EUROPEES BACCALAUREAAT 011 WISKUNDE 5 PERIODEN DATUM : 9 juni 011 DUUR VAN HET EXAMEN : 4 uur (40 minuten) TOEGESTANE HULPMIDDELEN : Formuleboekje voor de Europese scholen Niet-programmeerbare, niet-grafische rekenmachine OPMERKINGEN : Beantwoord de vier verplichte vragen. Kies twee vragen uit de drie keuzevragen. Kruis je keuze aan op het bijgevoegde formulier. Begin elke nieuwe vraag op een nieuw vel van het examenpapier. 1/8 NL
VERPLICHTE VRAAG 1 ANALYSE Gegeven is de functie f gedefinieerd door 0x 5x f( x) x 9. a) i. Bepaal de nulpunten van f. punten ii. Bepaal de coördinaten van de extremen van de grafiek van f. b) i. Toon aan dat x Fx ( ) 5x10ln( x9) 15arctan 3 een primitieve is van f. ii. Bereken 4 f ( x) dx. 0 punten iii. Bereken de gemiddelde waarde van de functie f op het interval [0, 4]. 1 punt /8
VERPLICHTE VRAAG ANALYSE Een chemische verbinding met een massa van 56 gram wordt in water gegoten en lost dan op in het water. Na t seconden is m gram van de verbinding opgelost. De functie mt () wordt gegeven door de volgende differentiaalvergelijking: waarbij een constante is. dm 56 m, dt a) Bepaal de oplossing van deze differentiaalvergelijking als gegeven is dat m 0 op t 0. 6 punten b) Na 30 seconden is 31 gram van de verbinding opgelost. i. Bereken. ii. Na hoeveel seconden is 75% van de oorspronkelijke hoeveelheid opgelost? 3/8
VERPLICHTE VRAAG 3 MEETKUNDE Ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel zijn gegeven de vlakken π k gedefinieerd door k :3kx4ky5z15k 0, k R. a) De lijn d is de doorsnede van de vlakken 0 en 1. i. Bepaal een parametervergelijking van lijn d. ii. Toon aan dat lijn d in alle vlakken k ligt. b) i. Bepaal de coördinaten van de snijpunten A, B en C van 1 met de drie coördinaatassen. ii. Bereken de oppervlakte van driehoek ABC. punten 5 punten 4/8
VERPLICHTE VRAAG 4 KANSREKENING In sommige pakken ontbijtgranen van merk C zit een kado. a) Een winkel heeft 7 pakken van merk C te koop. Er zit een kado in van die pakken. Een klant kiest aselect 3 pakken. Bereken de kans dat de klant beide pakken met een kado kiest. b) In een grote supermarket is de kans dat een aselect gekozen pak ontbijtgranen van merk C een kado bevat gelijk aan 0,5. i. Een klant koopt 5 pakken van dit merk ontbijtgranen. Bereken de kans dat hij precies kado s krijgt. ii. Een klant koopt 6 pakken van dit merk ontbijtgranen. Bereken de kans dat zij tenminste 1 kado krijgt. iii. Bereken het minimale aantal pakken dat een klant moet kopen zodat de kans dat hij tenminste 1 kado krijgt groter is dan 0,90. 5/8
KEUZE VRAAG I ANALYSE Gegeven is de functie f gedefinieerd door x axb x, 0 f( x) x e ( x1), x0, waarbij a en b reële getallen zijn. a) Bereken a en b zodat de functie f continu en differentieerbaar is in x 0. 5 punten Neem in het vervolg van deze vraag aan dat a en b 1. b) Onderzoek de functie f (x) als x en als x. Geef een vergelijking van elke gevonden asymptoot. c) Bepaal de intervallen waarop f stijgend is en waarop f dalend is, de coördinaten van de extremen van f en geef aan of het maxima of minima betreft. d) Geef de coördinaten van het buigpunt van de grafiek van f als x 0. e) Bepaal een vergelijking van de raaklijn t aan de grafiek van f in het punt met x. punten f) Teken de grafiek van f en de raaklijn t in één assenstelsel. g) i. Bepaal de oppervlakte A van het vlakdeel ingesloten door de grafiek van f, de x-as en de lijnen x 1 en x ( 1). ii. Bereken lim A. 1 punt 6/8
KEUZE VRAAG II KANSREKENING Een speelgoedfabrikant produceert een groot aantal blokken in drie verschillende kleuren (rood, geel, blauw) en twee verschillende vormen (rond, vierkant). 40 % van de blokken is rood, 35 % is geel. 30 % van de rode blokken is rond. 40 % van de blauwe blokken is rond. 71 % van alle blokken is vierkant. a) Eén blok wordt aselect gekozen uit de geproduceerde blokken. i. Gegeven dat het blok geel is, bereken de kans dat het blok vierkant is. ii. Gegeven dat het blok vierkant is, bereken de kans dat het blok blauw is. b) De blokken worden aselect verpakt in dozen van 90 exemplaren. Eén doos wordt aselect gekozen. Gegeven zijn de volgende gebeurtenissen: A: Tenminste de helft van de blokken in die doos is rood. B: Het aantal rode blokken in die doos verschilt minder dan 10% van de verwachtingswaarde van het aantal rode blokken. De kansen op de gebeurtenissen A en B kunnen benaderd worden met een normale verdeling. i. Leg uit dat deze benadering hier gebruikt mag worden. punten ii. Bereken de kans op gebeurtenis A. iii. Bereken de kans op gebeurtenis B. c) Een machine produceert elke dag hetzelfde grote aantal blokken. Het gemiddelde aantal defecte blokken per dag is 3,5. X is het aantal defecte blokken in de productie van één dag. i. Welke kansverdeling kan gebruikt worden om de kansverdeling van X te benaderen? Leg uit dat deze benadering hier gebruikt mag worden. Gebruik deze benadering om de volgende kansen te berekenen: punten ii. PX ( 3). iii. PX ( 3). 7/8
KEUZE VRAAG III MEETKUNDE Ten opzichte van een orthonormaal assenstelsel zijn gegeven de punten 1 4 A(0, 4, 3), B(1, 4, ), C(,4,1), G,,, (6, 1, 9) 3 3 3 T, de lijn x 16 5 d : y 3 t z 3 6 het vlak : x yz 0., t R en a) Toon aan dat driehoek ABC rechthoekig is en bereken de oppervlakte van deze driehoek. b) Punt M is het midden van lijnstuk AB. i. Toon aan dat de punten C, G en M op één lijn liggen. punten ii. Bereken de verhouding GM CM punten c) Bepaal een vergelijking van het vlak door de punten A, B en C. d) Onderzoek de ligging van lijn d ten opzichte van vlak π. e) Toon aan dat punt T het punt is op lijn d dat het dichtst bij punt A ligt. 5 punten f) i. Bereken de lengte van het lijnstuk AT en de afstand van punt T tot het vlak π. ii. Toon aan dat de lijn door de punten A en T loodrecht staat op vlak π. g) De bol S raakt het vlak π in het punt A en het middelpunt van S ligt op lijn d. Bepaal een vergelijking van bol S. punten punten punten 8/8