Vergelijkingen vergelijken

Transcriptie

1 Verelijkinen verelijken Ontwikkelin en onderhoud van een veelzijdi repertoire aan alebraïsche vaardiheden... want die methode, die men met een vreemd woord alebra noemt, schijnt die helderheid en dat emak te bezitten, die je moet aantreffen in de ware wiskunde. (René Descartes, Reulae ad directionem inenii, 167) Paul Drijvers en Peter Kop Inhoud 1 Oriëntatie... Probleemstellin Probleemverkennin Wat weten we al? De dualiteit proces-object Visuele kenmerken van expressies Basisvaardiheid en symbol sense De betekenis van alebraïsche expressies Het oefenen van vaardiheden De ontwikkelin van schema s Ontwerpen van onderwijs over verelijkinen Toespitsin van de zes aspecten op het oplossen van verelijkinen Een kennisraaf voor de het oplossen van verelijkinen Aanpak van verelijkinen in de onderbouw Aanpak van verelijkinen in de Tweede Fase van havo en vwo Conclusie... 7 Opdrachten voor de lezer...4 Literatuur...5 Bijlae Bijlae

2 1 Oriëntatie Fiuur 1 Alebra in schoolboeken uit 1955 en 1983 Hoewel alebra, zo blijkt uit het citaat aan het bein van dit hoofdstuk, al eeuwenoud is, is de manier waarop leerlinen er in schoolboeken mee econfronteerd worden aan veranderin onderhevi. De stellin bovenin fi. 1 komt uit Beknopte Alebra I voor de eerste klas van de toenmalie HBS (Wijdenes, 1955). Ze is formeel esteld en kent een stren taalebruik en werd evold door oefeninen in het toepassen. Het tweede deel van fi. 1 is een opave uit Getal en Ruimte voor klas 1 van havo/vwo (Reichard e.a., 003). Een overiens niet-realistische context vormt het uitanspunt en formaliserin speelt een rol: onderdeel c komt neer op het (informeel?) oplossen van de verelijkin 10d + 0 = 100. Zijn deze veranderinen het evol van voortschrijdend vakdidactisch inzicht en presteren de leerlinen nu dan ook beter dan vroeer? Ja en nee. Enerzijds maken ervarinen uit de praktijk en uit didactisch onderzoek duidelijk dat alebra een complex onderwerp is om te leren en te onderwijzen, dat vraat om een juiste balans tussen inzicht en vaardiheid. Om ervoor te zoren dat de vaardiheden van leerlinen bestand zijn teen variatie van de opave en transfer naar andere situaties, is het van belan dat de alebraïsche bewerkinen voor leerlinen betekenis hebben. Met deze inzichten wordt teenwoordi wellicht meer rekenin ehouden dan vroeer. Anderzijds blijkt dat leerlinen in de tweede fase van havo en vwo veel fouten maken met alebraïsche bewerkinen en komen er klachten uit het hoer onderwijs over de ebrekkie vaardiheden van de instromende studenten. De fouten die aan het licht komen, lijken vrij elementair te zijn: studenten maken fouten bij het toepassen van rekenreels, herkennen de toepasbaarheid ervan niet, zijn niet in staat een paar stappen vooruit te denken in het oplossinsproces of merken niet dat ze een verkeerde - -

3 we inslaan. De moeite met elementair alebraïsch handelen verhoot de conitieve belastin voor de student en onttrekken de aandacht aan het onderwerp dat eienlijk aan de orde is, of dat nu differentiaalrekenin of mechanica is. Moet er niet ewoon veel worden eoefend, etraind op basisvaardiheden, zoals vroeer meer het eval was? Een voorbeeld van zo n veel voorkomende fout is de volende: a + b = 5 dus a+ b= 5 Het idee achter deze verleidelijke vereenvoudiin lijkt het stuksewijs wortelen te zijn: a + b = a + b Anders eformuleerd: leerlinen denken dat het worteltrekken lineair is. De Bock (1998) spreekt in dit verband van een lineariteitsillusie. Helemaal absurd is de edachte van de leerlinen niet, want met x in plaats van + klopt het wel: a b = a b Ook bij werken met breuken treden derelijke simplificaties op. De lenzenformule wordt bijvoorbeeld ook wel eens vereenvoudid: Als 1 = dan f = v+ b f v b f v b Maar uit = + volt f = v+ b is weer wel oed. En als laatste voorbeeld stond ( ) 180 in de Wiskrant beschreven hoe een leerlin van vwo-4 N wilde N vereenvoudien tot 180 door N we te strepen (Kindt, 000). Die in de teller ooit lelijk roet in het eten Leerlinen die derelijke fouten maken, zijn niet lukraak symbolen aan het verplaatsten, maar missen kennelijk de alebraïsche ervarin die een rood lampje doet oplichten bij het overeneraliseren van eienschappen, in dit eval bij het verwisselen van de volorde van bewerkinen: dat kan soms wel en soms niet, en de kunst is te weten wanneer. Verelijkbare alarmsinalen moeten in werkin treden als men bijvoorbeeld bij een delin of vermenivuldiin rekenin moet houden met de moelijkheid dat de deler of de factor elijk is aan 0. De vraa is hoe nieuw derelijke observaties zijn. Vos (007) constateert dat de resultaten van internationaal verelijkend onderzoek naar de alebraïsche vaardiheden aantonen dat Nederlandse leerlinen op dit punt al jaren achterblijven. Doen we iets verkeerd in ons alebraonderwijs? Als reactie op de matie en moelijk afnemende alebraïsche basisvaardiheden van instromende studenten oraniseert een aantal universiteiten sinds 001 instaptoetsen en bijspijkercursussen. Fi. toont enkele items van zo n instaptoets met de behaalde scores en enkele interpretatieve opmerkinen, ontleend aan de Werkroep 3TU (006). Studenten die bij vraa 5 voor alternatief B kiezen, hebben vermoedelijk dezelfde problemen als leerlinen die in het voorbeeld hierboven a + b = 5 vereenvoudien tot a+ b= 5. In beide evallen wordt een bewerkin (worteltrekken respectievelijk een-edeeld-door ) ten onrechte door de optellin heen etrokken

4 Fiuur Besprekin van resultaten van enkele items uit instaptoetsen (Werkroep 3TU, 006) Probleemstellin Het uitanspunt van dit katern is dat alebraïsch inzicht en alebraïsche vaardiheden nodi zijn voor leerlinen van havo en vwo. Alebra heeft een centrale plaats in de wiskunde en speelt daarin verschillende rollen: 1. Alebra als methode om problemen op te lossen. Het oplossen van bepaalde typen problemen kan worden ealoritmiseerd en daarmee etrivialiseerd.. Alebra voor het representeren van verbanden en functies. Met alebra kunnen verbanden tussen verschillende variabelen worden vasteled. Functies worden erepresenteerd met formules, tabellen, rafieken en andere voorstellinen. 3. Alebra voor het beschrijven van patronen en structuren. Met directe of recursieve formules kunnen patronen worden beschreven; op wiskundie structuren kunnen alebraïsche reels worden toeepast. 4. Alebra als taal om verschijnselen uit andere onderdelen van de wiskunde of daarbuiten mee te modelleren en in te beschrijven. Alebra is dus onmisbaar in het wiskundie en exacte denken. Tall en Thomas verwoorden het zo: There is a stae in the curriculum when the introduction of alebra may make simple thins hard, but not teachin alebra will soon render it impossible to make hard thins simple. Tall & Thomas, 1991, p. 18. Wat echter het toepassen van alebra bemoeilijkt, is het optreden van fouten tijdens het uitvoeren van alebraïsche procedures. Niet zelden vormt dat een tijdrovende onderbrekin van het werk. Het is dus van belan dat leerlinen betekenisvolle alebrakennis ontwikkelen waarvan een veelzijdi repertoire aan alebraïsche vaardiheden deel uitmaakt. Dit repertoire dient betrouwbaar te kunnen worden toeepast, zich te lenen voor transfer en bestand te zijn teen variatie. De vraa die in dit katern centraal staat luidt dan ook als volt: - 4 -

5 Wat is een effectieve en efficiënte didactiek voor het leren en onderhouden van alebraïsche vaardiheden? In het eerste deel van dit katern wordt het probleem aanvankelijk nader verkend door aan de hand van enkele voorbeelden didactische moeilijkheden en dilemma s te identificeren die een rol spelen bij het leren en onderwijzen van alebra en alebraïsche vaardiheden in het alemeen. Vervolens aan we na wat we al weten over dit onderwerp. In de tweede helft van het katern wordt een en ander toeespitst op de specifieke vaardiheid van het oplossen van verelijkinen. Daarbij komt de leerlijn voor het ontwikkelen van schema s aan de orde, die loopt van de onderbouw naar de tweede fase van havo en vwo, en dan met name de N-profielen. Als evol van deze keuzes kunnen we een aantal eveneens belanrijke zaken in dit katern niet aan de orde stellen. Een eerste beperkin is dat op slechts één onderwerp uit het alebraproramma, het oplossen van verelijkinen, uitebreid wordt ineaan. Centrale concepten als het variabeleberip, het functieberip en alebraïsche equivalentie blijven onbesproken. Een tweede beperkin is dat de rol die ICT kan spelen bij het leren van alebra niet aan de orde komt. Hiervoor verwijzen we naar het katern dat eheel aan ICT-ebruik is ewijd. Een derde aspect dat onderbelicht blijft, is het mathematiseren of alebraïseren: hoe leren leerlinen om problemen te vertalen in de taal van alebra, om de alebraïsche technieken in het oplossinsproces te kunnen inzetten? In het katern modelleren wordt aan dit laatste aspect aandacht besteed. 3 Probleemverkennin Het is oed om ons te realiseren dat de moeilijkheden met alebraïsche vaardiheden niet nieuw zijn. De volende twee voorbeelden uit de vakdidactische literatuur zijn inmiddels klassiek eworden. Het eerste voorbeeld is beschreven door Waner en anderen (1984). De opave die aan leerlinen werd vooreled luidde: z +1 Hoe root is als 5 (z + 1) = 10? De meeste leerlinen pakten deze opave aan door eerst de haakjes in de eeven verelijkin uit te werken, vervolens de verelijkin naar z op te lossen, en het resultaat in de evraade uitdrukkin te substitueren. Een kwestie van elementaire alebraïsche vaardiheden, al is een rekenfoutje hierbij verre van denkbeeldi. Een handier aanpak zien maar weini leerlinen. Een verelijkbaar fenomeen is herkenbaar uit de hedendaase klassenpraktijk: sommie leerlinen lossen een verelijkin als ( x 3) = 0op door de haakjes uit te werken en de ontstane verelijkin op te lossen met de abc-formule zonder zich bewust te zijn van een directere methode. Het tweede klassieke voorbeeld is ontleend aan Wener (1987) en uitebreid beschreven door Gravemeijer (1990). De opdracht waar het om aat is: Los v u = 1+ v 1+ u op naar v. De resultaten van zowel leerlinen als studenten uit het hoer onderwijs zijn bedroevend slecht: veelal verzanden oplossinspoinen in problemen bij het wewerken van de wortels. Hoe komt het dat leerlinen derelijke opaven zo moeilijk vinden? Daarvoor sinaleren we een zestal moelijke oorzaken, die niet los staan van elkaar. Ten eerste - 5 -

6 kan het procesdenken het probleem zijn. Leerlinen kunnen de expressie in het linkerlid van een verelijkin als 5 (z + 1) = 10 beschouwen als een recept of actieplan: je neemt z, doet dat keer, telt er 1 bij op, en dat dan weer keer 5. Zo n kijk op expressies kan het vinden van een eenvoudier oplossin in de we staan, omdat het stuk tussen de haakjes dan niet zo snel als een eheel wordt beschouwd. Op deze zoeheten proces-object dualiteit komen we in de volende pararaaf no teru. Bij het rekenen speelt deze dualiteit ook, maar in mindere mate omdat de uitkomsten in het alemeen ewoon kunnen worden uiterekend. Dat is bij alebra niet het eval, en in die zin is alebra ook wezenlijk anders dan rekenen. Een tweede moelijke oorzaak is dat visuele kenmerken van expressies sterk de aandacht trekken en uitnodien tot actie. In het eerste voorbeeld vraen de haakjes om z + 1 er als het ware om uitewerkt te worden; in de tweede verelijkin schreeuwt het wortelteken in 1+ u er als het ware om ekwadrateerd te worden. Zolan een leerlin zich niet los kan maken van de aantrekkinskracht van deze in het oo sprinende ( visualy salient ) kenmerken van een expressie, kan hij onvoldoende afstand nemen om het eheel te overzien. Een derde moelijke oorzaak kan het ebrek aan flexibiliteit zijn. Als leerlinen wel veel eoefend hebben met een beperkt repertoire aan basisvaardiheden, maar niet in staat zijn om in een nieuwe situatie een passende aanpak te vinden, staan ze al snel met lee handen. Het is dus van belan aandacht te besteden aan het kiezen van oplossinsstrateieën: welke aanpak is kansrijk in een bepaalde situatie, en waarom? Op deze wijze ontwikkelen leerlinen wendbaarheid, waarop ze kunnen teruvallen op het moment dat de standaardaloritmen niet van toepassin zijn. Dit vraat om de ontwikkelin van symbol sense naast het beheersen van basisvaardiheden. Een vierde moelijke oorzaak is het ebrek aan betekenis van alebraïsche expressies. Leerlinen kunnen een expressie als 5 (z + 1) beschouwen als een formeel rijtje symbolen, zonder dat dit voor hen iets betekent. De betekenis van zo n alebraïsche expressie kan ontleend worden aan de context die daarvoor de aanleidin vormt, maar het is de vraa of dat voldoende is. Het streven is ook dat alebraïsche expressies voor leerlinen betekenis krijen binnen de wereld van de alebra, bijvoorbeeld door een bijpassend denkmodel voor oen te hebben. In het eval van 5 (z + 1) kan men denken aan een rechthoek met zijden 5 en z + 1. Bij v u = 1+ v 1+ u komt het van pas om die delen van de verelijkin, waarvan de precieze inhoud niet van belan is af te dekken met bordjes : v u = 1+ v 1+ u Hierdoor kan de lineaire structuur van de verelijkin in v beter worden herkend. Een vijfde moelijke oorzaak is het ebrek aan oefeninen waarin de vaardiheden en inzichten worden vasteled en onderhouden. De ontwikkelde vaardiheden zijn te weini van pas ekomen of toeepast, waardoor er een routine is ontstaan. Bij ebrek aan routine moet een leerlin als het ware de procedure telkens weer reconstrueren. Dat kost enerie en tijd en kan bovendien fouten met zich meebrenen. Een zesde moelijke oorzaak, ten slotte, is eleen in het ebrek aan overzicht van het beschikbare repertoire aan technieken en de toepasbaarheid ervan in de probleemsituatie. Leerlinen zijn onvoldoende in staat afstand te nemen van het probleem om te zien welke strateie in de eeven situatie het beste kan worden toeepast. Alebraïsche expertise houdt immers ook in dat je snel het probleem kunt scannen op toepasbaarheid van alebraïsche technieken uit je repertoire, dat je vooraf - 6 -

7 al kunt voorspellen of die techniek je verder brent, en dat je na de uitvoerin van een stap kunt monitoren of die inderdaad wat heeft opeleverd. Een expert heeft mentale schema s ontwikkeld die deze benaderin moelijk maken, maar de leerlin in het alemeen no niet. De problemen die hierboven zijn esinaleerd, en die overiens ook met elkaar samenhanen, staan model voor de moeilijkheden die bij het leren en onderwijzen van alebra een rol spelen. Vanuit het perspectief van de docent even ze de didactische spanninen en dilemma s weer van het alebraonderwijs. Moeten leerlinen veel oefenen op standaardproblemen of juist etraind worden in inzichtelijke wendbaarheid? Kale oefeninen of ineklede toepassinen? Blijven de achterliende concepten en strateieën impliciet, of zijn die expliciet doel van het onderwijs? Betrouwbare basisroutines en aloritmen in een beperkt aantal situaties of probleemoplossende vaardiheden en heuristieken in een veelheid van situaties? In de volende pararaaf wordt eschetst wat vakdidactisch onderzoek naar het leren van alebra heeft opeleverd op de aanestipte punten. 4 Wat weten we al? Wat leert vakdidactisch onderzoek ons op ten aanzien van de esinaleerde problematiek? Dat is niet eenvoudi kort samen te vatten. Hieronder aan we achtereenvolens in op de aspecten die naar ons idee in de voorbeelden het meest in het oo sprinen: de dualiteit proces-object, op het vermoen met visuele kenmerken van expressies om te aan, op de dimensie basisvaardiheden-symbol sense, op de betekenis van alebraïsche expressies, op het oefenen van vaardiheden en op de ontwikkelin van conitieve schema s. 4.1 De dualiteit proces-object Een eerste esinaleerde moeilijkheid bij het leren van alebra is eleen in het objectkarakter van alebraïsche expressies en formules. Aanvankelijk heeft een expressie of een formule voor leerlinen veelal het karakter van een procesbeschrijvin, een rekenvoorschrift, recept of stappenplan. Denk aan een situatie van vaste en variabele kosten bij de loodieter die voor komt rijden: Reparatietijd x = Kosten eeft vanuit de procesoptiek aan hoe je uit de reparatietijd de kosten kunt berekenen. Als de reparatietijd 1,5 uur is, pak dan die 1,5, doe die keer 45, tel er 30 bij op, en die uitkomst is het bedra. De tekens +, x en = hebben in de oen van de leerlin een actiekarakter en sporen aan tot het uitvoeren van berekeninen. De variabele Kosten staat niet voor niets achteraan in de formule. Zo zijn leerlinen dat vanuit het rekenonderwijs ook ewend. Met dit beeld van formules en expressies kom je in de alebra echter niet ver. Vaak valt er niets uit te rekenen. Een formule als ( a+ b) = a + a b+ b heeft een proceskarakter; er wordt aaneeven dat de uitdrukkinen links en rechts van het elijkheidsteken elijkwaardi zijn. Het elijkheidsteken staat niet voor en dat eeft dan als uitkomst... maar voor is equivalent met 1. In de formule f ( x) = ( x 3) kan zowel het proces- als het objectkarakter benadrukt worden. In de proceskijk wordt f (x) ezien als een voorschrift om bij een eeven x-waarde een uitkomst uit te rekenen. Als object behoort de functie f tot de familie van kwadratische functies, waarbij ekeken kan worden naar specifieke eienschappen van dit ene familielid. 1 In oudere alebramethoden wordt wel een speciale notatie voor equivalentie ebruikt - 7 -

8 Het is dus van belan een expressie niet alleen als procesbeschrijvin maar ook als alebraïsch object te beschouwen. Dit is bijvoorbeeld ook voorwaarde om de balansmethode van het oplossen van verelijkinen werkelijk te berijpen, want daarvoor moet je linker- en rechterlid als ewichten beschouwen en niet als processen. In het eval van de kostenformule hierboven kan het objectaspect bijvoorbeeld worden operoepen door verschillende loodieterbedrijven te verelijken of door de klassen van kostenfuncties in beschouwin te nemen. Ook kan op het te vormen object een proces van hoere orde los worden elaten. Denk aan het differentiëren van de kostenfuncties om de stijin te onderzoeken. De aldus ontwikkelde alebraïsche objecten funeren als het ware als bouwstenen voor verder alebraïsch rekenen en redeneren. Het denken in alebraïsche objecten kent een hoere drempel dan de proceskant. Leerlinen vinden het bijvoorbeeld lasti om de expressie x = a als oplossin van de verelijkin 4x 8a x= 0 in x te accepteren, omdat je dan no niet weet hoeveel x is. Het is dus zaak ervoor te zoren dat de objectkant in het onderwijs voldoende wordt belicht. Leerlinen moeten een alebraïsche expressie als proces én als object kunnen beschouwen en te kunnen inschatten welke blik op welk moment eschikt is. Flexibiliteit ten aanzien van procesdenken en objectdenken is belanrijk en verdient in het alebraonderwijs dan ook aandacht. In de vakliteratuur wordt deze proces-object dualiteit op verschillende manieren benoemd. Tall en Thomas (1991) spreken van procept, een samentrekkin van object en concept. Sfard (1991) noemt de overan van proces naar object reïficatie of verdinlijkin : de alebraïsche expressie moet een object, een din worden. 4. Visuele kenmerken van expressies Leerlinen laten zich vaak leiden door visuele kenmerken van alebraïsche expressies en reels. In ( a. b) = a. b bijvoorbeeld sprinen de haakjes en het kwadraat in het oo, waardoor het voor de hand lit deze reel te eneraliseren naar ( a + b) = a + b. Een derelijke overeneralisatie is verleidelijker naarmate de visuele elijkenis roter is. Zo wordt een reel als x y = ( x y).( x + y) nauwelijks eeneraliseerd naar x + y = ( x + y).( x + y), omdat de visuele elijkenis tussen deze twee elijkheden niet zo root is. Kirshner (004) spreekt in dit verband van visueel saillante reels of elijkheden. Hieronder enkele voorbeelden. Visueel saillante reels ( x y) = x y ( xy) y z ( x ) w y. x z = x = x = yz y wy xz Visueel niet saillante reels x y = ( x y)( x + y) ( x y) + ( w z) = ( x + w) ( y + z) ( x 1) x. y 1 = = x x y x + 1 Fiuur 3 Enkele voorbeelden van visueel (niet-)saillante reels Ondanks het feit dat visueel niet saillante reels meer aandacht krijen in het onderwijs, blijken leerlinen daarop toch slechter te scoren. Blijkbaar worden visueel saillante reels door leerlinen eenvoudier oed toeepast. Oppervlakkie - 8 -

9 strateieën zoals dicht bij elkaar staande etallen of variabelen samennemen loont bij deze reels. Zo kan een leerlin bij ( xy) = x y zonder evolen denken aan het wewerken van haakjes zoals dat bij ( x + y) = x + y ebeurt. Zoals ezed wordt er veel aandacht besteedt aan de moeilijke, visueel niet saillante reels. Er veel resultaat lijkt dat niet te hebben. Poinen van Kishner om reels zonder de visuele kenmerken te presenteren via een soort structuurschema, leidden ertoe dat de visueel niet saillante reels beter ehanteerd werden door leerlinen maar de visueel saillante reels minder. Anders dan in schoolboeken van vroeer zoals die van Bos en Lepoeter (1959) zien we in de huidie boeken veel aandacht voor visueel niet saillante reels terwijl de visueel saillante reels soms impliciet blijven. 4.3 Basisvaardiheid en symbol sense Schoolalebra omvat het uitvoeren van standaardprocedures, waarvan de belanrijkste het oplossen van eenvoudie verelijkinen en het vereenvoudien van uitdrukkinen zijn. Dat is alebraïsche basisvaardiheid, ze maar alebraïsch rekenen (Kemme, 00), het weten dat van de alebra. Het is duidelijk dat leerlinen een aantal basisbewerkinen eroutineerd en foutloos moeten kunnen uitvoeren. Het aat bij alebra echter om meer dan basisvaardiheden alleen. Denk bijvoorbeeld aan het kiezen van een strateie, het zien hoe basisvaardiheden kunnen worden toeepast en het redeneren met alebraïsche verbanden. Kemme spreekt in dit verband van alebraïsch redeneren. In de indelin van Van Streun (001, zie ook katern 0 van dit handboek) valt dit onder het weten hoe en weten waarom. In zulke redenerinen spelen bijvoorbeeld symmetrieoverweinen en randevallen een rol, of het identificeren van winnende factoren in een alebraïsch krachtenspel. In de vakliteratuur wordt voor dit alles het berip symbol sense ebruikt. Symbol sense is de alebraïsche expertise of alebraïsche eletterdheid die, veelal op de achterrond zonder dat we ons daarvan bewust zijn, de uitvoerin van de basisroutines stuurt en het inzicht in onderliende concepten omvat. Arcavi (1994, 005) eeft een aantal voorbeelden van symbol sense. Het speelt een rol bij het plannen, coördineren en interpreteren van basisbewerkinen. Drijvers (006abc) denkt bij symbol sense aan de volende drie met elkaar samenhanende vaardiheden: Strateische vaardiheden en heuristieken om tot een probleemaanpak te komen, het vermoen om daarop overzicht te houden, om daarbinnen handie keuzes te maken of, als een strateie vastloopt, om een andere invalshoek te zoeken. Het vermoen om lobaal naar expressies en formules te kijken, om de structuur van expressies en subexpressies te herkennen, om de betekenis van symbolen in de context te zien en om expressies op een andere manier weer te even. Hierbij speelt de proces-object dualiteit een rol. Het vermoen tot alebraïsch redeneren. Denk hierbij aan veelal kwalitatieve beschouwinen over termen en factoren in expressies, aan symmetrieoverweinen of redenerinen met randevallen

10 Fiuur 4 Twee kanten van alebraïsche vaardiheid Fiuur 4 eeft de dimensie basisvaardiheid symbol sense schematisch weer. Overiens kan het één niet zonder het ander: alebraïsch redeneren is pas oed moelijk als je de bewerkinen eniszins in de viners hebt en bij het alebraïsch rekenen is vaak ook eni redeneren nodi, zeker als de automatische piloot hapert of de situatie afwijkt van de ebruikelijke. Zo merkt Van Streun op dat de teenstellin tussen vaardiheid en inzicht niet bestaat: Berijpen maakt het leren van vaardiheden emakkelijker, minder evoeli voor fouten en het beklijft beter. Aan de andere kant is een zeker niveau van vaardiheden noodzakelijk om nieuwe wiskundie berippen en methoden met berip te leren en ontwikkelen. (Van Streun, 006, p. 75) Een van de lastie aspecten aan alebra is de combinatie van basisvaardiheden en symbol sense. Leerlinen kunnen zo erepen worden door de uitvoerin van een basisprocedure, dat ze niet meer zien waartoe deze moet leiden of hoe deze handier kan worden aanepakt. Het is dus zaak om aan het spectrum basisvaardiheid symbol sense over de volle breedte aandacht te besteden. Het idee dat alle problemen met alebra kunnen worden opelost door aan de ontwikkelin van basisvaardiheden te werken, kan daarmee als naïef worden afedaan. Het ontbreken van symbol sense vaardiheden veroorzaakt mede de alebraïsche hulpeloosheid van de leerlinen; de ontwikkelin daarvan moet dus in het alebraonderwijs expliciet aan de orde komen. 4.4 De betekenis van alebraïsche expressies In het Nederlandse alebraonderwijs vormen concrete, betekenisvolle situaties veelal de aanleidin voor alebra. Denk bijvoorbeeld aan het eerder eeven voorbeeld van de kosten van een reparatie. Vraen rond een derelijke context kunnen worden aanepakt met alebra, waarbij de betekenis van de expressies sterk ekoppeld is aan de context. Daar moet het echter niet bij blijven. De kracht van alebra is juist eleen in het feit dat ze een wereld op zichzelf vormt, waarin operaties worden uitevoerd zonder dat men steeds hoeft teru te vallen op een betekenis van buiten deze wereld: In fact, from one point of view, this is one of the strenths of symbols they enable us to detach from, and even foret, their referents in order to produce results efficiently. (Arcavi, 1994, p. 6) Nadat een concreet probleem wordt vertaald in een wiskundi probleem, wat wel horizontaal mathematiseren wordt enoemd, ontstaat de behoefte aan abstractie: het

11 loslaten van de concrete context en opbouwen van een overstijende wereld van alebraïsche objecten en operaties. Dat is moeilijk: het loslaten van een vertrouwd referentiekader en het opbouwen van een nieuw. Van Hiele (1973) spreekt in dit verband van de overan van het rondniveau naar het eerste niveau, waarop een betekenisvol relatienetwerk van wiskundie objecten ontstaat. Als abstractie inderdaad plaatsvindt, dan wordt die abstracte wereld van de alebra steeds concreter, of liever ezed betekenisvoller, voor de leerlin. Door een proces van verticaal mathematiseren wordt de oorspronkelijk abstracte alebrawereld voor de leerlinen een betekenisvolle realiteit, die daarnaast ook functioneert bij het oplossen van concrete problemen. Bij het opbouwen van deze alebraïsche betekenis zijn denkmodellen, zoals het rechthoeksmodel voor producten van lineaire expressies en het balansmodel of het beeld van snijdende rafieken voor het oplossen van verelijkinen, belanrijke hulpmiddelen. Zo eeft bijvoorbeeld het beeld van een parabool met minimum 5 en een horizontale lijn hoote 3 onmiddellijk het inzicht dat de verelijkin ( x ) + 5 = 3 een oplossinen kan hebben. Het opbouwen van een betekenisvolle alebrawereld is een belanrijk onderdeel van het leerproces. Voor de docent is de taak om door een uitebalanceerd samenspel van horizontaal en verticaal mathematiseren dit proces op an te brenen (Gravemeijer, 005). Daarbij zijn oede vraen en opaven van belan, waarin de nadruk eled wordt op alebraïsche kenmerken en relaties. 4.5 Het oefenen van vaardiheden Het ontwikkelen, uitbouwen, onderhouden en oefenen van vaardiheden vraat expliciete aandacht en tijd. Aan oefenen, zeker als het aat om basisvaardiheden, kleeft echter ook het risico dat de betekenis van de alebraïsche activiteit ondersneeuwt onder het automatisme. Freudenthal formuleerde dit als volt: Advocates of insihtful learnin are often accused of bein soft on trainin. Rather than aainst trainin, my objection to drill is that it endaners retention of insiht. There is, however a way of trainin - includin memorisation - where every little step adds somethin to the treasure of insiht: trainin interated with insihtful learnin. (Freudenthal, 1991) Om de spannin tussen automatisch, routineus handelen enerzijds en inzichtelijk, betekenisvol handelen anderzijds het hoofd te bieden, pleiten we voor evarieerde en eïntereerde oefenin, waarin inzicht en automatisme hand-in-hand aan en waarin basisvaardiheden en symbol sense simultaan worden aanesproken. Derelijke oefeninen kunnen bestaan uit rijtjes oed ekozen opaven, maar daarnaast kunnen ook andere vormen aan bod komen, zoals het productief oefenen, waarbij de nadruk meer lit op produceren dan op reproduceren (Kindt, 003). Ook kan worden eoefend door veel voorkomende fouten expliciet aan de orde te stellen, of door leerlinen uit te daen een overtuiend oende foutieve alebraïsche aanpak te bedenken. Ook bij de behandelin van nieuwe onderwerpen en toepassinen, zoals analytische meetkunde of reels voor differentiëren, kunnen alebraïsche vaardiheden worden eoefend en onderhouden. De opave in fiuur 5 is een voorbeeld van een alebraïsche exercitie, die tevens inzicht in de samenhan tussen de reels voor differentiëren biedt

12 De productreel voor differentiëren kan als volt uit de kettinreel worden afeleid (Drijvers, 006a). We korten f(x) en (x) af tot f respectievelijk en werken het kwadraat van de som van f en uit: ( f + ) = f + f + Links en rechts differentiëren met de kettinreel eeft: ( f + ) ( f + ) = f f + ( f ) + Na delin door en uitwerken van haakjes blijft er over: f + f = ( f ) Fiuur 5 Afleidin van de productreel uit de kettinreel Samenevat is het oefenen en onderhouden van alebraïsche vaardiheden van root belan. We pleiten in het alemeen voor inzichtelijke oefeninen, waarin ook de onderliende inzichten en symbol sense vaardiheden worden onderhouden. 4.6 De ontwikkelin van schema s In de vorie pararaaf is aaneeven dat het van belan is een probleemsituatie te scannen op toepasbaarheid van technieken uit het beschikbare repertoire van alebraïsche procedures. Deze vorm van alebraïsche expertise maakt het moelijk om probleemsituaties sneller te herkennen en beter te doorzien, en om de voortan tijdens het oplossinsproces beter te monitoren. Een alebra-expert is dan ook in staat om te voorspellen wat het effect van een bepaalde oplostechniek zal zijn, en om te beoordelen of het de moeite waard zou kunnen zijn om die uit te voeren. Een derelijke verzamelin van samenhanende berippen, procedures en strateieën wordt door Skemp (1971) een mentaal schema enoemd. Zo n mentaal, conitief schema is een weersla van een stukje alebraïsche expertise, en het leren van leerlinen behelst dus in feite de ontwikkelin van derelijke schema s. Een schema is dus een verzamelin met elkaar verweven hiërarchische relaties, ze maar een conitief netwerk van wiskundie objecten en technieken (zie ook Katern 0). Goede leerlinen ontwikkelen in het huidie onderwijs zelf nieuwe schema s die hen helpen informatie te structureren en die lijken op schema s van experts. Bij een rote roep leerlinen ontstaan derelijke expertschema s echter onvoldoende of framentarisch, tenzij daaraan aandacht wordt besteed. Een van de doelen van het alebraonderwijs zal dus de ontwikkelin van derelijke schema s zijn. Deze ontwikkelin, waarin loisch redeneren en ordenen een rol speelt, verdient expliciete aandacht in het onderwijs (Landa, 1976, 1983). In het bovenstaande is een zestal aspecten aan de orde ekomen die bij het leren van alebra een belanrijke rol spelen: de dualiteit proces-object, het vermoen met visuele kenmerken van expressies om te aan, de dimensie basisvaardiheden-symbol sense, de betekenis van alebraïsche expressies, het oefenen van vaardiheden en de ontwikkelin van schema s. Deze aspecten staan niet op zichzelf, maar kunnen elkaar versterken. Een oed inzicht in de betekenis van een alebraïsche uitdrukkin helpt bijvoorbeeld bij het omaan met de visuele kenmerken, en een oed schema voor het vereenvoudien van expressies bevat zeker ook symbol sense kenmerken. De zes aspecten verschillen echter in reikwijdte. Waar de dualiteit proces-object, de betekenis van alebraïsche expressies en de beheersin van vaardiheden aspecten zijn met een plaatselijk karakter, zijn met name de aspecten van symbol sense en schemaontwikkelin eerder lobaal: symbol sense omvat bijvoorbeeld het omaan - 1 -

13 met visuele kenmerken van expressies, en in een schema zijn veelal basisvaardiheden en symbol sense vaardiheden met elkaar verweven. In het vervol van dit katern worden de eschetste bevindinen uit vakdidactisch onderzoek naar het leren van alebra toeespitst op één specifiek onderwerp, namelijk het oplossen van verelijkinen. De vraa is hoe we onderwijs over dit onderwerp kunnen ontwerpen dat rekenin houdt met de hiervoor enoemde aspecten. Daarbij staat het idee van schemaontwikkelin centraal. 5 Ontwerpen van onderwijs over verelijkinen Het oplossen van verelijkinen is een onderwerp dat in het voortezet onderwijs op verschillende plaatsen terukomt. Verschillende oplostechnieken passeren de revue, van informeel tot formeel, en het repertoire aan verelijkinen dat leerlinen moeten kunnen oplossen breidt zich uit van eenvoudie lineaire verelijkinen tot oniometrische en exponentiële verelijkinen. Aanvankelijk is het oplossen van verelijkinen een zelfstandi onderwerp, terwijl het later aan de orde komt in context, bijvoorbeeld bij het zoeken van een extreme waarde van een functie. Bij het oplossen van verelijkinen komen bovendien ook vereenvoudiinstechnieken van pas. Al met al dus een belanrijk en complex onderwerp in de schoolalebra. Een eerste stap in het denken over onderwijs in het oplossen van verelijkinen is het concretiseren van de hierboven beschreven zes aspecten van alebraonderwijs. 5.1 Toespitsin van de zes aspecten op het oplossen van verelijkinen Wat betekenen de bespieelinen van de vorie pararaaf voor het ontwerpen van onderwijs over verelijkinen? We lopen de zes enoemde aspecten lans. De dualiteit proces object De dualiteit proces object doet ons realiseren dat het van belan is dat leerlinen een verelijkin als proces én als object kunnen zien. Het zoeken van de oplossin door ericht proberen ( trial-and-improve, inklemmen) en het invullen van een vermoedelijke oplossin ter controle achteraf veronderstelt een proces-kijk. De object-kijk komt naar voren in de balansmethode of weeschaalmethode, waarin op het linker- en rechterlid van de verelijkin eenzelfde bewerkin wordt uitevoerd. Het linker- en rechterlid zijn dan alebraïsche objecten die onderworpen worden aan een operatie. Ook speelt de object-kijk een rol wanneer verschillende typen verelijkinen worden onderscheiden. Dit leidt tot het besef van families van verelijkinen, waarvan een specifieke verelijkin lid is. Visuele kenmerken van expressies Om een verstandie keuze te maken uit het repertoire van beschikbare oplossinstechnieken, is het nodi om een verelijkin te kunnen scannen op opvallende visuele kenmerken, die moelijk een aanwijzin voor een eerste stap even. De evoeliheid voor die visueel saillante kenmerken moet daarenteen weer niet zo root zijn, dat de verleidin om bijvoorbeeld een wortel we te werken onweerstaanbaar wordt, zoals in het voorbeeld van Wener het eval was. Het kan een kwaad leerlinen te confronteren met verelijkinen met verleidelijke visuele cues, waarbij echter eerst oed ekeken en naedacht moet worden voordat men zich op het alebraïsche rekenwerk stort

14 Basisvaardiheid en symbol sense Bij het oplossen van verelijkinen bestaan de basisvaardiheden uit bewerkinen als links en rechts hetzelfde doen en alebraïsche operaties als haakjes uitvermenivuldien, kwadrateren, worteltrekken, ontbinden in factoren, Het is van belan dat leerlinen zich bewust zijn van moelijkheden en onmoelijkheden van derelijke manipulaties. Expliciterin van rekenreels, inclusief hun beperkinen, lijkt daarbij noodzakelijk. Symbol sense vaardiheden zijn noodzakelijk om basisvaardiheden te initiëren, te ondersteunen, te sturen en te monitoren, en om verstandie strateische keuzes te maken. Het is dan ook verstandi met leerlinen stil te staan bij een verelijkin zonder enie actie te ondernemen, maar hen te laten formuleren wat het verwachte effect van een actie zal zijn en waarom dat al dan niet wenselijk is. De betekenis van alebraïsche expressies Om een verelijkin betekenis te even voor de leerlin is het van belan om met concrete problemen te starten. Denk aan situaties met omslapunten, in contexten waarin twee opties worden vereleken. De eerste oplossinsstrateieën kunnen informeel en contextebonden zijn. Ook het aanreiken van denkmodellen kan betekenisbevorderend werken. Denk bijvoorbeeld aan het rechthoeksmodel bij het uitwerken van haakjes; aan het beeld van de weeschaal of aan het beeld van twee snijdende rafieken bij het oplossen van een verelijkin. Geleidelijk aan zullen metavraen, die ericht zijn op de typen verelijkinen zelf, de oplosstrateieën en het redeneren daarmee, aanleidin zijn tot de vormin van een alebrawereld die meer los staat van concrete situaties en waarin betekenisvolle relaties bestaan. Een vraa als van welk type is deze verelijkin en op welke manieren zou je die kunnen aanpakken appelleert hieraan. Het oefenen van vaardiheden In oefeninen moeten zowel de basisvaardiheden (weten dat) als de symbol sense (weten hoe, weten waarom en weten over weten) aan bod komen. Verschillende typen oefeninen zijn dan ook ewenst: rijtjessommen en oefeninen die leerlinen niet op de automatische piloot kunnen maken, toepassinserichte en kale oefeninen, oefeninen die zich richten op de uitvoerin van basistechnieken en oefeninen die juist de coördinatie van verschillende basistechnieken betreffen, oefeninen die een beroep doen op bestaande kennis en oefeninen die uitdaen tot de uitbreidin daarvan. Door een eschikte mix van oefeninen aan te bieden, aat de ontwikkelin van routine hand in hand met het opbouwen van nieuwe kennis. De ontwikkelin van schema s Naast de aandacht voor de verschillende methoden bij het oplossen van verelijkinen kan het roeperen van de verschillende oplossinsmethoden de schemaontwikkelin bevorderen: welke typen verelijkinen, welke oplossinsmethoden lijken op elkaar? Ook is het van belan dat leerlinen op termijn leren efficiënte oplossinsmethoden te kiezen. Door de expliciete aandacht voor structurerin van de probleemruimte kunnen leerlinen conitieve schema s ontwikkelen waarmee ze de voorkomende verelijkinen herkennen en betekenis even, en waarin ze nieuwe oplossinsmethoden kunnen intereren. Het aat hier niet om een kant-en-klare structurerin, die leerlinen aanereikt krijen en memoriseren, maar om

15 bouwmateriaal voor een mentaal schema dat in de loop van de tijd actief wordt opebouwd, aanepast en uitebreid. 5. Een kennisraaf voor de het oplossen van verelijkinen Een eerste stap in het doordenken van een didactisch ontwerp van onderwijs kan het maken van een kennisraaf zijn (Zwaneveld, 1999). In zo n kennisraaf of mindmap krijen verschillende aspecten van het leren en onderwijzen van het onderwerp een plaats. Daarmee vormt de kennisraaf het uitanspunt voor het verdere ontwerp. Fi. 5 toont een bein van een derelijke kennisraaf voor het onderwerp verelijkinen. Fiuur 6 Bein van een kennisraaf voor het onderwerp verelijkinen Opdracht voor de lezer Maak uitaande van fiuur 6 een kennisraaf voor het oplossen van verelijkinen. Gebruik daarbij de volende aspecten maar breid de raaf desewenst ook uit: typen verelijkinen die aan de orde komen; basisvaardiheden voor het oplossen van verelijkinen; aanpak en methode die aan de orde komen; beelden die leerlinen bij verelijkinen ontwikkelen; didactische aandachtspunten voor de docent. 5.3 Aanpak van verelijkinen in de onderbouw Een repertoire aan basisvaardiheden In de onderbouw spelen functies met de bijbehorende representaties tabel, rafiek en formule een belanrijke rol. Na de introductie van (woord)formules komen verelijkinen aan bod. De schoolboeken kennen daarbij een stapsewijze opbouw, die teru te zien is in de titels van de pararafen. In een van de veelebruikte methoden in Nederland zien we bijvoorbeeld de volende hoofdstukopbouw op we naar de ontwikkelin van een repertoire van basisvaardiheden: 1. Zoek de oplossin Er wordt estart met het probleem Kies een etal; vermenivuldi dit etal met 3; tel bij de uitkomst 9 op; vertel me wat de uitkomst is, dan ze ik je welk etal je ekozen had. Ook komen er problemen aan bod als 4 zakken ween evenveel als 1 zak en 3 k; hoeveel weet 1 zak?

16 . Snijdende lijnen Bij het snijpunt eeft de verelijkin van de ene lijn dezelfde uitkomst als de verelijkin van de andere lijn. 3. Links en rechts hetzelfde Gebruik de balansmethode om de oplossin van de verelijkin te vinden. 4. Verelijkinen oplossen Hierin staat hoe je verelijkinen oplost met de onbekende aan beide kanten van het elijkteken: - Werk onbekende naar één kant door links en rechts hetzelfde te doen. - Werk vervolens met pijlenkettin of bordjesmethode of doe links en rechts hetzelfde. Op deze manier ontstaat een repertoire van basisvaardiheden met bijbehorende beelden of denkmodellen. Een derelijke Deze stapsewijze opbouw zien we ook teru bij Bernard en Cohen (1988). Zij onderscheiden vier basistechnieken: De trial-and-improve methode Gok een waarde voor de onbekende en controleer de uitkomst. Op basis daarvan kan een verbeterde ok worden emaakt. Voorbeeld x 3= 11 Kies x = = 7 te laa Kies x = = 15 te hoo Kies x = = 11 oed De omkeermethode Je inverteert de evolde rekenstappen in de pijlenkettin van achter naar voren en keert zo vanuit de uitvoer teru naar de oorspronkelijke invoer. Voorbeeld x 3= 11 De pijlenkettin x keer x min 3 x 3 eeft uitkomst 11. Teru, dus startend met 11 krij je dan: 11 plus 3 eeft 14 edeeld door eeft 7. De bordjesmethode Le de hand op een deel van de verelijkin en bren die daarmee teru tot eenvoudiere verelijkin. Deze methode benadrukt het objectkarakter van deelexpressies. Voorbeeld x 3= 11 (...) 3 = 11 Dus ( ) moet 14 zijn dus x = 7 De balansmethode Je doet steeds links en rechts hetzelfde om een equivalente, maar eenvoudier verelijkin te maken zonder dat er oplossinen verloren aan of bijkomen. Dit vraat om strateisch handelen zodat de onbekende wordt eïsoleerd of vrijemaakt. Voorbeeld x 3= 11, links en rechts 3 optellen x = 14, links en rechts delen door eeft x =

17 Er zit een zekere stapelin in de technieken: bij elke volende heb je kennis van de vorie techniek nodi. Deze basisvaardiheden blijven echter naast elkaar nodi en zullen dan ook onderhouden moeten worden. Opdracht voor de lezer Ga in een van de schoolmethodes, bij voorkeur een die op de eien school wordt ebruikt, na in hoeverre de vier methoden van Bernard en Cohen aan de orde komen, in welke volorde, en in welke mate van formaliserin. Een bein van een cateoriserin van typen verelijkinen Na deze basistechnieken bij lineaire verelijkinen komen veelal de tweederaads verelijkinen aan bod. Ook hier kennen de schoolboeken verschillende manieren van probleemaanpak (zie fiuur 7). Fiuur 7 Tweederaads verelijkinen in een van de schoolmethoden Hierna komen dan verschillende nieuwe typen verelijkinen apart aan de orde, zoals veeltermverelijkinen en ebroken verelijkinen. Wat in de schoolboeken echter ontbreekt is een expliciete verelijkin van de verschillende typen verelijkinen en de bijbehorende oplossinsstrateieën. Bij elk nieuw type verelijkin is het aan de leerlinen om deze nieuwe informatie zelf te verwerken en te intereren in een samenhanend schema. De vraa is of dit de emiddelde leerlin lukt zonder expliciete aandacht in het onderwijs. Generalisatie en formaliserin blijven eveneens achterwee, terwijl deze voor de vormin van een veelzijdi conitief schema wel van belan zijn. Sommie methoden van vroeer besteden overiens wel expliciet aandacht aan strateische perspectieven en formaliserin. In Bos & Lepoeter (1959, deel II) wordt

18 bijvoorbeeld de reel uit A B = 0 volt A = 0 of B = 0 enoemd en vervolens eoefend en toeepast in vraen als: Wat volt er uit A B C = 0? en Los op ( x 1) ( x ) = 6. Dan aat het via ( x 5) (x 7) = 4 (x 7) verder naar de reel uit A B= A Cvolt A = 0 of B = C, waarbij verelijkinen als ( x 7x+ 1) (8x 11) = ( x 7x+ 1) (3x+ 14) niet eschuwd worden. Door deze opdrachten worden leerlinen edwonen hun kennis in nieuwe situaties toe te passen, waardoor deze kennis zich verdiept. De strateie van het oplossen staat centraal, wordt expliciet emaakt en eformaliseerd. Om de schemaontwikkelin te bevorderen kan in de onderbouw behalve aan basistechnieken ook aandacht worden besteed aan een beinnende cateoriserin. Voor het einde van klas 3 van havo en vwo zou het leerdoel dan kunnen bestaan uit eschikte beelden van verelijkinen (de balans, het snijpunt van rafieken), uit de basisvaardiheden zoals hierboven beschreven, en een bein van een cateoriserin van typen en methoden die de volende typen verelijkinen zou kunnen omvatten. 1. Verelijkinen van het type A = B, bijvoorbeeld ( x+ 1) = (x 3).. Verelijkinen van het type A = etal, bijvoorbeeld ( x + ) = Verelijkinen waarin hetzelfde bordje meerdere keren voorkomt, bijvoorbeeld ( x+ 3) ( x+ 3) 6= Verelijkinen waarin product=0 ebruikt wordt, eventueel na ontbinden in factoren, bijvoorbeeld ( x 3)( x 8) = 0, x 6x= 0 en x 6x 40= Verelijkinen die worden opelost met de abc-formule, zoals x x 5= 0. De leerlinen kunnen dan ook niet-standaardverelijkinen zoals x 8 3x 10 ( x 1) 7 10 = of = + herleiden tot type en verelijkinen zoals 3( x 4)(x+ 9) = 0, 6x 15 = x of x x = 80 tot type 4. Onderbouwin in de onderbouw Natuurlijk moeten de oplossinsmethoden ook onderbouwd worden. Speciale aandacht in dit verband vraat de abc-formule. Van oudsher werd deze afeleid via het kwadraatafsplitsen. De laatste jaren is deze afleidin in de schoolboeken veelal naar de extra opaven verwezen. De afleidin kan echter helpen de techniek betekenis te even. Een alternatief voor het kwadraatafsplitsen is de methode van de Babyloniërs. Dit is een eneralisatie van het ontbinden in factoren. Het linkerdeel van de verelijkin x + p x+ q= 0 wordt ontbonden door te zoeken naar x 1 en x waarvoor eldt dat x = p k krij je 1 x 1 + x = p en x. 1 x = q. Door de keuze 1 x = p+ k en x x = ( p+ k) ( p k) waarmee je k in p en q kunt uitdrukken. Daarmee is de ontbindin evonden. Zie hiervoor bijvoorbeeld het zebraboekje Babylonische wiskunde (Kindt en Van de Roest, 005)

19 5.4 Aanpak van verelijkinen in de Tweede Fase van havo en vwo In de Tweede Fase van havo en vwo worden verelijkinen die bij nieuwe onderwerpen naar voren komen denk aan verelijkinen met exponentiële, loaritmische en oniometrische functies eleidelijk in het bestaande schema inepast. Daarmee zullen docenten in de onderbouw bij het opbouwen van schema s al op moeten anticiperen. Skemp (1971) eeft aan dat bestaande schema s zich lasti laten veranderen en dat al in vroe stadium rekenin ehouden moet worden met toekomstie uitbreidinen. Verder blijft de kunst van het oplossen van verelijkinen in de Tweede Fase niet beperkt tot de enoemde basistechnieken en -cateoriën. Wat van belan is, is om deze te kunnen combineren, om te kunnen herkennen op welk type verelijkin welke techniek van toepassin is, en om bij het toepassen van een basistechniek het spoor van de lobale oplosstrateie niet uit het oo te verliezen. Zo omvat het schema dus meer dan de technieken alleen. Bij de ontwikkelin van een derelijk schema kan het leerlinen helpen om te benadrukken hoe verelijkinen systematisch kunnen worden aanepakt en samen met hen een structuur van oplossinsstrateieën te ontwerpen. Het structureren van het oplossen van verelijkinen Bijlae 1 bevat bij wijze van illustratie een moelijke structurerin van de typen verelijkinen en bijbehorende oplosmethoden die in de Tweede Fase van havo en vwo voorkomen. Deze voorbeeldmatie structurerin van typen verelijkinen en oplossinsmethoden is door een docent in samenspraak met een aantal oede leerlinen emaakt. De verelijkinen en methoden zijn in deze bijlae inedeeld in zes cateorieën. Om deze op te lossen, worden in de rechterkolom van de tabel veelal de hierboven onderscheiden basisvaardiheden toeepast. Verelijkinen die direct passen in een van de zes cateorieën noemen we standaardverelijkinen; andere verelijkinen zijn non-standaard. Merk op dat bij deze standaardcateorieën nieuwe kennis ten opzichte van de onderbouw is eïntereerd. Zo speelt bij het cateorie 1, het wedenken van de laatste bewerkin, de monotonie of inverteerbaarheid van functies een rol. Het mentale schema behelst dus meer dan het trucje maar omvat tevens de wiskundie concepten en beelden. De aanpak van het oplossinsproces Het oplosproces van een verelijkin kan dan als volt verlopen. Eerst wordt ekeken in welke cateorie de verelijkin past, of na herleidin zou kunnen passen. Bij de herleidinen worden handelinen ebruikt als links en rechts vermenivuldien, delen, optellen, aftrekken, haakjes wewerken, volorde van bewerkinen veranderen, bij elkaar nemen of splitsen, en specifieke rekenreels van bijvoorbeeld machten, sinus of loaritme. Dit leidt tot een standaardverelijkin, die volens de ebruikelijke methode wordt aanepakt. Levert dit weer een verelijkin op, dan start met deze nieuwe verelijkin weer de eerste stap van het proces. Het oplossen is dus een iteratief proces. Zo ontstaat de volende estructureerde aanpak om verelijkinen op te lossen (zie fiuur 8)

20 Stap 1 Identificatiealoritme Bepaal tot welke cateorie de verelijkin hoort of kan horen; werk in dit laatste eval de verelijkin om zodat de verelijkin past bij een cateorie Stap Oplossinsaloritme Los de standaardverelijkin op volens de aaneeven oplossinsmethode. Stap 3 Eventueel herhalinsstap Als je weer op een verelijkin uitkomt, bein je weer bij het identificatiealoritme. Fiuur 8 Gestructureerde aanpak om verelijkinen op te lossen Bij de verschillende stappen komen de verschillende soorten weten aan bod. Bij de identificatie speelt symbol sense, onder andere in de vorm van lobaal kijken naar verelijkinen, een rol. Bij het omwerken van verelijkinen naar standaardverelijkinen is symbol sense in de vorm van strateisch werken vereist. Weten hoe, weten waarom en weten over weten zijn dus nadrukkelijk en in samenhan van belan. Ook kennis van rekenreels en basisvaardiheden, weten dat is onmisbaar. Bij het ebruiken van de oplossinsaloritmen in de tweede stap is er sprake van alebraïsche basisvaardiheden, dus weten dat. De structuur van de zes cateorieën verelijkinen dient ter ondersteunin van de schemaontwikkelin en heeft een drievoudie functie. Ten eerste kent de leerlin per cateorie oplossinsaloritmen, die op detailniveau no wat verschillen. Denk bijvoorbeeld aan het wedenken bij cateorie 1. Daarmee wordt dus het oplosrepertoire uitebreid. Ten tweede even de cateorieën richtin aan het herleiden van non-standaard verelijkinen tot verelijkinen waarmee de leerlin wel uit de voeten kan. Ten derde is de zoekruimte van de leerlinen bij het oplossen van verelijkinen veel minder root eworden: er zijn maar zes cateorieën waar de leerlin zich op hoeft te richten. De indelin eeft de leerlinen een bril om ericht naar verelijkinen te kijken. Overiens zijn de zes cateorieën niet disjunct en in zekere zin redundant. Deze aanpak is ebaseerd op het werk van Landa (1983) die een aloritmischheuristische aanpak voorstaat, waarin het proces in elementaire stappen opedeeld en expliciet emaakt wordt en vervolens eautomatiseerd wordt. Voorbeelden van andere manieren van oefenen Zoals al eerder opemerkt, zou de ontwikkelin technische vaardiheden niet los moeten staat van de ontwikkelin van symbol sense. Daarom is het nodi dat ook opaven van een ander type dan los op in het leertraject van verelijkinen aan de orde komen. We even enkele voorbeelden ter inspiratie. 1. De prijs van de alebra In de context van De Prijs van de Alebra (zie bijlae uit Kindt, 003) kan een aantal interessante vraen worden esteld, zoals: Onderzoek de prijs van de twee elijkwaardie expressies n + 16n en n ( n+ 8)

21 Toon aan dat x 6x + 5, x ( x 6) + 5, ( x 5)( x 1),( x 3) + 4 steeds dezelfde uitkomsten even en bereken de prijs van deze expressies. Verzin verschillende elijkwaardie expressies bij ( x 3) 18 en bereken van alle expressies de prijs.. Onderzoeksopdrachten Leerlinen kunnen worden uitedaad om zelf oplossinsaloritmen uit te vinden en te expliciteren. Met behulp van rafische software kunnen leerlinen het aantal oplossinen bepalen van verelijkinen als ( a. x + b) = ( c. x + d) (cateorie. 1), ( a. x + b) = c (cateorie ) en a ( x b)( x c) = 0 (cateorie 4). Vervolens kunnen de leerlinen oplossinsstrateieën ontwerpen en expliciteren. Het eindresultaat is een oplossinsaloritme zoals bijvoorbeeld in bijlae 1 verwoord is. 3. Toepassen Natuurlijk is het ook van belan om te kijken naar de toepassinen van de typen verelijkinen waarvoor leerlinen oplossinsschema s ontwikkelen. Je kunt denken aan een aantal toepassinsopdrachten waarin verelijkinen in authentieke contexten van binnen en buiten de wiskunde aan de orde komen. Denk bijvoorbeeld aan natuurkunde, economie en kunst, maar ook aan meetkundie situaties waarin alebraïserin tot bekende verelijkinen leidt. 4. Gevarieerde en eïntereerde oefenin Variatie in oefenin is belanrijk. Als leerlinen kennis emaakt hebben met de verschillende cateorieën en de bijbehorende oplossinsaloritmen, kunnen leerlinen oefenen in het indelen van nieuwe verelijkinen in de verschillende cateorieën. Hier spelen symbol sense en strateische aanpak een belanrijke rol. Dit eldt ook voor het herleiden tot standaardverelijkinen. Expliciterin en verantwoordin van emaakte keuzes zijn hier belanrijk. Behalve open vraen kunnen ook meerkeuzevraen of matchinsopaven een rol spelen. Ook kan edacht worden aan spelvormen zoals kwartetten. Daarbij bestaat een kwartet uit de verschillende stappen van het oplossinsproces van een bepaalde verelijkin. Bijvoorbeeld vormen de volende kaarten een kwartet: ( x 1) = 16, ( x 1) = 9, x 1= 3 x 1= 3 en x= 4 x=. Leerlinen leen alle kaartjes op tafel en zoeken de oede viertallen bij elkaar. Het spel verloopt verder zoals ewoon kwartetten. Daarnaast is het van belan dat het oplossen van verelijkinen ook wordt eïntereerd in een roter verband, zoals het bepalen van de nulpunten van de afeleide bij het zoeken van extreme waarden. 5. Beelden bij verelijkinen In oefeninen kan ook aandacht besteedt worden aan verschillende beelden die de leerlin bij een verelijkin heeft. Leerlinen krijen bijvoorbeeld onderstaande tabel met in het midden een verelijkin. De opdracht bestaat uit een aantal vraen: bedenk een context die tot deze verelijkin leidt; maak een rafische weerave die bij deze verelijkin past; los de verelijkin op; en formuleer welke verelijkinen dezelfde structuur hebben

22 Context Grafische weerave Oplossinsmethode van verelijkin (in welke cateorie) Verelijkin ( x 1) +4 = 10 Voorbeelden van verwante verelijkinen, die tot dezelfde cateorie behoren Fiuur 9 Voorbeeld om beeldvormin door leerlinen bij verelijkinen te stimuleren Verelijkinen samenevat Samenevat pleiten we ervoor om in het ontwerp van onderwijs rond verelijkinen de ontwikkelin van mentale schema s op verschillende manieren te bevorderen: door te aanbrenen van een repertoire aan basisvaardiheden, door het structuren van de typen van verelijkinen die aan de orde komen, door het expliciteren van oplossinsstrateieën, door het variëren van oefeninen en door het ontwikkelen van beelden die passen bij de probleemaanpak. 6 Conclusie De vraa die in dit katern centraal staat luidde: Wat is een effectieve en efficiënte didactiek voor het leren en onderhouden van alebraïsche vaardiheden? Wat kunnen we, terukijkend, als antwoorden formuleren? Allereerst is esteld dat alebra belanrijk is en blijft. De estelde vraa is dus zeker relevant. Vervolens is aan de hand van fouten die leerlinen maken een aantal didactische aandachtspunten voor het alebraonderwijs in het alemeen edestilleerd: De dualiteit proces object Visuele kenmerken van expressies en expliciterin van rekenreels Basisvaardiheid en symbol sense De betekenis van alebraïsche expressies Het oefenen van vaardiheden De ontwikkelin van schema s Als docent kan het dus nutti zijn om bij de voorbereidin van onderwijs in de alebra na te aan of en op welke manier deze punten van belan zijn. Hoe zie je proces- en objectkarakter teru, en wat wordt van leerlinen op dit punt verwacht? Welke cues of afleiders sprinen in het oo bij de expressies of formules die aan de orde komen? Om welke vaardiheden, maar ook om welke inzichten en beelden aat het? Hoe kunnen de alebraïsche objecten en procedures betekenis hebben voor de leerlinen, wat kunnen leerlinen er zich bij voorstellen? Hoe aan we de vaardiheden onderhouden en wat zijn daarvoor eschikte oefeninen? Welke schema s zijn vruchtbaar voor de leerlin om te ontwikkelen en hoe bouwen we deze op? - -

23 Bij wijze van voorbeeld zijn deze vraen in dit katern uitewerkt voor het onderwerp verelijkinen. Aaneeven is op welke manier de vraen kunnen worden beantwoord en tot welk didactisch ontwerp dit kan leiden. Bij het ontwerpen hebben we vooral ebruik emaakt van het besef dat het ontwikkelen van conitieve schema s expliciet doel van het onderwijs is. Om deze ontwikkelin te ondersteunen, kan het in samenspraak met leerlinen structuren van het domein zinvol zijn. Het idee is dat een derelijke structurerin leerlinen helpt van hoer standpunt naar verelijkinen te kijken, zodat sprake is van verticaal mathematiseren: het oplossen van verelijkinen is op een hoer niveau object van studie eworden. Als het idee van het structureren een star en statisch beeld van de beoode mentale schema s oproept, is dat niet terecht. Alebraïsche schema s kenmerken zich ook door wendbaarheid, door het vermoen flexibel te switchen tussen concrete betekenis en abstract manipuleren, tussen lobaal en lokaal kijken, tussen proces en object, tussen impliciete en expliciete reels, en tussen verschillende strateieën. Behalve aan het ontwikkelen van schema s rond het onderwerp verelijken is ook ewezen op het belan van variatie in oefeninen, die aanleidin zijn voor de ontwikkelin van zowel routine in basistechnieken als betekenisvolle beelden en strateieën die deel uitmaken van symbol sense. Het zou niet oed zijn het een ten opzichte van het andere te verwaarlozen. Dat neemt niet we dat er in praktijk een didactische spannin bestaat tussen het uitvoeren van alebraïsche bewerkinen op de automatische piloot en het inzichtelijk werken. Freudenthal beschrijft het evaar van te rote nadruk op automatiseren als volt: I have observed, not only with other people but also with myself (...) that sources of insiht can be cloed by automatism. One finally masters an activity so perfectly that the question of how and why is not asked any more, cannot be asked any more, and is not even understood any more as a meaninful and relevant question. (Freudenthal, 1983, p. 469) Daar staat teenover dat een ebrek aan routine ervoor zort dat eenvoudie bewerkinen het werkeheuen overmati belasten, waardoor er te weini ruimte overblijft om rotere problemen aan te pakken. Te veel nadruk op routine leidt echter tot een automatische piloot die wendbaarheid of zicht op alternatieve methoden in de we staat; het eien denken stopt en wordt niet meer ebruikt in nieuwe situaties. Het is onze overtuiin dat de zes enoemde aandachtspunten niet alleen van belan zijn bij onderwijs in het oplossen van verelijken maar ook bij andere onderwerpen uit de alebra. Ook dan kan expliciete structurerin de mentale schemaontwikkelin ondersteunen. Zo kan bijvoorbeeld bij het ontwikkelen van een schema voor het werken met functies en hun representaties een structuur met overanen tussen verbale representatie, tabel, rafiek en formule (Janvier, 1987) een papieren weersla zijn waaraan veel aspecten van het mentale schema kunnen worden opehanen. Ook bij andere onderwerpen uit het alebracurriculum is de balans tussen vaardiheden en inzicht delicaat. De voornaamste conclusie van dit katern is dan ook dat inzicht in de zes enoemde factoren de docent kan helpen bij de ontwikkelin van een effectieve en efficiënte didactiek voor het leren en onderhouden van alebraïsche vaardiheden. Misschien is het no wel sterker: een didactiek die deze factoren verwaarloost, zal minder effectief en efficiënt zijn

24 7 Opdrachten voor de lezer 1. Kijk teru naar de kennisraaf die je eerder in dit katern hebt emaakt. Verbeter die en breid die uit op basis van je eien bevindinen en de inhoud van het katern die later aan de orde is ekomen.. Ontwerp enkele opdrachten die bij leerlinen de ontwikkelin van een schema voor het oplossen van verelijkinen bevorderen. Hier volen enkele ideeën: a. Ontwerp een uitebreide opdracht waarin leerlinen door het oplossen van een serie verelijkinen, bijvoorbeeld startend bij x = 4, op het spoor worden ebracht van het oplossen van een alemene tweederaads verelijkin met de abc-formule. Hierbij kun je een we volen via kwadraatafsplitsen of via de methode van de Babyloniërs. b. Ontwerp een opdracht waarin leerlinen inzien dat het oplossen van tweederaads verelijkinen ook buiten de wiskundelessen ebruikt wordt. c. Ontwerp een motiverende en activerende opdracht waarin leerlinen oefenen om een adequate aanpak te kiezen bij het oplossen van tweederaads verelijkinen. 3. Een expert kan bij symbolen (meerdere) beelden oproepen. Wiskundestudenten even aan dat zij raa een beeld hebben (krijen of maken) als zij wiskundie concepten leren. Welke beelden kunnen bij de volende verelijkinen van pas komen? Onderzoek welke beelden leerlinen hierbij hebben. a. 3 ( x + 4) x= x b. ( x 3) = 0 4. Zoek voorbeelden van impliciet ebruik van (reken)reels in de wiskundemethoden. 5. Zie bijlae 1. Bij het ontwikkelen van de oplossinsaloritmen in de cateorieën 1 en kunnen de rafieken van de bijbehorende functies een belanrijke rol spelen. Ontwerp onderzoeksopdrachten om deze oplossinsmethoden met leerlinen te ontwikkelen. 6. Ontwerp werkbladen bij applets waarmee bepaalde facetten die in het katern enoemd zijn worden eoefend. Neem bijvoorbeeld AlebraPijlen en/of AlebraExpressies op of a naar en dan via studentenbereik naar Gestructureerde Aanpak Alebraïsche Vaardiheden (GAAV; loin met test en wachtwoord aav). 7. Het idee van cateorieën van problemen met een beperkt aantal standaardaloritmen kan misschien ook voor andere delen van het (alebra)proramma elden. Daarnaast zullen we echter steeds heuristieken nodi hebben om tot een indelin in cateorieën te komen (identificatiealoritmen). Overwee voor welke delen van het (alebra)proramma een zelfde werkwijze moelijk is

25 Literatuur Arcavi, A. (1994). Symbol sense: Informal sense-makin in formal mathematics. For the Learnin of Mathematics, 14(3), Arcavi, A. (005). Developin and usin symbol sense in mathematics. For the Learnin of Mathematics, 5(), Bernard, J., & Cohen, M. (1988). An interation of Equation-solvin Methods into a Developmental Learnin Sequence. The ideas of alebra K-1. NCTM Yearbook Reston, VA: NCTM. Bock, D. de (1998). De illusie van lineariteit. Deel 1: Situerin en achterronden. Wiskunde & Onderwijs, 93, Bos, W.J. & Lepoeter, P.E. (1959). Wewijzer in de alebra. Amsterdam: Meulenhoff. Drijvers, P. (Red.)(006a). Wat a is, dat kun je niet weten. Een pleidooi voor betekenisvolle alebra op school. Utrecht: Freudenthal Instituut. Drijvers, P. (006b). Context, abstractie en vaardiheid in schoolalebra. Nieuw Archief voor Wiskunde, 5/7, Drijvers, P. (006c). Alebraïsche basisvaardiheden en symbol sense in de tweede fase van havo en vwo. Nieuwe Wiskrant, Tijdschrift voor Nederlands wiskundeonderwijs, 5(3), Freudenthal, H. (1983). Didactical phenomenoloy of mathematical structures. Dordrecht: Reidel. Freudenthal, H. (1991). Revisitin Mathematics Education. Dordrecht: D. Reidel Publishin Company. Gravemeijer, K. (1990). Globaal kijken, een kenmerk van alebraïsche deskundiheid. Nieuwe Wiskrant, Tijdschrift voor Nederlands Wiskundeonderwijs, 10(), Gravemeijer, K. (005). Revisitin Mathematics education revisited. In Ter Hee, H., Goris, T., Keijzer, R., & Wesker, L. (red.), Freudenthal 100, special Panama Post / Nieuwe Wiskrant, Hiele, P.M. van (1973). Berip en inzicht, werkboek van de wiskundedidactiek. Purmerend: Muusses. Janvier, C. (1987). Problems of Representation in the Teachin and Learnin Mathematics. Hillsdale NJ: Lawrence Erlbaum Associates

26 Kemme, S. (00). Welke alebra is nodi voor klas 4? Nieuwe Wiskrant, Tijdschrift voor Nederlands wiskundeonderwijs, 1(3), Kindt, M. (000). Discrete alebra. Nieuwe Wiskrant, Tijdschrift voor Nederlands wiskundeonderwijs, 19(4), Kindt, M. (003). Oefeninen in alebra. Utrecht: Freudenthal Instituut. Kindt, M. & Van de Roest, A. (005). Babylonische wiskunde. Utrecht: Epsilon. Kirshner, David (004). Visual Salience of Alebraic Transformations, Journal for Research in Mathematics Education, 35(4), Landa, L.N. (1976). Instructional Reulation and Control, Cybernetics, Alorthmization and heuristics in Education. Enlewood Cliffs, NY: Educational Technoloy Publications. Landa, L.N. (1983). Landamatics Instructional Desin Theory and Methodoloy for Teachin General Methods of Thinkin. In C.M Reyeluth (ed.), Instructional Desin theories and models. Hillsdale NJ, Lawrence Erlbaum Associates. Sfard, A. (1991). On the dual nature of mathematical conceptions: Reflections on processes and objects as different sides of the same coin. Educational Studies in Mathematics,, Streun, A. van (001). Het denken bevorderen. Groninen: RuG. Streun, A. van (006). Parate kennis en alebra. Euclides, 8(, 3, 4, 5, 6). Skemp, R. (1971). The Psycholoy of Learnin Mathematics. Middlesex, Enland: Penuin books. Tall, D & Thomas, M. (1991). Encourain versatile thinkin in alebra usin the computer. Educational Studies in Mathematics,, Vos, P. (007). Alebra-prestaties van tweedeklassers. Euclides, 8(4), Waner, S., Rachlin, S., & Jensen, R. (1984). Alebra learnin project, final report. Athens GA: University of Georia. Wener, R.H. (1987). Conitive science and alebra learnin. In A. Schoenfeld (Ed.), Conitive science and mathematical education. Hillsdale, NJ: Lawrence Erlbaum Associates. Werkroep 3TU (006). Aansluitin vwo en technische universiteiten. Euclides, 81(5), Zwaneveld, G. (1999). Kennisrafen in het wiskundeonderwijs. Heerlen: Open Universiteit

27 Bijlae 1 Een voorbeeld van zes cateorieën standaardverelijkinen Een voorbeeld van een cateoriserin uit de praktijk van een docent met zijn leerlinen. Cateorie 1: Zoals een expertleerlin het formuleerde: ik denk links en rechts dezelfde (laatste) bewerkin we. In evallen van monotoon stijende of dalende x 6 x+ 6 functies zal dat eenvoudi zijn, zoals bij 3 = 3 en lo( x ) = lo( x + 8). Als dat niet het eval is dan moet het oplossinsaloritme uitebreid worden, zoals bij ( x + 3) = (x 8) en sin( 3x ) = sin( x π ) en x.(3x + 8) = 6.(3x + 8). Cateorie 1 met oplossinsaloritmen: a) A B = lo( A) = lo( B) (1) A = B n n A = B, met n oneven () b) sin( A) = sin( B) A c) A.( B) = C.( B) n n = B, met n even n n oplossinsaloritme A B = A= B lo( A) = lo( B) A= B A = B A= B n n A = B A= B, als n oneven sin( A) = sin( B) A= B+ k, π A= π B+ k π n n A = B A= B, A= B A=C of B=0 Cateorie : De verelijkin kan worden opelost door een pijlenkettin om te keren. Voorbeelden van verelijkinen die tot deze cateorie behoren zijn: 3( x 4) = 18, 4 + 5x 3 = 40, x + 6 = 8 en sin( x ) = 0, 5. Ook nu speelt het monotone karakter van de functie een belanrijke rol bij het oplossen van de verelijkinen. Cateorie met oplossinsaloritmen: oplossinsaloritme A A = etal = p A= lo( p) p lo( A) = etal lo( A) = p = A (1) n A = etal sin( A) = etal A = etal () n A = p A= n p, als n oneven n A = p A= n p, A= n p, als n even 1 1 sin( A) = p A= sin ( p) + k. π, A= π sin ( p) + k.π A = p A= p en controleren oplossin Cateorie 3: De verelijkinen kunnen vereenvoudid worden door meerdere dezelfde bordjes te vervanen door een nieuwe variabele. Voorbeelden: 3 x x 3.lo( x) (lo( x)) ( x 3) 5( x 3) 14 = 0, ( e ) 4. e 1 = 0 en = 0. lo( x) - 7 -

28 Cateorie 4: De verelijkinen bestaan uit het product van een aantal factoren die elijk zijn aan 0. Voorbeelden: 4( x 9)( x 8)(3x + 9) = 0 en x.(4x 9) = 0. Bij deze cateorie rekenen we ook verelijkinen die opelost kunnen worden door een 3 eenvoudie ontbindin in factoren. Voorbeelden: 6x 4x = 0 en x x 8 = 0. Cateorie 5: Hierin zitten tweederaads verelijkinen die met de abc-formule opelost worden. Cateorie 6: In deze cateorie vallen verelijkinen die, volens expertleerlinen, edomineerd worden door breuken, loaritmen, sinus/cosinus en wortels. Deze eyecatchers roepen bij leerlinen direct associaties op met de bijzondere rekenreels die x 7 vaak nodi zijn om verelijkinen op te lossen. Voorbeelden zijn: = 3, 5x x 6 3x 8 = lo( x ) + lo( x + 4) = lo(4x + 8), x + 6 = x 1, x x + 1 sin( x ) = cos( x). Cateorie 6 met oplossinsaloritmen: breuken A C B = A C = B D loaritme lo( A) + lo( B) = lo( C) n. lo( A) = lo( C) lo( A) = lo( B) lo( A) = etal sinus sin( A) = cos( A) (sin( A)) = cos( A) sin( A) = cos( B) sin( A) = sin( B) sin( A) = etal oplossinsaloritme A = C A = BC. B A C = AD. = BC. B D lo( A) + lo( B) = lo( C) AB. = C n n. lo( A) = lo( C) A = C lo( A) = lo( B) A= B p lo( A) = p A= 1 sin( A) = cos( π A) (sin( A)) = 1 (cos( A)) 1 sin( A) = cos( B) cos( π A) = cos( B) sin( A) = sin( B) A= B+ k. π, A= π B+ k.π = = + π = π + π 1 1 sin( A) p A sin ( p) k, A sin ( p) k wortels A = B A = B A= B en uitkomst controleren - 8 -

29 Bijlae De prijs van de alebra Bron: Kindt, M. (003), p