Practicum Trillen en Slingeren 5VWO Natuurkunde Totaal An analytical algebraic approach to determining differences in oscillation data between observed, computed and simulated environments (PO Trillingen van veren en schommels) door Joost Wensveen Tessel Bazalmans Benno Kruit Stanislascollege Westplantsoen Delft Juni 2008
1. Trillend massa-veersysteem a) Praktische metingen De formule voor de trillingstijd van een massaveersysteem is: m T = 2π C Deze formule geldt alleen exact in ideale omstandigheden (bv. geen massa van de veer, etc). Nu was de onderzoeksvraag: Stemt de met de formule berekende T overeen met de T die in werkelijkheid gemeten wordt? Zo niet, hoeveel procent is de afwijking? Eerst bepaalden we de veerconstante met de volgende formule: C= F u (hierbij is C in N/m (=kg/s 2 ), F in N en u in m) We hadden een blokje van 0,05 (kg) aan een veer gehangen, waarbij de uitwijking 4,6 (cm) was. F = m * g = 0,05 * 9,81 = 0,49 (N) u = 0,0467 (m) C= F u = 0,49 =10,5 N /m 0,0467 We hebben daarna metingen verricht met een blok aan een veer, die we op en neer lieten trillen. We hebben daarvan de trillingstijd gemeten, en daarna berekend wat volgens een perfecte situatie de trillingstijd zou moeten zijn. Dit natuurlijk volgens de bovenstaande formule. m is massa in gram, T is de gemeten trillingstijd en T berekend de berekende trillingstijd. m (g) T (s) Tberekend (s) Afwijking (%) 0 50 0,494 0,434 12,15 100 0,656 0,613 6,55 150 0,744 0,751 0,94 200 0,850 0,868 2 250 1,006 0,979 2,68
In de grafiek hierboven zijn beide metingen uitgezet over de massa van het gewichtje uitgezet. De vorm van de grafiek valt als volgt te verklaren: De rode lijn is natuurlijk een normale worelfunctie, de blauwe wijkt daar licht vanaf. Dit kan te maken hebben met meetfouten, maar ook door de massa van de veer, lucht of materiaalwrijving. b) Modelleren Daarna hebben we een model gemaakt van de volgende situatie: de massa m van één blokje die we eraan gehangen hebben en de veerconstante C van onze veer. We hingen de massa m aan een onuitgerekte veer met een veerconstante C en lieten hem op t=0 los. De kogel was tijdens de trilling onderhevig aan de zwaartekracht en de veerkracht. We kozen de oorsprong bij de plaats van loslaten (let wel: dat was niet de evenwichtsstand, want dan zou er geen trilling ontstaan) We namen de positieve richting omlaag. We namen voor dt 0,001 (s). Model Fveer = -C*y Fz = m*g Fres = Fz+Fveer a = Fres/m v = v+a*dt y = y+v*dt t = t+dt Beginwaarden t = 0 m = 0,05 C = 10,5 dt = 0,001 g = 9.81 v = 0 a = 0 y = 0
Hieronder zijn de resultaten van het model weergegeven: een y(t) - t, een v(t) - t en een a(t) t diagram.
Volgens de formules zou de trillingstijd moeten zijn: =0,4335 s 10,5 Dit volgt ook uit de grafieken. T =2 m C =2 0,05 Nu maakten we een tweede model: we voegden wrijving toe. Model Fveer = -C*y Fz = m*g Fw = k*v^2 Fres = Fz+Fveer-Fw a = Fres/m v = v+a*dt y = y+v*dt t = t+dt Beginwaarden t = 0 m = 0,05 C = 10,5 dt = 0,001 g = 9.81 v = 0 a = 0 y = 0 k = 0,1 Hieronder het resultaat: een y(t) - t, een v(t) - t en een a(t) - t diagram.
De wrijving bleek niet van invloed op de amplitude en de frequentie van de trilling.
Deel 2: Slingeren a) Praktische metingen De formule voor de slingertijd van een slinger is: l T = 2π g We onderzochten ook met een slinger of de gegeven formule voldoet. We namen daarbij minimaal 5 verschillende waarden voor de lengte l en bedachten van te voren welke waarden te kiezen om de vorm van de grafiek T tegen l duidelijk zichtbaar te maken. We hielden daarbij de slingerhoek klein. Onze onderzoeksvraag was: Hoe sterk wijkt de gemeten trillingtijd af van de gegeven formule? Hier onze meetresultaten: l (cm) T (s) Tberekend (s) 80 1,738 1,744 70 1,618 1,678 60 1,474 1,554 50 1,424 1,418 40 1,250 1,269 De gemeten T bleek iets onder de berekende T te ziutten, waarschijnlijk door luchtweerstand en middelpuntzoekende kracht.
We hingen ook een veerunster aan een touwtje en lieten die slingeren. De gemeten waarde schommelde tussen 0,5 en 0,58 N. b) Modelleren We maakten daarna een model voor het slingeren van een gewichtje aan een touw. We verwaarloosden de wrijving verwaarlozen. Hieronder ons model. We schatten de massa van het veerunster (dus het gewichtje) 40 gram. Model Beginwaarden a = Fres / m vrot = vrot + dt*a alfa = alfa - (vrot*dt)/l Fz = g * m Fres = tan(alfa) * Fz Fs = Fz / cos(alfa) t = t + dt dt = 0.01 t = 0 g = 9.81 m = 0.04 l = 2 vrot = 0 alfa = 0.2 * pi Fz = 0 als (t>5) dan stop eindals Hieronder de Fspan t grafiek. De spankracht varieert hier tussen de 0,4 en 0,5 (N). We gingen na of de gemeten waarden van F s overeenkomen met de waarden in je modelgrafieken. Dit was niet het geval: De spankracht in het model was iets kleiner, waarschijnlijk doordat de middelpuntsvliedende kracht er niet in zat, of door een meetfout.
Slot De samenwerking ging soms wat moeizaam omdat Benno er niet bij was, en hij alles in elkaar zette. Verder was alles steeds kwijt en wisten we niet meer wat wat was en werkte het model niet en werkte de internetverbingding niet en is alles helemaal aan het einde erg snel gegaan. We hebben er wat leuke dingen van geleerd zoals dat je goed bij je meetresultaten moet schrijven wat het is, anders zijn het betekenisloze getalletjes. Benno heeft heel veel plezier beleefd aan het schrijven van de extra opdracht, niet zo veel aan het zoeken van de meetresultaten. De algemene indruk van het PO is te vergelijken met een lelie die langzaam fladdert in de wind, en met veerunsterberekeningen van een gewichtsloze veerunster. Lees aub de bijlage, dat is Benno's opdracht.