navolging hiervan zijn ontwikkeld (ondermeer door Merton, Boyle en Vorst). Het onderzoek beperkt zich tot commerciële, courante en directe vastgoedbeleggingen, zodat gebruik kan worden gemaakt van beschikbare marktgegevens (waaronder de database van DTZ Zadelhoff v.o.f. en de ROZ-IPD) op grond waarvan historische cijferreeksen min of meer valide in kaart kunnen worden gebracht. Secundair doel van dit onderzoek is om de theoretische en praktische beperkingen van het model van Black en Scholes in relatie tot de vastgoedmarkt bloot te leggen, waarna op grond hiervan wordt beschouwd op welke wijze en met welke noodzakelijke aannames dit optiewaarderingsmodel dient te worden aangepast. Tenslotte zal worden getracht om de voornoemde veronderstellingen te duiden, te beoordelen en, daar waar mogelijk, te optimaliseren in het kader van een verbeterde toepasbaarheid van het optiewaarderingsmodel. Het voorgaande vormt de aanleiding voor de navolgende onderzoeksvraag welke centraal staat in deze masterproof: Wat is de waarde van een vastgoedoptie?

In de uitwerking van deze masterproof zal het begrip 'waarde' zowel in kwantitatieve als in kwalitatieve zin aandacht krijgen. In de loop der jaren zijn er verschillende theorieën geïntroduceerd met behulp waarvan een optiewaarde kan worden vastgesteld. Deze masterproof beperkt zich tot het optiewaarderingsrnodel van Black en Scholes en de hiervan afgeleide modellen. De reden hiervoor is dat deze benaderingswijze internationaal wordt erkend als het fundamentele waarderingsmodel voor opties. Bijkomend voordeel is dat de theoretische onderbouwing van dit model en haar afleidingen inmiddels goed zijn uitgekristalliseerd. Het waarderingsmodel van Black en Scholes is ontwikkeld voor beursgenoteerde aandelen, maar door de universele en wetenschappelijk verantwoorde benadering zou het mogelijk moeten zijn om de beginselen van het waarderingsmodel toe te passen voor afwijkende beleggingscategoriekn. In deze masterproof zal in dit verband worden onderzocht of het model van Black en Scholes kan worden toegepast crp directe beleggingen in bedrijfsvastgoed. De navolgende vraag is daarom afgeleid van de centrale onderzoeksvraag : In hoeverre kan het optiewaarderingsmodel van Black en Scholes, inclusief de modelmatige nuanceringen die in navolging hiervan zijn ontwikkeld, worden toegepast op directe beleggingen in commercieel bedrijfsvastgoed? Voor een goede afbakening van de voorgaande afgeleide vraag worden twee belangrijke begrippen hierna toegelicht: Met directe vastgoedbeleggingen wordt gedoeld op feitelijke en rechtstreekse investeringen in vastgoedobjecten. Dit in tegenstelling tot het indirect beleggen in vastgoed, waar als aandeelhouder wordt geparticipeerd in een collectief vermogen van een beleggingsmaatschappij welke zich toelegt op het beleggen in vastgoed. Commercieel bedrijfsvastgoed wordt verhandeld op de beleggingsmarkt, waarbij het investerings- of dispositiemotief is gebaseerd op een bedrijfseconomische rendements- en risico-afweging. Bij bedrijfsvastgoed zijn grofweg drie vastgoedcategorieën te onderscheiden, te weten kantoren, detailhandel en bedrijfsruimte. 1.2 ONDERZOEKSOPZET EN OPBOUW VAN DE MASTERPROOF Het volgende hoofdstuk (hoofdstuk 2) van deze masterproof bestaat uit een literatuurstudie op basis waarvan een algemene inventarisatie en analyse van bestaande optietheorieën aan de orde worden gesteld. In dit kader zal relatief uitgebreid worden stilgestaan bij het optiewaarderingsrnodel van Black en Scholes. De theoretische uitgangspunten van dit model worden in de volgende hoofdtsukken geplaatst in de specifieke context van de commerciële vastgoedmarkt.

In hoofdstuk 3 wordt ingegaan op enkele karakteristieke, min of meer triviale kenmerken van directe vastgoedbeleggingen. Onderzocht wordt hoe deze kenmerken zich verhouden tot de theoretische uitgangspunten van het model van Black en Scholes. Op grond van de constatering dat het oorspronkelijke optiemodel van Black en Scholes op enkele cruciale onderdelen tekortschiet bij de toepassing op direct beleggingsvastgoed, wordt een aangepast optiewaarderingsmodel geïntroduceerd. Dit aangepaste model is in feite een verfijning en uitbreiding van het oorspronkelijke economische model van Black en Scholes. Deze modelmatige nuanceringen blijken noodzakelijk te zijn in verband met enkele kenmerken van vastgoed die evident afwijken van meer geïnstitutionaliseerde financiële producten als aandelen en obligaties. In hoofdstuk 4 wordt het aangepaste optiewaarderingsmodei toegepast op een praktijkvoorbeeld. Naar aanleiding van de modeluitkomsten komen een aantal veronderstellingen aan de orde die bijdragen aan de verbetering van de toepasbaarheid van het model. In hoofdstuk 5 worden de beperkingen en de toepassingsmogelijkheden van het optiewaarderingsmodel nader gekwalificeerd waarna deze masterproof in hoofdstuk 6 wordt afgesloten met de conclusies.

2.1 INLEIDING In dit hoofdstuk komen enkele fundamentele inzichten van optiewaarderingen aan de orde die in de literatuur worden onderscheiden. Nadat in de eerste paragraaf wordt ingegaan op de elementaire begripsvorming van het optieproduct, wordt in de daaropvolgende paragrafen ingegaan op deze basisprincipes van de optiewaardering. In de afsluitende paragraaf worden deze basisprincipes met elkaar gecombineerd, uitmondend in het optiewaarderingsmodel van Black en Scholes. De gedachte dat een optie een innovatie is van de laatste decennia dient te worden gerelativeerd. Het oudst bekende voorbeeld komt van de optie-theoreticus professor Hirschfeld, die dat voorbeeld in de Bijbel vindt, en zelfs al in het begin daarvan: Genesis 29:15. Laban is de vader van twee dochters; Lea met de fletse ogen, en Rachel, schoon van gestalte en schoon van uiterlijk. Jacob koopt een call-optie van Laban met als onderliggende waarde de schone Rachel. De prijs hiervan bedraagt zeven jaren arbeid, nadien heeft Jacob het recht zijn optie uit te oefenen. En zo geschiedde, na zeven jaren arbeid besluit Jacob de optie met onderliggende waarde Rachel uit te oefenen. Echter, Genesis 29:15 vermeldt: 'maar des morgens, zie, het was Lea...'. (Om dit soort wanpraktijken te voorkomen is later de Clearing Corporation opgericht.) Jacob kocht nogmaals eenzelfde optie voor eenzelfde prijs, in de wetenschap dat Laban slechts twee dochters bezat. Uiteindelijk kreeg hij ook Rachel in zijn bezit, die bij hem kinderloos bleef, terwijl Lea hem drie zonen baarde. Het duurde na het voorgaande voorval nog vele jaren voordat de optiemarkt weer op gang zou komen. Een tijd lang zijn opties verboden geweest wegens de misvatting van diverse regeringen dat handelen in opties een soort kansspel is. Vanaf 1934 is handelen in opties in de Verenigde Staten echter formeel toegestaan, en tot aan 1973 groeit de markt geleidelijk. Deze markt, de Over the Counter-Markt, groeit zo langzaam omdat aan het kopen en verkopen van de opties hoge kosten verbonden zijn. Bovendien was het zeer gecompliceerd op de opties tussentijds, dat wil zeggen gedurende de looptijd van de optie, te verhandelen. Op 26 april 1973 gaat de Chicago Board Options Exchange, de CBOE, open, en sindsdien groeit de optiehandel bijzonder snel. Het succes van de CBOE berust op een aantal veranderingen van de markt, te weten: Q Q e Het creëren van een centrale marktplaats waar de opties ook tussentijds verhandeld kunnen worden; Het instellen van een Clearing Corporation, die garant staat voor eventueel in de toekomst te verrichten betalingen; Het in het leven roepen van marketmakers, mensen die uitsluitend voor eigen rekening opereren en tot taak hebben om indien gewenst bij een geplaatste order als tegenpartij te fungeren, zodat een optie altijd verhandeld kan worden;

0 Het vereenvoudigen van de overdracht - het eigendom van een optie wordt namelijk niet meer aangetoond aan de hand van allerlei certificaten, maar wordt van tijd tot tijd bevestigd door een afschrift; 0 En tenslotte zijn de optiecontracten gestandaardiseerd, hetgeen inhoud dat er slechts opties met bepaalde uitoefendata en uitoefenprijzen in omloop zijn, wat ook de transactiekosten vermindert. In navolging van het voorgaande model zijn er vele optie-instituten in diverse landen opgericht, waaronder de European Options Exchange in Amsterdam. Sinds de opening hiervan in 1978 heeft de optiebeurs een enorme groei doorgemaakt. Niet in de laatste plaats hadden de voorgaande veranderingen tot gevolg dat er steeds meer inzicht ontstond in optieprijzen. Tegelijkertijd ontstond er vanuit de wetenschappelijke wereld een toenemende motivatie om met behulp van economisch verantwoorde modellen opties te kunnen waarderen. Voor vastgoed bestaan tot op de dag van vandaag geen instellingen die vergelijkbare faciliteiten bieden zoals hiervoor omschreven. Er worden niet of nauwelijks optierechten op vastgoed verkocht, laat staan dat er een beurshandel of een Clearing Corporation in vastgoedopties bestaat waar door open vraag en aanbod optieprijzen tot stand komen en openbaar worden gemaakt. Dit ontbreken van een feitelijk referentiekader in de markt, alsmede het ontbreken van een algemeen toegepast optiewaarderingsmodel voor vastgoed, maakt de controleerbaarheid en validiteit van uitspraken over dit onderwerp uit wetenschappelijk oogpunt extra gecompliceerd. Een belangrijke veronderstelling die in het kader van de optieprijsvorming wordt gemaakt is dat in een open marktsituatie het marktmechanisme automatisch zorgdraagt voor evenwichtsprijzen. Dit marktmechanisme voorkomt dat door risicoloze tussenhandel 'iets voor niets' kan worden verkregen. In de literatuur wordt hiernaar wel verwezen als het no free lunch-principe. Dit principe is cruciaal voor de waardering van opties, aangezien juist hierdoor de onderliggende waarden van opties kunnen worden gedetermineerd in termen van spotprijzen en andere observeerbare variabelen. Vooruitlopend op hoofdstuk 3 wordt hier volstaan met de opmerking dat juist voor vastgoed een dergelijke spotmarkt ontbreekt, hetgeen voor een belangrijk deel verklaart waarom derivaten die op vastgoed zijn gebaseerde nog nauwelijks toepassing vinden. 2.2 WAT IS EEN OPTIE? Een optie is een overeenkomst tussen twee partijen van het recht om op of voor een bepaalde afloopdatum een zekere onderliggende waarde te kopen (een call-optie) dan wel te verkopen (een put-optie) tegen een van tevoren vastgestelde prijs, de uitoefenprijs. De onderliggende waarde kan bijvoorbeeld zijn een aandeel, een obligatie, een vastgoedobject of een bepaalde hoeveelheid goud of olie. In een optie-overeenkomst worden de optievoorwaarden vastgelegd, welke in ieder geval bestaan uit de identificatie van de onderliggende waarde, de looptijd van de optie, de uitoefenprijs van de optie en de actuele optieprijs.

Voor het waarderen van opties in het algemeen onderscheiden we twee soorten opties, namelijk de Europese en de Amerikaanse. Elk verband met de plaats van het verhandelen van de opties berust op toeval; zowel in Europa als in de Verenigde Staten wordt de Amerikaanse optie verhandeld. De Amerikaanse optie is een optie die op elk tijdstip voor de uitoefendatum of op de uitoefendatum zelf uitgeoefend kan worden. De Europese optie daarentegen kan niet tussentijds uitgeoefend worden, alleen op de expiratiedatum zelf. Eén van de gevolgen hiervan is dat Amerikaanse opties ten opzicht van zijn Europese equivalent nooit minder waard is dan deze Europese optie. De Europese optie is door zijn structuur veel inzichtelijker dan de Amerikaanse. Bovendien is het veelal mogelijk de waarde van de Amerikaanse optie uit te drukken in de waarde van de Europese optie. De prijs van een Amerikaanse call op een aandeel dat geen dividend betaalt, is bijvoorbeeld gelijk aan die van een voor het overige gelijke Europese call (Wull, 1991). Voor puts in het algemeen en voor opties op aandelen waarop dividend uitgekeerd wordt bestaat een dergelijk verband overigens in veel mindere mcite. De koper van een optie koopt een recht tot koop of verkoop van een onderliggende waarde. Degene die dit recht verleent - dit recht uitvoert - is de schrijver (verkoper) van de optie. Deze schrijver is gebonden aan verplichte koop of verkoop indien de koper van de optie van zijn optierecht gebruik maakt. Voor deze toekomstige tegenprestatie ontvangt de schrijver op het moment van sluiten van de optie een premie. Deze premie kan worden gezien als de prijs die de koper van de optie dient te betalen aan de schrijver van het optierechtr. De schrijver zal immers een vergoeding wensen voor zijn plicht tot koop of verkoop van de onderliggende waarde tegen de uitoefenprijs. In financiële termen: Er komt een optie tot stand met bijvoorbeeld een aandeel of een vastgoedobject als onderliggende waarde op basis van een overeengekomen expiratieprijs en expiratiedatum. De schrijver - de verkoper van dit recht - ontvangt hiervoor een premie welke wordt betaald door de koper van deze optie. In de navolgende paragrafen wordt verder ingegaan op de waarderingsgrondslag van deze optieprijs. De koper van een optie maakt alleen gebruik van zijn recht indien dit leidt tot een positief resultaat. In financiële termen: De optie dient in the money te zijn om uitgeoefend te worden. At the money - dan wel out of the money-opties worden als gevolg van een nihil respectievelijk negatief resultaat niet uitgeoefend. Zolang de marktprijs van de onderliggende waarde bekend is geldt per definitie dat een optierecht een positieve waarde of geen waarde heeft, maar nooit een negatieve waarde. Een optie vertegenwoordigt immers een recht en geen plicht. Wanneer het ongunstig zou zijn de optie uit te oefenen, wordt de houder van de optie door niemand verplicht om deze uit te oefenen. Voor de koper van het optierecht kan het verlies dus nooit meer bedragen dan het oorspronkelijk in de aankoop van de optie geïnvesteerde bedrag.

2.3 INTRINSIEKE WAARDE EN TIJDWAARDE In deze en de volgende paragrafen worden ondermeer de navolgende symbolen gehanteerd: S = de prijs van een onderliggende waarde, dat wil zeggen de actuele marktprijs van bijvoorbeeld een aandeel of een vastgoedobject; X = de uitoefenprijs of expiratieprijs, dat wil zeggen de prijs waarvoor de koper van de optie het recht heeft om de onderliggende waarde te kopen of te verkopen; C = de prijs van een call-optie, ook wel optiepremie genoemd; P = de prijs van een put-optie; T = de looptijd van het optierecht; r = het continue risicovrije renteperunage met looptijd T. Voor wat betreft de status van de actuele waarde van een optierecht beperkt deze zich tot één van de drie volgende: in the money, at the moneyy of out of the money. Een optie wordt geacht in the money te zijn indien uitoefening van deze optie leidt tot een positieve kasstroom bij de optiehouder in geval van directe uitoefening van deze optie. Overeenkomstig hieraan leidt een at the money-optie tot een kasstroom van nihil en een out of the money-optie tot een negatieve kasstroom indien deze direct zou worden uitgeoefend. In symbolen: Een call-optie is in the money indien S > X, at the money indien S = X en out of the money indien S < X. Omgekeerd equivalent hieraan is een put-optie in the money indien S < X, at the money indien S = X en out of the money indien S > X. Zoals hiervoor al aangegeven zal een optie alleen worden uitgeoefend indien deze in the money is. Een in the money-optie wordt in een geïnstitutionaliseerde markt automatisch via cashsettlement afgewikkeld op de expiratiedatum indien deze voorafgaand hieraan nog niet is uitgeoefend. De intrinsieke waarde van een optie wordt gedefinieerd als het maximum van nihil en de waarde van de optie indien deze direct wordt uitgeoefend. In symbolen: Voor een calloptie is de intrinsieke waarde maximaal (S - X, O). Voor een put-optie is deze maximaal (X - S, O). De waarde van een in the money Amerikaanse optie is minimaal gelijk aan de intrinsieke waarde aangezien de houder van de optie deze intrinsieke waarde kan realiseren door directe uitoefening van het optierecht. In veel gevallen wordt echter door houders van dergelijke opties overwogen om te wachten met uitoefening. Het optierecht wordt in dat geval geacht 'tijdwaarde' te hebben. Om het begrip tijdwaarde inzichtelijk te maken is van belang te beseffen dat er naast de intrinsieke waarde die kan worden gerealiseerd in geval van directe uitoefening, nog een extra waarde kan worden toegekend aan het optierecht. Deze extra waarde is de tijdwaarde en houdt verband met het recht van de optiekoper zijn recht nog niet per direct uitoefent. De sommatie van deze tijdwaarde en de intrinsieke waarde vormt de totale waarde van een optie. Analoog hieraan kan worden gesteld dat de tijdwaarde van een optie gelijk is aan het verschil tussen de daadwerkelijke optieprijs in de markt (dus de optiepremie) en de intrinsieke waarde van deze optie. Het begrip tijdwaarde is een ongelukkige woordkeuze in de terminologie van de optietheorie, aangezien deze tijdwaarde van de optie kan worden verward met de tijdwaarde van geld. Binnen de context van de optietheorie wordt met tijdwaarde echter

simpelweg gedoeld op het verschil tussen de actuele optieprijs en de voornoemde intrinsieke waarde van de optie in geval van directe uitoefening. De tijdwaarde betreft het deel van de optiewaarde dat kan worden toegekend aan het feit dat er nog tijd beschikbaar is voor uitoefening van de optie. In figuur 2.1 verduidelijkt de begrippen intrinsieke waarde en tijdwaarde. Figuur 2.1 De prijs van een call-optie voor de expiratie Optieprijs (C) Prijs van de call-optie / Out of the money In the money De tijdwaarde van een optie bestaat uitsluitend uit speculatieve waarde. Zo lang de optiehouder kan kiezen om het optierecht nog niet uit te oefenen, zal zijn kasstroomresultaat niet slechter zijn dan nihil. Zelfs als een call-optie op dit moment out of the money is, zal deze desondanks voor een positieve prijs worden verkocht aangezien er een winstpotentie bestaat in geval de prijs van de onderliggende waarde stijgt, terwijl er in feite geen extra verlies wordt geleden indien de prijs van de onderliggende waarde daalt. De 'speculatieve' waarde kan dus worden beschouwd als de waarde van het recht om het optierecht nog niet uit te oefenen indien deze actie tot een negatieve kasstroom zou leiden. Het recht om de call-optie uit te oefenen, in tegenstelling tot de plicht hiertoe, verschaft in dit geval een verzekering tegen negatieve prijsontwikkelingen van de onderliggende waarde. Door de verzekering tegen een negatief rendement leidt een hoog risicoprofiel van de onderliggende waarde zelfs tot een grotere kans dat de optie wordt uitgeoefend en een grotere kans op een hoger rendement dan een optie met gelijke voorwaarden maar met een lager risicoprofiel. De eerste optie zal daarom in de markt tegen een hogere prijs worden verhandeld dan de tweede. Op overeenkomstige wijze bestaat ook een verband tussen de waarde van de optie en de overige waardebeïnvloedende variabelen. Deze worden weergegeven in íïguur 2.2.

Fiauur 2.2 Koers van het onderliggende aandeel, S De uitoefenprijs, X De volatiliteit van het aandeel, a De termijn tot de expiratiedatum, T Het risicovrije rendement, rf Verhoging Verlaging Verhoging Verhoging Verhoging ie: -- -m- -a -"-m - -* -v- -"-n- M e -p Indien de prijs van de onderliggende waarde stijgt, wordt de kans dat de call-optie wordt uitgeoefend op de expiratiedatum groter. In het geval van deze 'gegarandeerde' uitoefening van het optierecht, zal de speculatieve waarde afnemen. Als de prijs van de onderliggende waarde nog verder stijgt, dan wordt de kans op daadwerkelijke uitoefening op de expiratiedatum van de optie steeds groter. Het gevolg hiervan is dat de speculatieve waarde daalt. Bij een verdere stijging van de onderliggende waarde zal de waarde van het optierecht steeds meer de contante intrinsieke waarde van de optie benaderen, dat wil zeggen de actuele marktprijs van de onderliggende waarde minus de contante waarde (present value, hierna: PV) van de uitoefenprijs van deze onderliggende waarde; in symbolen: C = S - PV(X). De in de optie-overeenkomst vastgestelde uitoefenprijs voor de onderliggende waarde X moet contant worden gemaakt om de waarde van deze toekomstige koop of verkoop te bepalen op het huidige moment. Door op deze wijze te calculeren kan de uitoefenprijs van de onderliggende waarde worden vergeleken met de actuele marktprijs van deze onderliggende waarde, op basis waarvan vervolgens de rekenkundig juiste intrinsieke waarde wordt vastgesteld. In de volgende paragraaf, waarin de put-call-pariteit aan de orde komt, wordt dit verder rekenkudig onderbouwd. In het vervolg van dit hoofdstuk wordt, tenzij anders vermeld, het instantane, continue rendement gehanteerd (continuously compounded interest) voor de waardering van opties. Door toepassing hiervan wordt op continue basis rekening gehouden met het effect van samengestelde rente op het gehanteerde rendement, welke als variabele wordt gehanteerd in de modellen. Het voordeel van het hanteren van het continue rendement is dat hierdoor berekeningen met willekeurige fracties van het toegepaste rendement mogelijk worden. De voorgaande formule; C = S - PV(X) wordt op grond hiervan herschreven tot: 2.4 DE PUT-CALL-PARITEIT Tot nu toe is alleen aandacht geschonken aan de waardering van call-opties. De waardering van put-opties kan in veel gevallen sterk worden vereenvoudigd door deze af te leiden van de prijs van call-opties. Dit is een gevolg van het directe verband dat bestaat tussen deze twee optievormen, welk verband tot uitdrukking kan worden gebracht middels de zogenaamde put-call-pariteit. Deze pariteit maakt de waardering van een put zeer eenvoudig indien de waarde van de call bekend is. Dit verband wordt duidelijk als de volgende portefeuille wordt samengesteld: Het verkopen van een call, het kopen van een put, beide met dezelfde uitoefenprijs X en

looptijd T, het kopen van de onderliggende waarde tegen S en het en het lenen van een bedrag gelijk aan de contante waarde van de uitoefenprijs, derhalve XeqT. Indien een bedrag Xe-IT wordt geleend, zal op de expiratiedatum van de optie, na T jaar, precies X moeten worden terugbetaald; dat is het geleende bedrag samen met de daarover betaalde rente. De kaspositie na het aangaan van de voornoemde portefeuille is gelijk aan: Voor het schrijven van de call wordt namelijk C ontvangen. Voor het kopen van de put wordt P betaald. Evenzo wordt voor het kopen van de onderliggende waarde S betaald en wordt er een bedrag geleend (en dus ontvangen) van XeqT. Het no free lunch-principe vertelt ons nu dat het bedrag aan het einde van looptijd gelijk dient te zljn aan nihil. ZOU dlt niet het geval zijn dan is mogelijk om bijvoorbeeld een positief bedrag te ontvangen waarvoor op een later tijdstip niets hoeft te worden ingeleverd, kortom we zouden 'iets voor niets' krijgen. De volgende tabel maakt dit inzichtelijk, waarbij So staat voor de prijs van de onderliggende waarde op het huidige moment en ST voor de prijs van de onderliggende waarde op de expiratiedatum. Figuur 2.3 Openingsopbrengst op T=O Koers op de expiratiedatum T ----PP--".- -W- --*-------- Verkoop call Koop put-optie Op basis van de bovenstaande tabel kan worden geconcludeerd dat de totale waarde van de positie op het moment van aankoop gelijk is aan nul. In dit kader worden overigens tussentijdse dividendbetalingen, vervroegde uitoefening en transactiekosten buiten beschouwing gelaten. Bovendien wordt ervan uitgegaan dat voor de rente om te lenen en om uit te lenen één en hetzelfde tarief geldt en dat elke risicoloze belegging evenveel moet opbrengen als de rente op het geïnvesteerde bedrag. Gegeven deze theoretische context verschaft de put-call-pariteit dus een relatie tussen de prijs van een call en die van een put met een gelijke uitoefenprijs en looptijd, namelijk: ofwel Dit verband heet de put-call-pariteit. Met de put-call-pariteit is het dus mogelijk voor Europese opties de waarde van een call te berekenen uit die van een analoge put, en de waarde van een put te berekenen uit een analoge call. Wanneer de waarde van de één

bekend is staat de waarde van de ander vast. Afwijkingen hiervan bieden in beginsel arbitragekansen. Terugkomend op de eerste alinea van deze paragraaf kan - verondersteld dat de waarde van een call-optie bekend is - de waarde van een put-optie dus worden berekend middels de formule: 2.5 HET BINOMIAAL MODEL Voor een goed begrip van de optiewaarderingsmodeilen die momenteel worden toegepast is substantiële kennis van wiskunde en statistiek een voorwaarde. Met behulp van het binomiaal model kan echter op een relatief eenvoudige wijze waardevol inzicht worden verschaft in de waardering van opties in het algemeen en de toepassing van het model van Black en Scholes in het bijzonder. In het vervolg van deze en de volgende paragraaf wordt als onderliggende waarde uitgegaan van een aandeel. Het no free lunch-principe stelt dat de oorspronkelijke investeringen in twee verschillende portefeuilles gelijk moeten zijn indien ook de opbrengst van deze portefeuilles op de expiratiedatum voor alle mogelijke koersen van het aandeel gelijk is. In dit verband wordt ook wel gesproken van equivalente portefeuilles. Het voorgaande principe is evident voor de toepassing en het inzicht in het binomiaal model. Met behulp van het binomiaal model wordt de waarde van een optie voorspeld op basis van de veronderstelling dat een aandeelkoers zich slechts in twee richtingen ontwikkelt binnen een bepaalde (korte) periode; er is een kans dat de koers stijgt met een bepaald bedrag en er is een kans dat de koers daalt met een bepaald bedrag. Op overeenkomstige wijze kan de looptijd van een optie worden opgedeeld in een meerdere periodes. Aan het eind van elke periode verspringt de koers van het aandeel naar boven of naar beneden met directe gevolgen voor de waarde van de optie. De kansen op stijging en daling mogen verschillen, evenals de bedragen waarmee dat gebeurt. Een voorbeeld: De koers van een aandeel één periode voor de expiratiedatum van een calloptie bedraagt f 100. Op de expiratiedatum verdubbelt de koers naar f 200 óf halveert tot 50. Stel verder dat de uitoefenprijs van een call-optie met een looptijd van één jaar 125 bedraagt en de rente is bepaald op 8 %. Op de expitatiedatum zal de call dus, gegeven de twee mogelijke koersontwikkelingen, een waarde vertegenwoordigen van 75 indien de koers van het aandeel verdubbelt naar f: 200, dan wel een waarde vertegenwoordigen van O indien de koers van het aandeel halveert tot f 50. Gegeven de twee veronderstelde koersontwikkelingen van het aandeel in dit voorbeeld, zijn per definitie de eindwaarden van de call gedetermineerd. Dit gegeven maakt het mogelijk om de waarde van de call op T = O te berekenen. Om dit inzichtelijk te maken wordt een portefeuille samengesteld, bestaande uit een vooraf bepaalde verhouding van aandelen, opties en geleend geld. De prijs van de call op T = O wordt vervolgens berekend door deze prijs als onbekende variabele op te nemen in de samengestelde

portefeuille. Deze onbekende kan worden berekend aangezien alle overige variabelen bekend zijn. Om de waarde van de call-optie op t = O te kunnen bepalen, is het noodzakelijk dat er een portefeuille wordt samengesteld waarvan de eindwaarden op T = 1 volkomen identiek zijn, ongeacht de koersverdubbeling of halvering van het aandeel uit het voorbeeld. De verhouding van de hoeveelheid aandelen ten opzichte van het aantal calls in de portefeuille kan worden berekend met behulp van de zogenaamde hedge-ratio middels de formule: H = (C' - C-) / (S' - S-) waar H staat voor de hedge-ratio, C+ en C- voor de waarden van de cal1 in geval van stijging respectievelijk daling van de onderliggende aandelenkoers. en S' en S voor de twee mogelijke aandelenkoersen. De hedge-ratio van een optie geeft de verandering in de koers van deze optie in geval van een koerswijziging van het onderliggende aandeel met 1. Tegelijkertijd geeft de hedge-ratio het aantal benodigde aandelen aan om het prijsrisico van een hierbij behorende optie te kunnen hedgen. In het gegeven voorbeeld is op T = 1 sprake van twee mogelijke waarden van het aandeel en van de optie. De hierbij behorende hedge-ratio is: Deze uitkomst impliceert dat een portefeuille dient te worden samengesteld bestaande uit een half aandeel en één optie om tot een hedge-positie te komen. Het beleggingsresultaat van deze portefeuille op T = 1 wordt in de onderstaande figuur tot uitdrukking gebracht. Openingsopbrengst op T = -Pp-mv7m Koop '/z aandeel WP* - + -l1.-- -P- ---M-- P 25 + 25 P--P--- l.l.l.l.l.l.l.l. _l.l.l.l.l. Uit figuur 2.3 blijkt dat op T = 1 het resultaat van deze portefeuille + 25 bedraagt, ongeacht of de koers van het aandeel op dat moment 50 of 200 noteert. Dus door de gecreëerde hedge-positie bestaat er geen onzekerheid over het resultaat op t = 1. De waarde van deze 25 op T = 1 kan eenvoudig worden uitgedrukt in een waarde op t = 0, namelijk door contantmaking van 25 op basis van 8 % rente en een termijn van één jaar. Deze bedraagt: 25 1 (1,08) = 23,15. De binomiale waarderingsmethode is gebaseerd op de gedachte van replicatie van beleggingsposities, resulterend in equivalente portefeuilles. Dat wil zeggen dat twee verschillend samengestelde portefeuilles met hetzelfde beleggingsresultaat op T = 1 altijd dezelfde waarde dienen te hebben op T = O. Deze denkwijze vormt de basis voor de

meeste optiewaarderingsmodellen, inclusief het model van Black en Scholes dat in de volgende paragraaf aan de orde komt. Zo kan uit de hiervoor beschreven systematiek worden afgeleid dat het lenen van 23,15 en het kopen van een half aandeel op T = O equivalent is aan het kopen van een call. In formule: Immers, op T = 1 geldt per definitie dat de waarde van de gekochte call gelijk is aan de terugbetaling van de opgerente lening en de prijsontwikkeling van het aandeel, dus ongeacht of het onderliggende aandeel in prijs verdubbelt of halveert. Aangezien er geen onzekerheid bestaat over het resultaat op T = 1, zal deze positie dus niet kunnen leiden tot een positief of negatief beleggingsresultaat anders dan het risicovrije rendement. Anders gesteld: Door het kopen van een half aandeel, het schrijven van één call en het lenen van 23,15, alles op T = O, zal het resultaat op T = 1 per definitie gelijk zijn aan nul. In formule: ofwel; Hiermee is de waarde van de call-optie vastgesteld. Indien de prijs waarvoor deze call feitelijk wordt verhandeld afwijkt van 26,85, bestaat er de mogelijkheid om arbitragewinst te behalen. De in deze paragraaf berekende hedge-ratio vormt de grondslag voor de samenstelling van een portefeuille tot een hedge-positie. Deze positie voldoet echter maar één periode aangezien in de volgende periode deze hedge-ratio over het algemeen zal veranderen. Deze nieuwe ratio valt bij iedere koerswijziging van het aandeel te berekenen. Hierbij is het niet nodig te weten wat de kans op een koersdaling of een koersstijging precies is, alleen de hoogte van deze koersverandering is van belang. Met behulp van het principe van de equivalente portefeuille is het mogelijk om voor alle koersen één periode voor de expiratiedatum de waarde van de call te berekenen. Voor elk opvolgend tijdsinterval waarin de hedge-ratio wijzigt, kan dus op overeenkomstige wijze een portefeuille worden samengesteld die een perfecte hedge biedt voor het komende tijdsinterval. Door op deze wijze de portefeuillesamenstelling continue aan te passen aan de gewijzigde hedge-ratio, kan het beleggingsresultaat tot het moment van expiratie van de optie worden zekergesteld. Dit principe wordt ook wel aangeduid met dynamisch hegden. Ook het optiewaarderingsmodel van Black en Scholes is op dit principe gebaseerd.

2.6 BLACK EN SCHOLES In het verlengde van de uitgangspunten van de put-call-pariteit en de benadering van het binomiale model publiceerden Black en Scholes in 1973 een formule waarmee de waarde van een optie kan worden berekend. Zoals voor alle theoretische modellen is ook het model van Black en Scholes gebaseerd op een aantal veronderstellingen dat de werkelijke marktomgeving vereenvoudigt. Veel van deze veronderstellingen worden ook gehanteerd binnen het theoretisch kader van het binomiale model, zoals ondermeer: m Er zijn geen belastingen, transactiekosten of voorwaarden voor short gaan (dus ook geen margins). De rente wordt continu in rekening gebracht en het tarief om geld te lenen is gelijk aan het tarief waartegen geld wordt uitgeleend. Alle marktspelers zijn continu op de hoogte van de prijzen in de markt, welke bovendien doorlopend is geopend. De mogelijkheid om winst te realiseren door arbitrage wordt uitgesloten, afgezien van het risicovrije rendement. Er wordt gedurende de looptijd van de optie geen dividend uitgekeerd op het onderliggende aandeel. Black en Scholes voegden twee belangrijke veronderstellingen toe aan de bovenstaande, te weten: 0 Het risicovrije rendement is constant gedurende de looptijd van de optie. e De volatiliteit van het onderliggende aandeel is constant gedurende de looptijd van de optie. Het model van Black en Scholes is in zekere zin een uitbreiding van het binomiale model waarin door middel van dynamisch hedgen risicovrije portefeuilles kunnen worden samengesteld. Zoals in de vorige paragraaf beschreven is gedurende een korte tijdsperiode de prijs van een call-optie direct positief afhankelijk van de prijs van het onderliggende aandeel. Omgekeerd is de prijs van een put-optie direct negatief afhankelijk van de prijs van het onderliggende aandeel. In beide gevallen, wanneer een portefeuille op de juiste wijze is samengesteld uit opties en het onderliggende aandeel, wordt de winst of het verlies van de aandelenpositie altijd gecompenseerd door de winst of het verlies van de optiepositie, zodat de uiteindelijke waarde van de portefeuille aan het einde van deze korte periode met zekerheid is te bepalen. Er bestaat echter een belangrijk verschil tussen het binomiale model en het Black en Scholes-model. In het Black en Scholes-model is de samengestelde portefeuillepositie slechts risicovrij voor een zeer korte periode. Om deze risicovrije status te behouden is het noodzakelijk dat de posities in de portefeuille continue wordt aangepast door deze weer met elkaar in balans te brengen. Het rendement van deze risicovrije portefeuille zal gedurende de korte tijdsperiode gelijk moeten zijn aan het risicovrije rendement. Dit uitgangspunt vormt het fundament onder het optiewaarderingsmodel van Black en Scholes. In feite wordt het binomiale proces voortgezet totdat uiteindelijk de waarde van de optie op

het begintijdstip kan worden bepaald. Dit geeft een uitdrukking voor de prijs van de cal1 middels de zogenaamde binomiaalformule. Door op een geschikte wijze de limiet naar nul te brengen van de lengte van de periode waarin een koerswijziging van het onderliggende aandeel plaatsvindt, volgt de Black en Scholes-formule (Bodie, Kane en Markus, 2001): waarbij geldt: di = [In (So / X) + (r + o2 / 2)T] / o T" d~=di-ot" en waarbij geldt : N(d) = De cumulatieve waarschijnlijkheidsverdeling van een standaardnormale variabele. Ln = De natuurlijke logaritme. T = De looptijd tot de expiratiedatum van de optie (in jaren). r = Het continue renteperunage op een risicovrije investering met dezelfde looptijd als die tot de expiratiedatum van de optie. o = De standaarddeviatie van het continue samengestelde rendement van het aandeel op jaarbasis. Rekenkundig gezien weerspiegelt de functie N(d) de kans dat een willekeurige trekking uit een standaard normale verdeling minder is dan d. In feite kan dit worden gezien als de kansafhankelijke waarschijnlijkheid dat de optie in the money expireert en dus wordt uitgeoefend. Deze kans kan worden gevisualiseerd door middel van de oppervlakte onder de normaalcurve tot aan d, dus het gearceerde gebied in figuur 2.5. Figuur 2.5 Een standaardnormaal curve

De prijs van de optie heeft hier nog steeds de vorm van een equivalente portefeuille: So N(di) vertegenwoordigt de long-positie in het aandeel, XeqT N(d2) het geleende bedrag. Indien beide N(d)-termen gelijk zijn aan 1, dan is de kans dat de optie wordt uitgeoefend zeer groot. De waarde van de call-optie is in dat geval gelijk aan So - Xe-rT, hetgeen overeenkomt met de contante intrinsieke waarde van de optie die in paragraaf 2.3 aan de orde is gekomen. Deze constatering is logisch. Immers, indien uitoefening van het optierecht zeker is, dan bestaat er een recht op levering van een aandeel met een huidige prijs van So en een betaalverplichting ter grootte van de contante waarde van de uitoefenprijs, dus Xe-rT. Indien beide N(d)-termen gelijk zijn aan nul, dan is de kans dat de optie wordt uitgeoefend uiterst gering. Toepassing van vergelijking 2.1 leidt in dat geval dan ook tot een optiewaarde van nul. Ook voor waarden van N(d) die liggen tussen O en 1 verschaft de vergelijking 2.1 de waarde van de call-optie. In feite kan deze optiewaarde worden gezien als de contante waarde van het potentiële rendement van de call welke afhankelijk wordt gesteld van de waarschijnlijkheid dat de call in the money expireert. Op welke wijze wordt door middel van de N(d)-termen de kansafhankelijke waarschijnlijkheid bepaald dat de optie in the money expireert? Beantwoording van deze vraag leidt noodzakelijkerwijs tot diepgaande statistische analyses die voorbijgaan aan de strekking van deze masterproof. Een meer praktische onderbouwing is de volgende. De N(d)-termen verschaffen in feite de hedge-ratio's op basis waarvan het beleggingsresultaat tot het moment van expiratie van de optie kunnen worden zekergesteld. Deze hedge-ratio's kunnen ook worden gezien als de richtingscoëfficiënt van de optiewaardelijn gegeven de prijs van het onderliggende aandeel op een zeker moment. In figuur 2.6 wordt dit gevisualiseerd. De functie van de normale verdeling N(d) is ondermeer als standaardfunctie beschikbaar in Microsoft Excel en kan met behulp hiervan dus eenvoudig worden berekend. Figuur 2.6 Prijs call-optie en hedge-ratio Optieprijs (C) < > Out of the money In the money 19

Vanzelfsprekend geldt voor alle toegepaste variabelen in het model van Black en Scholes dat deze accuraat dienen te zijn. Vier van deze variabelen ( So, X, T en r ) zijn geen probleem. De koers van het aandeel, de uitoefenprijs en de looptijd van de optie worden vooraf expliciet overeengekomen. De gehanteerde rente kan worden afgeleid van de rente op de geld- of kapitaalmarkt met een overeenkomstige looptijd T, en is daarmee eveneens relatief eenvoudig te bepalen. De vijfde variabele echter, de standaarddeviatie van het rendement op het onderliggende aandeel, is niet direct observeerbaar. Niettemin is deze variabele zeer evident aangezien deze de uitkomst van N(d) direct beïnvloedt. Er zijn verschillende methoden voorhanden om deze standaarddeviatie te bepalen. Zo worden hiervoor veelal historische rendementreeksen als basis gehanteerd, maar kan anderzijds ook worden teruggevallen op scenario-analyses of op de open marktprijzen van bestaande opties. Alle methoden hebben eigen, specifieke sterke en zwakke kenmerken en kunnen uitkomsten verschaffen die sterk verschillen in accuratesse. Omdat deze standaarddeviatie in min of meerdere mate op inschattingen is gebaseerd, valt nooit uit te sluiten dat discrepanties tussen de feitelijke marktprijs van een optie en de optiewaarde berekend met het model van Black en Scholes een gevolg is van een verschil van inzicht in de volatiliteit van het aandeel. De berekening van de waarde van een put-optie kan onverkort worden uitgevoerd op basis van de uitgangspunten van de put-call-pariteit zoals beschreven in paragraaf 2.4. Door toepassing van de pariteits-vergelijking in deze paragraaf kan de waarde van een put-optie eenvoudig worden bepaald. Het kan echter in sommige gevallen praktischer zijn om direct te werken met een waarderingsformule voor een put-optie. De Black en Scholes-formule voor de directe waardering van een put-optie is als volgt (Bodie, Kane en Markus, 2001): Ter afsluiting van deze paragraaf wordt opgemerkt dat het Black en Scholes-model veronderstelt dat de totstandkoming van de aandeelprijzen voldoen aan de beginselen van de Brownse beweging, ook wel Wienerproces genoemd. Het Wienerproces verschaft een wiskundige grondslag om de stochastiek te beschrijven. Kort gezegd wil dit zeggen dat, gegeven een prijs op T = O, de waarde van het aandeel op T = 1 elke willekeurige prijs kan aannemen. 2.7 CONCLUSIE Refererend aan de centrale vraagstelling: 'Wat is de waarde van een vastgoedoptie?' kan worden geconcludeerd dat deze vraag in dit hoofdstuk inmiddels deels is beantwoord. Er is een instrumentarium aan de orde gekomen met behulp waarvan de (kwantitatieve) waarde van een optie in zijn algemeenheid kan worden bepaald. Hierbij is gebruik gemaakt van diverse theoretische inzichten, waaronder het waarderingsmodel van Black en Scholes. De vraag is in hoeverre deze inzichten kunnen worden toegepast op directe beleggingen in commercieel bedrijfsvastgoed. In de volgende hoofdstukken wordt hierop ingegaan.