UITWERKINGEN. Wiskunde. voor het hoger onderwijs. Deel B. Sieb Kemme Caroline van Koolen Theo van Pelt Harmen Timmer Jan Walter.

Transcriptie

1 UITWERKINGEN Deel B Wiskunde voor het hoger onderwijs Sie Kemme Caroline van Koolen Theo van Pelt Harmen Timmer Jan Walter Ahtste editie

2

3 Wiskunde voor het hoger onderwijs Deel B Uitwerkingen

4

5 Sie Kemme (eindredatie) Wim Groen Caroline Koolen Theo van Pelt Harmen Timmer Jan Walter Ahtste druk Noordhoff Uitgevers Groningen/Houten

6 Ontwerp omslag: Studio Frank & Lisa, Groningen Omslagillustratie: Getty images Opmaak en tekenwerk: Eduatieve Adviezen Kemme BV Eventuele op- en aanmerkingen over deze of andere uitgaven kunt u rihten aan: Noordhoff Uitgevers v, Afdeling Hoger Onderwijs, Antwoordnummer 13, 97 VB Groningen, info@noordhoff.nl / Noordhoff Uitgevers v Groningen/Houten, The Netherlands. Behoudens de in of krahtens de Auteurswet van 191 gestelde uitzonderingen mag niets uit deze uitgave worden verveelvoudigd, opgeslagen in een geautomatiseerd gegevensestand of openaar gemaakt, in enige vorm of op enige wijze, hetzij elektronish, mehanish, door fotokopieën, opnamen of enige andere manier, zonder voorafgaande shriftelijke toestemming van de uitgever. Voor zover het maken van reprografishe verveelvoudigingen uit deze uitgave is toegestaan op grond van artikel 16h Auteurswet 191 dient men de daarvoor vershuldigde vergoedingen te voldoen aan Stihting Reproreht (postus 36, 13 KB Hoofddorp, Voor het overnemen van gedeelte(n) uit deze uitgave in loemlezingen, readers en andere ompilatiewerken (artikel 16 Auteurswet 191) kan men zih wenden tot Stihting PRO (Stihting Puliatie- en Reprodutierehten Organisatie, postus 36, 13 KB Hoofddorp, All rights reserved. No part of this puliation may e reprodued, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or y any means, eletroni, mehanial, photoopying, reording, or otherwise, without the prior written permission of the pulisher. ISBN (eook) ISBN NUR 918

7 Voorwoord Dit uitwerkingenoek evat de uitwerkingen van alle oefeningen en oefentoetsen ij deel B van de serie Wiskunde voor het hoger onderwijs. Het hoofdoek Het hoofdoek van de serie Wiskunde in het hoger onderwijs, deel B evat de theorie en de oefeningen. De linkerpagina s zijn onsequent gereserveerd voor de theorie en de rehterpagina s voor de ijehorende oefeningen. Theorie en oefeningen staan altijd diret ij elkaar. Dit maakt een zelfstandige en atieve manier van studeren mogelijk. Sommige hoofdstukken evatten een afsluitende paragraaf met Toepassingen. De laatste twee paragrafen van elk hoofdstuk zijn gereserveerd voor het verwerken van de leerstof. In Hoofdzaken staan de onderwerpen kort samengevat die aan het eind van het hoofdstuk paraat moeten zijn. Met een Toets over het hele hoofdstuk kan zelfstandig worden nagegaan in hoeverre de stof daadwerkelijk eheerst wordt. Ondersteuning met ICT Een inlogode geeft toegang tot de wesite waarop extra oefeningen met antwoorden te vinden zijn. Deze extra stof is edoeld om nog snel even te oefenen, ijvooreeld kort voor een tentamen. De serie Wiskunde voor het hoger onderwijs De vernieuwe serie Wiskunde voor het hoger onderwijs is opgeouwd uit de delen A, B en C. Deel A is estemd voor de overgang van havo/mo naar het HBO en evat de nodige elementaire wiskundige kennis en vaardigheden die nodig zijn om met sues aan een studie op het HBO te eginnen. Deel B iedt, naast een uitreiding van het wiskundige arsenaal, een steviger wiskundige asis, uitgewerkt in praktishe toepassingen. De delen C evatten, per afzonderlijk katern, wiskunde zoals die wordt toegepast in vershillende afstudeerrihtingen. Het geruik van de omputer Voorop staat telkens een egripsmatige eheersing van de stof, geomineerd met een handmatige eheersing van de vaardigheden. Maar ij het numerieke werk is de inzet van de omputer ononteerlijk. Hierij is gekozen voor de inzet van Exel als geruikelijk rekenmiddel in het toekomstige eroep. Voor het laten tekenen van grafieken, in het vlak en in de ruimte, is gekozen voor het programma WINPLOT. Dit is als shareware van het we te downloaden.

8 Inhoud Hoofdstuk 1 Vetoren 1.1 Vetoren in R en R Bewerkingen met vetoren Lengte en inwendig produt De hoek tussen twee vetoren Uitwendig produt Toepassen: Uitwendig produt Vetorfunties Toepassen: Vetorfunties 18 Toets Hoofdstuk Matries.1 Wat zijn matries? 1. Optellen en salair vermenigvuldigen.3 Matries en vetoren 3.4 Matrixvermenigvuldiging 3.5 De inverse matrix 5.6 Stelsels lineaire vergelijkingen oplossen 6.7 Toepassen: Transformaties en matries 8 Toets 9 Hoofdstuk 3 Uitreiding funties 3.1 Samengestelde funties Inverse funties Formule van de inverse epalen Cylometrishe funties De e-maht en de natuurlijke logaritme De asolute waarde Toepassen: De kettinglijn 41 Toets 43 Hoofdstuk 4 Limieten 4.1 Het egrip limiet Standaardlimieten en rekenregels Limieten voor x naar oneindig Oneindige limieten Dominante funties Limieten van rijen Meetkundige rijen Partiële sommen De som van een meetkundige rij Toepassen: Finanieel rekenen 61 Toets 6 Hoofdstuk 5 Differentiëren 5.1 Rekenregels en standaardafgeleiden De tweede afgeleide Hogere afgeleiden De stellingen van L Hôpital De reeksen van MaLaurin en Taylor Toepassen: Kromming en kromtestraal 74 Toets 76 Hoofdstuk 6 Numerieke methoden De halveringsmethode Rekenwerk met de halveringsmethode De methode van Newton-Raphson Rekenwerk met Newton-Raphson Herhaalde sustitutie Convergentie en foutenanalyse Toepassen: Oppervlakte; Investeringen 91 Toets 94

9 Hoofdstuk 7 Funties van meer variaelen 7.1 z = f(x,y) Partiële afgeleiden Hogere partiële afgeleiden Differentialen De totale differentiaal Impliiete funties Toepassen: Niveaukrommen 16 Toets 18 Hoofdstuk 8 Complexe getallen 8.1 Het getal i Rekenen met omplexe getallen Modulus, argument en poolvorm De exponentiële vorm Werken met de exponentiële vorm Mahten en wortels Toepassen: Complexe impedantie 16 Toets 18 Hoofdstuk 9 Primitiveren 9.1 Rekenregels en standaardintegralen De sustitutiemethode Partiële integratie Geroken funties Geroken funties Integralen van goniometrishe funties Differentiaalvergelijkingen Toepassen: Differentiaalvergelijkingen 147 Toets 149 Hoofdstuk 1 Integreren 1.1 De epaalde integraal Oneigenlijke integralen De inhoud van omwentelingslihamen De ooglengte van een kromme De oppervlakte van omwentelingslihamen Het z waartepunt van massapunten op één lijn Het zwaartepunt van een vlakke homogene plaat Areid Hydrostatishe kraht en vloeistofstroom 163 Toets 164 Hoofdstuk 11 Numerieke methoden 11.1 De trapeziumregel De regel van Simpson Lijnelementen en rihtingsvelden De methode van Euler De methode van Heun Toepassen: Dynamishe systemen 175 Toets 176

10 8 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 1.1 Vetoren in R en R 3 1a Zie figuur. 1 a = = a = = = 1 1 d 1 = 1 a 4 a = 3 = 3 = = = 1 = 1 = a OC = 5, CB = 5 OB = OC + CB OB = = 5 = 5 ( ) OF = OB + BF OF = = 75 = 5 3 F BF 5 1 sin( FOB) = = = = 1 3 FO FOB = sin ( 3) 35, O B 5

11 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 9 x 4a Shrijf de vetoren in de vorm y, oftewel: OA =, OB = 7, z OC = 7, OD =, OE =, OF = 7, OG = EF : Coördinaten eginpunt is (,,4) met de kentallen 7 ; EA : Coördinaten eginpunt is (,,4) met de kentallen ; 4 ED : Coördinaten eginpunt is (,,4) met de kentallen ; DF : Coördinaten eginpunt is (,, 4) met de kentallen 7 ; DB : Coördinaten eginpunt is (,, 4) met de kentallen OS OF 3 1 = = 5a Zie figuur. Pijlen naar rehtsonder: het magnetishe veld. Pijl naar linksoven: de stroomintensiteit.

12 1 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 1. Bewerkingen met vetoren 1a d a+ = 5+ = ( ) 9 = 4 = 3 ( 1) a = 5 = 5 = = = 4+ 1 = a 11 a = = a + = = 1 + = ( ) 3a x a d 175 x = = = 1 5 y = o a d = z = o a+ + d = 15 15

13 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 11 4a 5 1 x+ y = a y = a x = 1 1 Zie figuur. 3 1 a = 5 = , = 1 = = = x x z a y y 6 De resulterende kraht moet zijn. Oftewel, F1+ F + F3 = 5 F3 = F1 F = Inwendig produt = = = = = = 1 1a ( ) = = = = = = 3 d ( ) ( ) e ( ) f ( ) = = a ( )

14 1 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren = = ( ) ( ) = = ( ) ( ) d = = Bijvooreeld a = 1 en =. 3 4 a = = 1 ( ) = = a+ = a+ = = a 3= 9 a 3 = 1 + ( 11) + 9 = = + x = x 5 4 ( ) 5 4 ( x ) 5 x 4x 5 eide leden kwadrateren + = = ontinden in fatoren ( x 5)( x+ 1) =, x1 = 5 of x = 1 7a Neem aan dat a en tweedimensionale vetoren zijn. Dan geldt: a = a1 1 + a en a = a+ a = a + a = a a ( + ) = a a + = a1 1 + a1 1+ a + a a + a = a1 1 + a + a1 1 + a. Oftewel a( + ) = a+ a a = a ( ) + a ( ) = a a a = a a = a ( ) ( ) ( ) ( )

15 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren De hoek tussen twee vetoren 1 Er geldt: a ( 1) 1 os( α) = os( α) = = a ( 1) ( 1) 57 Dus de vetoren a en staan niet loodreht op elkaar. Er geldt: a a a+ 5 a+ 6 1 a + 5a+ 6 os( α) = = = a a a + a + 1 a + 61 a + 1 Dus de teller is gelijk aan : a + 5a+ 6= ( a+ 3)( a+ ) = a = 3 of a = a 3 Stel de vetor is, dan moet a = en a + =. a = en + +3 = + =. 1 Kies a = 1, dan voldoet aan eide voorwaarden. 4 a = 1 p+ p ( p) + 3 = p p+ 6 = ( p )( p+ 3) = p = of p = 3 5 Er geldt: a 1( ) ( 1)( 1) 1 os( α) = os( α) = = a ( 1) ( ) ( 1) 6 1 α = os ( 1) = 1, a s1 =, s =, s1 = 1 1 Fs + Fs + Fs = Nm De vetor langs de kortste weg van O naar A is 1 = + = 4Nm. 1

16 14 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 7 Met ijvooreeld Met ijvooreeld Met ijvooreeld F 1 = 1 F 1 = 1 F 1 = 1 en en en s = : W is positief. s = : W is nul. s = : W is negatief. 1.5 Uitwendig produt 4 (6)(1) 1a a = 6 1 = 14 1( 1) ( 8) 6 93 ( a ) ( 3) = 5 6 = 8 ( 1) 9 = ( ) ( a+ ) ( ) = 1 = 1 ( ) ( 1) ( ) = ( ) ( 1) d ( a) ( + 5) = 8 11 = 1 ( ) 13 = ( ) e e = 1 = 1 = = e e e = = 1 1 = 1 = e ( e + e ) e = 1 = 1 1 = a e1 e = 1 = 1 = = e d 1 3

17 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 15 3a 4a a1 a1 a a3 a3 a a a = a a = a a a a = a 3 a 3 a1 a a a 1 a 3 a 3 a 3 ( 3) a a 3 a 3 a = a31 a 1 3 en a = 3a1 ( 1) a3 = a31 a 1 3 a 1 a 1 a 1 ( ) a 1 a 1 a 1 Dus a = a 1 a1 1 a1 AB = a en AC = a. ( ) ( ) 1 a1 1 a1 a a a a = ( 1 a1) ( 1 a1) ( 1 a1) ( a) ( a) ( 1 a1) ( 1 a1) ( a) ( a) ( 1 a1) Zie figuur. y C α A AB AC B x z De kurkentrekker draait linksom, oftewel AB AC heeft een positief z kental. a a a a > wijst AB AC in de d Als ( ) ( ) ( ) ( ) positieve z-rihting en moet C links van de lijn door A en B liggen. a a a a =, dan liggen AB en AC e Als ( ) ( ) ( ) ( ) in elkaars verlengde, dus C ligt op de lijn door A en B. a a a a < wijst AB AC in de f Als ( ) ( ) ( ) ( ) negatieve z-rihting en moet C rehts van de lijn door A en B liggen.

18 16 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 1.6 Toepassen:Uitwendig produt 1 1 r = ( 1) 3 ( ) 1 M = r F = 5 = 3 1 ( 1) ( 1) = 3 1 ( 1) ( ) a OS = = 34 a 3a F 1 = N F1 = 3 meter, F y F = 3 N O = 3 5 meter S 3 P x 3 F = 4, 3 F = 3 F 4 =, F4 5 N 4 N 15 3 = 15 4 r = 3, M1 =, M =, M 3 = en 6 1 M 4 = r =, M1 =, M =, M 3 =, M 4 = Zie figuur. F = h I B sin( α) De Lorentzkrahten staan vertiaal en zijn tegengesteld geriht. De Lorentzkraht op de ovenkant van het spoeltje wijst naar oven, en de kraht op de onderkant wijst naar eneden. 1 d M = l FL sin( α) F L B B F L

19 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren Vetorfunties 1a ( ) 4 r( ) = = 3, ( ) 8 ( 1) 1 r( 1) = = 3 ( 1) r() = = 3, r(1) = = 3, r() = = 3 8 Zie figuur. x= t t = x of x ( ) of ( ) y = t y = x = x x y = x = x x a t. Je kunt geen wortel uit een negatief getal trekken. t x = e ln( x) = t t = ln( x) 1 y = t y = 1 ln( x) Zie figuur. t + = dus 1 1 rt () t t ( t ) geeft aan dat de lengte van de vetor snel 3a rt () = ( os(π t )) + ( sin(π t )) = ( os (π t ) + sin (π t )) rt () t t os (π t) sin (π t) 1 afneemt. De sinus en osinus funtie zorgen voor een draaiing om de y-as.

20 18 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren ( ) ( ) ( ) ( ) rt () = os()sin() t t + sin() t + os() t 4a ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) = sin( t) os( t) + sin( t) + os( t) ( t ) ( t ) = sin( ) + os( ) = 1 = 1 Zie figuur. () = 7sin(7 + 7os(7 + 1 = 5a I t ( t) ( t) ( t ) ( t ) (( t ) ( t ) ) ( 7) sin(7 ) 7 os(7 ) 1 = + + = = 49 sin(7 ) + os(7 ) + 1 = 5 = 5 7os(7 t) I() t B = 11 ( 7sin(7)) t = 1 7sin(7)1 t 7os(7)1 t 7 sin(7 t) + os(7 t) I() t B = ( 1) (sin7) t + os(7) t = ( t t ) = + 49 sin(7 ) + os(7 ) = = sin(7 t)os(7 t) ( ) ( ( )) 1.8 Toepassen: Vetorfunties 1a vt ( ) = ( Rωsin( ωt) ) + ( Rωos( ωt) ) (( sin( )) ( os( )) ) = R ω ωt + ωt = R ω = Rω at () = R os( t) + R sin( t) ( ω ω ) ( ω ω ) (( os( )) ( sin( )) ) ( ) 4 4 = R ω ωt + ωt = R ω = Rω rt () vt () = Ros( ωt) Rωsin( ωt) + Rsin( ωt) Rωos( ωt) = R ωos( ωt)sin( ωt) + R ωos( ωt)sin( ωt) = vt at R t R t R t R t ( ) ( ) () () = ωsin( ω ) ω os( ω ) + ωos( ω ) ω sin( ω ) 3 3 = R ω sin( ωt)os( ωt) R ω sin( ωt)os( ωt) = Het inwendig produt is. Dus staan ze loodreht op elkaar. st at R t R t R t R t os( α) = = s a R Rω () () os( ω ) ( ) ω os( ω ) + sin( ω )( ) ω sin( ω ) R ω os( α) = = 1 α = π. Rω Oftewel de vetoren heen een tegengestelde rihting.

21 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren 19 a vt ( ) = ( sin( t) ) + ( os(4 t) ) + ( os( t) ) Hiervoor he je rt () nodig. Deze wordt gegeven door de snelheidsvetor te integreren: os( t) + C 1 1 rt () = 4 sin(4) t+ C. De onstanten epalen we m..v. r () : 1 sin( t) + C3 os() + C1 = 1 C1 = os( t) 1 1 4sin(4 ) + C = 1 C = 1 r( t) = 4sin(4 t) sin( ) + C3 = C3 = sin( t) Dus voor t = 4 π krijg je rt () = 1. De afstand tot de oorsprong 1 wordt gegeven door rt (). 3a ( 1 ) ( 1 ) rt () = = 7, x () t os() t x () t sin() t vt () = y () t = sin() t at () = y () t = os() t z () t 1 z () t rt () at () = sin() t sin() t + os() t os() t + t = ( sin( t) ) ( os( t) ) = 1 vt () at () = os() t sin() t + sin() t os() t + 1 = os( t)sin( t) + os( t) sin( t) =. Het inwendig produt is. Dus staan ze loodreht op elkaar. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 4a a = a() t = Rω (zie vraag 1a) π π π (π) R T = ω =. a = R = ω T T T (π) R mm F = m a = m. Ook geldt F = G T R 3 (π) Gelijkstellen geeft: m R = G mm R = GM T R T 4π Afstand ten opzihte van entrum aarde is: 11 4 GM T 6, ,976 1 (4 6 6) R = 3 = 3 4, 4 1 4π 4π Afstand ten opzihte van het aardoppervlak is: , 4 1 6, = 3,586 1 m 7

22 Hoofdstuk 1 Werken met vetoren Toets 3 1a a+ 3 = 5 14 a= 1, = 19 a = 14, = d a = 5, = x = 9 of 3 x =. 9 3 De osinus van de hoek tussen de vetoren 1 a = 1 en = 1 1 is W = 1 os6 = 1 J. 5 6a 1 = 5 = vt () ost v os t. v is maximaal voor t = k π. 3t 6t vt () = 6t, at () = 1t. 3t 6t 4 ra = 36t + 6t va = 18t + 7t + 18t = 18t v = 9t + 36t + 9t = 3t 6, a = + + = 36t 144t 36t 6t t os( α) = = 1. (Beide vetoren liggen in elkaars verlengde, de t eweging is langs een rehte lijn.)