Hoe lyk die grafiek van y = x 2 4?

Transcriptie

1 Hoe lyk die grafiek van y = x 2 4? Miskien het jy dit nog nie op skool geleer nie!? Maar wys hoe julle self kan uitvind. y x

2 OOR Hoe lyk die grafiek van y = x 2 4? Vooraf Baie kortliks: Onderrig is besluitneming! Ons neem gedurig besluite op makro, meso en mikrovlak van die keuse van n handboek, beplanning van die jaar, tot die oomblik-tot-oomblik besluite op ons voete in die klaskamer. In lesbeplanning, is dit altyd beter om verkillende scenarios te antisipeer en daarvoor te beplan, dan is die besluitneming more in die klaskamer makliker. Natuurlik moet ons besluitneming gebaseer wees op formatiewe (diagnostiese) assessering, dit is inligting wat ons inwin oor die stand van leerlinge se denke oor n bepaalde stukkie wiskunde, en dan interpreteer en gebruik ons die inligting om te beplan hoe ons n brug kan bou van waar die leerders is, tot waar hulle behoort te wees. Dit is die essensie van goeie onderrig! Hierdie aktiwiteit dien die doel van informele formatiewe assessering van hierdie groep Graad 10 leerders se begryping van funksies en grafieke, as n ervaring vir julle. Versigtig egter met veralgemening! Ons kan die volgende soepele vooraf besluit oor verskillende scenarios neem: Kan nie y = x 2 4? Kan Kan hulle leer hoe? Kan hulle self y = ax 2 + c ondersoek? Let asseblief op: my bedoeling is nie om te wys hoe onnosel kinders is nie, maar juis om te toon dat hulle n groot kapasiteit het om te leer! Let op: Laat leerlinge, vir ons inligting, eers vir n paar minute individueel die probleem oplos. Laat hulle daarna vir n paar minute hul oplossings en metodes in groepe bespreek kan hulle by mekaar leer? Wie leer? Wie leer wat? Wie leer hoe? My antisipasie is dat hier verskeie uiteenlopende dinge kan gebeur En ek glo die onderskeid is hoofsaaklik gebaseer op leerders se agtergrond. Ons is almal slagoffers van ons verlede! Die onderskeid is hoofsaaklik toe te skryf aan verskillende leerhoudings, wat weer toe te skryf is aan hul oortuigings (beliefs) oor die aard van wiskunde, hoe leer mens wiskunde, en hul persepsie van hul vermoë om hierdie (hul) wiskunde op hul manier te leer. En ek glo hul leerhouding is hoofsaaklik n funksie van die sort onderrig wat hulle in die verlede ontvang het instrumentele of relasionele onderrig Daar is twee soorte kinders die een soort sê ons het dit nog nie gedoen nie, kruis hul arms en wag vir jou om hulle te wys! Of hulle probeer iets onthou en kan nie oordeel as hul oplossing sinloos is nie. Hulle is die produk van instrumentele onderrig (Skemp) en die tipiese tradisionele klaskamer kultuur (didaktiese kontrak) Die ander soort sê ons het dit nog nie gedoen nie, maar tackle die problem, vol vertroue dat hulle dit self kan uitpuzzle boa

3 Dis n reguit lyn! Die leerders het moontlik in Graad 9 instrumentele onderrig oor funksies ontvang. Bv. hulle het nie in die algemeen verskeie funksies bestudeer nie, nooit n tabel waardes vir verskillende tipes formules bereken en dan gesplot nie. Hulle het slegs y = mx + c bestudeer, maar nie deur punte te plot en die wonderlike ontdekking te maak dat die punte in n reguit lyn lê nie, maar hulle is slegs die kortpad gewys: c is die y-afsnit, werk uit die x- afsnit, plot die twee punte, neem jou liniaal en trek n reguit lyn deur die twee punte. Jy sal dit nie glo nie, maar van hierdie kinders dink nou dat alle grafieke reguit lyne is! Die kanse is dan goed dat die kinders dan hier dieselfde sal doen: Steek af die afsnitte en trek n reguit lyn. Sommige kinders mag besef dat as y = 0, het x 2 = 4 twee oplossings, nl. x = 2 of x = -2. En jy mag dit nie glo nie, maar hulle mag die konflik oplos deur twee reguit lyne te trek! Wat erger is, is dat hulle nie krities is oor enige produksie nie hulle vermoed glad nie dit is verkeerd nie en sal hoegenaamd nie toets of dit korrek is nie. Feit is dat hulle nie hul oplossings kan beoordeel nie, want die effek van klaargemaakte wiskunde en instrumentele onderrig is die totale afwesigheid van enige basiese wiskundige know-how (heuristieke). Wat doen ons nou? The low road As die kinders n reguit lyn trek, wat gaan ons doen? Hulle die regte manier wys? Ek dink nie so nie Ons moet hulle eers tot konflik lei, sodat hulle self besef iets is verkeerd, en hulle die behoefte aan nuwe kennis ervaar Miskien iets soos: As x = 1, wat is y? Is (1,1) n punt op hul reguit lyn? Maak die vraag hoegenaamd vir hulle sin? In die proses diagnoseer ons steeds meer oor kinders se begryping van basiese funksiekonsepte... Ek hoop nie ons sien bostaande nie. Dit is baie moeilik om relasioneel te bou op n instrumentele agtergrond. Kyk ook hierdie artikel. Maar dit is moontlik, en ek hoop julle sien dat kinders n wonderlike kapasiteit het om te leer As ons hulle nie wys hoe om dit te doen nie, maar hulle help met n heuristiek, sal hulle vorder? Stel voor hulle maak n tabel Watter waardes van x kies hulle? Kan hulle die waardes bereken? Kan hulle die waardes in die tabel interpreter as geordende pare en kan hulle dit op die assestelsel plot? Watter skaal gebruik hulle? Hoekom? Indien wel, verbind hulle die punte met lynstukke? Hoekom is dit? Die implikasie is n aanname dat die waardes tussen die geplotte punte proporsioneel toeneem. Toets hulle vra of hulle van die grafiek kan aflees wat die waarde van y is as, sê, x = 1½. Wonder hulle toets hulle dit bv. numeries en kom agter daar is n konflik? Het hulle n idee hoe om die konflik op te los? As hulle gevorder het, watter ander vrae kan ons vra om die nuwe kennis te toets? Miskien hoe lyk die grafiek van y = x 2 9? Is dit vordering? The high road: As kinders egter n goeie basiese funksiebegrip het en die grafiek y = x 2 4 kan trek, sal dit goed wees om te sien hoe hulle hierop kan bou! Kan hulle self vinnig die basiese transformasies van n eenvoudige parabool ontwikkel, d.i. kan hulle uitvind wat is die effek van die parameters a en c op die grafiek van y = ax 2 + c?

4 Die taak van die onderwyser is nou om hulle geskikte vrae te vra. Die beginsel is controlling the variables : hou die een parameter konstant en varieer die ander... Kyk hierdie voorbeeld. Iets soos: Trek nou die grafiek van y = x 2 2 Trek nou die grafiek van y = x Trek nou die grafiek van y = x 2 Hoe lyk die grafiek van y = x 2 9? Trek nou die grafiek van y = 2x 2 Trek nou die grafiek van y = 3x 2 Trek nou die grafiek van y = 4x 2 Trek nou die grafiek van y = 0,5x 2 Trek nou die grafiek van y = 0,2x 2 Trek nou die grafiek van y = -2x 2 Ek hoop ons kom hier uit. Die vraag is: is leer liniêr? As hulle 8 minute vir die eerste vraag geneem het, neem hulle 8 minute vir elke vraag daarna? Verander hul metode? Het hulle nodig om steeds eers n tabel te maak, of kan hulle deduktiewe spronge maak? Nie OF nie maar EN! Die problem van die onderwyser in die klaskamer is natuurlik dat daar kinders van albei soorte in die klas is. Hoe om dit te hanteer? Onderrig ons die high road en skryf dus die ander af, want kan hulle dit verstaan? Of onderrig ons die low road en verveel die high roaders? Is daar ander alternatiewe? BOA

5 Agterna refleksie Theresa Viljoen Die resultaat van hierdie les was net soos Mnr Olivier voorspel het; die leerders kon nie verby die beginsel van reguit lyne kyk nie, en ek reken dit is maar toe te skryf aan die feit dat dit al is waarmee hulle nog tot op hede te doen gekry het. Een leerder wou self weet of ons seker is dit is nie dalk n tikfout nie en of hy maar die 2 by x 2 kan uit tipex. Daar was 6 leerders, 3 in elke groep. Een van die vinniger leerders in die een groep het dadelik gesê die y -afsnit is -4 en die x - afsnit 2 en n reguit lyn getrek. Die ander het saamgestem en sy voorbeeld gevolg. Nadat hy egter van die punte op die reguit lyn in sy vergelyking in gestel het kon hy sien dat sy skets nie reg kan wees nie. Die ander groepie het egter na 10 min heeltemal moed opgegee nadat hulle nog geen resultate kon lewer nie. Ek het toe probeer om hulle bietjie op die regte spoor te help deur voor te stel dat hulle n tabel met x en ooreenstemende y waardes opstel. Hulle het geen problem gehad met die opstel van die tabel nie, maar dit het vir hulle niks beteken nie en hulle het nie geweet wat om met die inligting te maak nie. Dit was maar net vir my n aanduiding dat hulle nie n idee het hoe om data te interpreteer nie, en glad nie n verband tussen die rekenkunde en die struktuur (voorwerp) kan maak nie. Dit is dus waar ons as onderwysers sal moet begin om hierdie gaping te oorbrug. Hulle het later n x waarde uit die tabel geneem, dit gevat as n x afsnit, en die ooreenstemende y waarde as n y afsnit en n reguit lyn getrek. Dieselfde proses wou hulle herhaal vir al die ander punte.die ander groep kon egter aan die einde van die les die tabel interpreter en die grafiek min of meer trek. Een leerder het besef dat jy die vergelyking y = x 2 4 kan faktoriseer sodat y = (x - 2)(x + 2) en hy het toe beide reguit lyne getrek. Ek het na die tyd eers besef dat deur die twee reguit lyne y = (x - 2) en y = (x + 2) onderskeidelik te trek, eintlik n baie goeie manier is om die probleem aan leerders te verduidelik aangesien dit bou op hulle voorkennis, en dat n leerder wat so redeneer nie so vêr verkeerd is as wat ons dink nie. Die vergelyking van die parabool is inderwaarheid die samestelling van twee reguit lyne (die x waardes van die reguit lyne word met mekaar vermenigvuldig om die ooreenstemmende y waarde te kry. Deur dan hirdie koördinate te plot word die parabool verkry). Kyk hierdie rowwe Excel voorbeeld... Ek het dus uit hierdie les geleer om nie altyd leerders se metodes af te skiet as dit nie dieselfde is as die manier waarop ek dit sou doen nie en dat mens deur te kyk na hulle denkwyses baie keer n ander perspektief kan kry van n probleem. Iets waarmee ek gesukkel is die feit dat ek nie weet wanneer moet ek help en wanneer en hoe lank moet ek hulle self laat sukkel nie. En as ek dan probeer help is ek geneig om te veel te sê. [Ek glo ons kan help met strategiese kennis (heuristieke) en sosiale kennis, maar nie met logies-wiskundige kennis nie! AIO] Ek dink egter nie die inhoud was te moeilik nie, veral nie vir graad 10 s nie. Die feit dat hulle dit nie kon doen nie was maar as gevolg van n verkeerde denkwyse en hul tonnelvisie as dit kom by wiskunde. [So jy dink die fout is by die kinders? Is hulle so gebore?ek dink die fout lê by die onderrig wat hulle ontvang het...aio]