ALGEMENE STATISTIEK VOOR BWI COMPUTEROPGAVEN 2009/2010. A.W. van der Vaart en F. Bijma

Transcriptie

1 ALGEMENE STATISTIEK VOOR BWI COMPUTEROPGAVEN 2009/2010 A.W. van der Vaart en F. Bijma

2 1 Algemene Instructies Het programma R is onder Windows beschikbaar. Je kunt R vinden in de lijst met programma s onder de Startknop: Start Programs. Je komt dan in een interactieve omgeving, waarin je de opdrachten typt achter de R- prompt > en afsluit met een RETURN. Verder kun je in het commandowindow met behulp van de pijltjes toetsen eerdere commando s herhalen ( ) of editen. De R-sessie wordt beëindigd door q() achter de R-prompt te typen of door Exit onder File in de menubalk te kiezen. In de displays hieronder geven we de R-commando s achter de R-prompt, waarbij de prompt > door R zelf wordt gegeven. De output van tekencommando s (zoals plot of hist of acf) wordt standaard in een nieuw window op het scherm geprint. Wil je meerdere plaatjes in een window dan kun je het commando par(mfrow=c(3,2)) gebruiken. Dit zet de eerst volgende 6 plaatjes op 1 pagina, in 3 rijen en 2 kolommen. Je kunt een (of meerdere) op het scherm getekende grafiek(en) opslaan of kopiëren door er op te klikken met de rechtermuisknop en de gewenste actie te selecteren. Met copy as metafile kun je de grafiek meteen in een Word-bestand plakken. In dit Word-bestand kun je verder de antwoorden op de gestelde vragen schrijven. Zo creëer je een file die je kunt inleveren. Je kunt de output ook naar een bestand met naam naam.ps sturen met behulp van de volgende commando s > postscript(file= naam.ps ) > [ plot opdrachten ] > dev.off() Verschillende grafieken komen op deze manier als opeenvolgende pagina s in het postscript bestand. Sommige opdrachten hebben betrekking op voorbeeld datasets. Deze

3 1: Algemene Instructies 3 zijn in te voeren met behulp van het scan commando, zoals in de opgaven wordt beschreven. De data bevinden zich in de ASCII bestanden (zoals dell.v.txt, klm.txt, simul1.txt etc.) in de directory op de homepagina van Algemene Statistiek voor BWI: usr/local/www/docs/math/stochastics/onderwijs/algstatbwi/cursusdata Let op: er is ook een directory.cursusdata, waarin Splus objecten staan. Deze kunnen niet gebruikt worden voor dit R-practicum. De uitgeprinte uitwerkingen van de opdrachten kunnen worden ingeleverd bij de docent of de assistent. Instructies daarvoor staan op de website van Algemene Statistiek voor BWI, onderwijs/algstatbwi, onder Computeropgaven. Je mag in groepjes van twee werken. Zorg ervoor dat je verslag er verzorgd uitziet, door alle plaatjes en antwoorden in een bestand (Word of PDF) te zetten. In de onderstaande opdrachten worden steeds instructies over de R functies gegeven. Waarschijnlijk geven deze voldoende informatie om de opdrachten te kunnen uitvoeren. Met help(functie) kan de help functie worden aangeroepen, bijvoorbeeld help(plot). Voor verdere gebruikersinformatie van R verwijzen we naar Handleiding R van A.W. van der Vaart en M.A. Jonker, die te vinden is op de website van Algemene Statistiek voor BWI, zoals hierboven genoemd, onder Materiaal.

4 2 Opdracht 1 1. (Cumulatieve gemiddelden.) Met x = rcauchy(10000) creëer je een vector x=(x[1],..., x[10000]) met als coördinaten een steekproef ter grootte uit de Cauchy-verdeling. cumsum(x) is de vector van cumulatieve sommen (x[1], x[1]+x[2],...), en cumsum(x)/1:10000 zijn de cumulatieve gemiddelden van deze vector. Gecombineerd met het plot commando krijg je door >plot(1:10000, cumsum(rcauchy(10000))/1:10000,type= l ) een grafiek van de cumulatieve gemiddelden. (i) Maak 10 van deze grafieken op het scherm. (ii) Doe hetzelfde maar dan voor een steekproef uit de normale verdeling (vervang rcauchy(10000) door rnorm(10000).) (iii) Verklaar het verschil met behulp van een stelling uit de kansrekening. Lever in: 1 grafiek zoals onder (i) en (ii) (gebruik par(mfrow=c(2,1)) voor het maken van twee grafieken in een plaatje) en het antwoord op (iii). Zie de inleiding voor het opslaan van de plaatjes. 2. (QQ-plots.) Een steekproef uit een bepaalde verdeling kun je in R genereren door rdist(n,par) waarbij dist staat voor de verdelingsnaam, n voor de grootte van de steekproef en par voor de parameters. Bijvoorbeeld, x=rnorm(50,5,1), x=rexp(25,1), x=rbinom(25,10,0.3), x=runif(30,-1,1). De parameters van iedere verdeling staan gedocumenteerd in de help-functie, bijvoorbeeld help(rnorm). Met qqnorm(x) krijg je een plot van de ordestatistieken van een steekproef x tegen de kwantielen van de standaard normale verdeling. Je kunt de code voor de steekproef en de QQ-plot combineren. Zo krijg je met qqnorm(rnorm(50,5,1)) een QQ-plot van een steekproef ter grootte 50 uit de normale verdeling met verwachting 5 en standaarddeviatie 1. Het functie rnorm(n,m,sd) genereert een steekproef ter grootte n uit de normale verdeling met verwachtingswaarde m en variantie sd 2. Maak voor de volgende steekproeven 5 keer een QQ-plot tegen de normale verdeling (gebruik de -toets om het voorgaande commando te herhalen): (i) een steekproef ter grootte 25 uit de standaard normale verdeling. (ii) een steekproef ter grootte 50 uit de normale verdeling met verwachting 5

5 2: Opdracht 1 5 en variantie 1. (iii) een steekproef ter grootte 25 uit de exponentiële verdeling. (iv) een steekproef ter grootte 25 uit de Gamma-verdeling met parameters 5 en 1 (met rgamma(25,5,1)). (v) een steekproef ter grootte 25 uit de Gamma-verdeling met parameters 10 en 3. (vi) een steekproef ter grootte 30 uit de homogene verdeling op [-1,1]. Lever in: alleen het antwoord op de volgende vraag: Welke van de verdelingen (iii), (iv), of (v) lijkt het meest op een normale verdeling? Beargumenteer je antwoorden. Het uitvoeren van alle opdrachten (i)-(vi), en het bestuderen van de resultaten op het scherm, is wel van belang als voorbereiding op de volgende opdracht, maar hoeft niet te worden ingeleverd. 3. (QQ-plots en steekproefgrootte.) De bruikbaarheid van een QQ-plot hangt af van de steekproefgrootte. Maak een QQ-plots van een steekproef uit de standaard normale verdeling tegen de kwantielen van dezelfde verdeling. Varieer de steekproefgrootte en genereer op deze manier per steekproefgrootte minimaal 5 QQ-plots. Voor welke steekproefgrootte vind je een QQ-plot bruikbaar? Wat zie je voor lagere waarden van de steekproefgrootte? Lever in: het antwoord op de vragen. 4. (Verdelingsonderzoek.) Beantwoord voor ieder van de zes onderstaande steekproeven de volgende vraag: is het redelijk om de steekproef als een steekproef uit een normale verdeling te beschouwen? Kies steeds uit twee mogelijke antwoorden: duidelijk niet normaal of normaal niet uitgesloten. Baseer je antwoord op histogrammen, boxplots en QQ-plots (te verkrijgen met hist(x), boxplot(x) en qqnorm(x).) Gebruik de functie par(mfrow=c(1,3) om de drie grafieken naast elkaar te printen voor iedere dataset. Pas de grootte van het window zodanig aan dat de verhouding ongeveer 1:3 wordt en iedere grafiek ongeveer vierkant is. De data voor de steekproeven is beschikbaar in ASCII-files met namen als simul1.txt of dell.v.txt op de plaats die beschreven is in de inleiding. Onder Windows moet je deze files eerst naar je eigen domein kopiëren en dan kunnen ze worden ingelezen. Je kunt een file vervolgens als een R-vector met de naam x inlezen door x = scan( file.name ), waarbij je de hele padnaam moet geven onder filenaam (bijvoorbeeld x = scan("h:\\algstatbwi\\computeropgaven\\klm.txt")). (i) simul1 (gesimuleerde data) (ii) simul2 (gesimuleerde data) (iii) dell.v (trading volume aandeel Dell aan NYSE) (iv) logdell.v (log trading volume aandeel Dell aan NYSE) (v) klm (levertijden in dagen van onderdelen door Boeing aan KLM) (vi) birthweight (geboortegewichten) Lever in: per dataset het histogram, de boxplot, de QQ-plot en het antwoord op de vraag. Beargumenteer steeds het antwoord. 5. (Afhankelijkheid.) Onderzoek de afhankelijkheid tussen de log returns op Dell aandelen in dell.s en hun trading volume in dell.v, en hun tijdsafhankelijkheid. Lees eerst de data in met behulp van x = scan("h:\\algstatbwi\\- ComputerOpgaven\\dell.s.txt") en y = scan("h:\\algstatbwi\\computer- Opgaven\\dell.v.txt"). (i) Maak een scatterplot van deze twee variabelen (met plot(x,y)) en

6 6 2: Opdracht 1 bereken hun correlatie-coëfficiënt (met cor(x, y)). (ii) Doe hetzelfde met de absolute waarden van de log returns en de trading volumes. (De vector van absolute waarden ( x[1],..., x[n] ). van een vector x wordt verkregen met abs(x).) (iii) Onderzoek bovendien de afhankelijkheid van de log trading volumes over de tijd door het maken van een plot van de auto-correlatie coëfficiënten (met acf(logdell.v)). (iv) Zijn trading volumes en log returns onafhankelijke variabelen? Beargumenteer het antwoord. (v) Zijn trading volumes op verschillende tijdstippen onafhankelijk? Beargumenteer het antwoord. Lever in: de gevraagde plots en antwoorden op vragen (iv) -(v). 6. (Schatten.) Veronderstel dat de getallen X 1,..., X n onafhankelijk uit de homogene verdeling op het interval [0, θ] zijn gesimuleerd, waarbij θ > 0 onbekend is. Om θ te schatten beschouwen we de schatters T 1 = 2 n X i, n i=1 T 2 = max(x 1,..., X n). Vergelijk de kwaliteit van deze schatters op de volgende wijze: - Simuleer 250 keer een steekproef ter grootte 50 uit de homogene verdeling op [0,1]. Gebruik hiervoor de R-code zoals hieronder weergegeven. - Bereken voor ieder van de 250 steekproeven de twee schatters T 1 en T 2. - Maak een histogram van de 250 waarden T 1 en een histogram van de 250 waarden T 2. Lever in: plots van de twee histogrammen en het antwoord op de volgende vragen: (i) Welke van de twee schatters verdient de voorkeur en waarom? (ii) Wat is de betekenis van de twee getallen die berekend worden in de laatste twee regels van de onderstaande code? > t1 = numeric(250) # maakt een lege vector aan > t2 = numeric(250) > for (i in 1:250) {x = runif(50) t1[i] = 2*mean(x) t2[i] = max(x)} > par(mfrow=c(2,1)) > hist(t1) > hist(t2) > mean((t1-1)^2) > mean((t2-1)^2)