Uitwerking opgave Pierre Hoogenboom, 9 november 001 a = 15 m, b = 7 m en c = 4 m. Aangenomen: Vloeispanning 40 MPa Veiligheidsfactor vloeispanning 1, Van Amerikaanse Resistance Factors (Phi) wordt geen gebruik gemaakt. Daarvoor in plaats wordt de vloeispanning voor de uiterste grenstoestand 40 MPa / 1, = 00 MPa. Elasticiteitsmodulus,1e5 MPa Stap 1. Lineair model De vorm van de constructie is getekend in het programma Dr. Frame. De belastingcombinaties zijn ingevoerd. Vervolgens zijn ook de belastinggevallen getekend. In eerste instantie worden de profielafmetingen en materiaaleigenschappen aangehouden die het programma voorstelt. Er wordt een lineair model gebruikt (nd order analysis off). Het grootste moment bedraagt 14 knm. Het treedt op in de rechter kolomvoet tengevolge van belastingcombinatie 1,1 G + 1,4 W. Stap. Geometrisch niet-lineair model Het elastisch weerstandsmoment dat nodig is om dit moment op te nemen is M 14e Nmm W = = = 15,7emm 40 N mm /1, Profiel Wx41 voldoet hier vrijwel aan. Dit profiel wordt voorlopig gekozen voor alle elementen. Tevens worden de juiste materiaaleigenschappen ingevoerd (zie onderstaande figuur). Het lineaire model wordt weer gebruikt. De momenten blijken nauwelijks te zijn veranderd. Het grootste moment is 14 knm en treedt weer op in de rechter kolomvoet. 1
(In de vorige berekening met het lineaire model is verzuimd om de belastingfactoren aan te zetten (Load Factor On). Daardoor was het moment van 14 knm eigenlijk iets te klein. Dit zou enig effect hebben op de vorige profielkeuze. Ik ga echter niet terug om dit opnieuw te doen. Het komt wel goed in de volgende ontwerpstappen.) Vervolgens wordt het niet-lineaire model gebuikt (nd Order Analysis, Load-Dependent EI en de i-toets een paar keer indrukken). Opmerkelijk is dat het grootste moment hierdoor kleiner wordt (184 knm, zie de onderstaande figuur). De andere momenten worden groter. Voor de gebruikbelasting is de grootste vervorming 5 mm. Het treedt op in de rechter hoek van het spant. Dit is voldoende omdat de maximale vervorming gelijk is aan 7000 mm / 00 = 5 mm.
Het ontwerp voldoet nu aan alle prestatiecriteria. Maar er kan vast wel wat bezuinigd worden. Ik zou steeds kleinere profielen kunnen kiezen totdat niet meer voldaan wordt aan de prestatiecriteria. Dit is echter veel werk. Het gaat wellicht sneller als ik elk profielen baseer op het lokale optredende moment. Stap. Geometrisch niet-lineair model De maatgevende momentenlijn is gegeven in de bovenstaande figuur. De benodigde elastische weerstandsmomenten zijn. M 179e Nmm W = = =,90emm W 118 W =,80e 40 N mm /1, M 15e Nmm W = = =,8e mm W 118 W =,80e 40 N mm /1, M 9e Nmm W = = = 11,47emm W 01 W = 1,5e 40 N mm /1, M 184e Nmm W = = = 15,9e mm W 41 W = 15,9e 40 N mm /1, Weer wordt een niet-lineaire berekening gekozen. Amerikaanse veiligheidsfactoren zijn niet gebruikt (Resistance Factors Off = Phi Factors Off). Daarvoor in de plaats is de vloeisterkte gereduceerd. Initiële afwijkingen zijn in rekening gebracht (Load-Dependent EI On). De momentenlijn blijkt door de nieuwe profielkeuzen aanzienlijk te veranderen (zie hieronder). De onderstaande figuur laat zien dat de capaciteit van rechter kolom bij lange na niet voldoet (Normalise Values On).
Bij belastingcombinatie 1, G voldoet de linker kolom niet (zie onderstaande figuur). Dit komt door de grote normaalkracht. De andere elementen zijn sterk onderbelast voor deze belasting. Daarom zal het spant deze belasting misschien toch kunnen dragen na plastische herverdeling. 4
De vervorming van 8 mm voldoet wel (Belastingcombinatie G + W, Resistance Factors Off). Deze is blijkbaar niet maatgevend. Voor deze berekening is de vloeispanning (Limit Stress) veranderd in 40 MPa. Dit blijkt echter weinig effect te hebben. De volgende tactiek lijkt verstandig. De rechter kolom een paar maten groter kiezen zodat 1,1 G + 1,4 W kan worden gedragen. Daarna met plastische vervorming laten zien dat 1, G ook kan worden gedragen. Stap 4. Geometrisch niet-lineair model De rechter kolom is uit de serie W gekozen Dit is de grootste standaardmaat die mogelijk is. De sterkte blijkt 1 % te klein maar met een beetje vloei kunnen de andere profielen dit waarschijnlijk wel opvangen. 5
Stap 5. Controle met het plastische model Belastingcombinatie 1,1 G + 1,4 W. Eerst zijn de belastingfactoren uitgezet zodat de benutting overal minder dan 100 % is. Vervolgens zijn plastische scharnieren aangebracht (Install Plastic Hinges). Daarna zijn de belastingfactoren weer aangezet zodat de volle belasting op de constructie staat. Zoals verwacht treedt plastische rotatie op bij de rechter kolomvoet. De constructie blijft keurig stabiel (zie onderstaande figuur).
Belastingcombinatie 1, G. Eerst zijn de belastingfactoren uitgezet zodat de benutting vrijwel overal minder dan 100 % is. De aanwezige plastische vervorming is verwijderd (Reset Plastic Hinges). Vervolgens zijn de belastingfactoren weer aan gezet. Er treedt aanzienlijke plastische vloei op zowel boven als onder in de linker kolom (zie onderstaande figuur). De constructie is stabiel. Het programma geeft aan dat de benutting van de linker kolom 105 % bedraagt. Dit is opvallend omdat je zou verwachten dat de maximale benutting in een plastisch scharnier 100 % is. Blijkbaar treedt versteviging op in het plastische scharnier (Post- Yield Stiffness). Voor de gebruikstoestand wordt een vloeispanning (Limit Stress) van 40 MPa voor alle profielen ingevoerd. Het blijkt dat voor beide belastingcombinaties de capaciteit van de doorsnede nergens wordt overschreven. Ook de verplaatsing is kleiner dan 5 mm. Derhalve voldoet het huidige ontwerp aan de prestatiecriteria. Misschien dat een paar kilo staal kan worden bezuinigd door profielen uit andere series te proberen. Echter, ik verwacht dat de extra inspanning niet zal opwegen tegen de reductie in materiaalkosten. 7