De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat

Transcriptie

1 De onbekende waarde van / in de statistiek Pedro Tytgat Met boeken statistiek alleen kan men een hele bibliotheek vullen. Het domein is zo uitgebreid en de maatschappelijke relevantie zo groot dat er inmiddels een Master in de Statistiek bestaat aan verschillende Vlaamse universiteiten. Op secundair niveau onderwijzen wij dus een niet onbelangrijke inleiding op een inleiding Onze bijdrage is echter verre van onbelangrijk of onbetekenend. Dit heeft twee redenen. Om te beginnen is statistiek dat uitzonderlijke vak dat de meeste van onze leerlingen nog zullen ontmoeten in hun hogere studies. De kwantiteit en kwaliteit van onze bijdrage heeft hier dus verregaande repercussies. Maar vooral is onze rol belangrijk omwille van de ruime aandacht die wij aan het didactische (kunnen) spenderen. Indien wij de basisconcepten goed kunnen aanbrengen, zullen vele van onze leerlingen jarenlang op die basisvorming kunnen terugvallen. Het is meestal niet het onderdeel beschrijvende statistiek dat ons kopzorgen baart. Deze materie aanbrengen lukt vrij goed. Maar de verklarende statistiek (soms ook inductieve of inferentiële statistiek genoemd) is ons minder vertrouwd. Het basisconcept steekproevenverdeling (ook wel steekproefverdeling genoemd of sampling distribution in het Engels) is pas met het laatste leerplan ingevoerd. Het is voor ons allen wat zoeken naar bruikbare didactische werkvormen om dat concept goed aan te brengen. De afgeleide belangrijke begrippen betrouwbaarheidsintervallen en significantietesten zijn gebaseerd op die steekproevenverdeling, zodat een gemiste start met dit begrip voor blijvende verwarring en onbegrip kan zorgen later, d.i. in het secundair maar ook in het hoger onderwijs. Deze workshop doet een voorstel om dit cruciale begrip uit de statistiek aan te brengen. Er zijn verschillende variaties mogelijk, o.a. afhankelijk van jouw klas en de computersoftware die op jouw school beschikbaar is. 1

2 Basisconcepten en valkuilen in de lessen statistiek 1 Basisconcepten en valkuilen in de lessen statistiek Tijdens een navorming kregen we als cursisten de onderstaande tekst ( 1 ) met als opdracht de vier vraagjes onderaan te beantwoorden. De monotillatie van Traxoline Het is zeer belangrijk dat je leert over traxoline. Traxoline is een nieuw soort zionter. Het wordt gemonotilleerd in Ceristanië. Om traxoline te kwaselen moeten de Ceristaniërs grote hoeveelheden fevon gristeren en die daarna bracteren. Traxoline zou wel eens één van onze beste snezlaus van de toekomst kunnen worden. Toets 1. Wat is traxoline? a. Een chemisch bijproduct van verbranding b. Een benzineadditief c. Een nieuw soort zionter 2. Waar wordt traxoline gemonotilleerd? a. Albanië b. West-Indië c. Ceristanië d. Frankrijk 3. Hoe wordt traxoline gekwaseld? 4. Waarom is het belangrijk dat je leert over Traxoline? Hoewel niemand door had waarover het ging, hadden we allemaal 20 op 20! Deze humoristische tekst illustreert een valkuil waar we allemaal kunnen in trappen: het opbouwen en testen van de leerstof op een manier die geen fundamentele kennis en inzicht vereist of garandeert. Zeker in onze lessen statistiek is dit van belang. Het is niet omdat leerlingen betrouwbaarheidsintervallen kunnen berekenen, dat ze inzicht hebben in wat variabiliteit en steekproevenverdelingen zijn. Het is niet omdat ze een histogram kunnen tekenen, dat ze inzicht hebben in de verschillende soorten verdelingen die in de statistiek optreden. Het is niet omdat ze een P-waarde kunnen berekenen, dat ze inzicht hebben in wat significantie betekent. Na elke les en elke toets moeten we ons dus afvragen: Heb ik nu gepolst naar de monotillatie van Traxoline?. Het aanleren van een goed begrip van het concept steekproevenverdeling verkleint de kans dat we in die valkuil trappen. 2 1 Afkomstig uit Clickers in the Classroom van Douglas Duncan. De monotillatie zou van Judie Lanier zijn.

3 2 Onbekende waarde: proportie 2.1 Klasexperiment: hoeveel procent rode bonen? Een eenvoudig experiment, dat niet te lang duurt, bestaat erin leerlingen zelf een onbekende proportie te laten schatten. Dit kan door groepjes van bijv. een leerling of vier een doosje te geven met een mengeling van witte en rode bonen, waarbij zij de proporties niet kennen, maar jij wel. Zorg ervoor dat het percentage rode bonen in alle doosjes dezelfde is, zodat de groepjes hun resultaten later kunnen combineren. Vraag elk groepje om lukraak bijv. 10 of 20 bonen uit het doosje te nemen, de rode te tellen en op basis daarvan een schatting te maken van het percentage rode bonen in het doosje. Je kunt hier de begrippen populatie en steekproef aanbrengen, evenals het belang van het aselect kiezen van de bonen. De verschillen tussen de groepjes zullen normaalgezien groot zijn, sommige groepjes zullen een percentage vinden dat sterk afwijkt van het werkelijke percentage. Eventuele protesten i.v.m. een te kleine steekproef zijn uiteraard welkom. Deze kunnen immers voor elke steekproef geuit worden ( Kun je op basis van een steekproef van amper 2000 van de 10 miljoen Belgen betrouwbare besluiten trekken over de steun aan het Kyoto protocol? Het antwoord is trouwens: ja.). Vervolgens laat je elk groepje nog een vijf- tot tiental keren zo n aselecte trekking uitvoeren, telkens hetzelfde aantal bonen, waarbij ze elke keer de proportie rode bonen noteren. De resultaten van alle groepjes kunnen nu grafisch voorgesteld worden om een idee te krijgen van de afwijkingen die kunnen optreden tussen de verschillende steekproefresultaten. Dit kan aan de hand van een klaargemaakt rekenblad, waarbij de relatieve frequenties van elk percentage meteen worden omgezet in een staafdiagram. Of het kan op het bord, bijv. door met Post-itbriefjes de staafjes van het staafdiagram te laten toenemen. Deze herhaalde metingen geven vooral een idee over de variabiliteit van de resultaten: percentages tussen de 10% en 80% blijken hierboven mogelijk, al zijn die uiterste waarden minder waarschijnlijk. Mogelijk komt de vraag of het niet interessanter is alle resultaten te combineren tot één grote steekproef. Met de gegevens hierboven zou dit neerkomen op een grote steekproef van 300 bonen, waarin in totaal 109 rode bonen zaten, of dus 36% ( 2 ). Los van het probleem van het trekken met of zonder teruglegging, kun je hier ofwel meteen verklappen dat grotere steekproeven inderdaad betrouwbaarder resultaten opleveren, zoals we intuïtief aanvoelen, ofwel kun je stellen dat je ook dit zou moeten onderzoeken, door vele steekproeven van 300 bonen te nemen en via een staafdiagram na te gaan of je nog steeds resultaten vindt gaande van ongeveer 10% tot 80%. 2 De gegevens zijn afkomstig van een simulatie met 37% rode bonen. 3

4 Dit laatste antwoord kan trouwens een perfecte overgang vormen tot het tweede deel van de les, waarin je het bonenexperiment nu via een computersimulatie nabootst voor grotere steekproeven. 2.2 Besluiten bij het klasexperiment Deze eerste kennismaking met het gebruik van steekproeven laat toe enkele belangrijke besluiten te formuleren. De populatieproportie p is onbekend en ook onkenbaar (om praktische redenen). Enkel via een steekproef kun je proberen een idee te krijgen van de grootte van die onbekende waarde p. De steekproefproportie ˆp is onderhevig aan variabiliteit: verschillende steekproeven leveren verschillende schattingen op. Die variabiliteit kun je grafisch zichtbaar maken door heel veel steekproeven van dezelfde grootte te nemen en de gevonden schattingen in een staafdiagram of histogram weer te geven. De gevonden steekproefresultaten vormen de steekproevenverdeling. De betrouwbaarheid van één schatting ˆp hangt nauw samen met de variabiliteit: hoe groter die laatste is, hoe minder betrouwbaar een willekeurige schatting. Het is belangrijk dat leerlingen begrijpen dat je in de praktijk altijd maar de mogelijkheid (tijd, geld, middelen) hebt om één steekproef te nemen. Geen enkele statisticus zal meerdere kleine steekproeven nemen om daar een grafische voorstelling van te maken. Eén steekproefresultaat is dus altijd te beschouwen als één bolletje uit een hypothetische steekproevenverdeling. Je kunt als statisticus nooit weten of jouw bolletje dicht bij de gezochte populatieproportie p ligt of niet. Het herhaaldelijk nemen van steekproeven is een didactisch hulpmiddel om de variabiliteit van steekproefresultaten in beeld te brengen. Variëren de gesimuleerde resultaten van 10% tot 70%, dan weet je dat één enkel resultaat eigenlijk onbetrouwbaar is: die schatting kan heel dicht bij de gezochte populatiewaarde liggen, maar er ook heel sterk van afwijken. Het kiezen van 10 bonen blijkt dus een onbetrouwbare procedure te zijn om de werkelijke populatieproportie rode bonen te schatten. Om de fundamentele onmogelijkheid om p te kennen te laten aanvoelen, zou ik ook bij het bonenexperiment niet verklappen wat het werkelijke percentage rode bonen in het potje is. Of toch niet in die les. 4

5 2.3 Computersimulatie van de schatting van een proportie Er zijn verschillende programma s die goede simulaties mogelijk maken. In het algemeen is Fathom vrij bekend om zijn simulatiemogelijkheden (maar ook voor de talrijke toepassingen binnen de beschrijvende statistiek). Wanneer het gaat over het schatten van proporties, heeft VU-Statistiek een knappe module: Steekproeven. De onbekende waarde p wordt als geheime proportie blauw ingegeven. Hieronder is de simulatie zo ingesteld dat 23% van de vierkantjes lichtblauw zijn. Voor het instellen van de populatiegrootte geldt dat ze best minstens 10 keer groter is dan de steekproef. Het is verdedigbaar om de populatie zo groot mogelijk te kiezen. Dit zorgt er voor dat de kans op een blauw vierkantje bij elke trekking (nagenoeg) even groot blijft. Werk je met trekkingen met teruglegging, dan komt dit neer op een oneindige populatie en een constante kans op een blauw blokje ( 3 ). Een eerste simulatie Kies een steekproefgrootte van bijv. 300 en stel het aantal simulaties in op bijv Bekijken we dit als leerkracht, met de begrippen uit de kansrekening, dan is de steekproevenverdeling bij een eindige populatie een hypergeometrische verdeling. Bij een oneindige populatie heb je een binomiale verdeling. Beide zijn goed te benaderen door een normale verdeling. Belangrijk bij simulaties is echter dat die verdelingen niet gekend moeten zijn. Alle redeneringen kunnen perfect uitgevoerd worden op basis van de simulatieresultaten. Ik zie de statistiek daarom meestel vóór de kansrekening in mijn klassen. 5

6 Van de 300 gekozen elementen waren er 70 lichtblauw, wat overeenkomt met een eerste steekproefproportie ˆp 1 = 0,233. Dit resultaat wordt rechtsonder grafisch voorgesteld. Na vijftig simulaties ( pˆ1, pˆ ˆ ˆ 2, p3,..., p 50) krijg je de onderstaande resultaten. Na 1000 simulaties wordt de steekproevenverdeling rechtsonder goed zichtbaar. 6

7 Het tabblad Resultaten geeft een duidelijker beeld van die verdeling. Het zwarte driehoekje onderaan geeft het gemiddelde van alle gesimuleerde steekproefproporties p ˆ i (i = 1, 2, 3,, 1000) weer. Bij een steekproefgrootte van 300 blijken de steekproefresultaten tussen de 17 en 32% (ongeveer) te schommelen, met het gros van de resultaten tussen de 19 en 28%. Invloed van de steekproefgrootte Bij steekproeven van 2000 elementen is de variabiliteit al een stuk kleiner. 7

8 De meeste resultaten liggen nu tussen de 21,5% en 24,5%. Hoewel de variabiliteit van de steekproefproporties p ˆi verschillend is voor n = 300 en n = 2000, is het gemiddelde van alle steekproefproporties in beide situaties bijna precies gelijk aan de ongekende populatieproportie p. Dit laatste is essentieel! Enkel dankzij dit gegeven kunnen we stellen dat de meeste steekproefproporties p ˆ i een betrouwbare schatting zijn van de ongekende populatieproportie p. Sterker nog, dankzij de steekproevenverdeling kunnen we stellen dat bij n = 2000 elke steekproefproportie waarschijnlijk niet meer dan 1,5% afwijkt van de gezochte p. Invloed van de populatiegrootte Uit een laatste reeks simulaties blijkt dat de populatiegrootte verrassend genoeg geen invloed heeft op de betrouwbaarheid van een steekproef ( 4 ). In de vier afbeeldingen hieronder is de steekproevenverdeling niet noemenswaardig verschillend bij de verschillende populatiegroottes. N = N = N = N = Een steekproef van 2000 personen is even betrouwbaar in een populatie van als personen! Voorwaarde is wél dat de steekproef volledig aselect genomen wordt. 4 Eigenlijk is er een minieme invloed, die echter nauwelijks nog waarneembaar is van zodra de populatie zo n 5 à 10 keer groter is dan de steekproef. 8

9 2.4 Besluiten bij het schatten van een proportie Uit de simulaties hierboven kunnen we het volgende besluiten. Neem je herhaaldelijk aselecte steekproeven van grootte n uit een populatie van grootte N waarin een proportie p een bepaald kenmerk heeft, dan zullen de steekproefproporties p ˆi onderhevig zijn aan een zekere variabiliteit. De steekproevenverdeling beschrijft de gevonden steekproefproporties. Twee kenmerken van die verdeling zijn daarbij interessant: het gemiddelde en de standaardafwijking. Het gemiddelde van alle p ˆ i blijkt, ongeacht de steekproefgrootte n, nagenoeg samen te vallen met de gezocht populatieproportie p. De gevolgde procedure wordt daarom onvertekend genoemd. De standaardafwijking geeft een idee van de variabiliteit van de resultaten rond het gemiddelde. Ze neemt af bij toenemende steekproefgrootte n. Ze blijkt onafhankelijk te zijn van de populatiegrootte N. 2.5 Van hieruit Na deze besluiten zijn twee werkwijzen mogelijk. 1. Men kan de experimentele steekproevenverdeling aanwenden bij enkele typische statistische toepassingen, zoals het berekenen van betrouwbaarheidsintervallen bij een individuele steekproefproportie p ˆ i of het uitvoeren van significantietesten. Formules zijn daarbij niet nodig; het volstaat over software te beschikken die kan tellen welke steekproefresultaten binnen welke grenzen liggen. Strikt genomen volstaat een eenvoudig grafisch rekentoestel hiervoor, al is de snelheid daarvan meestal een belemmering. Software als VU-Statistiek, Fathom of zelfs Excel zijn uiteraard veel sneller. 2. Men kan ook eerst een wiskundig luik inlassen, waarbij wordt gezocht naar een wiskundige beschrijving van de steekproefverdeling. Deze blijkt goed benaderd te kunnen worden door de normale verdeling. Betrouwbaarheidsintervallen en significantietesten kunnen dan d.m.v. berekeningen op de normale verdeling uitgevoerd worden. Methode 1 biedt het voordeel dat je langer met de concepten bezig bent, terwijl je bij methode 2 sneller overschakelt naar berekeningen waarbij het begrijpen van wat een steekproevenverdeling precies betekent, minder belangrijk is (risico op De monotillatie van traxoline ). Vanuit didactisch standpunt valt dus veel te zeggen voor methode 1. Wanneer de basisinzichten goed verworven zijn, is de overstap naar een wiskundig model aan de orde. Wanneer nodig kan een leerling echter terugvallen op de basisredeneringen en begrippen. 9

10 Algemeen 3 Algemeen Om te weten te komen of een steekproefprocedure deugdelijk is, moet je je de vraag stellen: Wat zou er gebeuren mocht ik deze procedure heel vaak herhalen? Een simulatie is het middel bij uitstek om deze herhaling te realiseren. De gevolgde procedure is bruikbaar wanneer de bijbehorende steekproevenverdeling voldoet aan het volgende essentiële kenmerk: het gemiddelde van de steekproefresultaten moet overeenkomen met de gezochte populatiewaarde 5. In dat geval is de steekproefprocedure onvertekend. Om een bepaald populatiekenmerk te schatten kunnen er verschillende onvertekende procedures bestaan. De betrouwbaarheid van een onvertekende procedure is hoger naarmate de variabiliteit (bijv. uitgedrukt d.m.v. de standaardafwijking) van de gevonden steekproefresultaten afneemt. Via simulaties kan onderzocht worden welke parameters de variabiliteit kunnen verminderen. De steekproevenverdeling is het basisconcept dat gebruikt wordt in talloze statistische toepassingen en berekeningen, zoals het bepalen van betrouwbaarheidsintervallen of het uitvoeren van hypothesetesten. Het bovenstaande overzicht is ook bruikbaar voor het schatten van gemiddeldes i.p.v. proporties, het schatten van de coëfficiënten van een regressierechte, de afwijking t.o.v. een gegeven kansverdeling, Hoe dit concreet gebeurt, vind je in verschillende handboeken voor het secundair en hoger onderwijs. 4 Onbekende waarde: aantal Duitse tanks Teneinde een mogelijke invasie op het continent voor te bereiden, hadden de Geallieerden tijdens WOII nood aan een betrouwbare schatting van het aantal nieuwe tanks dat per maand door de Duitsers geproduceerd kon worden. Verschillende Duitse tanks waren al door de geallieerden veroverd. Daaruit bleek dat ze allen een serienummer hadden; men vermoedde dat de Duitsers de tanks gewoon hadden genummerd in volgorde van productie. Op basis van een steekproef van veroverde tanks wilde men nu een schatting maken van het totale aantal tanks op een bepaald ogenblik. Britse wiskundigen werden ingeschakeld en kwamen snel met een voorstel. Geallieerde spionnen kwamen met een andere, veel hogere schatting die niet gebaseerd was op die steekproef maar op waarnemingen op het terrein. Uiteindelijk bleken de wiskundigen veel dichter bij de waarheid te zitten. Een reden was dat de Duitsers geregeld hun tanks herschilderden om de geallieerden te 10 5 In kanstheoretische bewoordingen: de verwachtingswaarde van de gebruikte toevalsvariabele moet gelijk zijn aan de populatiewaarde.

11 Onbekende waarde: aantal Duitse tanks misleiden en ze te laten geloven dat ze veel meer tanks hadden dan er in werkelijkheid waren. En dit bleek te lukken. (Zie ook Opdracht Indien de tanks opeenvolgend genummerd zijn, kunnen we ze associëren met de opeenvolgende natuurlijke getallen 1, 2, 3,, N. Je beschikt over een lukrake trekking van zeven nummers x1, x2,..., x 7 uit deze rij. 1. Bedenk een (of meerdere) schatters die hier gebruikt zouden kunnen worden om N te bepalen. Je mag daarbij alle begrippen uit de kansrekening en de beschrijvende statistiek gebruiken die je maar wil, inclusief de kenmerken en eigenschappen van de kansverdelingen die je kent ( 6 ). Er zijn meerdere goede antwoorden. 2. Ondertussen kom ik langs met een doosje met een onbekend aantal opeenvolgende natuurlijke getallen. Daaruit moet je er zeven trekken. Op die zeven getallen pas je je methode(s) toe. 3. We verzamelen alle methodes en onderzoeken hun deugdelijkheid. 6 In de klas kan deze activiteit enkel uitgevoerd worden nadat leerlingen de nodige begrippen uit de beschrijvende statistiek hebben herhaald of gezien (zie verder). 11