Docentenhandleiding deel 3A en 3B vmbo kader Inhoud deel 3A Hoofdstuk 1 Vlakke meetkunde Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden Hoofdstuk 3 Rekenen Hoofdstuk 4 Statistiek Hoofdstuk 5 Ruimtemeetkunde Hoofdstuk 6 Formules Computer practicums Inhoud deel 3B Hoofdstuk 7 Informatieverwerking Hoofdstuk 8 Stelling van Pythagoras Hoofdstuk 9 Oplossingen zoeken Hoofdstuk 10 Goniometrie Hoofdstuk 11 Niet-lineaire verbanden Hoofdstuk 12 Sectoropdrachten Computer practicums 1
Hoofdstuk 1 Vlakke meetkunde 1, 2, 3, 4, 6, 7 9, 10, 11, 12, 13 15, 16, 17, 19, 20, 21 23, 24, 26, 27, 28 Kern 5 30, 31, 32, 33 Kern 6 35, 36, 37, 38 Veel onderwerpen uit dit hoofdstuk zijn in de vorige leerjaren al aan de orde geweest. In dit hoofdstuk een herhaling en bij sommige onderwerpen een uitbreiding. Bij oppervlakteberekeningen is een rekenmachine nodig. In deze kern wordt het plaatsbepalen behandeld. De volgende manieren komen aan de orde: - met een in vakken verdeelde stadsplattegrond; - met een assenstelsel over een landkaart - met richting en afstand (de windstreken N, O, Z en W veronderstellen we bekend); - met het snijpunt van twee kijklijnen. Bij evenwijdige lijnen werken met F-hoeken en Z - hoeken. Wijs op het teken voor evenwijdigheid. Rekenen met de som van de hoeken van een driehoek. Bij driehoeken symmetrieassen tekenen. Dit leidt tot gelijkbenige en gelijkzijdige driehoeken. Vlieger en ruit zijn herkenbaar door het verschil in symmetrie. Oppervlakteformules voor rechthoek en parallellogram. Wijs op de zijde en bijbehorende hoogte. Bij opgave 24 is met de formule ook terug te rekenen. Ook met de oppervlakteformule van een driehoek wordt heen en teruggerekend. Kern 5 Met de formules voor de omtrek en oppervlakte van de cirkel is ook weer heen en terug te rekenen. Gebruik het π teken op de rekenmachine. Rond hierbij af op twee decimalen. Kern 6 De verhoudingstabel wordt gebruikt in gelijkvormige driehoeken. De vermenigvuldiging in de tabel is van links naar rechts of van boven naar beneden uit te voeren. 2
Hoofdstuk 2 Lineaire verbanden 1, 2, 3, 4, 5 6, 7, 8, 9, 10, 11, 13 14, 15, 16, 18, 19, 20, 21 23, 24, 25, 26 Dit hoofdstuk gaat verder met lineaire verbanden. Aandacht voor het herkennen van lineaire verbanden, het hellingsgetal zoeken en een formule opstellen. Het veranderen van het begingetal en het hellingsgetal en de gevolgen voor de grafiek. Aan het einde van deel 3B maakt een leerling kennis met VU-grafiek. Als een leerling met dit computerprogramma kan werken, is het mogelijk met enkele opgaven uit dit hoofdstuk te oefenen. Het tekenen van grafieken bij lineaire verbanden wordt herhaald. Het onderscheid tussen een grafiek als rechte lijn en een grafiek die uit punten bestaat is belangrijk. Een voorbeeld hiervan is opgave 2. De grafieken worden vaak in een gegeven assenstelsel in het werkboek getekend. Bij opgave 4 kiest de leerling zelf een indeling bij de assen. Een lineair verband kun je herkennen aan de tabel. Bij gelijke stappen boven in de tabel, horen gelijke stappen onder in de tabel. Het hellingsgetal kun je met de tabel bepalen door te kijken, hoeveel er per eenheid bij komt of af gaat. Ook uit de grafiek is het hellingsgetal te bepalen. Het opstellen van formules bij een stijgende lijn gaat via formules van de vorm bedrag =.. +.. x tijd. Bij een dalende lijn wordt de vorm temperatuur =.. -.. x tijd. De leerling kan de in te vullen getallen uit de getekende grafiek aflezen. Als je het begingetal verandert, verschuift de grafiek. Door het hellingsgetal te veranderen, loopt de grafiek meer of minder steil. 3
Hoofdstuk 3 Rekenen 1, 2, 3, 4, 5, 7, 9, 10, 11 13, 14, 15, 16, 18, 19, 20 22, 23, 24, 26, 27, 28, 30, 31, 3235, 36, 37 38, 39, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 48, 50, 51, 54 Kern 5 55, 57 De leerling heeft bij dit hoofdstuk een rekenmachine nodig. In de laatste kern maakt de leerling kennis met de wetenschappelijke notatie. De rekenmachine moet dus een toets voor de wetenschappelijke notatie hebben. Om afmetingen te kunnen schatten, wordt gebruik gemaakt van voorbeelden waarvan de maten bekend zijn. In de eerste kern een aantal voorbeelden. Vooral bij het gebruik van een rekenmachine is het belangrijk, dat leerlingen een schatting van de uitkomst kunnen maken. Inzicht in de juiste volgorde van bewerkingen is noodzakelijk evenals het gebruik van haakjes als dit bij een opgave noodzakelijk is. Hier komt de verhoudingstabel weer terug. Er wordt teruggerekend naar een eenvoudig getal of naar 1. Op deze manier zijn ook prijzen te vergelijken. Rekenen met procenten blijft voor sommige leerlingen moeilijk, vandaar een herhaling. Van een percentage is een kommagetal te maken en omgekeerd. Op deze manier zijn procentuele toename of afname te berekenen. De leerling trekt de conclusie dat 115% van de oude prijs, een verhoging van 15% betekent. 80 % van het oorspronkelijke bedrag is een verlaging van 20%. Rekenen met BTW is hierbij een belangrijk onderdeel. Grote en kleine getallen zijn te schrijven als machten van 10. Dit leidt tot de invoering van de wetenschappelijke notatie. Het beperkt zich in deze kern tot het schrijven van getallen in de wetenschappelijke notatie of omgekeerd. Geef aandacht aan het verschuiven van het aantal plaatsen van de komma. 4
Hoofdstuk 4 Statistiek 1, 2, 3, 4, 5 7, 8, 9, 10, 11, 13 14, 15, 16, 18, 21, 22 23, 24, 25, 26, 28, 29 Bij dit hoofdstuk hebben leerlingen niet alleen een rekenmachine nodig maar ook goed tekengereedschap: een hoekmeter of geodriehoek en kleurpotloden.. Na het laatste hoofdstuk uit dit boek volgt een kennismaking met VUstatistiek. Als een leerling met dat programma kan werken,is het te gebruiken om enkele opgaven uit dit hoofdstuk te oefenen. Veel informatie in kranten en tijdschriften komt naar ons toe in de vorm van diagrammen of grafieken. In deze eerste kern is het lezen van deze informatie belangrijk. Ook steelbladdiagrammen zijn geschikt om informatie weer te geven. Bespreek met de leerling wat in de stam en wat in de bladeren kan komen. In deze kern leert de leerling naast het lezen van een cirkeldiagram ook het maken van zo'n diagram. Spreek een minimummaat af voor de diameter van een cirkeldiagram. Hier is een hoekmeter of geodriehoek nodig. Een diagram is te gebruiken om iemand te overtuigen maar kan ook misleidend zijn. Aan de hand van een aantal voorbeelden is kritisch kijken te oefenen. Opgave 14, 15 en 16 zijn hiervan voorbeelden. Wijs de leerlingen op allerlei trucs om bepaalde indrukken te wekken. Verzamel met de leerlingen zelf allerlei 'misleidende grafieken'. Modus, mediaan en gemiddelde hebben als centrummaat allemaal een eigen betekenis. Ga bij de opgaven na, welke centrummaat daar zinvol is en welke niet. Wijs op de fout die gemaakt wordt in opgave 25. 5
Hoofdstuk 5 Ruimtemeetkunde 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 11, 12 13, 14, 16, 17, 19, 20, 22, 23 24, 25, 26, 27, 29, 30, 31 32 33, 34, 35, 37, 38, Kern 5 40, 41, 43, 44 Kern 6 43, 44, 45 Het werken met lichamen en uitslagen is lastig voor leerlingen met een beperkt ruimtelijk inzicht. Veel oefening kan helpen. Hetzelfde geldt voor het werken met hoogtekaarten. Na het laatste hoofdstuk in dit deel volgt een kennismaking met het computerprogramma 'Doorzien'. Ook dit programma kan helpen bij het aanbrengen van ruimtelijk inzicht. Het tekenen en afmaken van aanzichten gaat met behulp van evenwijdige projectie. Bij het interpreteren en combineren van verschillende aanzichten zijn details vaak belangrijk. In de ruimte worden de assen aangeduid met x, y en z. In alle opgaven is x naar voren, y naar rechts en z omhoog. Laat de leerlingen oefenen met ruimtecoördinaten. De kern begint met het begrip diagonaalvlak. Vanuit een diagonaalvlak wordt een lichaamsdiagonaal getekend en opgemeten. Aan de hand van hoogtelijnen wordt een verticale doorsnede getekend. Laat de leerling ruitjespapier gebruiken om de hoogtes over te nemen. De hoogtekaart geeft niet precies aan wat er tussen hoogtelijnen gebeurt. Meestal gaan we er stilzwijgend van uit dat de hellingen tussen de hoogtelijnen regelmatig zijn. Door het kleuren van vlakken in een uitslag en door het aanbrengen van letters bij hoekpunten wordt ruimtelijk inzicht ontwikkeld. Ook gaat het om het herkennen van uitslagen die moeilijker zijn dan die van de balk en de kubus. De kern besluit met het zelf tekenen van enkele uitslagen. Voor het berekenen van de inhoud van prisma en cilinder worden formules gebruikt. Met een gegeven inhoud is terug te rekenen. Hierbij komen rekenschema's en terugrekenschema's aan de orde. Kern 5 Het hoofdstuk besluit met de inhoud van piramide en kegel. Ook dit verloopt via de bijbehorende formules. 6
Hoofdstuk 6 Formules 1, 2, 3, 4, 5,, 6, 8, 9 10, 11, 12, 13, 15 17, 18, 19, 21, 22, 24, 25, 27 29,30, 31, 32, 33, 34, 35 De nadruk ligt in dit hoofdstuk op het manipuleren van formules. Van woordformules worden letterformules gemaakt en bij formules worden tegenformules gemaakt. Voor variabelen worden getallen gesubstitueerd.. Een formule kan overgaan in een andere formule en soms zijn er van twee formules één te maken. Woordvariabelen worden vervangen door lettervariabelen. Voor lettervariabelen wordt een getal gesubstitueerd. Bij het werken met formules is het gebruik van de rekenmachine essentieel. In opgave 5 komen bijna alle bewerkingen voor. Het is een goed moment om de mogelijkheden van een de diverse rekenmachines in de klas nog een keer na te lopen. Er is een verschil bestaan tussen rekenmachines van de oudere en de nieuwere generatie. Formules zijn soms anders te schrijven. De formule uit opgave 15 zal de leerling mogelijk ook bij natuurkunde tegenkomen. In deze kern gaat het om het 'omkeren' van formules. Daarbij staat het rekenschema centraal. Bij het 'omkeren' van formules van de vorm u = a x b + c zijn haakjes nodig: b = (u - c)/a Bij formules met meerdere variabelen wordt één van de variabelen vervangen door een getal, waardoor een nieuwe formule ontstaat. Zo ontstaan er voor de leerlingen verrassende formules. De formule O = ½ b h voor de oppervlakte van een driehoek gaat bij b = 6 over in O = 3 x h. Ook is het in bepaalde gevallen mogelijk om van twee formules één formule te maken. 7
Antwoorden bij computerpracticum Doorzien 1.- 2. Door een massieve figuur kun je niet heenkijken. Bij een draadfiguur zijn de achterste ribben te stippelen. 3. Platonische lichamen zijn symmetrisch en hebben congruente zijvlakken. 4.- 5. Het kleine lichaam is 1/6 deel (16,7%) van het gehele lichaam. Het grote lichaam is 5/6 deel ( 83,3%). Antwoorden bij computerpracticum VU-statistiek 1. schoenmaat 35 36 37 38 39 40 41 42 totaal frequentie 1 2 2 4 7 6 3 3 28 2. - 3. gemiddelde = 39,1 modus = 39 mediaan = 39,0 4. Bv de lengte: lengte 120-139 140-159 160-179 180-199 totaal frequentie\ 1 29 52 7 89 gemiddelde = 163,1 modus = 165 mediaan = 163 8
Hoofdstuk 7 Informatieverwerking 1, 2, 3, 4 5, 6, 7 8, 9, 10, 11, 14, 15, 16 18, 19, 21, 22 Kern 5 23, 24, 26, 27, 29, 30 Bij dit hoofdstuk hebben de leerlingen een rekenmachine en goed tekengereedschap nodig. Dit hoofdstuk begint met het lezen van grafen. Benadruk dat een graaf een schema is, waarbij een verbindingslijn een relatie voorstelt. Het is dus bij een opgave als opgave 4 helemaal niet vreemd als het lijntje dat 36 km voorstelt dezelfde lengte heeft als het lijntje dat 18 km voorstelt. Wijs op het verschil tussen graaf, gerichte graaf en gewogen graaf. In deze kern komt het tekenen van grafen aan de orde. Besteed aandacht aan de verbinding van een knooppunt met zichzelf en de richting in een 'weg'. Bij boomdiagrammen is het de ene keer handiger om horizontaal te werken, de andere keer is verticaal handiger. Wijs de leerlingen er op dat ze een boomdiagram ruim opzetten, anders zal er voor de laatste takken te weinig ruimte zijn. Laat de leerlingen bij de takken en de wegen zetten wat die takken en wegen voorstellen. Naast het boomdiagram is het wegendiagram een mogelijkheid. Met de diagrammen is het aantal mogelijkheden te tellen en te berekenen.. Laat in een boomdiagram alle mogelijkheden achter de takken vermelden. Kern 5 Met behulp van het aantal gunstige mogelijkheden en het totaal aantal mogelijkheden is de 'kans' te berekenen, weergegeven als een breuk. Benadruk dat een kans een mogelijkheid is en geen zekerheid. Wijs hier op bij opgave 23. 9
Hoofdstuk 8 Stelling van Pythagoras 1, 2, 3, 5, 6, 7 9, 10, 11, 12, 14, 15 17, 18, 19, 21, 22, 23, 24, 26 27, 28, 29, 30, 32, 33 De leerling heeft bij dit hoofdstuk een rekenmachine, een geodriehoek en kleurpotloden nodig. De titelpagina bij het hoofdstuk toont een toepassing van de stelling van Pythagoras. Rechthoekszijden en de schuine zijden herkennen. De schuine zijde is altijd de langste zijde en ligt tegenover de rechte hoek, ook als de 'schuine' zijde niet schuin lijkt. De oppervlakte berekenen van een rechthoekige driehoek en van een scheefstaand vierkant door het in te lijsten. Ontwikkeling van de stelling van Pythagoras via de oppervlakte van vierkanten op de zijden. Via deze oppervlaktes is ook aan te tonen of een driehoek wel of niet rechthoekig is. Met de stelling van Pythagoras wordt eerst de schuine zijde berekend. Laat de leerlingen steeds met een schema werken, zoals bijvoorbeeld bij opgave 18. Een zelfde schema is te gebruiken bij het bereken van rechthoekszijden. In figuren zonder rechthoekige driehoeken is het soms mogelijk via hulplijnen rechthoekige driehoeken te krijgen. Bespreek welke hulplijnen je kunt kiezen. 10
Hoofdstuk 9 Oplossingen zoeken 1, 2, 4, 5, 6 7, 8, 9, 10 12, 13, 14, 15 17, 18, 19, 20, 21, 22, 23, 24, 26 Kern 5 28, 29, 30, 31, 32 Kern 6 34, 35, 36, 37, 38, 39, 40 In dit hoofdstuk gaat het om het oplossen van vergelijkingen. Achtereenvolgens komen diverse oplossingsmogelijkheden aan de orde. De leerling heeft een rekenmachine nodig. Laat bij het inklemmen een tabel gebruiken. De gevraagde waarde wordt afgelezen uit de grafiek. Met de formule wordt het antwoord gecontroleerd. Bij twee grafieken wordt de waarde bij het snijpunt afgelezen. Bij opgave 6 eerst de grafieken tekenen. De gevraagde oplossing wordt nu gevonden via inklemmen. Laat de leerlingen een inklemtabel gebruiken. Wijs er op hoe de leerling ziet in de tabel kan zien bij welke waarde de beste benadering bereikt wordt. Een volgende methode is het gebruik van een rekenschema en een terugrekenschema. Het is een voorbereiding op het werken met de balansmethode. Bij een terugreken schema na elke stap het antwoord berekenen in verband met de voorrangsregels. Nu volgt het oplossen via de balansmethode. Bij opgave 23 wordt een breuk weggewerkt. Kern 5 Ook bij eenvoudige kwadratische vergelijkingen is de balansmethode toepasbaar. Vestig er de aandacht op, dat een kwadratische vergelijking meestal twee oplossingen heeft. Het hangt van het vraagstuk af, of beide oplossingen bruikbaar zijn. Kern 6 Deze kern is er op gericht dat leerlingen de beste oplossingsmethode bij een vraagstuk leren kiezen. 11
Hoofdstuk 10 Goniometrie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 11, 12, 13, 15, 16, 18, 19, 20, 21, 22 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32, 33, 34, 36 36, 37, 38, 39, 40, 42, 43, 44, 45 Belangrijk bij dit hoofdstuk is dat leerlingen over een geschikte rekenmachine beschikken. Het verdient aanbeveling de noodzakelijke toetsen en de manier van intypen te bespreken. De tangens is in deze kern eerst gekoppeld aan een helling. Vervolgens gedefinieerd in een rechthoekige driehoek. De tangens wordt gedefinieerd in termen van overstaande en aanliggende rechthoekszijden. Daardoor is het mogelijk de tangens te gebruiken in situaties die niet met horizontaal of verticaal overeenkomen. Bij het gebruik van de rekenmachine voor de tangens zullen de meeste rekenmachines in het venster 'DEG' vermelden. In deze kern wordt de tangens berekend met de rekenmachine, vervolgens wordt de hoek berekend als de tangens gegeven is. Daarna wordt eerst de overstaande en vervolgens de aanliggende rechthoekszijde berekend. Na de tangens volgen de sinus en de cosinus. Om de diverse goniometrische verhoudingen te onthouden is gewerkt met compacte notaties. Het ezelsbruggetje SOSCASTOA is in deze notatie te herkennen. De laatste kern is voor berekeningen met de sinus en de cosinus. De leerling wordt bijvoorbeeld bij opgave 39 geholpen bij het kiezen van de geschikte goniometrische verhouding. 12
Hoofdstuk 11 Niet-lineaire verbanden 1, 2, 3, 4 5, 6, 7, 8 9, 10, 11, 13, 14, 15, 16, 17 20, 21, 22, 23 Kern 5 25, 26, 27, 29 In dit hoofdstuk maakt de leerling kennis met diverse soorten verbanden. Het lezen van grafieken, het invullen van tabellen en het tekenen van grafieken keert telkens terug. Bij ingewikkelder formules zoals bijvoorbeeld bij opgave 11 en 16 krijgt een tabel meerdere stappen. Bij de periodieke verbanden speelt het lezen van de grafiek de hoofdrol. Uit de grafiek zijn periode, evenwichtstoestand en amplitude af te lezen. De groeifactor is gedefinieerd op een bepaald tijdsinterval. Bij de exponentiële verbanden gaat het over toename en afname. Wijs er op hoe je het aan de groeifactor kan herkennen. Bij de kwadratische verbanden komen de leerlingen op bekend terrein. Het verband tussen formule en grafiek komt aan de orde. Bij wortelverbanden wordt het getal onder het wortelteken niet negatief. De formule bij een hyperbolisch verband is op verschillende manieren te schrijven. Opgave 27 komt de leerling ook bij natuurkunde tegen. 13
Hoofdstuk 12 Sector opdrachten Aan de orde komen: - de Agrarische sector - de Economische sector - de Technische sector - de Sector zorg en welzijn In de sectoropdrachten wordt geen nieuwe leerstof behandeld. De opdrachten bieden een aantal gebruiksmogelijkheden. * De opdrachten zijn per sector opgenomen. De leerlingen ontdekken dat wiskunde in hun eigen sector belangrijk is. Ook ontdekken ze welke onderwerpen en wiskundige vaardigheden in hun sector voorkomen. * de sectoropdrachten kunnen gebruikt worden als herhaling of verdieping bij bepaalde onderwerpen. * Hoewel de opdrachten per sector zijn gegroepeerd, is een aantal sectoropdrachten sectoroverstijgend en kan dus in andere sectoren gebruikt worden. Voorbeeld. Rekenen met geld is opgenomen bij de economische sector maar kan zijn dienst ook bewijzen in andere sectoren. In het volgende overzicht staan de mogelijkheden tot gebruik aangegeven. agrarisch economisch technisch zorg en welzijn een tuin inrichten ** * * * ongedierte bestrijden ** * * * het voeren van koeien ** werken bij een serviceafdeling * ** * * stage lopen bij een VVV kantoor ** handelen in huizen * ** * * werken vanaf een tekening ** formules gebruiken * * ** * een speelgoedgarage maken ** een gezonde maaltijd samenstellen * * * ** de quetelet-index * * * ** een keuken inrichten ** Toelichting. ** Gebruik in de eigen sector. * Zeer bruikbaar in genoemde sector. 14
Computerpracticums VU-grafiek Bij de installatie van de CD-rom bij de delen 3A en 3B is het noodzakelijk voorgaande versies van VU-grafiek te verwijderen. Dit is ook bij de installatie leesbaar. Antwoorden bij computerpracticum VU-grafiek 1 Tabellen 1a b 2a b c Na 3 minuten Na 15 minuten 6 liter 4 liter 0,5 liter In het bestand staan meerdere programma's om te openen en te bekijken. Antwoorden bij Computerpracticum VU- grafiek 2 Lijnen 1a (3, 3), (4, 4) b het hellingsgetal is 1 2a het hellingsgetal is 0,5 3 het hellingsgetal is 2 4a bijvoorbeeld (2, 6) b het hellingsgetal is 1/2 c h = 1/2t + 5 5a het hellingsgetal is 2 b (0, 4) c bijvoorbeeld (0, 4), (1, 6), (2, 8) 6-7 - 8 bijvoorbeeld y = 2x y = -x y = 3x enzovoort Antwoorden bij computerpracticum Algebrapijlen Dit programma wijst zichzelf. Vergeet niet op de zoom-knop rechtsonder te klikken om het gehele programma (bv met Tabel) te krijgen. 15