Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010

Feedback proefexamen Statistiek I 2009 2010 Het correcte antwoord wordt aangeduid door een sterretje. 1 Een steekproef van 400 personen bestaat uit 270 mannen en 130 vrouwen. Een derde van de mannen is hooggeschoold. De rest is laaggeschoold. Bij de vrouwen is de proportie van hooggeschoolden 3/5. De rest is laaggeschoold. Een achtste van de laaggeschoolden hebben geen rijbewijs. De proportie van laaggeschoolde vrouwen die geen rijbewijs hebben is 25%. Het aantal personen met een rijbewijs is 361. Bij de laaggeschoolde mannen is de proportie zonder rijbewijs... A * 4/45 B 1/8 C 1/4 D 8/135 Uit de 130 vrouwen zijn er 52 laaggeschoolden (130 2/5). Vijfenzeventig procent van die hebben een rijbewijs, dus 52 0.75 = 39. Uit de 270 mannen zijn er 180 laaggeschoolden (twee derden van 270). Het totaal aantal laaggeschoolden is 180 + 52 = 232. Zeven achtsten van die hebben een rijbewijs; dus 232 7/8 = 203. Het aantal laaggeschoolde mannen met een rijbewijs is dus 203 39 = 164 en het aantal laaggeschoolde mannen zonder rijbewijs is dus 180 164 = 16. De proportie van laaggeschoolde mannen zonder rijbewijs is eindelijk 16/180 = 4/45. 2 Gebruik de gegevens van vorige vraag. De proportie van vrouwen zonder rijbewijs bij de hooggeschoolde vrouwen... A ligt tussen 15 en 30% B * ligt tussen 0 en 15% C ligt tussen 30 en 45% D kan niet berekend worden met de beschikbare data Het aantal personen zonder rijbewijs is 39 ( 400 361). Er zijn 13 laaggeschoolde vrouwen zonder rijbewijs (52 39 = 13). Het aantal hooggeschoolde vrouwen zonder rijbewijs is onbekend en kan niet berekend worden. Maar het is zeker kleiner dan het totaal aantal personen zonder rijbewijs (39) min het aantal laaggeschoolden zonder rijbewijs ( 16 mannen en 13 vrouwen). Het aantal hooggeschoolde vrouwen zonder rijbewijs ligt dus tussen 0 en 10. De proportie ligt bijgevolg tussen 0/78 en 10/78. Dit is zeker tussen 0 en 15 %. 1

3 In het kader van het thema meer uren lichamelijke opvoeding op school doet men twee testen bij een groepje van 3 lagere schoolkinderen. De eerste test meet het aantal keer pompen in een halve minuut (X). De tweede test meet het aantal lengtes van een volleybalterrein dat men loopt in een halve minuut (Y ). De resultaten zijn x T = (8, 6, 10) en y T = (14, 18, 22). Welke bewering is correct? A r s = 1/3 B De variabelen X en Y zijn afhankelijk. C * cov xy = 8/3 D r s = 2/3 x = 8 en ȳ = 18. cov xy = 1 ((8 8)(14 18) + (6 8)(18 18) + (10 8)(22 18)) 3 = 1 (0 ( 4) + ( 2) 0 + 2 4) = 8/3 3 r s = 1/2. Om na te gaan of X en Y onafhankelijk zijn moeten we de bivariate kansverdeling van die variabelen kennen. Maar hier beschikken we slechts over een frequentieverdeling in een steekproef. Dus B is fout. 4 Eén wilde vos op 100 heeft hondsdolheid in Belgïe. Als een wilde vos met hondsdolheid je bijt dan heb je 40% kans om besmet te worden. Als een wilde vos je bijt dan heb je... A * 0.4% kans om besmet te worden B 4% kans om besmet te worden C 40% kans om besmet te worden D 0.4 kans om besmet te worden A : de vos die je bijt heeft hondsdolheid. B : je wordt besmet. De gevraagde kans is P (A B). Het is gelijk aan P (B A)P (A) = 0.4 0.01 = 0.004 = 0.4%. 2

5 Gebruik de gegevens van vorige vraag. Als je 3 wilde vossen trekt, dan is de kans dat exact twee vossen hondsdolheid hebben gelijk aan... A 0.02 B * 297/1 000 000 C 0.01 (2/3) D 2 99/1 000 000. De kans dat exact twee vossen hondsdolheid hebben is gelijk aan P (B(3, 1/100) = 2) = 3! ( ) 1 2 ( ) 99 1 = 2! 1! 100 100 3 99 100 100 100 = 297 1 000 000 6 Bij trekking van twee personen in een populatie is A de gebeurtenis De eerste persoon is een man en B, De tweede persoon is een vrouw. Welke bewering is correct? A * A B betekent Tenminste één van de twee personen is een man. B A B betekent De twee personen zijn mannen. C A B betekent Tenminste één van de twee personen is een man. D Geen van de andere drie alternatieven is correct De mogelijke uitkomsten zijn MM, MV, VM, VV. A = {MM, MV}, B = {MV, VV}, B = {MM, VM} en A B = {MM, MV, VM}. De gebeurtenis A B bestaat uit drie uitkomsten. Elke van die uitkomsten bevat minstens één man. Een andere mogelijke redenering : A B betekent de eerste persoon is een man OF de tweede persoon is een man OF beide zij n mannen. Dit impliceert dat minstens één van de twee een man is. 7 Bij de standaardnormaalverdeling is... A de mediaan gelijk aan 1 B de verwachting gelijk aan 0 en de interkwartiele afstand ligt tussen 0.67 en 0.68 (afronden) C * de verwachting gelijk aan 0 en de interkwartiele afstand ligt tussen 1.34 en 1.36 (afronden) D Geen van de andere drie alternatieven is correct De mediaan bij de standaardnormaalverdeling is 0. Alternatief A is dus fout. De verwachting is zeker 0. Om de interkwartiele afstand te berekenen moeten we eerst P 25 en P 75 berekenen. P 75 is het getal waarvoor geldt dat P (N(0, 1) P 75 ) = 75%. In de tabel van verdelingsfunctie van de z-verdeling vinden we dat P 75 tussen 0.67 en 0.68 ligt. P 25 is duidelijk gelijk aan P 75. De interkwartiele afstand ligt dus tussen P 75 P 25 = 0.67 ( 0.67) = 1.34 en 0.68 ( 0.68) = 1.36 3

8 De gemiddelde tijd om het examen Statistiek I af te leggen is 2 uur. De standaardfout van de variabele tijd is 30 minuten. Stel dat deze variabele normaal verdeeld is. Als ik wil dat ongeveer 90% van de studenten genoeg tijd hebben, hoe lang moet het examen duren? A * Tussen 158 en 159 minuten. B Tussen 201 en 202 minuten. C Tussen 107 en 108 minuten. D Tussen 146 en 147 minuten. De duur d van het examen moet aan deze vergelijking voldoen: P (N(120, 30) d) 0.9. Dus P (N(0, 1) d 120 30 ) 0.9. In de tabel van de verdelingsfunctie van de z-variabele vinden we P (N(0, 1) 1.28) 0.9. a Dus d 120 30 1.28 en d 120 + 30 1.28 = 158.4. a Eigenlijk is het niet precies 1.28 maar tussen 1.28 en 1.29. Maar het ligt veel dichter bij 1.28 9 In een onderzoek van Goetz en Baer (1973, Social control of form diversity and the emergence of new forms in children s blockbuilding Journal of Applied Behavior Analysis, 6, 209 217) wordt nagegaan of de positieve feedback van de opvoeder een invloed heeft op het aantal verschillende blokken dat een kind gebruikt om een toren te maken in een bepaalde periode. De variabele X wordt gedefiniëerd als het aantal verschillende blokken. De variantie van X is gelijk aan 6. Steekproeven van 4 kinderen worden getrokken. Welke bewering is correct? A X is normaal verdeeld. B * V (X) = 1.5 C σ X = 6. D Geen van de andere drie alternatieven is correct X is een discrete variabele en is dus niet normaal verdeeld. De steekproef is klein (n < 30). Omwille van die twee redenen is X dus niet normaal verdeeld en alternatief A is fout. V (X) = V (X)/n = 6/4 = 1.5. C is fout omdat σ X = V (X) = V (X)/n = 6/4. 4

10 Gebruik de gegevens van vorige vraag. Welke bewering is correct? A * σ X = 6/4 B E(S 2 X ) = 6 C S 2 X = 6 D E(SX 2 ) = 4 3 6 σ X = V (X) = V (X)/n = 6/4. E(S 2 X ) = n 1 n V (X) = 3 4 6. S 2 X is een toevalsvariabele. Het is geen getal. C is dus fout. 11 We trekken oneindig veel steekproeven met grootte n uit een populatie. Voor elke steekproef berekenen we het gemiddelde van de variabele X in de steekproef. De verdeling van de gemiddelden van de steekproeven is normaal verdeeld (of bijna) als... A de populatie minstens 10 keer groter dan de steekproef is B de verdeling van de steekproef normaal is C * n groot genoeg is D Geen van de andere drie alternatieven is correct De conditie de populatie is minstens 10 keer groter dan de steekproef heeft betrekking op de binomiale variabele en is dus hier niet relevant. De zin de verdeling van de steekproef is normaal betekent niets. Een variabele heeft een verdeling (kans- of frequentieverdeling) maar een steekproef heeft geen verdeling. Er zijn twee gevallen waar de verdeling van X normaal is: als n > 30 is of als X normaalverdeeld is. Bij alternatief C hebben we het eerste geval. 5

12 x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 en x 4 = 0. Welke bewering is correct? A 4 4j=1 i=1 x i x j = 48 B 3 3j=1 i=1 (x i x j ) = 18 C * 3 4j=1 i=1 x i x j = 36 D 3 3j=1 i=1 (x i x j ) = 18 3 4 x i x j = 3 (x i 1 + x i 2 + x i 3 + x i 0) i=1 j=1 i=1 = 3 6x i i=1 = 6 1 + 6 2 + 6 3 = 36 3 3 (x i x j ) = 3 ((x i 1) + (x i 2) + (x i 3)) i=1 j=1 i=1 = 3 (3x i 6) i=1 = (3 1 6) + (3 2 6) + (3 3 6) = 0 13 Welke maat is geen spreidingsmaat? A * P 25 B de interkwartiele afstand C de variatiebreedte D P 90 P 10 Hoe groter de spreiding hoe groter de afstand tussen P 90 en P 10. P 90 P 10 is dus een spreidingsmaat alhoewel het zelden gebruikt wordt. P 25 is geen spreidingsmaat: het is gewoon een waarde van de variabele. 6

14 Hieronder de verdeling van een variabele X in een steekproef. Welke bewering is correct? A md x = 30 B * md x = 35 C md x = 40 D md x = 31 klasse f i [ 10, 0[ 3 [0, 10[ 0 [10, 20[ 8 [20, 30[ 14 [30, 40[ 10 [40, 50[ 14 [50, 60[ 9 [60, 70[ 2 n/2 = 30. De mediaan ligt duidelijk in klasse [30, 40[. F (30) = 25 en F (40) = 35. De mediaan ligt dus precies in het miden van klasse [30, 40[. M.a.w. md x = 35. Als je de cumulatieve frequentiecurve tekent en als de je de mediaan grafisch bepaalt, vind je ook 35. 15 Gebruik de gegevens van vorige vraag. Welke bewering is correct? A * F (25) = 18 B F (14) = 30 C F (25) = 7 D F (14) = 25 F (20) is gemakkelijk te lezen in de tabel; het is 11. Omdat 25 precies in het midden van klasse [20, 30[ ligt, is F (25) gelijk aan 11 plus de helft van 14, dat is 11 + 7 = 18. Dit kan je ook lezen of de grafiek van de cumulatieve frequentiecurve. F (14) is het aantal waarnemingen met een waarde kleiner dan of gelijk aan 14. Dat kunnen we niet rechtstreeks in de tabel lezen maar het is zeker kleiner dan of gelijk aan 8. 7

16 Gebruik de gegevens van vorige vraag. Welke bewering is correct? (tip: je hoeft het gemiddelde niet te berekenen. Kijk naar de vorm van de verdeling.) A x > md x B x = md x C * x < md x D Geen van de andere drie alternatieven De verdeling is bijna symmetrisch maar er zijn een paar uitschieters in de eerste klasse. Die hebben geen effect op de mediaan maar ze trekken het gemiddelde naar beneden. Bijgevolg is het gemiddelde kleiner dan de mediaan. Je kan dit verifiëren door het gemiddelde en de mediaan te berekenen maar dat hoeft niet. 17 Je leest in een artikel dat het gemiddelde in een steekproef 25 is en dat de variantie 0 is. Welke conclusie is zeker fout? A * Dat kan niet. B Er is maar één element in de steekproef. C De waarde van de geobserveerde variabele is 25 bij alle elementen van de steekproef. D De standaarddeviatie is nul Een variantie gelijk aan 0 is niet zeer plausibel maar wel mogelijk. Het gebeurt als n = 1 of als alle elementen in de steekproef dezelfde waarde hebben (25 in dit geval). 18 Je leest in een artikel dat de variatiebreedte in een steekproef 25 is en dat de variantie 0 is. Welke conclusie is zeker juist? A * Dat kan niet B Er is maar één element in de steekproef C Het gemiddelde is 25 D De standaarddeviatie is nul Omdat de variatiebreedte 25 is, weten we zeker dat n > 1 en dat de elementen in de steekproef niet allemaal dezelfde waarde hebben. De variantie kan dus niet nul zijn. 19 P (T 20 2.086) =... A 0.975 B 5% C * 2.5% D Geen van de andere drie alternatieven P (T 20 2.086) = 1 P (T 20 2.086) = 1 0.975 (zie tabel) = 2.5%. 8

20 Je werpt twee dobbelstenen. De uitkomst van de rode dobbelsteen is de variabele X en de uitkomst van de groene dobbelsteen is de variabele Y. P (X = 2 X < 6) =... A 1/6 B * 1/5 C 1/36 D 5/36 P (X = 2 X < 6) = P (X = 2 X < 6)/P (X < 6). De gebeurtenis X = 2 X < 6 is gewoon de gebeurtenis X = 2. Dus P (X = 2 X < 6) = P (X = 2)/P (X < 6) = (1/6)/(5/6) = 1/5. 21 Je werpt twee dobbelstenen. De uitkomst van de rode dobbelsteen is de variabele X en de uitkomst van de groene dobbelsteen is de variabele Y. P (X = 2 Y = 2) =... A * 1/6 B 2/6 C 1/36 D Geen van de andere drie alternatieven De variabelen X en Y zijn onafhankelijk. De waarde van Y heeft dus geen impact op X. Met andere woorden, P (X = 2 Y = 2) = P (X = 2) = 1/6. We kunnen dit verifiëren door de voorwaardelijke kans te berekenen. P (X = 2 Y = 2) = P (X = 2 Y = 2)/P (Y = 2). De variabelen X en Y zijn onafhankelijk. Dus P (X = 2 Y = 2) = P (X = 2)P (Y = 2). Eindelijk, P (X = 2)P (Y = 2) P (X = 2 Y = 2) = = P (X = 2) = 1/6. P (Y = 2) 9

22 Je werpt twee dobbelstenen. De uitkomst van de rode dobbelsteen is de variabele X en de uitkomst van de groene dobbelsteen is de variabele Y. E(X Y = 2) =... A * 3.5 B 3 C 2.5 D 2 De variabelen X en Y zijn onafhankelijk. De waarde van Y heeft dus geen impact op X. Met andere woorden, E(X Y = 2) = E(X) = 1 1/6 + 2 1/6... + 6 1/6 = 3.5. We kunnen dit verifiëren door de voorwaardelijke verwachting te berekenen. E(X Y = 2) = 1P (X = 1 Y = 2) + 2P (X = 2 Y = 2) + 3P (X = 3 Y = 2) +4P (X = 4 Y = 2) + 5P (X = 5 Y = 2) + 6P (X = 6 Y = 2) = 1P (X = 1) + 2P (X = 2) + 3P (X = 3) + 4P (X = 4) + 5P (X = 5) + 6P (X = 6) = 3.5 23 In onderstaande tabel vind je de scores van Carolina Kostner en Sarah Meier op vier wedstrijden kunstschaatsen 2007. wedstrijd CK SM 1 165.3 149.8 2 159.7 172.0 3 148.0 165.4 4 175.6 171.4 In 2007 was Carolina Kostner Europees kampioene kunstschaatsen terwijl Sarah Meier tweede was. De correlatiecoëfficiënt van Kendall tussen de scores van Carolina Kostner en Sarah Meier is... A 0.5 B * 0 C 0.4 D 0.1 C = 3, D = 3, τ = 0. paren CK SM produkt (1,2) - + - (1,3) - + - (1,4) + + + (2,3) - - + (2,4) + - - (3,4) + + + 10

24 Welke variabele is van ratio meetniveau? A De relatieve hartslag (verhouding tussen hartslag en rusthartslag) B De berghoogte C * De dichtheid (massa per eenheid van volume) D Geen van de drie andere alternatieven Je mag de hartslag in slag per minuut of per seconde of per uur meten. De eenheid is vrij. Hetzelfde geldt voor de rusthartslag. Maar de relatieve hartslag is onafhankelijk van de eenheid die je kiest voor de rusthartslag en de gewone hartslag. Voorbeeld: je hartslag is 90/minuut en je rusthartslag 60/minuut. Je relatieve hartslag is dus 90/60 = 1.5. Laten we hetzelfde in slag per seconde meten. Je hartslag is dan 1.5/seconde en je rusthartslag 1/seconde. Je relatieve hartslag is dus 1.5/1 = 1.5 zoals hierboven. Je kan de eenheid van de relatieve hartslag niet kiezen. Die is vast. We hebben dus hier geen ratio schaal. Voor de berghoogte is de eenheid vrij maar ook de oorsprong. We gebruiken meestal de zeespiegel als nulpunt maar deze keuze is arbitrair (willekeurig). Bovendien variëert de zeespiegel constant. Voor de dichtheid (massa per eenheid van volume), kunnen we enkel de eenheid kiezen: kg/m 3, kg/liter, g/m 3,... Het nulpunt is vast. 11

25 De variabele X wordt op een intervalschaal gemeten. Welke bewering is zinvol? A x 1 x 2 x 3 = x 4 x 4 x 3 B x 1 x 2 = x 3 x 4 C * x 1 x 2 x 1 x 3 = x 4 x 2 x 4 x 3 D x 1 x 2 x 1 x 3 = x 2 x 3 Laten we B beschouwen. x 1 wordt op een intervalschaal gemeten. Als we een andere schaal gebruiken, komen we x 1 uit. We weten dat x 1 = ax 1 + b. Hetzelfde geldt voor x 2, x 3 en x 4. Dus x 1 = x 3 x 2 x 4 ax 1 + b ax 2 + b = ax 3 + b ax 4 + b We kunnen dit niet verder vereenvoudigen. Het blijkt dus dat B zinloos is. Laten we dit nu verifiëren met een numeriek voorbeeld: x 1 = 2, x 2 = 3, x 3 = 4, x 4 = 6. Het geldt dat x 1 x 2 = x 3 x 4. Laten we aan elk getal 1 optellen. Dan x 1 = 3, x 2 = 4, x 3 = 5, x 4 = 7. Het geldt niet meer dat x 1 x = x 3 2 x. B is dus zinloos. 4 C is juist. x 1 wordt op een intervalschaal gemeten. Als we een andere schaal gebruiken, komen we x 1 uit. We weten dat x 1 = ax 1 + b. Hetzelfde geldt voor x 2, x 3 en x 4. Dus x 1 x 2 x 1 x 3 = x 4 x 2 x 4 x 3 ax 1 + b (ax 2 + b) ax 1 + b (ax 3 + b) = ax 4 + b (ax 2 + b) ax 4 + b (ax 3 + b) ax 1 ax 2 ax 1 ax 3 x 1 x 2 x 1 x 3 = ax 4 ax 2 ax 4 ax 3 = x 4 x 2 x 4. x 3 We hebben bewezen dat de waarheid van bewering C onafhankelijk is van de schaal. 12

26 Een rechte gaat door de punten (X = 3, Y = 2) en (X = 8, Y = 12). De vergelijking van die rechte is Y = b 0 + b 1 X. Een andere rechte gaat door de punten (X = 0, Y = 1) en (X = 4, Y = 4). De vergelijking van de tweede rechte is Y = b 0 + b 1X. De coordinaten van het snijpunt tussen de twee rechten zijn (X = 4, Y = 4). Het intercept b 0 is gelijk aan A 1 B * 4 C 2 D 4 In de eerste zin van de opgave vind je twee punten die tot de eerste rechte behoren. Dit is genoeg om de vergelijking van de rechte te berekenen. De rest van de opgave is overbodig. Dankzij de coordinaten van de twee punten kunnen we b 1 berekenen. b 1 = 12 2 8 3 = 2. Uit de coordinaten van het eerste punt leiden we af 2 = b 0 + 3b 1, dus b 0 = 2 3b 1 = 2 3 2 = 4. 12 2 3 8 13

27 Eén wilde vos op 100 heeft hondsdolheid in Belgïe. Als een vos met hondsdolheid je bijt dan heb je 40% kans om besmet te worden. Welke bewering is correct? A * Geen van de drie andere alternatieven is correct B Als je steekproeven van 100 wilde vossen trekt, dan heb je in de meerderheid van de gevallen exact één vos met hondsdolheid. C Als je 100 wilde vossen trekt, dan heb je één vos met hondsdolheid. D Als je 1000 wilde vossen trekt, dan heb je 10 vossen met hondsdolheid. C is zeker fout: als je 100 wilde vossen trekt, dan kan je 0, 1, 2,... of 100 vossen met hondsdolheid hebben. Niet noodzakelijk 1. Voor dezelfde reden is D fout. Laten we nu B beschouwen. De proportie van gevallen waar je exact één vos met hondsdolheid hebt is ook de kans dat je exact één vos met hondsdolheid hebt, dat is P (B(100, 1/100) = 1) = 100! ( ) 1 1 ( ) 99 99 =.99 99. 99!1! 100 100 Laten we ook P (B(100, 1/100) = 0) berekenen. P (B(100, 1/100) = 0) = 100! ( ) 1 0 ( ) 99 100 =.99 99.99 P (B(100, 1/100) = 1). 100!0! 100 100 Laten we ook P (B(100, 1/100) = 2) berekenen. P (B(100, 1/100) = 2) = 100! ( ) 1 2 ( ) 99 98 100 99 = 1 1 98!2! 100 100 2 100 100.9998. 9998 P (B(100, 1/100) = 1). 2 2 Omdat P (B(100, 1/100) = 0) P (B(100, 1/100) = 1) 2P (B(100, 1/100) = 2) is het duidelijk dat P (B(100, 1/100) = 1) <.5 en het is dus de meerderheid niet. Een andere redenering. We kunnen P (B(100, 1/100) = 1) moeilijk zonder rekenmachine berekenen. Laten we dan 100 in die formule vervangen door 2 (om de berekening te vereenvoudigen). We krijgen P (B(2, 1/2) = 1) en we kunnen dit gemakkelijk berekenen: P (B(2, 1/2) = 1) = 1/2. We gebruiken nu n = 3 ipv 100. We vinden P (B(3, 1/3) = 1) = 4/9. We gebruiken nu n = 4 ipv 100. We vinden P (B(4, 1/4) = 1) = 27/64. Je ziet dat de kans daalt. En als we blijven n met één eenheid vergroten dan gaat de kans altijd dalen. P (B(100, 1/100) = 1) is dus zeker kleiner dan 1/2. 14

28 Het getal k waarvoor geldt dat P (χ 2 11 k) = 0.5% is... A 19.68 B 4.575 C * 26.76 D Geen van de andere drie alternatieven P (χ 2 11 k) = 0.5% dus P (χ2 11 k) = 99.5%. In de tabel vind je k = 26.76. 15