Voorbereidend materiaal 2012 Cellulaire Automaten en Verkeer

Transcriptie

1 Voorbereidend materiaal 2012 Cellulaire Automaten en Verkeer

2 Voorwoord Beste deelnemers aan het Wiskundetoernooi Het thema van de middagwedstrijd Sum of Us van het Wiskundetoernooi 2012 is Cellulaire Automaten (CA s), in het bijzonder toegepast op Verkeer. Dit is het voorbereidend materiaal dat je nodig hebt om met succes aan Sum of Us deel te nemen. Dit jaar is uitgeroepen tot het Alan Turing-jaar (zie leeds.ac.uk/turing2012/) omdat Turing in 1912 werd geboren. Alan Turing wordt onder andere gezien als de grondlegger van de informatica, en hij was de eerste die een formele beschrijving van een computer gaf: de Turing-machine, waarmee je in principe alle berekeningen kunt doen die een moderne elektronische computer ook kan doen. Een cellulaire automaat is op te vatten als een vereenvoudigde vorm van een Turing-machine, in principe geschikt om berekeningen mee te doen... maar ook geschikt voor spelletjes! Tijdens het toernooi werkt je groepje aan verschillende opdrachten. Elk van de opdrachten gaat over cellulaire automaten, toegepast op een probleem dat met verkeer te maken heeft. Deze pagina s vertellen je wat cellulaire automaten zijn en helpen je straks de opdrachten van Sum of Us sneller en beter te begrijpen. Tussen de theorie staan opgaven om de stof goed te verwerken. De antwoorden zijn te vinden op de website Je kunt deze tekst als naslagwerk gebruiken tijdens Sum of Us. Op internet zijn talrijke sites over cellulaire automaten te vinden; in de tekst vind je wat voorbeelden. De basis van dit materiaal is geschreven door Jochen Krämer, Universität zu Köln. Het werd bewerkt en vertaald door Rutger Kuyper, Leon van den Broek en Wieb Bosma, van de Radboud Universiteit Nijmegen. De illustratie op de voorplaat is van Ad van den Broek, Uden. Veel plezier met het doornemen van dit voorbereidingsmateriaal. 2

3 1 De Game of Life Dit spel is rond rond 1970 in Cambridge ontwikkeld door John Horton Conway en geldt tegenwoordig als standaardvoorbeeld van een cellulaire automaat. Om het te spelen, zie: Figuur 1: Game of Life. Levende cellen zijn rood. Het speelveld bestaat uit een raster van vierkantjes. Elke cel (een vierkantje) is levend of dood. Elk uur kan de toestand van een cel wijzigen, afhankelijk van de toestand van zijn buren; dat zijn de acht cellen die om de cel heen liggen. Dit zijn de standaardregels (soms afgekort tot Regel 23/3): Een levende cel met minder dan twee levende buren sterft uit eenzaamheid; een levende cel met 2 of 3 levende buren blijft in leven; en met meer dan 3 levende buren sterft zij door overbevolking. Een dode cel komt alleen tot leven als zij precies 3 levende buren heeft. Opgave 1: Figuur 2 toont links een begintoestand voor de Game of Life, waar de rode cellen levend zijn. Teken hoe het leven zich ontwikkelt na 1 en na 2 uur in een onbegrensd raster van cellen. Met onbegrensd bedoelen we dat er zich geen cellen meer bevinden buiten het afgebeelde raster. Figuur 2: Game of Life. Levende cellen zijn rood. 3

4 Opgave 2: Hoe ontwikkelt het leven in Figuur 2 zich in de volgende twee stappen in een begrensd raster? Beantwoord de vraag voor drie verschillende randvoorwaarden (zie Figuur 3), waarbij de cellen in de extra rand ter dikte van 1 cel achtereenvolgens a) permanent dood zijn; b) permanent levend zijn; c) zich periodiek gedragen. Hoe dat werkt wordt hieronder uitgelegd. In het rechter plaatje van Figuur 3 zijn als voorbeeld de buren + van cel aangegeven. Opgave 2: Hoe ontwikkelt het leven in Figuur 2 zich in de volgende twee stappen in een begrensd raster? Beantwoord de vraag voor drie verschillende randvoorwaarden (zie Figuur 3), waarbij de cellen in de extra rand ter dikte van 1 cel achtereenvolgens a) permanent dood zijn, b) permanent levend zijn, c) zich periodiek gedragen. In het plaatje zijn als voorbeeld de buren (+) van één cel (*) aangegeven. Hoe je die vindt, wordt in figuur 4 uitgelegd * + Figuur 3 Figuur 3: Game of Life: verschillende randvoorwaarden. Levende cellen zijn rood. In het periodieke geval vind je de buren van een cel (bijvoorbeeld *) als volgt: plaats om het raster acht kopieën. Cel * heeft nu acht buren. De acht cellen die hiermee in het oorspronkelijke raster corresponderen, zijn de buren van *. * Figuur 4. Zo vind je de buren bij een periodieke rand Figuur 4: Periodieke randvoorwaarden: het bepalen van de buren InJ het periodieke geval vind je de buren van een cel (bijvoorbeeld die gemarkeerd met in Figuur 4) als volgt: plaats om het raster acht kopieën. Cel heeft nu weer acht buren; de acht cellen die hiermee corresponderen in het oorspronkelijke raster zijn de buren van. J max Hoe het op den duur met het leven uit een begintoestand zal aflopen, is meestal niet te voorspellen. Dit chaotische gedrag heeft veel wetenschappers geïnspireerd. ρ k ρ max ρ 4

5 Figuur 5: Enkele interessante begintoestanden. Opgave 3: Onderzoek met de hand (dus zonder computer) hoe het leven van bovenstaande acht figuren zich op den duur ontwikkelt. Men onderscheidt onder andere de volgende situaties: statische toestanden (Still Lifes): veranderen niet (meer) oscillatoren (Oscillators): veranderen periodiek, bijvoorbeeld de Vijftienkamper (Pentadecathlon) in Figuur 6, die periode 15 heeft; Figuur 6: De Vijftienkamper. ruimteschepen (Spaceships) : toestanden die periodiek veranderen maar daarbij van positie veranderen; het voorbeeld uit Figuur 5h) heet een Glider. kanonnen (Guns): schieten ruimteschepen of stoomschepen af. Het voorbeeld hieronder vormde een bevestigend antwoord op de vraag of een eindige begintoestand een onbegrensd aantal levende cellen kan produceren. Figuur 7: Het Glidercanon van Gosper. Meer voorbeelden en applets om de Game of Life te spelen op: de Engelstalige en de Duitstalige naast 5

6 2 Wat zijn Cellulaire Automaten eigenlijk? Vaak wordt de situatie op een bepaalde plaats beïnvloed door hoe de situatie op naburige plaatsen was, bijvoorbeeld een uur geleden. We spreken dan van een complex dynamisch systeem. De theorie van de CA s probeert op een wiskundige manier voorspellingen te doen over hoe een beginsituatie zich zal ontwikkelen. Wanneer er meerdere variabelen een rol spelen, is het gebeuren al gauw te ingewikkeld om nog analytisch (d.w.z. met behulp van expliciete formules) op te lossen. Hier komen dan de Cellulaire Automaten in het spel. De situatie wordt gemodelleerd door: op gezette tijden de situatie weer te geven (bijvoorbeeld om het uur), afstanden, hoeveelheden en andere grootheden af te ronden op gehele waarden en parameters te vereenvoudigen: men kan bijvoorbeeld veronderstellen dat alle auto s even lang zijn en aan slechts vijf verschillende snelheden kunnen rijden. De onderlinge invloeden laten zich in eenvoudige grondregels (vergelijkingen) vatten. CA s leveren krachtige resultaten en kunnen zich dan ook in toenemende belangstelling verheugen. 2.1 Mijlpalen in de geschiedenis van CA s Alan Turing gaf een wiskundige beschrijving van een computer (de Turingmachine) en publiceerde in 1936 een bewijs dat er geen systematische methode (algoritme) kan bestaan die voor elk gegeven computerprogramma met gegeven invoer kan beslissen of het programma bij deze invoer ooit zal stoppen (het Halting Problem of Stopprobleem). Het concept van de CA werd in de jaren 40 van de 20ste eeuw ontwikkeld door John von Neumann en Stanislaw Ulam. Von Neumann deed onderzoek naar zelfvermenigvuldigende systemen, zoals een robot die kopieën van zichzelf bouwt. Stanislaw Ulam stelde voor een discreet dynamisch model te gebruiken in plaats van een continu. Dit betekent dat de tijd in het model stapsgewijs verloopt. John H. Conway ontwikkelde in het begin van de jaren 70 de Game of Life. Hij bewees later dat dit een universele Turing-machine geeft, waarmee je in principe elke computerberekening kunt uitvoeren. Martin Gardner populariseerde Conway s spel, vooral in de wiskundige wereld. Stephen Wolfram (de grondlegger van het softwarepakket Mathematica) heeft in de jaren 80 veel bijgedragen aan de belangstelling voor CA s onder fysici. 6

7 2.2 Definities en voorbeelden Definitie 2.1 (Cellulaire Automaat) Een cellulaire automaat wordt gekarakteriseerd door: een verzameling gelijke cellen; elke cel kan op elk moment maar één toestand hebben; elke cel heeft eindig veel buren, en het ligt vast welke dat zijn; de toestand van de cellen verandert in discrete (tijds)stappen; er is een lokale (slechts van de cel en haar buren afhankelijke) overgangsfunctie die voorschrijft hoe de toestand van de cel van tijdstip t zich ontwikkelt naar die op tijdstip t + 1. Concreet vormen de cellen meestal een periodiek raster, van bijvoorbeeld vierkantjes, zeshoeken of driehoeken. Die kunnen op één lijn liggen, of een vlak vullen. Figuur 8 toont een paar mogelijkheden. Figuur 8: Een voorbeeld van cellen in een ééndimensionale ruimte, en drie in twee dimensies. Elke cel kan op een moment in één toestand zijn, en dat betekent dat zij één waarde heeft uit een eindige verzameling (van bijvoorbeeld kleuren, of getallen). De volgende toestand van een cel wordt bepaald door de huidige toestand van de cel én door de huidige toestanden van zijn buren. Als buren van een vierkante cel kunnen bijvoorbeeld alle acht de cellen eromheen optreden, maar ook alleen de vier die er echt aan grenzen. In Figuur 9 zijn twee mogelijke verzamelingen buren in een vierkantjesraster afgebeeld. Figuur 9: Links de acht buren van een cel volgens de regel van Moore (zoals in de Game of Life ), rechts de vier buren volgens de regel van von Neumann. 7

8 Als de verzameling cellen begrensd is, moet men ook afspreken hoe de ontwikkeling aan de rand verloopt. Er zijn twee mogelijkheden. Bij periodieke randvoorwaarden plakt men de linker- en rechterrand aan elkaar en ook de boven- en onderrand. In het voorbeeld hieronder zijn de buren van de donkerblauwe cel lichtblauw, enz. Bij vaste randvoorwaarden wordt rondom het raster een rand toegevoegd van cellen met vaste waarden. Figuur 10: Eindig raster met periodieke randvoorwaarden. De Moore-buren van de drie donkere cellen zijn aangegeven in de overeenkomstige lichtere kleur. 8

9 3 Verkeer 3.1 Verkeer meten Hoe kan men verkeer eigenlijk meten? Er zijn drie belangrijke grootheden die men kan meten: Definitie 3.1 De dichtheid ρ geeft aan hoe dicht de auto s op elkaar rijden. Men telt hiervoor het aantal auto s per eenheid wegdek: ρ = # auto s lengte wegdek Definitie 3.2 De stroom J geeft aan hoeveel auto s in een bepaalde tijd een vast meetpunt passeren: J = # auto s. tijdsduur Definitie 3.3 Met de snelheid v van de auto s op een weg bedoelen we de gemiddelde snelheid van die auto s. Nu vragen we ons af wat het verband is tussen deze drie grootheden. Een auto die met constante snelheid v rijdt, legt in tijd τ een afstand van vτ af. We bekijken Een auto die met constante snelheid v rijdt, legt in tijd τ een afstand van vτ meter af. het stuk van de weg van lengte vτ vóór een vast meetpunt. We bekijken het stuk van de weg van lengte vτ vóór een meetpunt. vτ meetpunt Op dit stuk bevinden zich ρ vτ auto s. Die zijn na tijd τ het meetpunt gepasseerd. De Opstroom dit stukj bevinden is dus ρvτ zich / τ = ρ vτ ρv. auto s. Die zijn na tijd τ het meetpunt gepasseerd. De stroom J is dus ρvτ τ = ρv. Hiermee hebben we de toestandsvergelijking afgeleid: J = vρ. Stel dat in de weg een meetlus ligt en we meten in een tijdsduur van T seconden dat er t seconden lang zich een auto boven de lus bevindt. Dan kunnen we ρ bepalen als we ook de gemiddelde lengte l van een auto weten: ρ = t T Opgave 4: Op een snelweg werd een gemiddelde snelheid van 120 km/h gemeten. Bij een controlepunt langs deze snelweg kwam gemiddeld elke 5 seconden een auto langs. Hoe groot is de dichtheid in auto s per km? 1 l.. Opgave 5: In een weg ligt een meetlus. In een meettijd van 5 minuten bevond zich gedurende in totaal 45 seconden een auto boven de meetlus. We nemen aan dat elke auto een lengte van 7,5 meter in beslag neemt. Hoe groot is de dichtheid in auto s per meter? 9

10 * Een belangrijk diagram in de verkeersanalyse is het fundamentaaldiagram. Hierin wordt de stroom J uitgezet tegen de dichtheid ρ. Op het eerste gezicht vermoed je misschien dat dit een rechte lijn wordt, wegens de vergelijking J = vρ. Dit klopt echter niet! Immers, hoe drukker het op defiguur weg wordt, 4. Zo vind hoeje minder buren hard bij een periodieke ran men kan rijden. De snelheid varieert dus ook! Hieronder vind je een voorbeeld van een fundamentaaldiagram. J J max ρ k ρ max ρ Figuur 11: Schematisch verloop van het fundamentaaldiagram voor J(ρ). Het fundamentaaldiagram bestaat uit twee delen. De dichtheid ρ waarvoor J maximaal is, noemen we de kritieke dichtheid ρ k. Links van ρ k is de dichtheid zo laag dat de auto s geen last hebben van hun voorgangers en zo hard kunnen rijden als ze zelf willen; dit is de ruim baan -tak van het diagram. Rechts van ρ k krijgen we filevorming: het wordt zo druk op de weg, dat het verkeer af moet remmen; dit noemen we de file-tak van het diagram. 3.2 Het Nagel-Schreckenberg model Het Nagel-Schreckenberg model (NaSch-model) is het uitgangspunt voor alle verdere modellen voor verkeerssimulatie door middel van cellulaire automaten. Het werd in 1992 door Kai Nagel en Michael Schreckenberg aan de Universiteit van Keulen ontwikkeld. In het model deelt men een eenbaansweg op in een rij van aangrenzende cellen. Elk van de cellen is bezet door een auto of is leeg. Auto s rijden altijd één kant op (als we hier niks over zeggen, laten we de auto s van links naar rechts rijden). Figuur 12: Het NaSch-model. De straat wordt in cellen verdeeld, die elk door een van links naar rechts rijdende auto bezet kunnen zijn. Op de auto s staat de snelheid vermeld. Het NaSch-model is geheel discreet. De lengte van een cel stelt de ruimte voor 10

11 die een auto inneemt, inclusief de tussenruimte met zijn voorganger. We kiezen als lengte l = 7,5 m. Ook de tijd verloopt in dit model, net als bij de andere cellulaire automaten, in discrete stappen. We nemen als tijdseenheid de seconde. Het ligt dan ook voor de hand om voor de snelheid van auto s in het model een discrete verzameling mogelijkheden toe te laten: de snelheid geeft aan hoeveel cellen de auto per seconde aflegt. We laten als snelheid de waarden 0,1,2,3,4,5 toe. Omdat we tijdseenheid en cellengte al hebben bepaald, kunnen we deze waarden omrekenen naar echte snelheden. Opgave 6: Met welke werkelijke snelheid in km/h komt v = 2 overeen? Het update-algoritme van het NaSch-model, dat de toestand van de CA op tijdstip τ in de toestand op τ + 1 omzet, bestaat uit enkele deelstappen die op elke auto van toepassing zijn. We schrijven daarbij x n (τ) voor de positie die de n-de auto op tijdstip t = τ heeft, v n (τ) voor diens snelheid en d n (τ) voor het aantal vrije cellen tussen de n-de auto en diens voorganger n 1. Elke stap moet tegelijkertijd op alle auto s toegepast worden. Definitie 3.4 (NaSch-model, deterministisch) Stap 1: optrekken: v n(τ + 1) := min(v n (τ) + 1, v max ) Stap 2: remmen: v n (τ + 1) := min(v n(τ + 1), d n (τ)) Stap 3: rijden: x n (τ + 1) := x n (τ) + v n (τ + 1) In Stap 1 wordt de huidige snelheid v n (τ) van auto n met 1 verhoogd, tenzij hij al met de maximumsnelheid v max rijdt. In dat geval kan hij niet verder optrekken. De maximumsnelheid hangt af van het gekozen model, in ons voorbeeld is v max = 5 (cellen per tijdseenheid). In de tweede stap wordt bekeken of de zo berekende snelheid daadwerkelijk gerealiseerd kan worden: een cel kan namelijk door ten hoogste één auto tegelijkertijd bezet worden. Daarom kan de snelheid v n(τ + 1) alleen bereikt worden als de tussenruimte d n (τ) tot de voorganger groot genoeg is. Anders mag slechts doorgereden zover als de tussenruimte toestaat. Zo worden aanrijdingen in het model voorkomen. In de laatste stap rijdt elke auto vervolgens het aantal stappen met de toegestane snelheid v n (τ + 1) vooruit. Het is belangrijk dat het daadwerkelijk om parallelle updates gaat: eerst wordt voor alle auto s Stap 1 uitgevoerd, en daarna Stap 2. Pas daarna mogen de auto s rijden. We noemen het NaSch-model deterministisch omdat toeval geen rol speelt, net als bij de Game of Life. Wat doen we met auto s aan de rand, oftewel, wat zijn de randvoorwaarden? We kunnen ervoor kiezen de rechterrand als leeg te definiëren: dan verlaten de auto s vroeg of laat de straat, en verdwijnen. Analoog kan men ook de linkerrand leeg definiëren. Dat zou er toe leiden dat dat auto s uiteindelijk naar 11

12 rechts verdwijnen en er geen nieuwe voertuigen bij komen. Het is zinvoller om na elk tijdsstapje in de cel uiterst links een voertuig met een bepaalde snelheid, bijvoorbeeld v = 1, te laten ontstaan. Maar het meest gebruikelijk zijn periodieke randvoorwaarden. Daarbij wordt in gedachten de rechterrand van de cel uiterst rechts met de linkerrand van de cel uiterst links verbonden. Zo n simulatie heeft het voordeel dat het aantal voertuigen (en daarmee ook de verkeersdichtheid) constant is. In Figuur 13 wordt een voorbeeld van het algoritme voor periodieke randvoorwaarden gegeven. In de gegeven uitgangspositie worden eerst twee iteraties uitgevoerd. Daarbij is v max = 3. Figuur 13: Het deterministische NaSch-model met periodieke randen en v max = 3. Er worden twee iteraties uitgevoerd. Opgave 7: Voer in Figuur 13 ook de volgende twee iteraties uit. Als men het NaSch-model eenmaal goed heeft begrepen, dan kan men de tussenstappen natuurlijk ook uit het hoofd uitvoeren, en onmiddellijk de toestand weergeven voor het volgende tijdstip. Dan volstaat een eenvoudige tabel met getallen (zie Tabel 1). Opgave 8: Vul in Tabel 1 ook de overige cellen correct in. 12

13 t= t= t=2 t=3 t=4 t=5 t=6 t=7 Tabel 1: Het deterministische NaSch-model met periodieke randen voor v max = 5. De tussenstapjes zijn overgeslagen. Als men door middel van het deterministische NaSch-model realistisch een straat wil simuleren, dan blijkt al snel dat een waarheidsgetrouw rijgedrag zo niet gemaakt kan worden. Daarom hebben Nagel en Schreckenberg nog een extra stap ingevoerd, die de menselijke beperkingen beter nabootst: Definitie 3.5 (NaSch-model, gerandomiseerd) Stap 1: optrekken: v n(τ + 1) := min(v n (τ) + 1, v max ) Stap 2: remmen: v n(τ + 1) := min(v n(τ + 1), d n (τ)) { max(0, v Stap 3: treuzelen: v n (τ + 1) := n(τ + 1) 1) v n(τ + 1) Stap 4: rijden: x n (τ + 1) := x n (τ) + v n (τ + 1) met kans q met kans 1 q Op de extra stap na, komt de gerandomiseerde variant overeen met de deterministische. Na de optrekstap en de remstap wordt door het toeval bepaald of de theoretisch mogelijke snelheid ook daadwerkelijk bereikt wordt, of daar door getreuzel één eenheid onder blijft. De kans q waarmee dat gebeurt noemen we de treuzelfactor. De verwachte snelheid is dan q max(0, v n(τ + 1) 1) + (1 q) v n(τ + 1), wat voor q = 0 net als in het deterministische geval de snelheid na het remmen uit Stap 2 is. Het toevalskarakter van het model betekent echter ook dat gelijke beginsituaties maar zelden tot dezelfde eindtoestand zullen leiden. De automaat is dan ook niet-deterministisch. Opgave 9: In Tabel 2 worden enkele iteraties van het gerandomiseerde NaSch model (v max = 5, q > 0, periodieke randen) getoond. a) Welke auto heeft helemaal niet getreuzeld? b) Kan de waarde van de treuzelfactor q uit Tabel 2 achterhaald worden? Op de home-page van de Universiteit Duisburg-Essen is een applet te vinden dat 13

14 Auto A B C D E F G t= t= t= t= t= t= t= t= Tabel 2: Het gerandomiseerde NaSch-model met periodieke randen en v max = 5. Eén van de auto s heeft nooit getreuzeld. een cirkelvormige straat met het NaSch-model simuleert. Men kan er dichtheden en treuzelfactoren instellen. In een voortdurend geactualiseerd afstand-tijddiagram worden de diverse snelheden van de auto s met verschillend gekleurde pixels aangegeven. Rood geeft daarbij een stilstaande, en groen een met maximale snelheid rijdende auto aan. Kies je q > 0, dan ontstaat voor voldoend grote dichtheden een beeld dat erg lijkt op dat van Figuur 14. Men herkent een spontane file en een tegen de rijrichting ingaande file-golf. Link naar de applet: DerivateServlet/Derivate-191/nagel_schreckenberg_modell_2.htm Figuur 14: Sporen in het NaSch-model. Links een simulatie met q = 0,5 bij v max = 5, rechts met q = 0,25 en ρ = 0,2. Files zijn grijs. We willen ook nog even terugkomen op het eerder genoemde fundamentaaldiagram. Zoals eerder genoemd geldt links van de kritieke dichtheid ρ k dat de auto s geen last hebben van hun voorgangers: hier moet dus gelden dat voor elke auto minimaal v max cellen vrij zijn. Rechts van ρ k geldt daarentegen juist dat er minder dan v max cellen vrij zijn. Hieruit zien we dat voor de kritieke dichtheid ρ k geldt dat er voor elke auto precies v max cellen vrij zijn. Tellen we ook de cel van een auto zelf mee, zien we dus dat ρ k = 1 v max+1 en dus J max = vmax v. max+1 14

15 3.3 Onbereikbare Toestanden in het NaSch-model Onbereikbare Toestanden (Engels: Garden of Eden States) zijn toestanden die niet spontaan ontstaan kunnen zijn vanuit de dynamiek van het systeem. Een onbereikbare begintoestand kan slechts als begintoestand bestaan, en kan niet voortkomen uit een andere toestand. Een Onbereikbare Toestand (OT) is een toestand die uitsluitend kan zijn ontstaan vanuit een onbereikbare begintoestand, eventueel na meerdere stappen in de cellulaire automaat. Toestanden worden niet als onbereikbaar beschouwd als ze kunnen voortkomen uit een begintoestand waarin alle auto s snelheid 0 hebben. Voor v max = 1 zijn de enige twee OT s (met twee auto s) in Figuur 15 weergegeven. Figuur 15: De twee onbereikbare toestanden voor v max = 1. Toestand A kan niet ontstaan zijn omdat de linkse auto zich in de laatste tijdsstap niet voortbewogen heeft, terwijl daarentegen de rechtse auto zich eerder een cel verder naar links bevonden moet hebben. Dus toen stonden de beide auto s in dezelfde cel, wat in tegenspraak is met de regels. Opgave 10: Ga na dat situatie B ook onbereikbaar is. Bij strikte toepassing van de regels van het deterministische NaSch-model zou ook de situatie als in A maar dan met een lege cel tussen de twee auto s een Onbereikbare Toestand zijn: de voorste auto heeft al snelheid 1, en dus moet er een stap aan de huidige situatie voorafgegaan zijn, maar dan kan de achterste auto helemaal niet stil staan! Daarom zullen we vanaf nu voor het bepalen van Onbereikbare Toestanden een kleine variatie op het deterministische NaSchmodel toepassen, waarin een auto die snelheid 0 heeft ook in de volgende stap nog snelheid 0 mag hebben, zelfs als er lege cellen voor hem zijn. De tot dusverre behandelde configuraties waren allemaal OT s van de eerste orde: het gaat al fout bij de eerste tijdsstap terug. Vanaf v max = 2 zijn er ook OT s van hogere orde. Bij een OT van orde n kun je n 1 stappen terug in de tijd doen waarin aan de regels is voldaan. Pas wanneer je n stappen terug wilt gaan zie je dat deze toestand alleen uit een onbereikbare begintoestand kon ontstaan. 15

16 Opgave 11: Geef de tien onbereikbare toestanden voor twee auto s met v max = Stadsverkeer Tot nu toe hebben we alleen het verkeer op een enkele straat bekeken. Zulke beschouwingen gelden slechts voor lange snelwegen. In een stad is het verkeer niet één- maar tweedimensionaal: de straten verlopen in verschillende richtingen en kruisen elkaar. Hiervoor zijn verschillende modellen ontwikkeld. In één van de modellen ligt het stratennet in een vierkantjesraster; de wegen lopen noordzuid en oostwest. De auto s rijden op de kruispunten rechtdoor; er mag niet worden afgeslagen. De snelheid van de auto s is bijvoorbeeld 0, 1 of 2 (zonder waarden daartussen). Op de kruispunten staan verkeerlichten. Die werken volgens een periodiek schema: alle groen-rood-periodes zijn hetzelfde. Omdat het even duurt voordat een auto een volgende kruising met verkeerslicht bereikt, is het zinvol opvolgende verkeerslichten niet gelijktijdig op groen te laten staan, maar met een faseverschuiving. Men kan proberen de verkeerslichten zo af te stellen dat er een zogenaamde groene golf ontstaat. straat A B C Figuur 16: Lokaal verkeer met drie verkeerslichten. 16

17 Opgave 12: In Figuur 16 staat het stratennet van een rustig stadje waar helaas ook grote wegen voor het doorgaande verkeer doorheen lopen (dat zijn de doorgetrokken lijnen). We nemen de straat als lengte-eenheid. De auto s rijden met snelheid 1, dat wil zeggen dat ze 1 straat afleggen per tijdseenheid. De rijrichtingen van de éénrichtingswegen zijn op de wegen aangegeven. Er zijn drie verkeerslichten: A, B en C. Die moeten zó worden afgesteld dat er voor alle richtingen een perfecte groene golf is, dat wil zeggen dat de auto s na het eerste verkeerslicht overal kunnen doorrijden. Gezien het verkeersaanbod moeten A en B twee keer zo lang op groen staan voor het verkeer in de noordzuid-richting als voor de oostwest-richting. De verkeerslichten werken periodiek. Kies als tijdstip 0 een moment dat A op groen springt voor de noordzuid-richting. Bepaal op welke momenten de verkeerslichten B en C voor de noordzuid-richting op groen springen. straat A B C D Figuur 17: Lokaal verkeer met vier verkeerslichten. Opgave 13: Vanwege het lokale verkeer (o.a. fietsende scholieren) wordt in de verkeerssituatie van opgave 12 een vierde verkeerslicht D geplaatst. Zie Figuur 17. Dat moet voor de noordzuid-richting op groen staan gedurende de tijdsintervallen [1, 3], [7, 9], [13, 15], [19, 21], enz. Hoe moeten de verkeerslichten A, B en C worden afgesteld, zo dat: er voor alle richtingen een perfecte groene golf is, A en B voor de noordzuid-richting twee keer zo lang op groen staan als voor de oostwest-richting? Vermeld voor elk verkeerslicht A, B en C: de tijdsduur T dat het op groen staat voor de noodzuid-richting; het eerste moment na tijdstip 0 waarop het op groen springt voor de noordzuid-richting. 17

18 4 Tot slot Dit was slechts een eerste inkijk in de wereld van de cellulaire automaten. Er zijn talloze andere toepassingen, maar voor de Sum of Us-ronde zullen we enkel toepassingen op verkeerssimulaties beschouwen,. Ook dit jaar zijn rekenmachines absoluut niet nodig voor het maken van de opgaven, maar het gebruik is wel toegestaan. Dan rest ons enkel nog jullie veel plezier te wensen bij de voorbereiding op het 3de Wiskundetoernooi! Figuur 18: Wiskunde loont: de 1-miljoen-vraag in een Duitse aflevering van Wie wordt euromiljonair 18