Opfriscursus Wiskunde

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN FEB Campus Brussel Opfriscursus Wiskunde voor het Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs Chris BIRONT Johan DEPREZ Theo MOONS september 08

CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Schakelprogramma Handelswetenschappen in avondonderwijs CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Inleiding Inleiding

Opfriscursus Wiskunde docent : Theo Moons bureel : T Serclaes gebouw, lokaal A.06 0 email : Skype : Theo.Moons@kuleuven.be theomoonshub Opfriscursus Wiskunde doel: de nodige voorkennis van wiskunde opfrissen om het Schakelprogramma Handelswetenschappen succesvol te kunnen aanvatten praktisch: 5 lessen telkens van 7u0 tot u0 ( met pauze ) gevolgd door een zelftest per les ongeveer uur om extra oefeningen te maken en, een ruime herhaling als voorbereiding op de zelftest voorkennis: elementair algebraïsch rekenen [ indien nodig, zelf op te frissen! ] Inleiding

Didactisch materiaal map met handouts van de presentaties en oefeningen website feb.kuleuven.be/toekomstigestudenten/opfriscursussen/ brussel/cursusmateriaal-schakel-hw-avondonderwijs/ met daarop tekst Elementair algebraïsch rekenen ( voor zelfstudie ) de verwachte voorkennis voor het Schakelprogramma per lesdag een printout van de volledige powerpoint herhalingsoefeningen ter voorbereiding van de zelftest software: VisuMath.0 ( download van www.visumath.be ) voor Apple & Mac : Grapher eventueel een rekenmachine ( als je er één hebt ) Voor bijkomende informatie en oefeningen J. van de Craats en R. Bosch, Basisboek wiskunde, de editie, Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN 978-90-40-67-5 gedeeltelijk beschikbaar via http://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/basisboekwiskundehp.pdf [ zie website opfriscursus voor wat je hiervan moet kennen ] websites met instructiefilmpjes en/of interactieve oefeningen: www.khanacademy.org www.zweigmedia.com/tuts/index.php?lang=en www.purplemath.com/modules/index.htm www.onlinemathlearning.com/ www.mathispower4u.com/ www.mathcentre.ac.uk/ Inleiding

Voorkennis wiskunde In de cursussen Wiskunde voor Bedrijfswetenschappen wordt er verondersteld dat u een aantal elementaire begrippen en rekentechnieken uit de wiskunde kent en kunt gebruiken. Een goed boek waarin de basiskennis van wiskunde overzichtelijk weergegeven wordt en dat eveneens voldoende oefenmateriaal bevat om die kennis opnieuw in de vingers te krijgen is: J. van de Craats & R. Bosch, Basisboek Wiskunde (de editie), Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN 978-90-40-67-5. Grote delen van dit boek kan u ook online raadplegen via de link https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/basisboekwiskundehp.pdf De volgende hoofdstukken uit dit boek worden in de cursussen Wiskunde voor Bedrijfswetenschappen verondersteld gekend te zijn. De onderwerpen aangeduid met een asterix (d.i. ) komen aan bod in de Opfriscursus Wiskunde voor het avondprogramma. Hoofdstuk. Getallen Hoofdstuk. Algebra Hoofdstuk. Getallenrijen : 8. Rijen en limieten (alleen Rekenkundige rijen en Meetkundige rijen, maar niet Limieten van rijen en Snelle stijgers.) Hoofdstuk 4. Vergelijkingen Hoofdstuk 5. Meetkunde :. Lijnen in het vlak en 4. Cirkels (maar niet Raaklijnen aan een cirkel ) Hoofdstuk 6. Functies : 6. Functies en grafieken Hoofdstuk 6. Functies : 8. Exponentiële functies en logaritmen Verder wordt er ook verondersteld dat je elementaire berekeningen met matrices kan uitvoeren. Een goede referentie hiervoor is Hoofdstuk 5. Matrixrekening uit het boek J. van de Craats, Vervolgboek Wiskunde, Pearson Education Benelux, Amsterdam, 009, ISBN 978-90-40-69-. waarvan u eveneens grote delen online kan raadplegen raadplegen via de link https://staff.fnwi.uva.nl/j.vandecraats/vervolgboekwiskundehp.pdf

CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Eerste graadsfuncties Eerste-graadsfuncties

Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Een taxibedrijf rekent de volgende kosten aan haar klanten: een vaste vertrekprijs van 5 een kilometerprijs van Dan een rit van 7 km kost een rit van km kost een rit van km Algemeen:. kost een rit van x km kost Eerste graadsfuncties: een voorbeeld Besluit: de kostprijs y (in euro) van een taxirit van x km wordt gegeven door y = 5 + x wiskundige terminologie: x en y zijn de vergelijking y = 5 + x definieert een de veranderlijken x en y tussen Merk op: dit is een bijzondere soort van relatie nl. je kiest x, en dan ligt y vast dit soort relatie noemt men een Eerste-graadsfuncties

Begripsomschrijving: (voorlopige versie ) een functie van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y functie x ( ) + 5 y = 5 + x Terminologie: x is de veranderlijke y is de veranderlijke Eerste-graadsfuncties

Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Andere taxibedrijven hanteren andere vertrek- en km prijzen bv. y = 4.50 +.0x resp. y = 5.0 +.90x enzovoort Algemeen: kostprijs y = (vaste startprijs) + (prijs per km) x formeel: met q, m IR constanten terminologie: m en q noemt men Merk op: y is een veelterm van de eerste graad in x y is een eerste graadsfunctie van x Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld Het maandloon van een verkoper bestaat uit een basisbedrag van 500 aangevuld met 5% van de totale waarde van de omzet die hij vorige maand gerealiseerd heeft. Als de verkoper vorige maand voor een totaal van x = 0 000 verkocht heeft, dan bedraagt zijn loon deze maand y = Algemeen: als de verkoper s omzet vorige maand x bedroeg, dan krijgt hij deze maand y = loon. Merk op: y = q + mx met q = en m = een eerste graadsfunctie Eerste-graadsfuncties 4

Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties Voorbeeld Een bedrijfswagen wordt aangekocht voor 0000 maar verliest elk jaar 000 van zijn waarde. De waarde y van de bedrijfswagen jaar na aankoop is y = jaar na aankoop is y = jaar na aankoop is y =. Algemeen: x jaar na aankoop is y = Merk op: y = q + mx met q = en m =. een eerste graadsfunctie Andere voorbeelden van eerste graadsfuncties De vraag v naar een product hangt af van de prijs x van het product: hoe hoger de prijs, hoe minder er van verkocht wordt en hoe lager de prijs, hoe meer er van verkocht wordt bv. v = 00 0x een eerste graadsfunctie MAAR de opbrengst die de producent ontvangt bij prijs x is TO = Merk op: dit is y is van de vorm y = q + mx met q, m const. eerste graadsfunctie van x Eerste-graadsfuncties 5

Functies en hun voorstellingswijzen Begripsomschrijving: (voorlopige versie ) een functie van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y Voorstellingswijze : met een Voorbeelden een taxirit van x km kost y = 5 + x euro een omzet van x euro, geeft y = 500 + 0.05 x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog y = 0000 000 x euro waard bij een prijs van x is de vraag v = 00 0x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst TO = 00 x 0 x Voorstellingswijze : met een Begripsomschrijving: (voorlopige versie ) een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal f (x) formeel: f : IR IR : x f (x) Voorbeelden een taxirit van x km kost f (x) = 5 + x euro een omzet van x euro geeft f (x) = 500 + 0.05 x euro loon x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = 0000 000x euro waard bij een prijs van x is de vraag f (x) = 00 0x eenheden bij een prijs van x is de opbrengst f (x) = 00 x 0 x Eerste-graadsfuncties 6

Voorstellingswijze : met een Begripsomschrijving : een functie f van één veranderlijke is een regel die moet toegepast worden om een getal x om te zetten in een getal y = f (x) Voorbeelden een taxirit van x km kost f (x) = 5 + x euro Dan f (0) = f (5) = f (0) = f (5) = f (0) = f (5) = y 55 45 5 5 5 5 0 5 0 5 0 5 x x jaren na aankoop is een bedrijfswagen van 0000 nog f (x) = 0 000 000 x k EUR waard Dan f (0) = 0 (0) = f () = 0 () = f (4) = 0 (4) = y k 0 8 6 4 f (6) = 0 (6) = f (8) = 0 (8) = f (0) = 0 (0) =.. 0 8 6 4 0 4 5 6 7 8 9 0 x Eerste-graadsfuncties 7

Meetkundige interpretatie van de parameters de grafiek van een eerste graadsfunctie f (x) = mx + q is de rechte met vergelijking y = mx + q q = is de en geeft de plaats waar de grafiek de vertikale as snijdt m is de [ of kortweg ] en geeft de van de rechte weer [ Engels : slope ] Meer nog, m > 0 een rechte m = 0 een rechte m < 0 een rechte en, de grootte van m bepaalt hoe de rechte is Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt Voorbeeld Taxibedrijf : vertrekprijs 5 prijs per km Bijgevolg, als er x km gereden worden, dan kost de rit y = x + 5 Merk op: m = Anders gezegd, als er km méér gereden wordt, dan neemt de prijs toe met of nog: als x toeneemt met eenheid, dan neemt y toe met eenheden Eerste-graadsfuncties 8

Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 0 9 8 7 6 5 4 Y y = 5 + x 0 4 5 6 X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per km marginale kost = m richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneemt met eenheid, dan neemt y toe met m = eenheden Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 0 9 8 7 6 5 4 Y y = 5 + x 0 4 5 6 X > Voorbeeld ( taxibedrijf ) vertrekprijs 5 vaste kost prijs per km = m marginale kost richtingscoëfficiënt van de grafiek d.w.z. als x toeneemt met eenheid, dan neemt y toe met m = eenheden Merk op: dit hangt niet af van de plaats op de grafiek Eerste-graadsfuncties 9

Samengevat : Concreet, prijs per km = marginale kost als er km méér gereden wordt, dan neemt de prijs toe met m = Maar ook, = rico m van de grafiek km meer rijden meer betalen 5 km meer rijden meer betalen. x km meer rijden y =. meer betalen Formeel: y = of nog m Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 0 9 8 7 Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x 6 5 4 Welnu, m y x 0 4 5 6 X > Eerste-graadsfuncties 0

Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 0 9 8 7 Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x 6 5 4 Welnu, alsook m m y x y x 0 4 5 6 X > Meetkundige interpretatie van de richtingscoëfficiënt > 0 9 8 7 Y y = 5 + x Voorbeeld ( taxibedrijf ) prijs per km Formeel: = m m marginale kost rico van de grafiek y x 6 5 4 0 4 5 6 X > Welnu, alsook of nog m m m y x y x y x 4 Eerste-graadsfuncties

Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (a) 5 4 Y y rico m = x = 0 4 5 6 7 X Oefening Schat de richtingscoëfficiënt van de volgende rechten (b) 5 4 Y rico m = = y x 0 4 5 6 7 X Eerste-graadsfuncties

Oefening (a) Stel de rechte met vergelijking y = x voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de meetkundige betekenis van intercept en richtingscoëfficiënt. (b) Welke y - waarde hoort er bij x =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] (c) Welke x - waarde hoort er bij y =? [ Controleer je antwoord op de figuur. ] Oefening Bepaal de vergelijking van de vorm y = m x + q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de meetkundige betekenis van m en q. E D > 0 9 8 7 6 5 4 Y B F (,9) (6,6) 4 0 4 5 6 7 8 A C X > Eerste-graadsfuncties

Oefening Een souvenierwinkel in de Stoofstraat verkoopt beeldjes van Manneken Pis. Wanneer men 8 euro voor een beeldje vraagt, dan worden er dagelijks 4 stuks van verkocht. Als men echter 0 euro per beeldje vraagt, dan worden er slechts 6 stuks per dag van verkocht. Wat is het functievoorschrift van de eerste graadsfunctie die de dagelijkse vraag naar dergelijke beeldjes modelleert? Oplossing Stel x = Dan f (x) = f is de gezochte Gegeven : f is een eerste graadsfunctie f (x) = m x + q met m, q IR constanten en de grafiek van f is de vraag y prijs x Verder is er gegeven dat als de prijs 8 euro is, dan is de vraag stuks als de prijs 0 euro is, dan is de vraag stuks Gevraagd: zoek de vergelijking van de die door gaat Eerste-graadsfuncties 4

De vergelijking van een rechte y y = m x + q y 0 x 0 x alle punten op de rechte voldoen aan (x 0, y 0 ) ligt op de rechte maar dan y = m x + q of equivalent, punt rico formule Oefening Bepaal de vergelijking van de rechte door het punt (, ) en met rico. Wat is de intercept van deze functie? Oplossing een rechte door het punt (, ) heeft vergelijking gegeven: rico m = vergelijking Eerste-graadsfuncties 5

Oplossing souvenirwinkel ( vervolg ) Stel x = de prijs (in euro) voor een Manneken Pis beeldje f (x) = de dagelijkse vraag naar beeldjes Gegeven : f is een eerste graadsfunctie zodat vraag y 4 6 y = m x + q 8 0 prijs x Gevraagd: zoek het functievoorschrift y = f (x) van de functie waarvan de grafiek de rechte is die door de punten (8, 4) en (0,6) gaat Welnu, een rechte door het punt ( 8, 4) heeft vergelijking met m IR de rico de richtingscoëfficiënt van de rechte is m = de vergelijking van de rechte is deze rechte met vergelijking y = is de grafiek van de functie f die de dagelijkse vraag y = f (x) naar beeldjes van Manneken Pis beschrijft in functie van de prijs x het functievoorschrift van f is f (x) = Eerste-graadsfuncties 6

De vergelijking van een rechte y y y = m x + q y 0 x 0 x x alle punten op de rechte voldoen aan y y 0 = m ( x x 0 ) (x, y ) ligt op de rechte punt punt als x x 0 dan formule = m Eigenschap Zij (x 0, y 0 ) een en punt ( x in IR, y ) punten in IR met x 0 = x () Elke niet verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking y y 0 = m ( x x 0 ) met m IR de rico / () De rechte door de punten (x 0, y 0 ) en ( x, y ) heeft vergelijking y y 0 = m ( x x 0 ) met rico m = y y 0 x x 0 () De verticale rechte door het punt (x 0, y 0 ) heeft vergelijking x = x 0 Eerste-graadsfuncties 7

Oefening Bepaal de vergelijking van de rechte met intercept 4 die evenwijdig loopt met de rechte met vergelijking 4x y 4 = 0. Oefening Bepaal de vergelijking van de rechte die door het punt (, ) gaat en evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,) en (, ). Oefening Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve - dag reis 00 EUR vast recht aan en daarbij.5 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 00 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve - dag - reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste? Eerste-graadsfuncties 8

Oefening De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door TO =.5q. De vaste productiekosten bedragen 485 EUR. De variabele productie - kosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.5. Zoek het break even point (d.w.z. de waarde van q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt ). Oefening Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0. EUR per verbruikte kwh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 nachturen. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.9 EUR aangerekend en betaalt men 0. EUR per verbruikte kwh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kwh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt. Eerste-graadsfuncties 9

Oefening 4 Lovania heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot 750 000 EUR betaalt men 0 % belastingen en op het gedeelte boven 750 000 EUR betaalt men 60 % belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van 000 000 EUR, stellen we voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in eenheden van 000 000 EUR, stellen we voor door b. (a) Geef het voorschrift van een functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen in Lovania en maak een grafiek van deze functie. [ Aanwijzing : maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven 750 000 EUR ligt. ] (b) Men overweegt een hervorming van dit belastingstelsel. Het voorstel bepaalt dat men 0 % belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot 00 000 EUR en 40 % op het gedeelte boven 00 000 EUR. Geef het voorschrift van de functie die in het voorstel het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze nieuwe functie op de figuur uit opgave (a). (c) Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn. Eerste-graadsfuncties 0

Impliciet gedefinieerde functies Voorbeeld Iemand wil 00 000 euro beleggen in aandelen en obligaties. Een aandeel kost 00 euro per stuk en een obligatie kost 50 euro per stuk. Hoeveel aandelen en obligaties kan die persoon kopen? Antwoord Stel zij koopt q A aandelen en q O obligaties Dan 00 q A + 50 q O = 00 000 Er zijn dus oneindig veel combinaties mogelijk... bv. q A = en q O = of q A = en q O = of q A = en q O = of...... maar niet alle combinaties zijn mogelijk!!!!! want er moet altijd voldaan zijn aan de vergelijking Deze vergelijking definieert een tussen de veranderlijken q A en q O Eerste-graadsfuncties

mogelijke scenario s ofwel kiest zij het aantal aandelen q A dan 00 q A + 50 q O = 00 000 q O 0 q A Terminologie de vergelijking 00 q A + 50 q O = 00 000 definieert impliciet als functie van q A, namelijk q O q O : IR IR : q A 400 0.4 q A q A is de veranderlijke q O is de veranderlijke Eerste-graadsfuncties

ofwel kiest zij het aantal obligaties q O dan 00 q A + 50 q O = 00 000 q O 0 q A Terminologie de vergelijking 00 q A + 50 q O = 00 000 definieert impliciet als functie van q O, namelijk q A q A : IR IR : q O 000.5 q O q O is de veranderlijke q A is de veranderlijke Eerste-graadsfuncties

Wiskunde leren = heel veel oefeningen maken; en soms ook fouten maken, begrijpen waarom het verkeerd is en de oefeningen correct opnieuw maken! Eerste-graadsfuncties 4

Opfriscursus wiskunde dag. a. Stel de rechte met vergelijking y = x voor op een figuur. Maak hiervoor gebruik van de betekenis van y-intercept en richtingscoëfficiënt. b. Welke y-waarde hoort er bij x =? (Controleer je resultaat op de figuur.) c. Welke x-waarde hoort er bij y =? (Controleer je resultaat op de figuur.). Bepaal de vergelijking van de vorm y = mx + q voor elk van de rechten A, B, C, D, E en F uit de onderstaande figuur door gebruik te maken van de betekenis van m en q. y B F (,9) (0,7) (6,6) A (0,) C (,0) x D E. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (, ) gaat en die evenwijdig loopt met de rechte door de punten (4,) en (,). 4. Bereken de vergelijking van de rechte die door het punt (,) gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x y + 6 = 0. 5. Welke figuur wordt voorgesteld door de vergelijking a. x + y + = 0? b. (0 x) + y + = 0? c. x ( + 0 y) + = 0? d. (0x + 0 y + ) = 0?

6. De hoeveelheid q die van een zeker product verkocht kan worden, hangt af van de prijs p die ervoor gevraagd wordt. Veronderstel dat het verband tussen beide grootheden gegeven wordt door q = 4 0.8p. Deze functie wordt de vraagfunctie genoemd. a. Maak een grafiek van deze vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. Deze vraagfunctie is in eerste instantie bruikbaar om de waarde van q te bepalen als er een waarde voor p gegeven is. We kunnen deze formule echter ook gebruiken 'in de omgekeerde zin'. b. Veronderstel dat we willen dat er 6 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? c. Veronderstel dat we willen dat er 0 eenheden van het product verkocht kunnen worden. Hoeveel moet de prijs dan bedragen? d. Als we de waarde van p moeten bepalen voor heel veel verschillende waarden van q, dan kunnen we de bovenstaande vergelijking beter in een andere vorm schrijven, namelijk de vorm waarbij p uigedrukt wordt in functie van q. Doe dit. e. Controleer het antwoord op de vragen b. en c. met behulp van deze formule. De formule uit oefening d. kunnen we opvatten als de vergelijking van een functie die p uitdrukt in functie van q. Deze nieuwe functie wordt de inverse vraagfunctie genoemd. f. Maak een grafiek van deze inverse vraagfunctie en lees de richtingscoëfficiënt van de grafiek af. g. Welk verband bestaat er tussen de richtingscoëfficiënt van de grafieken van de vraagfunctie en de inverse vraagfunctie? 7. Ga door berekening na of de grafieken van de functies f : y = x, g : y = x en h : y = x + door één punt gaan. 8. a. Bepaal x en y zó dat 8 x + y = 5 x = 9 + 4y b. Bepaal p en q zó dat 5 p + 9 q = 8 q + = p 4a = 5b c. Bepaal a en b zó dat a 8b = 9. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: x + x + 9 a. = ; 5 b. x + 7 = ( x + 9) ( x 0) ; x = x 4 ; c. ( ) d. e. f. g. h. ( x ) + ( x + ) x + + ; x x 4 4x + 7 < ; 6 5 x 7 x x > 5 7 7 ; ( x )( x + ) ( x ) + ; x x + 4 x + x 6 5 ; i. x + x + 6.

0. Hoeveel kg koffie van 4. EUR per kg moet men mengen met 45 kg koffie van.0 EUR per kg om een mengsel te verkrijgen van.79 EUR per kg?. Een eerste autocaruitbater rekent voor een halve-dag-reis 00 EUR vast recht aan en daarbij.5 EUR per km. Een tweede autocaruitbater rekent 00 EUR vast recht aan en daarbij 0.95 EUR per km. Hoeveel km moet een halve-dag-reis bedragen opdat de tweede autocaruitbater goedkoper zou zijn dan de eerste?. De opbrengst TO in EUR bij de verkoop van q exemplaren van een tijdschrift wordt gegeven door TO =.5q. De vaste productiekosten bedragen 485 EUR. De variabele productiekosten (in EUR) zijn evenredig met q met evenredigheidsfactor 0.5. Zoek het break-even-point (d.w.z. de waarde van q waarbij er noch winst noch verlies gemaakt wordt).. Bij een electriciteitsmaatschappij hebben de klanten de keuze tussen twee mogelijkheden: het normaal en het tweevoudig tarief. Bij het normaal tarief betaalt men een vaste jaarlijkse vergoeding van 66.98 EUR en bovendien 0. EUR per verbruikte kwh. Het tweevoudig tarief biedt een voordeligere prijs voor het gebruik tijdens de 9 'nachturen'. Bij dit tarief wordt een vaste jaarlijkse vergoeding van 99.9 EUR aangerekend en betaalt men 0. EUR per verbruikte kwh overdag en 0.06 EUR per verbruikte kwh 's nachts. Bepaal vanaf hoeveel nachtverbruik het tweevoudig tarief goedkoper wordt. 4. Aloyslavië heeft een heel eenvoudig belastingsstelsel: op het gedeelte van het inkomen tot 750 000 ALF (ALF = Aloysische frank) betaalt men 0 % belastingen en op het gedeelte boven 750 000 ALF betaalt men 60% belastingen. Het inkomen, uitgedrukt in eenheden van 000 000 ALF, stellen we voor door x. De belasting die betaald moet worden, eveneens in 000 000 ALF, stellen we voor door b. a. Geef een vergelijking voor de functie die het verband geeft tussen de belasting en het inkomen en maak een grafiek van deze functie. (Aanwijzing: maak een onderscheid naargelang het inkomen onder of boven 750 000 ALF ligt). b. Men overweegt een hervorming. Het voorstel bepaalt dat men 0% belastingen zou moeten betalen op het gedeelte van het inkomen tot 00 000 ALF en 40% op het gedeelte boven 00 000 ALF. c. Geef weer een vergelijking voor de functie die (in dit geval) het verband geeft tussen de belasting en het inkomen. Maak een grafiek van deze functie op de figuur uit vraag a. d. Bepaal, door gebruik te maken van de grafieken en door berekeningen te maken, voor welke inkomens het voorstel minder voordelig zou zijn.

Oplossingen. a. Omdat het y-intercept is, weten we dat de rechte door het punt ( 0, ) gaat. Omdat de richtingscoëfficiënt bedraagt, weten we dat met een toename van één eenheid in de x-richting een toename van eenheden in de y-richting 0, tot de rechte behoort, ligt dus ook het punt correspondeert. Omdat het punt ( ) (, ) erop. De gevraagde rechte is dus de rechte door de punten ( 0, ) (, ). b. 5 c..5 en. A : y = x +, B : y = x +, C : y =, F : y = x + 7 D : y = x +, E : y = x + 7,. y 8 = x 6 4. y = x 5. a. (schuine) rechte door de punten b. horizontale rechte door het punt c. verticale rechte door het punt d. lege verzameling. 0, en,0 ; 0, ;,0 ; 6. a. rechte door de punten ( 0,4) en (,0) b. 0 c. 5 d. p =.5q + 0 e. OK f. rechte door de punten ( 0,0) en (,0) 0 ; richtingscoëfficiënt is -0.8. 4 ; richtingscoëfficiënt is.5. g. de richtingscoëfficiënten zijn elkaars omgekeerde (d.w.z. of nog: richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie = richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie richtingscoëfficiënt van de grafiek van de inverse vraagfunctie = richtingscoëfficiënt van de grafiek van de vraagfunctie.) 4

7. Neen. De grafieken van de functies f en g snijden elkaar in het punt met coördinaten, 4. De grafiek van de functie h gaat niet door dit punt. ( ) 8. a. x = en y = b. p = en q = 4 4 c. 0 8 a = en b = 7 7 9. a. b. 8 x = x = c. x = d. x is een willekeurig reëel getal e. f. g. h. 47 x < 9 9 x > 0 5 x 4 6 x i. x 0. 05 kg. meer dan 500 km Om het resultaat grafisch te controleren tekenen we in dezelfde figuur de grafiek van de kostprijs K in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de eerste uitbater en de grafiek van de kostprijs K in EUR voor een halve-dag-reis van x km bij de tweede uitbater. De vergelijkingen van deze functies zijn K = 00 +.5 x respectievelijk K = 00 + 0.95 x. 000 K 800 600 400 uitbater uitbater 00 0 50 500 750 x. 660 exemplaren 5

. Noem x het verbruik in kwh overdag en y het verbruik in kwh 's nachts. De kostprijs in EUR volgens het normale tarief is dan K = 66.98 + 0.( x + y). De kostprijs in EUR n volgens het tweevoudig tarief is dan K = 99.9 + 0.x + 0.06y. We zoeken de waarden t van y waarvoor Kn > K. We vinden dat aan deze ongelijkheid voldaan is als en slechts t als y > 470.7.... We besluiten dat het tweevoudig tarief voordeliger is vanaf 470.7 kwh nachtverbruik. 4. a. 0. x als 0 x 0.75 b = 0.6x 0. als 0.75 < x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5,5 x b. 0. x als 0 x 0. b = 0.4x 0.09 als 0. < x 0,6 b 0,4 0, 0 0 0,5,5 x c. De grafieken snijden elkaar in twee punten. Het inkomen dat overeenkomt met het meest linkse snijpunt noemen we a en het inkomen dat overeenkomt met het meest rechtse snijpunt noemen we c. Voor de inkomens die gelegen zijn tussen a en c is de huidige berekening van de belasting voordeliger dan het voorstel. Het meest linkse snijpunt onstaat door het linkse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om a te vinden moeten we dus de vergelijking 0.x = 0.4x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat a = 0.45. Het meest rechtse snijpunt onstaat door het rechtse deel van de eerste grafiek te snijden met het rechtse deel van de tweede grafiek. Om c te vinden moeten we dus de vergelijking 0.6x 0. = 0.4x 0.09 oplossen. Zo vinden we dat c =.05. We bsluiten dat het voorstel minder voordelig is dan het huidige systeem voor de inkomens gelegen (strikt) tussen 450 000 ALF en 050 000 ALF. 6

CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel : kwadratische vergelijkingen en ongelijkheden Tweede-graadsfuncties

Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 0 deelnemers zijn? Oplossing 0 deelnemers prijs per persoon is euro samen = kosten voor de gids: euro totaal te betalen is Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er 6 deelnemers zijn? Oplossing 6 deelnemers Tweede-graadsfuncties

Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Gevraagd: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er deelnemers zijn? Oplossing deelnemers Toepassing: organisatie van een daguitstap minimum 0 deelnemers kosten voor de gids: euro prijs bij 0 deelnemers: 80 euro per persoon bij méér dan 0 deelnemers: voor iedereen euro korting per persoon voor elke extra deelnemer Algemeen: hoeveel moet je aan het reisagentschap betalen als er x deelnemers zijn? Oplossing x deelnemers méér dan het minimaal aantal 0 prijs per persoon is euro vermindering per persoon totaal te betalen is Tweede-graadsfuncties

Besluit : als er x mensen aan de uitstap deelnemen, dan moet je aan het reisagentschap x(0 x) + = x + 0 x + euro betalen. Anders gezegd, als er x deelnemers zijn, dan moet je f (x) = x + 0 x + euro betalen. Dit definieert een functie, namelijk input x output f (x) = x + 0 x + Formeel, f : IR IR : x f (x) = x + 0 x + een tweedegraadsfunctie Drie manieren om de functie voor te stellen () functievoorschrift: f (x) = x + 0 x + () vergelijking: y = x + 0 x + () grafiek totaal bedrag 000 Y > y = x + 0x + 500 000 500 0 X > 0 0 0 40 50 60 aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 4

Vragen () Ik moet het reisagentschap 87 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? () Het reisagentschap wil minstens 850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode : aflezen van de grafiek Methode : berekenen Tweede-graadsfuncties 5

De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR Tweede-graadsfuncties 6

De grafiek van een tweede graadsfunctie f : IR IR : x a x + b x + c met a,b,c IR en a 0 IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR IR Te onthouden de grafiek van een tweede graadsfunctie f (x) = a x + b x + c is een als a > 0, dan is het een als a < 0, dan is het een parabool parabool de parabool heeft haar top in x top = de oplossingen van de vergelijking a x + b x + c = 0 geven de snijpunten van de parabool met de as Tweede-graadsfuncties 7

Oefening Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies. f : y = x 5x + 6 f : y = x 4x + 4 f : y = x 4x + 6 f 4 : y = x + 5x 6 f 5 : y = x + 4x 4 f 6 : y = x + 4x 6 Oefening Gegeven zijn de functies f : y = x + 4 en g : y = x + 4x + 5. (a) Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. (b) Teken de grafieken van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. Te onthouden De oplossingen van een tweede graadsvergelijking a x + b x + c = 0 met a, b, c IR en a 0 worden gevonden door eerst de discriminant discr = b 4 a c te bereken en vervolgens () als discr > 0 dan heeft f twee verschillende oplossingen, namelijk b + discr a en b discr a () als discr = 0 dan heeft f slechts één oplossing, namelijk b a () als discr < 0 dan heeft f geen oplossingen Tweede-graadsfuncties 8

Voorbeeld: organisatie van een daguitstap (vervolg ) Herinner u : als er als er x mensen aan de uitstap deelnemen, Vragen dan moet men aan het reisagentschap f (x) = x + 0 x + () Men moet het reisagentschap 87 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? euro betalen. () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? () Het reisagentschap wil minstens 850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossingsmethoden:. aflezen van de grafiek. berekenen Vragen () Ik moet het reisagentschap 87 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode : aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > 000 y = x + 0x + 500 000 500 0 X > 0 0 0 40 50 60 aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties 9

Vragen () Ik moet het reisagentschap 87 euro betalen. Hoeveel personen nemen er aan de uitstap deel? Oplossing Methode : berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) = 87 Welnu, f (x) = 87 Besluit: er zijn namelijk mogelijkheden voor het aantal deelnemers, Tweede-graadsfuncties 0

Vragen () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode : aflezen van de grafiek totaal bedrag Y > 000 y = x + 0x + 500 000 500 0 X > 0 0 0 40 50 60 aantal deelnemers Vragen () Bij hoeveel deelnemers ontvangt het reisagentschap het hoogste bedrag? Oplossing Methode : berekenen Besluit: bij deelnemers zullen wij aan het reisagentschap het hoogste bedrag moeten betalen, namelijk Tweede-graadsfuncties

Oefening 4 Bepaal de getallen b en c in de vergelijking y = x + bx + c van de functie f zo dat f haar minimale waarde bereikt in 4. Oefening 5 De functie f(x) = x + x + p heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. Vragen () Het reisagentschap wil minstens 850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode : aflezen van de grafiek totaal bedrag 000 500 Y > y = x + 0x + 000 500 0 X > 0 0 0 40 50 60 aantal deelnemers Tweede-graadsfuncties

Vragen () Het reisagentschap wil minstens 850 euro ontvangen. Hoeveel personen moeten er aan de uitstap deelnemen? Oplossing Methode : berekenen gevraagd: zoek x waarvoor f (x) 87 Welnu, f (x) 87 x + 0 x + 850 x + 0 x 78 0 Besluit: het aantal deelnemers moet minstens en mag niet hoger zijn dan bedragen Tweede-graadsfuncties

Oefening Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: (a) x + (9x ) = 0 7 6 (b) x x = (c) 4x + x + > 7x + x + (d) (6 x)( + 9x) 0 (e) 00 x (f) x(x ) < 5(x ) Oefening 8 Een firma van elektronische onderdelen verkoop maandelijks 5000 stuks van een bepaalde component tegen 5 euro per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met euro verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een zo hoog mogelijke omzet te realiseren? Tweede-graadsfuncties 4

Oefening 6 Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 euro per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van méér dan 00 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling met 0.0 euro verlaagd. (a) Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. (b) Maak een grafiek van de functie TO(x). (c) Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale ontvangsten TO(x) van de wijnhandelaar maximaal? (d) Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van de bestelling opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Oefening 7 Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 00 euro per persoon. Om meer mensen aan te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer verlaagd met 5 euro telkens er zich een persoon extra (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn ) aanmeldt. (a) Bij welk aantal deelnemers zijn de totale ontvangsten van het reisbureau maximaal? (b) Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? Tweede-graadsfuncties 5

CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Tweede graadsfuncties Deel : de cirkel De stelling van Pythagoras In een rechthoekige driehoek geldt: a = b + c a b Voorbeeld l =? Pythagoras: l = c 5 l = Tweede-graadsfuncties 6

6 5 4 Y de afstand tussen twee punten de afstand d tussen de punten (,) en (5,5) voldoet aan de stelling van Pythagoras d d = 0 4 5 6 X en dus d = of kortweg, d = de afstand tussen twee punten 6 Y te onthouden : 5 de afstand d tussen punten 4 (x,y ) en (x,y ) wordt d y gegeven door x X 0 4 5 d = x + y = ( x x ) + ( y y ) Tweede-graadsfuncties 7

de vergelijking van een cirkel Definitie een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r is de verzameling van alle punten die op afstand r van het middelpunt verwijderd liggen cirkel mpt r de vergelijking van een cirkel Voorbeeld de cirkel met middelpunt (, ) en straal 5 heeft vergelijking Y X 0 4 5 6 7 8 9 of equivalent 4 5 6 7 (, ) 5 (x, y ) of nog 8 Tweede-graadsfuncties 8

de vergelijking van een cirkel Algemeen : een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r 4 (0,0) 4 0 4 Y r X In het bijzonder, een cirkel met middelpunt (0,0) en straal r heeft als vergelijking ( x, y ) 4 de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r Besluit De algemene vergelijking van een cirkel in IR is dus van de vorm x + y + a x + b y + c = 0 Tweede-graadsfuncties 9

de vergelijking van een cirkel Vraag : stelt de vergelijking 4 x + 4 y 6 x 4 y = 0 een cirkel voor? Zo ja, wat zijn dan het middelpunt en de straal van die cirkel? de vergelijking van een cirkel een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal r heeft als vergelijking : [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = r standaardvorm van de vergelijking [ x x 0 x + x 0 ] + [ y y 0 y + y 0 ] = r x + y x 0 x y 0 y + x 0 + y 0 r = 0 een vergelijking van de de graad in x en y Tweede-graadsfuncties 0

Te onthouden : een vergelijking in veranderlijken stelt een cirkel voor als en slechts als een vergelijking van de de graad in x en y geen term in x y de coëfficiënt van x = de coëfficiënt van y na herwerking tot de vorm moet c 0 [ x x 0 ] + [ y y 0 ] = c In dat geval, een cirkel met middelpunt ( x 0, y 0 ) en straal c Oefening 9 Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x + y x y = 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + y = 0. Tweede-graadsfuncties

Opfriscursus wiskunde dag.. Hieronder vind je zes tweedegraadsfuncties van één veranderlijke. Schets de grafiek van elk van deze functies. + + + f : y = x 5x 6 ; f : y = x 4x 4 f : y = x 4x 6 4 5 6 f : y = x + 5x 6 ; f : y = x + 4x 4 ; f : y = x + 4x 6.. Los de volgende vergelijkingen en ongelijkheden op: a. x + (9x ) = 0 ; b. 7 x x = ; 6 c. 4x + x + > 7x + x + ; d. ( 6 x )( + 9x) 0 ; e. 00 x ; f. x ( x ) < 5( x ).. Gegeven zijn de functies f : y = x + 4 en g : y = x + 4x + 5. a. Bereken de snijpunten van de grafieken van deze twee functies. b. Teken de grafiek van beide functies in één figuur en controleer hiermee het resultaat van je berekeningen. 4. Bepaal de getallen b en c in de vergelijking van de functie f : y = x + bx + c zo dat f haar minimale waarde bereikt in 4. 5. De functie f : y = x + x + p heeft 0 als uiterste waarde. Bereken p. 6. Een handelaar verkoopt wijn aan 7.5 EUR per liter. Om grote bestellingen aan te moedigen, beslist de handelaar om een reductie toe te kennen voor bestellingen van meer dan 00 liter. Voor iedere liter boven de honderd wordt de prijs per liter voor de hele bestelling (dus niet alleen voor de extra liters) met 0.0 EUR verlaagd. a. Geef een functievoorschrift voor de totale ontvangsten TO (in EUR) van de handelaar bij een bestelling van x liter wijn. b. Maak een grafiek van de functie TO(x). c. Bij welke bestelde hoeveelheid x zijn de totale inkomsten TO van de wijnhandelaar maximaal? d. Welke bovengrens moet de handelaar opleggen aan de toegelaten grootte van een bestelling opdat zijn totale ontvangsten positief zouden blijven?

7. Een reisbureau organiseert een reis voor 40 personen tegen een prijs van 00 EUR per persoon. Om meer mensen te trekken, besluit men een reductie toe te staan: de prijs wordt voor elke deelnemer (dus niet alleen voor de nieuwe deelnemers) verlaagd met 5 EUR telkens als zich één persoon extra aanmeldt (bovenop de 40 die reeds ingeschreven zijn). a. Bij welk aantal deelnemers zijn de totale onvangsten van het reisbureau maximaal? b. Welke bovengrens moet het reisbureau opleggen aan het toegelaten aantal deelnemers opdat de totale ontvangsten positief zouden blijven? 8. Een firma van elektronische onderdelen verkoopt maandelijks 5000 stuks van een bepaald onderdeel tegen 5 EUR per stuk. Een marktonderzoek wijst uit dat de verkoop telkens met 500 stuks zal stijgen als de eenheidsprijs met EUR verlaagd wordt. Welke eenheidsprijs moet de firma nemen om een maximale omzet te realiseren? 9. Bepaal de vergelijking van de rechte die door het middelpunt van de cirkel met vergelijking x + y x y = 0 gaat en loodrecht staat op de rechte met vergelijking x + y = 0.

Oplossingen. y f y f4 x 0 0 4 5 - x 0 0 4 5 - - y f y f5 x x 0 0 4 5-0 0 4 5 - - - 4 y f f6 y x 0 0 4 5 - x 0 0 4 5 - - -4 6. a. x = 4, x = ; b. x =, x = ; 6 c. geen oplossingen; d. x, ; 9

e. [ 0, 0] x ; 5 f. x,.. a. (, ) b. y 8 g 4 0-4 - 0 x f -4 4. b = 8, c = 9 5. p = 7.5x als 0 x 00 6. a. TO = 0.0x + 8.5x als x > 00 b. 000 TO 500 000 500 0-500 0 00 400 600 800 000 x -000 c. x = 45, de totale ontvangsten van de handelaar zijn maximaal bij een bestelling van 45 liter. d. x < 850, bestellingen van 850 liter of meer zijn dus niet toegelaten. 4

7. a. De totale ontvangsten van het reisbureau zijn maximaal bij 50 deelnemers. b. Het aantal deelnemers moet kleiner zijn dan 00. 8..5 EUR 9. y = x 5

CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Exponentiële en logaritmische functies CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde breng een rekenmachine mee naar de les ( om logaritmen te berekenen ) Exponentiële en logaritmische functies

Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over 000 + ( % van 000 ) = Merk op: + % wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over 00 + ( % van 00 ) = Merk op: + % wordt wiskundig Exponentiële en logaritmische functies

Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over euro over jaar zal men beschikken over over jaar zal men beschikken over 060.90 + ( % van 060.90 ) = Merk op: + % wordt wiskundig Machten van getallen Voorbeeld 000 euro wordt belegd aan een samengestelde interest van % per jaar over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) over jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) euro euro euro over 0 jaar zal men beschikken over 000 (.0 ) (.0 ) (.0 )... (.0 ) Merk op: + % wordt wiskundig maal.0 Exponentiële en logaritmische functies

Definitie Als a een positief reëel getal en n en m natuurlijke getallen zijn, dan a n = a a a... a en a 0 = Terminologie a r leest men als de r-de macht van a a r a n = n keer m a n = en a n = heet het grondtal heet de exponent Machten van getallen Oefening Schrijf zonder exponenten 5 7 7 5 0 00 0. Exponentiële en logaritmische functies 4

Rekenregels voor machten Voor alle grondtallen a > 0 en b > 0 en voor alle exponenten r en s geldt: a r a s = a r a s = a r s = r a b = en a b r = MAAR... (a + b ) r a r + b r!!!!! en (a b ) r a r b r!!!!! Oefening 5 Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x x 0.5 x x x 0.5 6 x x 4 x Oefening 6 Vereenvoudig de volgende uitdrukkingen x y 4 x y 4 x y x y z y x z z x y x y Exponentiële en logaritmische functies 5

Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette euro in op zijn geluksnummer. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 04 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord de eerste inzet bedraagt euro keer niet uitgekomen de inzet wordt euro keer niet uitgekomen de inzet wordt euro keer niet uitgekomen de inzet wordt euro. Logaritmen m keer niet uitgekomen de inzet wordt euro Logaritmen Voorbeeld Een persoon zet bij de roulette euro in op zijn geluksnummer. Zolang dit nummer niet uitkomt verdubbelt hij de inzet. Op een bepaald ogenblik zien wij hem 04 euro inzetten. Hoeveel keer is zijn geluksnummer dan reeds niet uitgekomen? Antwoord er wordt dus gevraagd: bepaal m zodat m = 04 welnu, 04 = m = Besluit : nummer is reeds keer niet uitgekomen! nieuwe bewerking: de exponent plukken bij grondtal Exponentiële en logaritmische functies 6

Definitie Logaritmen Als g en x positieve getallen zijn en g, dan de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x lees : de logaritme van x bij grondtal g is m of kortweg : de g logaritme van x is m Voorbeeld : log 04 = want Definitie Als g en x positieve getallen zijn en g, dan Logaritmen de logaritme van het getal x bij grondtal g = de macht waartoe men g moet verheffen om x te vinden Formeel : g log x = m g m = x gevraagd: g log x =?? praktisch : schrijf x = g?? zeg x = g m dan g log x = m Te onthouden!!!!! Exponentiële en logaritmische functies 7

Oefening Bereken ( indien mogelijk ) uit het hoofd log 8 log log 8 5 log log ( ) log 0 log log 9 log 4 log 5 log 0 Exponentiële en logaritmische functies 8

Bijzondere grondtallen grondtal g = 0 dan spreekt men van de decimale of de Briggse logaritme Notatie : 0 log = log Voorbeeld: log 0000 = 0 log 0000 = grondtal g = e =.788... het getal van Euler dan spreekt men van de natuurlijke of de Neperiaanse log. Notatie : e log = ln Voorbeeld: ln e e = log = e Oefening Bereken met behulp van een rekenmachine log 000 ln ln e log ln 0.5 log e Oefening 4 Bereken uit het hoofd log 0.00 log 0 ln e log 000 000 ln ln e Exponentiële en logaritmische functies 9

Rekenregels voor logaritmen Voor elk grondtal g > 0 en g en voor alle positieve getallen x en y en voor elke exponent r geldt : g log (x y ) = g x log = y g log (x r ) = MAAR... er is geen formule voor g log ( x + y ) of voor g log ( x y )!!!!! Eigenschap Voor elk grondtal g IR 0 en g + geldt dat g log x = ln x ln g Bewijs noem d.w.z. x = g log x = m en dus ln x = ln( ) of nog ln x = zodat ln x = ln g of m.a.w. g log x = Exponentiële en logaritmische functies 0

Exponentiële vergelijkingen Voorbeeld Een kapitaal van 0 000 euro staat uit aan een samengestelde interest van 0% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over jaar zal men beschikken over 0000 + ( 0 % van 0000 ) = 0000 + (0.0) 0000 = 0000 () + 0000 (0.0) = 0000 ( + 0.0 ) = 0000 (.0 ) = 000 euro Herinner u: + 0% van wordt wiskundig maal.0 Voorbeeld Exponentiële vergelijkingen Een kapitaal van 0 000 euro staat uit aan een samengestelde interest van 0% per jaar. Hoe lang duurt het vooraleer het kapitaal verdubbeld is? Antwoord over jaar zal men beschikken over. 0000 (.0 ) euro over jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) over jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) over m jaar zal men beschikken over 0000 (.0 ) m euro euro euro gevraagd : bepaal m zodat 0000 (.0 ) m = Exponentiële en logaritmische functies

Oefening 7 Los de volgende vergelijkingen op. Welke vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 0 (.0) t = 0 (0.97) x 8 (.0) x = 0 0 g 7 = 50 5 (.005) t 6 = (.07) t + 5 e t = 47 Exponentiële en logaritmische functies

Oefening 8 (a) Hoe lang moet een bedrag van 0 000 euro belegd worden aan 5 % per jaar opdat het zou aangroeien tot 5 000 euro? (b) Welk bedrag moet men beleggen aan 5 % per jaar opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot 5 000 euro? (c) Aan welke rentevoet moet men een bedrag van 0 000 euro beleggen opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot 5 000 euro? (d) Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? Oefening 9 Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. (a) Na hoeveel tijd is er nog 0 % over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? (b) Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? A = A 0 t 60 Exponentiële en logaritmische functies

Opfriscursus wiskunde dag. Schrijf zonder exponenten (eventueel wel met wortels) en bereken (uit het hoofd of met je rekenmachine) a. b. c. 5 7 d. e. f. 7 0 5 0. 00. Bereken (zo mogelijk) uit het hoofd a. log8 d. log h. 4 5 log k. log0 b. c. log log 8 e. f. g. 5 log log( ) log 0 i. j. log log9. Bereken met behulp van je rekenmachine a. log000 b. log c. ln d. ln 0.5 e. ln e 4. Bereken uit het hoofd: a. log0.00 b. log 000 000 d. ln e. ln e f. ln e c. log0 5. Schrijf de volgende uitdrukkingen als één enkele macht van x. 0.5 a. ( x ) b. c. x x 0.5 x 6 d. x 4 x x 6. Vereenvoudig: a. ( x y ) 4 b. 4 x y x y d. x y c. x y z yz xz xy

7. Los de volgende vergelijkingen op en controleer de oplossing door ze in de vergelijking in te vullen. Welke van deze vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? t a. 0.0 = 0 x x b. 0.97 8.0 = 0 c. d. e. 7 0 g = 50 t 6 t+ 5.005 =.07 t 5e = 47 8. Als een bedrag B 0 belegd wordt op samengestelde intrest tegen een rente van p% per jaar, dan is dat t p bedrag na t jaar aangegroeid tot B = B0 + 00. a. Hoe lang moet een bedrag van 0 000 belegd worden aan 5% per jaar opdat het zou aangroeien tot 5 000? b. Welk bedrag moet men beleggen aan 5% per jaar opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot 5 000? c. Aan welke rentevoet moet men een bedrag van 0 000 beleggen opdat het na 0 jaar aangegroeid zou zijn tot 5 000? d. Welke van de bovenstaande vergelijkingen zijn exponentiële vergelijkingen? 9. Radium is een radioactieve stof. Dit betekent dat deze stof spontaan verandert in een andere stof en dat daarbij radioactieve straling vrijkomt. De hoeveelheid radium vermindert dus en deze afname kan goed gemodelleerd worden door de vergelijking t 60 = 0 A A waarbij A 0 de hoeveelheid radium voorstelt bij het begin, t de tijd die sindsdien verlopen is en A de hoeveelheid radium op dat tijdstip. a. Na hoeveel tijd is er nog 0% over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium? b. Na hoeveel tijd is er nog de helft over van de oorspronkelijke hoeveelheid radium?,

Oplossingen. a. b. c. 0.04 5 = 0.48... 7 = 0.94... 7 = d. 0... = e. f. 0 00 =.5848.... a. b. 5 c. d. 0 e. 0 f. niet bepaald g. niet bepaald h. 5 4 i. j. k. kan niet uit het hoofd uitgerekend worden. a. b. 0.00 c..0986 d..86... e. 4. a. b. 6 c. d. 0 e. f.

5. a. b. c. d..5 x 7 x x.5.75 x 6. a. 8 x y b. x 7 y 5 6 c. x y z d. x x y + y 7. a. t =.77..., exponentiële vergelijking b. x = 0.08..., exponentiële vergelijking c. g =.099..., geen exponentiële vergelijking d. t = 44.59..., exponentiële vergelijking e. t = 0.806..., exponentiële vergelijking 8. a. 8. jaar b. 9 08.70 c. 4.4% d. alleen de eerste 9. a. na 58.5 jaar b. na 60 (!) jaar 4

CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Rekenkundige en meetkundige rijen Rekenkundige en meetkundige rijen

Kapitaal op samengestelde interest Voorbeeld Een kapitaal van 0 000 euro staat uit aan een samengestelde interest van % per jaar. bij storting heeft men K 0 = 0000 (.0 ) 0 = 0000 over jaar geeft dit. K = 0000 (.0 ) = 000 over jaar geeft dit K = 0000 (.0 ) = 0404 over jaar geeft dit K = 0000 (.0 ) = 06.08. over n jaar geeft dit K n = 0000 (.0 ) n Besluit: dit genereert een rij getallen rij 0000, 0 00, 0 404, 06.08,..., 0000 (.0) n,... Definitie Een meetkundige rij met reden q is een rij getallen waarbij t 0, t, t, t,..., t n, t n +,... t 0 t t Terminologie t n = t 0 q n t 0 = t 0 q = t q t = t q. t n = t n q Meetkundige rij noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm Rekenkundige en meetkundige rijen

Oefening Een wagen kost bij aankoop 0 000 EUR. Elk jaar verliest de wagen 0 % van zijn waarde. Dit betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 0.80 vermenigvuldigd wordt. De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door W n. (a) Druk W n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen W, W, W,...? Oefening 4 Een blad papier heeft een dikte van 0. mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door d n. (a) Druk d n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen d, d, d,...? Oefening 5 De rij t 0, t, t,... is een meetkundige rij met reden. Wat kan je dan zeggen over de rij t 0, t, t 4,...? Rekenkundige en meetkundige rijen

Oefening Het BBP ( Bruto Binnenland Product ) van een land neemt elk jaar met.5 % toe. Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor.05. In jaar bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Het BBP ( in eenheden van miljard EUR ) in jaar n stellen we voor door B n. (a) Druk B n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen B, B, B,...? Rekenkundige en meetkundige rijen 4

Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 0 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting over jaar is men de bank 0 000 euro verschuldigd is men de bank K = 0000 + ( % van 0000 ) = verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft. Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 0 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting over jaar over jaar is men de bank 0 000 euro verschuldigd geeft dit is men de bank K = 0000 + 00 = 000 K = 000 + ( % van 0000 ) enkelvoudige interest verschuldigd zolang men niets terugbetaald heeft. Rekenkundige en meetkundige rijen 5

bij afsluiting is men de bank 0 000 euro verschuldigd over jaar geeft dit K = 0000 + 00 = 000 over jaar Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 0 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. over jaar geeft dit K = 0000 + (00) = 0400 is men de bank K = 0400 + ( % van 0000 ) verschuldigd. Kapitaal op enkelvoudige interest Voorbeeld Een lening van 0 000 euro staat open aan een enkelvoudige interest van % per jaar. bij afsluiting heeft is men men de bank K 0 = 0000 euro + 0 (00) verschuldigd = 0000 over jaar geeft dit K = 0000 + 00 (00) = 000 = 000 over jaar geeft dit K = 0000 + (00) = 0400 over jaar. geeft dit K = 0000 + (00) = 0600 over n jaar geeft dit K n = 0000 + n (00) Besluit:. dit genereert een rij getallen 0000, 0 00, 0 400, 0600,..., 0 000 + n (00 ),... rij Rekenkundige en meetkundige rijen 6

Definitie Een rekenkundige rij met verschil v is een rij getallen waarbij t 0, t, t, t,..., t n, t n +,... t 0 t t Terminologie t n = t 0 + nv t 0 = t 0 + v = t + v t = t + v. t n = t n + v Rekenkundige rij noemt men de algemene term van de rij noemt men de beginterm Rekenkundige en meetkundige rijen 7

Oefening Een machine in een firma kost bij aankoop 0000 EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt hetzelfde bedrag afgeschreven. De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door W n. (a) Druk W n uit in functie van n. (b) Welk soort rij vormen de getallen W, W, W,...? Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met EUR. (a) Bereken hoeveel men in de 6 ste maand moet betalen. (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. Rekenkundige en meetkundige rijen 8

Partieelsom van een rekenkundige rij Voorbeeld Om een lening af te betalen moet iemand aan het eind van elke maand een bedrag aan de bank storten. Deze maand is dit bedrag 000 en voor elke volgende maand wordt het bedrag verminderd met 0. Wat is het totaal bedrag dat die persoon na jaar zal betaald hebben? Antwoord deze maand is het bedrag t 0 = 000 volgende maand is het bedrag t = 000 (0 ) = 980 over maanden is het bedrag t = 000 (0 ) = 960 over maanden is het bedrag t = 000 (0 ) = 940. over maanden is het bedrag t = 000 (0) = 540.. Te onthouden de som van n opeenvolgende termen in een rekenkundige rij wordt gegeven door de formule S n = t + t + t +... + t n + t n = ( t + t n ) n d.i. de som van de eerste en de laatste term maal het aantal termen gedeeld door Voorbeeld 000 + 980 + 960 +... + 560 + 540 = Rekenkundige en meetkundige rijen 9

Oefening 7 Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een ( dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag bedrag met EUR. (a) Bereken hoeveel men in de 6 ste maand moet betalen. (b) Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. Rekenkundige en meetkundige rijen 0

Voorbeeld Partieelsom van een meetkundige rij Een persoon beslist op zijn 0 ste verjaardag om aan pensioensparen te doen. Van zijn 0 ste tot en met zijn 65 ste verjaardag zal hij 000 storten op een rekening die 0 % samengestelde interest opbrengt. Welk bedrag zal er net na zijn 65 ste verjaardag op die rekening staan? Antwoord de storting op 0 ste verjaardag brengt 000 (.0 ) 45 op de storting op ste verjaardag brengt 000 (.0 ) 44 op de storting op ste verjaardag brengt 000 (.0 ) 4 op. de storting op 64 ste verjaardag brengt 000 (.0 ) op de storting op 65 ste verjaardag brengt 000 op. Algemeen Als q, dan + q + q + q +... + q n + q n = q n + q Bewijs + q + q + q +... + q n + q n = + q + q + q +... + q n + q n Rekenkundige en meetkundige rijen

Te onthouden de som van de n+ eerste termen van de meetkundige rij, q, q, q, q 4,..., q n, q n wordt gegeven door de formule S n = + q + q + q +... + q n + q n = q n + q Voorbeeld 000 ( +.0 +.0 +.0 +... +.0 44 +.0 45 ) Oefening 6 Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsommen van een rekenkundige of een meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule. (a) + + +... + 00 (b) de som van de eerste 0 termen van de rij, 9, 5,,... (c) de som van de eerste 0 termen van de rij 5,.5,.5,... (d) + 0.5 + 0.5 + 0.5 +... + 0.5 6 (e) 0.5 + 0.5 0.5 +... + 0.5 6 (f) +. +. +. +... +. (g) 000 + 995 + 990 +... + 00 (h) 4 + + 6 +... + 696 Rekenkundige en meetkundige rijen

Alle termen in de som Het sommatieteken S = +.0 +.0 +.0 +... +.0 44 +.0 45 zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ), namelijk.0 k waarbij k = 0,,,..., 45 Dit wordt verkort genoteerd als 45 S =.0 k k = 0 Terminologie: noemt men het sommatieteken Alle termen in de som Het sommatieteken S = +.0 +.0 +.0 +... +.0 44 +.0 45 zijn van dezelfde vorm (d.w.z. hebben dezelfde structuur ), namelijk.0 k waarbij k = 0,,,..., 45 Dit wordt verkort genoteerd als 45 S =.0 k k = Terminologie: noemt men het sommatieteken Rekenkundige en meetkundige rijen

Oefening Schrijf de volgende sommen uit oefening 6 met het sommatieteken. (a) + + +... + 00 (b) de som van de eerste 0 termen van de rij, 9, 5,,... (c) de som van de eerste 0 termen van de rij 5,.5,.5,... (d) + 0.5 + 0.5 + 0.5 +... + 0.5 6 (e) 0.5 + 0.5 0.5 +... + 0.5 6 (f) +. +. +. +... +. (g) 000 + 995 + 990 +... + 00 (h) 4 + + 6 +... + 696 Oefening Bereken ( indien mogelijk ) de volgende sommen: 00 ( i + ) i = 0 k = 7 5 k 40 j = 0 5 j 9 6 l = l n ( ) m m = Rekenkundige en meetkundige rijen 4

Opfriscursus wiskunde dag 4. Een wagen kost bij aankoop 0 000 EUR. Elk jaar verliest de wagen 0% van zijn waarde. Dat betekent dat de waarde van de wagen elk jaar met een factor 0.8 vermenigvuldigd wordt. De waarde van de wagen na n jaar stellen we voor door W. a. Druk W n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen W 0, W, W,? n. Een machine in een firma kost bij aankoop 0 000 EUR. Ze wordt afgeschreven over een periode van 40 jaar. Elk jaar wordt een zelfde bedrag afgeschreven. De waarde van de machine na n jaar stellen we voor door W. n a. Druk W n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen W 0, W, W,?. Het BBP van een zeker land neemt elk jaar met.5% toe. Dit wil zeggen dat het BBP elk jaar vermenigvuldigd wordt met een factor.05. In jaar bedraagt het BBP 600 miljard EUR. Het BBP (in eenheden van miljard EUR) in jaar n stellen we voor door B. a. Druk B n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen B, B, B,? n 4. Een blad papier heeft een dikte van 0. mm. We vouwen het blad achtereenvolgens verschillende keren dubbel. De dikte van het blad na n keer vouwen stellen we voor door d. a. Druk d n uit in functie van n. b. Welk soort rij vormen de getallen d 0, d, d,? n 5. De rij t 0, t, t, is een meetkundige rij met reden. Wat kan je dan zeggen over de rij t 0, t, t 4,? 6. Welke van de onderstaande sommen kan je berekenen m.b.v. de formule voor de partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij? Bereken deze sommen m.b.v. de gepaste formule. a. + + +... + 00 b. de som van de eerste 0 termen van de rij, 9, 5,, c. de som van de eerste 0 termen van de rij 5,.5,.5, d. e. 6 + 0.5 + 0.5 + 0.5 +... + 0.5 6 0.5 + 0.5 0.5 +... + 0.5 f. +.+.+. +... +. g. 000 + 995 + 990 +... + 00 h. 4 + + 6 +... + 6 96

7. Bij de meest gebruikelijke vorm van een lening wordt elke maand eenzelfde bedrag betaald. Soms is het echter interessanter om te kiezen voor een lening waarbij de maandelijkse betalingen een (dalende) rekenkundige rij vormen. Veronderstel dat de betalingen voor een zekere lening gespreid worden over 40 maanden. De eerste maand betaalt men 855 EUR. Elke maand daalt het te betalen bedrag met EUR. a. Bereken hoeveel men in de 6 ste maand moet betalen. b. Bereken hoeveel men in het totaal moet betalen. 8. Bereken 5! en 0!. 9. Bij het invullen van een lottoformulier moeten 6 getallen aangeduid worden in een rooster met daarin de getallen,,,, 4. In de combinatieleer toont men aan dat het aantal verschillende 4! mogelijkheden om een lottoformulier in te vullen, gegeven wordt door. Dit getal wordt ook 6!6! 4 genoteerd als en wordt het binomiaalgetal 4 over 6 genoemd.) 6 a. Toon aan dat je dit getal kunt vereenvoudigen tot b. Bereken dit getal. 0 c. Bereken op dezelfde manier het binomiaalgetal. 4 4 4 40 9 8 7 6!.

Oplossingen. a. W = 0 000 0. 8 n b. meetkundige rij n. a. W n = 0 000 500n b. rekenkundige rij. a. n B = 600.05 (let op: 600 is de term met rangnummer ) n b. meetkundige rij 4. a. d = 0. n b. meetkundige rij n 5. Deze rij is ook een meetkundige rij en heeft reden 9. 6. a. 5050 b. 00 c. 9.990 4 75 d..984 75 e. 0.67 875 f. geen partieelsom van een rekenkundige of meetkundige rij g. 99 550 h. 54 9 7. a. 75 EUR b. 47 840 EUR 8. 0, 68 800 9. a. PM b. 5 45 786 c. 4845

CAMPUS BRUSSEL Opfriscursus Wiskunde Matrices en hun bewerkingen Matrices en hun bewerkingen

Tabellen en matrices Voorbeeld Een boekhandel heeft filialen in verschillende steden. De verkoop van vorige maand in de respectievelijke filialen wordt samengevat in de volgende tabel: strips literatuur reisgidsen wetenschap hobby Antwerpen 45 4 68 Brussel 76 6 54 8 65 Gent 7 97 45 59 Hasselt 5 0 5 77 Leuven 6 8 48 7 48 Tabellen en matrices Voorbeeld Een bank biedt beleggingsproducten aan met verschillende risicoprofielen. Het aantal producten in elke risicocategorie wordt samengevat in de volgende tabel: aandelen obligaties fondsen hoog risico 6 gematigd risico laag risico 5 Matrices en hun bewerkingen

Tabellen en matrices Voorbeeld Een meubelbedrijf heeft twee distributiecentra van waaruit vijf winkels worden bevoorraad. De volgende tabel geeft de transportkosten (in euro) weer: winkel A winkel B winkel C winkel D winkel E DC 4 75 9 78 DC 4 86 50 0 Tabellen en matrices Voorbeeld 4 De jaarlijkse productie van de respectievelijke continenten vind een afzetmarkt op de volgende manier: naar Europa Amerika Azië van Europa 50 % 0 % 0 % Amerika 0 % 60 % 0 % Azië 0 % 0 % 70 % Matrices en hun bewerkingen

Het wiskundig concept matrix Terminologie Een m x n matrix A is een ordening van mn getallen a ij in de vorm a a... a j... a n a a... a j... a n A =......... a i a i... a ij... a in............... a m a m... a mj... a mn De getallen a ij noemt men de van de matrix A Voorbeelden 4 5 6 4 5 8 7 9 6 4 8 4 Matrices en hun bewerkingen 4

Oefening Beschouw de matrix A = 5 8 6 7 9 Wat zijn de dimensies van deze matrix? Bepaal de componenten a, a en a 44 van A. Oefening Construeer de 4 x matrix A met componenten a = 0, a =, a =, a 4 = 7, en waarbij de overige componenten voldoen aan a ij = i j. Matrices en hun bewerkingen 5

Definitie: gelijke matrices Bijvoorbeeld, A = B dezelfde afmetingen en i, j a ij = b ij 4 4 4 4 4 4 4 e 0.00 9 log 8 Oefening Voor welke waarden van de parameters u, v, w en t is t t v = t u u + t + w Oefening 4 Voor welke waarden van de parameters u, v en w is u 4 u + 6 = log v 9 w u 8( w ) + 9 u Matrices en hun bewerkingen 6

Oefening De studentenpopulatie in een bacheloropleiding ziet er als volgt uit: in het eerste jaar zijn er 5 studenten ingeschreven, 46 in het tweede jaar studenten, en 85 in het derde jaar. Het aantal generatiestudenten in deze jaren zijn respectievelijk 475, 8 en 94. Stel deze gegevens voor in matrixvom. Definitie: de getransponeerde matrix A = 6 9 A T = 4 5 6 B = B T = C = 5 7 9 5 9 C T = Notatie: A T Matrices en hun bewerkingen 7

Bewerkingen met matrices Voorbeeld Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen: kwartaal kwartaal kwartaal kwartaal 4 Amerika 46 48 467 45 Azië 76 4 75 85 Europa 5 49 509 547 Oceanië 45 9 5 in keur Voor volgend jaar stelt men een groei van deze cijfers met 5 % voorop. Hoe zullen de kwartaalcijfers er dan moeten uitzien? Bewerkingen met matrices. scalair veelvoud A = 4 5 6 5A = 5 = 4 5 6 In het bijzonder, 0A = A = ( )A = Matrices en hun bewerkingen 8

Voorbeeld (vervolg ) Een multinational laat de volgende kwartaalcijfers optekenen : vorig jaar: kwartaal kwartaal kwartaal kwartaal 4 Amerika 458 449 46 454 Azië 4 9 68 95 Europa 50 487 50 5 Oceanië 9 4 in keur dit jaar: kwartaal kwartaal kwartaal kwartaal 4 Amerika 46 48 467 45 Azië 76 4 75 85 Europa 5 49 509 547 Oceanië 45 9 5 in keur (b) Wat zijn de gedetailleerde resultaten van deze multinational over de twee jaren samen? (c) Hoe zijn de kwartaalcijfers geëvolueerd over deze twee jaren? Voorbeeld (vereenvoudigde opgave ) Een multinational laat de volgende resultaten ( in keur) optekenen: semester semester Europa 550 560 Amerika 480 460 Azië 70 80 semester semester Europa 570 50 Amerika 470 480 Azië 400 90 jaar geleden vorig jaar over de vorige jaren samen: evolutie over de vorige jaar: Europa Amerika Azië semester semester Europa Amerika Azië semester semester Matrices en hun bewerkingen 9

Bewerkingen met matrices. scalair veelvoud. optelling 4 5 6 + 5 8 7 9 = aftrekking 4 5 6 5 8 7 9 = Oefening 5 Beschouw de matrices A = 7 8 0 en B = 4 9 6 0 5 en C = 4 5 6 Bereken 6 A, 9 B, A + B, A B, A + C en B C T. Matrices en hun bewerkingen 0

Oefening 6 De volgende twee tabellen geven de verkoopsscijfers ( in duizendtallen ) weer die ACCO in 00 en in 05 gerealiseerd heeft in haar respectievelijke vestigingen: 00 Leuven Gent Antwerpen cursussen 70 50 0 kantoorben. 400 50 00 05 Leuven Gent Antwerpen cursussen 00 80 40 kantoorben. 500 50 50 In 0 zag ACCO de verkoopscijfers in al haar vestigingen dalen met 0%, maar door exclusiviteitscontracten af te sluiten met de universiteiten in haar vestigingsplaatsen kan zij in 06 de verkoop met de helft doen toenemen ten opzichte van 05. Beschijf de evolutie van de verkoop tussen 0 en 06. Oefening 7 Een speelgoedfabricant maakt puzzels, bord- en kaartspellen. De winst ( in keur ) die zij op elk van deze spellen maakt wordt weergegeven door de kolommatrix W = ( 00 00 60 ) T en de productie kosten ( ook in keur ) door de kolommatrix K = ( 60 80 40 ) T. Na een grondig marktonderzoek becijfert zij dat, indien de productiekosten ongewijzigd blijven, zij haar winst kan verdubbelen door via een andere prijsstrategie haar opbrengst op te krikken tot 80 % van de omzet van haar grootste concurrent. Wat is dan de omzet van haar concurrent? Matrices en hun bewerkingen

Voorbeeld Het wekelijkse boodschappenlijstje van de familie Kiekeboe en dat van de familie Van Der Neffe ziet er als volgt uit : familie Kiekeboe familie Van Der Neffe droge voeding 4 stuks droge voeding 7 stuks vlees & vis 7 stuks vlees & vis 5 stuks groenten & fruit 9 stuks groenten & fruit 6 stuks drank 5 stuks drank 9 stuks was - & poetsproducten 4 stuks was - & poetsproducten 5 stuks huishoudmateriaal stuks huishoudmateriaal stuks (a) Construeer een 6 x matrix die de kwantitatieve informatie in de boodschappenlijstjes van beide families samenvat. De gemiddelde prijzen (in ) van basisproducten bij verschillende supermarketketens wordt samengevat in de volgende tabel: droge voeding vlees & vis groeten & fruit drank was - & poets - producten huishoud - materiaal Aldi.7.84 4.8 5.45.8 5.9 Carrefour 5..54.6 7..87 4. Delhaize 4.4 0.07.94 4.68 5.4.48 Match 6. 9.94 5.8 6.5 4.7.88 (b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? (c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? (d) Bij welke winkelketen zou de familie Kiekeboe het goedkoopst gediend zijn? En, de familie Van Der Neffe? Matrices en hun bewerkingen

Oplossing Kiekeboe V.D. Neffe Aldi Carrefour Delhaize Match.7.84 4.8 5.45.8 5.9 5..54.6 7..87 4. 4.4 0.07.94 4.68 5.4.48 6. 9.94 5.8 6.5 4.7.88 4 7 7 5 9 6 5 9 4 5 (b) De familie Kiekeboe gaat winkelen bij Carrefour. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? antwoord: de familie Kiekeboe zal bij Carrefour euro moeten betalen. Oplossing Kiekeboe V.D. Neffe Aldi Carrefour Delhaize Match.7.84 4.8 5.45.8 5.9 5..54.6 7..87 4. 4.4 0.07.94 4.68 5.4.48 6. 9.94 5.8 6.5 4.7.88 4 7 7 5 9 6 5 9 4 5 (c) De familie Van Der Neffe daarentegen gaat winkelen bij Match. Hoeveel zal hun wekelijkse winkelkar gemiddeld kosten? antwoord: de familie Van Der Neffe zal bij Match euro moeten betalen. Matrices en hun bewerkingen

Bewerkingen met matrices. vermenigvuldiging = 4 5 6 Algemeen: de (i, j ) de component van A B is (AB ) ij = Merk op: 4 5 6 = 6 4 5 4 Te onthouden Als A een m x n matrix is en B is een p x q matrix, dan bestaat A B enkel en alleen indien In dat geval A B is dan een matrix Matrices en hun bewerkingen 4

Oefening 8 Bereken alle mogelijke producten van de matrices met de hand A = 4 5 6 0, B = en 0 C = Oefening 9 Bereken, indien mogelijk, de volgende matrixvermenigvuldigingen: 5 0 4 x y, 5 4, 6 4 6 5 4 5 6 0 0 0 0, 4 5 6, 4 5 6 0 0 Matrices en hun bewerkingen 5

Oplossing 5 0 4 x y = 5 4 6 = 4 6 5 = Oplossing ( vervolg ) 4 5 6 0 0 0 0 = 4 5 6 = 4 5 6 0 0 = Matrices en hun bewerkingen 6

Bijzondere matrices 0 pxq = 0 0... 0 0 0... 0... 0 0... 0 een p x q - nulmatrix I n = 0... 0 0... 0... 0 0...... een n x n - eenheidsmatrix Eigenschap : 0 pxq + A = en A + 0 pxq = 0 pxq A = en A 0 pxq = I n A = en AI n = Rekenregels voor matrices Voor alle getallen r, s IR en alle matrices A, B, C waarvoor de bewerkingen gedefinieerd zijn, gelden de volgende rekenregels: ( r + s ) A = r A + s A r ( A + B ) = r A + r B ( r s ) A = r ( s A ) ( A T ) T = A ( r A ) T = r A T ( A + B ) T = A T + B T A + B = B + A ( A + B ) + C = A + ( B + C ) ( A B ) C = A ( B C ) ( r A ) B = r ( A B ) = A ( r B ) A ( B + C ) = A B + A C A ( r B + s C ) = r A B + s A C ( B + C ) A = B A + C A ( r B + s C ) A = r B A + s C A Matrices en hun bewerkingen 7

Belangrijke opmerkingen (a) A B B A in het algemeen bv. A = 4 en B = 0 0 (b) AB = 0 pxq A = 0 pxr of B = 0 rxq bv. A = X en B = (c) A = 0 nxn bv. A = X A = 0 nxn X X (d) AB = AC en A 0 pxq B = C BA = CA en A 0 pxq B = C bv. A = 4 en B = en C = 5 4 dan A 0 x en B C maar A B = 4 = en 4 5 A C = = 4 Matrices en hun bewerkingen 8

Oefening 0 A, B en C zijn vierkante matrices. Is de volgende uitspraak juist of fout? Corrigeer de foute uitspraken. ( A + B ) = A + A B + B ( A B ) = A A B + B A(B C) = A B A C ( A + B )( A B ) = A B Oefening Werkstudenten hebben de volgende studiegewoonten. Als hij/zij vanavond studeert, dan is er 70% kans dat hij/zij morgenavond ook zal studeren. Maar als hij/zij vanavond niet studeert, dan geraakt hij/zij moeilijk terug in het studeerritme en is er 60% kans dat hij/zij morgenavond ook niet zal studeren. (a) Stel een matrixmodel op dat het studeergedrag van deze studenten modelleert. (b) In een schakeljaar zijn er 00 studenten ingeschreven. Als er vanavond 70 studenten studeren, hoeveel studenten zullen er dan morgenavond studeren? En hoeveel niet? (c) Hoeveel van deze 00 studenten hebben er gisterenavond gestudeerd? Matrices en hun bewerkingen 9

Oefening De demografische verdeling van een land is als volgt : miljoen inwoners zijn jonger dan 0 jaar, 5 miljoen hebben er een leeftijd tussen 0 en 60 jaar, en miljoen inwoners zijn ouder dan 60 jaar. Door natuurlijke evolutie zijn deze aantallen continu in beweging. Noteer met L de leeftijdscategorie van inwoners die jonger zijn dan 0 jaar, met L de leeftijdsklasse van mensen tussen 0 en 60 jaar oud, en met L de leeftijdsgroep van burgers ouder dan 60 jaar. Over een periode van 0 jaar verandert de leeftijds - structuur van dat land als volgt : door geboortes groeit de bevolking aan met 0.8 eenheden per persoon uit L en met 0. eenheden per persoon uit L, maar er zijn geen geboortes uit L. Anderzijds vermindert het bevolkingsaantal over eenzelfde periode van 0 jaar door sterftes en emigratie met 0 % in L, met 0 % in L, en met 00 % in L. Bovenop deze natuurlijke processen groeit de bevolking van het land ook aan door immigratie. Over dezelfde periode van 0 jaar komen er 98 000 personen bij in leeftijds - categorie L, 66 000 in leeftijdsklasse L en 000 in L. (a) Construeer een matrixmodel dat de evolutie van de bevolkingsaantallen in elke leeftijdscategorie over een periode van 0 jaar beschrijft. (b) Hoe zal de leeftijdsverdeling van de bevolking er over 0 jaar uitzien? En hoe over 60 jaar? Matrices en hun bewerkingen 0

CAMPUS BRUSSEL Nog veel moed bij het studeren, succes bij de test, en vooral heel veel succes bij de studies!!!!! Matrices en hun bewerkingen

FACULTEIT ECONOMIE EN BEDRIJFSWETENSCHAPPEN CAMPUS BRUSSEL Warmoesberg 6 000 BRUSSEL, België tel. + 0 feb.brussel@kuleuven.be feb.kuleuven.be/brussel