Hoofdstuk 3: Arbitrage en financiële besluitvorming Elke beslissing heeft consequenties voor de toekomst en deze consequenties kunnen voordelig of nadelig zijn. Als de extra kosten de voordelen overschrijden, dan zal de beslissing om het te doen de waarde van het bedrijf verhogen en daarmee ook de welvaart van haar investeerders. Het verschil tussen de contante waarde van de baten en de kosten geeft het netto bedrag aan, waarmee de beslissing de welvaart zal doen toenemen. 3.1 Waardering van kosten en baten De eerste stap in het evalueren van een project is het identificeren van haar kosten en baten. De financiële manager moet eerst de kosten en baten van het project kwantificeren en vervolgens overwegen of de investeringskans waardevol is of niet. Marktprijzen gebruiken voor vaststellen van contante waarde Om kosten en baten, die op verschillende tijdstippen voorkomen, in verschillende valuta uitgedrukt worden, of een verschillend risico hebben, te kunnen vergelijken moeten we alle kosten en baten in algemene termen noteren. We rekenen de kosten en baten om in contanten vandaag. Een concurrentiemarkt is een markt waarop een goed gekocht en verkocht kan worden tegen dezelfde prijs. We gebruiken de prijzen van een concurrentiemarkt om de contante waarde van een goed te bepalen. 3.2 Rentevoet en tijdswaarde van geld Voor de meeste financiële beslissingen geldt dat de kosten en baten zich op verschillende tijdstippen voordoen. Maar hoe moet je rekening houden met dit tijdsverschil wanneer we een project evalueren. De tijdswaarde van geld Het verschil in waarde tussen geld vandaag en geld in de toekomst is de tijdswaarde van geld. Je kunt bijvoorbeeld 1,00 investeren tegen 7% rente, dan heb je aan het eind van het jaar 1,07 verdiend. Dit noemen we de tijdswaarde van geld. De rentevoet: een wisselkoers in de tijd De koers waartegen wij geld vandaag kunnen inwisselen voor geld in de toekomst door te lenen of te investeren, noemen we de huidige markt rentevoet. De rentevoet maakt het mogelijk om geld vanaf een bepaald tijdstip om te rekenen naar een ander tijdstip. Het vertelt ons de marktprijs van vandaag, van geld in de toekomst. De risicovrije rentevoet rƒ, is de koers waartegen geld geleend en uitgeleend kan worden zonder enkel risico. We kunnen (1 + rƒ) euro s inwisselen in euro s in de toekomst per euro vandaag, en vice versa, zonder enig risico. De factor (1 + rƒ) noemen we de rente factor. De factor 1 / (1 + r) noemen we de één jaar disconteringspercentage.
Stel: r = 7% 1 / (1 + r) = 1 / 1,07 = 0,93458 dat is de prijs die je vandaag voor 1,00 over één jaar krijgt. Deze waarde is lager dan 1,00 dat wil zeggen dat geld in de toekomst, vandaag minder waard is dus de prijs ervan geeft een korting weer. De risicovrije rentevoet wordt ook wel de disconteringsvoet voor een risicovrije investering genoemd. 3.3 Contante waarde en de Netto contante waarde De waarde van de kosten of baten wordt berekend in termen van geld vandaag, dit noemen we de contante waarde (CW) Netto contante waarde De netto contante waarde (NCW) van een project of investering is het verschil tussen de contante waarde van de kosten van deze investering: Netto contante waarde = Contante waarde (Baten) Contante waarde (Kosten). Stel: in ruil voor 500 vandaag krijg je 550 over één jaar met zekerheid. Als de risicovrije rentevoet 8% per jaar is, dan geldt: CW (Baten) = ( 550 over een jaar) (1,08 over een jaar / vandaag) = 509,26 vandaag. Dus 509,26 is het bedrag dat we vandaag op de bank moeten zetten om 550 over één jaar te kunnen genereren (= 509,26 x 1,08 = 550). De netto contante waarde beslissingsregel De netto contante waarde representeert de waarde van het project in termen van geld vandaag. Goede projecten hebben een positieve netto contante waarde, dus de welvaart van de investeerder neemt toe. Projecten met negatieve netto contante waarde hebben kosten die de baten overschrijden, dat wil zeggen dat je op dat project vandaag verlies maakt als je het accepteert. De netto contante waarde regel: Bij het nemen van een investeringsbeslissing moet je het alternatief met de hoogste netto contante waarde nemen. Het kiezen van dit alternatief is equivalent aan het ontvangen van zijn netto contante waarde in geld vandaag.
Netto contante waarde en individuele voorkeuren Ongeacht onze voorkeuren voor geld vandaag versus geld in de toekomst, moeten we altijd eerst de netto contante waarde maximaliseren. Pas daarna kunnen we lenen of uitlenen om de cash flow in de tijd te verplaatsen en zo het patroon van de cash flows vinden met onze hoogste voorkeur. 3.4 Arbitrage en de wet van één prijs Arbitrage is het proces van handel om voordeel te behalen uit equivalente goederen, die verschillende prijzen op verschillende concurrentiemarkten hebben. Een arbitrage mogelijkheid is elke situatie waarin het mogelijk is om winst te maken zonder enig risico te nemen of een investering te plegen. Een arbitrage mogelijkheid heeft een positieve netto contante waarde. Een normale markt is een concurrentiemarkt met geen arbitrage mogelijkheden. Wet van één prijs Als de prijzen op twee markten verschillen, dan zullen investeerders meteen profiteren door te kopen op de markt dat goedkoop is, en verkopen op de markt waar het duur is. Op deze wijze zal de prijs uiteindelijk gelijk worden. Het resultaat is dus dat de prijzen niet meer verschillen, dit noemen we de wet van één prijs. Wet van één prijs: als equivalente investeringsgoederen of -zekerheden simultaan verhandeld worden op verschillende markten, dan zullen ze op beide markten tegen dezelfde prijs verhandeld worden. 3.5 Geen arbitrage en zekerheidsprijzen Een investeringsgelegenheid dat verhandeld wordt op een financiële markt, wordt een financiële zekerheid genoemd. Waardering van een zekerheid Een obligatie is een zekerheid die door de overheid wordt uitgegeven om nú geld te innen van haar investeerders in ruil voor de beloofde betaling in de toekomst. Stel: we hebben twee mogelijkheden om dezelfde cash flow te behalen namelijk, een obligatie kopen die over één jaar 1000 oplevert. geld investeren bij de bank om over één jaar 1000 te ontvangen tegen een risicovrije rentevoet van 5%. De contante waarde van 1000 investeren bij de bank bereken je als volgt: De CW ( 1000 over één jaar) = ( 1000 over één jaar) (1,05 over één jaar / vandaag) = 952,38 vandaag Dus als we 952,38 vandaag investeren tegen 5% risicovrije rentevoet, zullen we 1000 over één jaar zonder enig risico ontvangen.
Omdat beide mogelijkheden dezelfde cash flow opleveren, moet volgens de wet van één prijs beiden dezelfde prijs hebben op een normale markt: 1. prijs (obligatie) = 952,38 Stel: er is sprake van arbitrage mogelijkheid. Als de obligatie een andere prijs had, dan zou er wel een mogelijkheid voor arbitrage zijn. We veronderstellen dat de prijs van de obligatie 940 is. Hoe kun je winst behalen in deze situatie? Allereerst kun je de obligatie kopen voor 940 en tegelijkertijd kun je 952,38 lenen bij de bank tegen 5% risicovrije rentevoet. Over één jaar moet je de bank 952, 38 x 1,05 = 1000 terugbetalen. Met deze twee transacties verdien je 12,38 nú voor elke obligatie dat je koopt, zonder enig risico dat je in de toekomst zelf geld moet bij leggen. Dit is samengevat in onderstaande tabel. Netto cash flow door het kopen van obligatie en lenen Vandaag ( ) Over één jaar ( ) Obligatie kopen - 940,00 + 1000 Lenen van de bank + 952,38-1000 Netto cash flow + 12,38 0.00 Als de obligatieprijs hoger is dan 952,38 treedt er eenzelfde arbitragemogelijkheid op. Stel: obligatie kost 960. In dit geval moeten we de obligatie verkopen en 952,38 bij de bank investeren. Dit levert nú 7,62 op (zie tabel hieronder). Netto cash flow door het verkopen van obligatie en investeren Vandaag ( ) Over één jaar ( ) Obligatie verkopen + 960,00-1000 Investeren bij de bank - 952,38 + 1000 Netto cash flow + 7,62 0.00 Vaststellen van non-arbitrage prijs In het bovenstaande voorbeeld is de prijs van 952,38 dié prijs waarbij géén arbitrage mogelijkheden meer bestaan voor onze obligatie.
Deze prijs noemen we de non-arbitrage prijs voor onze obligatie. De formule voor een non-arbitrage prijs van een zekerheid is: 2. Prijs (zekerheid) = CW (alle cash flows betaald door de zekerheid). Vaststellen van de rentevoet uit obligatieprijzen Als wij de prijs van een risicovrije obligatie weten, kunnen we met de bovenstaande formule vaststellen wat de risicovrije rentevoet moet zijn als er geen arbitrage mogelijkheden meer over zijn. Stel: een risicovrije obligatie die over een jaar 1000 oplevert, wordt nu verhandeld op een concurrentiemarkt tegen 929,80. We weten dat de prijs van de obligatie gelijk moet zijn aan de contante waarde van 1000 cash flow die het oplevert: 3. 929,80 vandaag = ( 1000 over een jaar) (1 + rƒ over een jaar / vandaag). Uit deze vergelijking kunnen we de risicovrije rentevoet afleiden: 4. 1 + rƒ = 1000 over een jaar / 929,80 vandaag = 1,0755 over een jaar / vandaag Deze uitkomst geeft aan dat als er geen arbitrage mogelijkheden meer zijn, dan zal de risicovrije rentevoet 7,55% bedragen. Er dient opgemerkt te worden dat de risicovrije rentevoet gelijk is aan de procentuele winst dat je verdient door in de obligatie te investeren, dit noemen we het obligatierendement: 5. Obligatierendement = Verdiensten aan het eind van het jaar / Initiële kosten. 6. = (1000 929,80) / 929,80 = (1000 / 929,80) 1 = 7,55% Non-arbitrage is equivalent aan het idee, dat alle risicovrije investeringen dezelfde verdiensten zouden moeten opleveren voor de investeerder. De netto contante waarde van handelbare zekerheden Als zekerheden (effecten) verhandeld worden tegen non-arbitrage prijzen, wat is dan de waarde van het verhandelen van zekerheden? De netto contante waarde van het kopen van een zekerheid is nul. 1. NCW (zekerheid kopen) = CW (alle cash flows betaald door zekerheid) Prijs (zekerheid) = 0 Als we een zekerheid verkopen dan zijn de baten de prijs die we krijgen en de kosten zijn de cash flows die we opgeven. Ook nu is de netto contante waarde gelijk aan nul. 2. NCW (verkopen zekerheid) = Prijs (zekerheid) CW (alle cash flows betaald door zekerheid) = 0
Dus de netto contante waarde van het verhandelen van een zekerheid op een normale markt is nul, want er bestaan geen arbitrage mogelijkheden op normale markten. Het scheidingsbeginsel geeft aan dat we een scheiding moeten maken tussen de investeringsbeslissing van het bedrijf en haar financiële keuze. Het scheidingsprincipe houdt in: 3. zekerheidstransacties creëren of verminderen geen waarde op zichzelf op een normale markt. Als gevolg daarvan kunnen we de netto contante waarde van een investeringsbeslissing scheiden van de zekerheidstransacties die het bedrijf overweegt. Waardering van een portfolio Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar de non-arbitrage prijs van individuele zekerheden. De wet van één prijs heeft ook implicaties voor een pakket van zekerheden. Stel: we hebben twee zekerheden A en B. Daarnaast is er ook een derde zekerheid C, die dezelfde cash flows heeft als A en B samen. In dit geval is zekerheid C equivalent aan een portfolio ofwel een combinatie van zekerheid A en B. Wat kunnen we concluderen over de prijs van zekerheid C vergeleken met de prijzen van A en B? Omdat zekerheid C equivalent is aan de portfolio van A en B moeten ze volgens de wet van één prijs, dezelfde prijs hebben. Deze relatie noemen we waarde toevoeging. Dus de prijs van C moet gelijk zijn aan de prijs van de portfolio, dat wil zeggen de gecombineerde prijs van A en B. Waarde toevoeging: 4. Prijs (C) = Prijs (A + B) = Prijs (A) + Prijs (B). Aangezien zekerheid C cash flows heeft die gelijk zijn aan de som van A en B, moet haar waarde of prijs de som van de waarde van A en B zijn. In het algemeen houdt waarde toevoeging in dat de waarde van een portfolio gelijk is aan de som van de waarden van haar delen. Waarde toevoeging heeft een belangrijk gevolg voor de waarde van het hele bedrijf. De prijs of waarde van het hele bedrijf is gelijk aan de som van de waarden van alle projecten en investeringen daarin. Om de waarde van het bedrijf te kunnen maximaliseren, moeten managers dié beslissingen nemen die de netto contante waarde maximaliseren. De netto contante waarde van een beslissing representeert haar bijdrage aan de totale waarde van het bedrijf.
3.6 De prijs van het risico Tot nu toe hebben we alleen gekeken naar cash flows die geen risico hebben. Maar in veel gevallen zijn de cash flows niet risicovrij. Hoe bereken je de contante waarde van een riskante cash flow? Riskant versus risicovrije cash flows Stel: de risicovrije rentevoet is 4%. De kans dat de economie volgend jaar verbetert of verslechtert, is even groot. Als voorbeeld nemen we een investering in een risicovrije obligatie en een investering in een aandelenmarktindex (= portfolio van alle aandelen op de markt). De risicovrije obligatie heeft geen risico en zal 1.100 opleveren ongeacht hoe de economie zich ontwikkelt. Echter de cash flow van een investering in de marktindex hangt af van de sterkte van de economie. We veronderstellen dat de marktindex 1.400 waard zal zijn als de economie sterk is en 800 zal zijn als de economie zwak is. Dit wordt weergegeven in onderstaand tabel. Cash flow en marktprijzen (in ) van een risicovrije obligatie en een investering in een marktportfolio Cash flow over een jaar Marktprijs Vandaag Zwakke Sterke Economie economie Risicovrije obligatie 1058 1100 1100 Marktindex 1000 800 1400 We zagen eerder dat de non-arbitrage prijs van een zekerheid gelijk is aan de Contante waarde van haar cash flows. De prijs van de risicovrije obligatie correspondeert dan met de 4% risicovrije rentevoet. 5. Prijs (Risicovrije obligatie) = Contante waarde (Cash Flows) = 6. = ( 1100 over een jaar ) / (1,04 over een jaar / vandaag) = 1058 vandaag. Als we naar de marktindex kijken, dan kunnen we het vandaag kopen en het over een jaar verkopen voor ofwel 800 of voor 1400 met een gemiddelde payoff van: ½ ( 800) + ½ ( 1400) = 1100. Echter de eigenlijke cash flow is risicovoller, dus zullen de investeerders nu slechts 1100 willen betalen in plaats van 1058. Risicoaversie en risicopremie Investeerders geven voorkeur aan het hebben van een veilig inkomen, dan een riskant inkomen uit dezelfde gemiddelde payoff. Dit noemen we risicoaversie.
Hoe meer risico avers de investeerders zijn, des te lager de huidige prijs van de marktindex zal zijn vergeleken met een risicovolle obligatie met eenzelfde gemiddelde payoff. Omdat investeerders zich bekommeren om risico, kunnen we niet de risicovrije rentevoet gebruiken om de contante waarde van een riskante toekomstige cash flow te berekenen. Wanneer we de winst berekenen van een zekerheid gebaseerd op de payoff die we verwachten te ontvangen op basis van gemiddelde, noemen we dat het verwachte rendement. Verwacht rendement (van een risicovolle investering) = Verwachte winst aan het eind van het jaar / Initiële kosten. De risicopremie van een zekerheid representeert de extra verdienste die de investeerders verwachten te verdienen om hun compensatie te geven voor het risico van de zekerheid. De non-arbitrage prijs van een risicovolle zekerheid Als de cash flows risicovol zijn, kunnen we de risicovrije rentevoet niet gebruiken. In plaats daarvan kunnen we de contante waarde vaststellen door het construeren van een portfolio dat cash flows produceert met identiek risico en vervolgens de wet van één prijs toepassen. Het risico van een zekerheid moet geëvalueerd worden met de fluctuaties van andere investeringen in de economie. Een risicopremie van een zekerheid zal hoger zijn naarmate de verdiensten ervan geneigd zijn te variëren met de totale economie en de marktindex. Als de verdiensten van een zekerheid in tegengestelde richting variëren ten opzichte van de marktindex, dan biedt het verzekering en zal de risicopremie negatief zijn. De disconteringsvoet rs: rs = rƒ + (risicopremie voor investering s) Prijs of CW ( vandaag) x (1 + rs) (1 + rs) Verwachte toekomstige Cash Flow ( over één jaar) 3.7 Arbitrage met transactiekosten Wanneer er geen transactiekosten zijn, dan kunnen de prijzen van equivalente zekerheden afwijken van elkaar, maar niet meer dan de transactiekosten van de arbitrage. Stel: een aandeel van Dell staat als volgt genoteerd: Biedprijs: 40,50 Vraagprijs: 40,70
Deze prijzen kunnen we interpreteren als de concurrentieprijs van Dell 40,60 is, dan zijn er nog 0,10 transactiekosten per aandeel als je het wilt kopen of verkopen. Welke consequenties hebben deze transactiekosten voor de non-arbitrage prijzen en de wet van één prijs? Stel: de prijs van goud in New York en Londen moet identiek zijn op een concurrentiemarkt. We veronderstellen dat de totale transactiekosten 5 per gram bedragen voor het kopen van goud op één markt en verkopen op de andere markt. Als daarna de prijs van goud 250 per gram is in New York en 252 per gram in Londen, werkt de strategie van goedkoop kopen en duur verkopen niet meer: Kosten: 250 per gram (goud kopen in New York + 5 (transactiekosten) Baten: 252 per gram (goud verkopen in Londen) Netto contante waarde: 252-250 - 5 = - 3 per gram Inderdaad, er is geen arbitrage mogelijkheid meer in dit geval totdat de prijzen afwijken met meer dan 5 (het bedrag van de transactiekosten).