Tentamen Dynamische Systemen ( of ) 15 maart 2000, 13:30 17:00 u.

Transcriptie

1 Universiteit Twente Faculteit Elektrotechniek Leerstoel egeltechniek Aanwijzingen Tentamen Dynamische Systemen (465 of 465) 5 maart, 3:3 7: u. Dit tentamen bestaat uit meerkeuze-vragen met elk 4 alternatieven en 3 of 4 'open' opgaven, verdeeld over de stof zoals beschreven in het cursusmateriaal Dynamische Systemen: modelvorming en simulatie met bondgrafen, leereenheden tot en met, deel 4 hoofdstuk en Numerical Methods for omplex ODE / DAE systems voor het deel Numerieke Wiskunde van dit vak. Elke meerkeuzevraag telt even zwaar. Per meerkeuze-vraag is één punt te scoren, per open vraag punten. Het resultaat zorgt voor 6% van het eindcijfer aan het einde van dit trimester (computer instructie %, toets in februari 3%). Op elke meerkeuze-vraag is slechts één goed antwoord mogelijk. Een fout antwoord, niet invullen, of meer dan één antwoord invullen, levert niets op. Voor een fout antwoord worden geen punten afgetrokken. Het is dus zinvol geen enkele meerkeuze-vraag onbeantwoord te laten. Op de volgende bladzijde is een voorbeeld gegeven van (een deel van) het antwoordformulier. Afgezien van uw persoonlijke gegevens, moet alleen het gedeelte meerkeuzevragen, linksboven, worden ingevuld. U kunt dit voorbeeld van het formulier gebruiken als kopie van uw antwoordformulier. Vul op het antwoordformulier uw naam en adres, evenals uw studentnummer in en neem dit volgens de pijlen over in de vakjes. Let op de invulinstructie. Zet uw handtekening op de achterzijde van het formulier. Gebruik voor het invullen van het antwoordformulier t.b.v. de meerkeuzevragen een HBpotlood en een vlakgom (in noodgevallen te koop tijdens het tentamen). Begin de antwoorden van elke open opgave steeds op een nieuwe pagina, om het nakijkwerk efficiënt te laten verlopen. Dynamische Systemen zonder Numerieke Wiskunde ( sp): Vakcode 465 invullen op tentamenbriefje De laatste open opgave niet maken. Dynamische Systemen met Numerieke Wiskunde (,5 sp): Vakcode 465 invullen op tentamenbriefje Alle opgaven maken. Succes!

2 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, 5-3- van

3 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, 5-3- Meerkeuze opgaven. Gegeven is de volgende junctiestructuur: :e :e De constitutieve relaties in de berekenbare vorm die met de causaliteit correspondeert, zijn: :e3 e e e3 = f 3 f e = e f = f f = f f3 = f f3 = f e = e + e Geen van de antwoorden a-c is 3 f = f juist. = e 3. Welke van de onderstaande uitspraken is waar en volledig? Bij een blokschema expansie van een bondgraaf vertaalt de richting van een halve pijl zich in de pijlrichting bij twee signaalpijlen vertalen de causale streepjes bij de junctiepoorten zich in de tekens van de sommatoren vertaalt de richting van een halve pijl bij junctiepoorten zich in een teken bij de sommatoren vertaalt een -junctie zich in een sommatie 3. Het blijkt dat een bondgraaf causale conflicten oplevert, tijdens het toekennen van de voorkeurscausaliteiten. Dit betekent dat de bondgraaf geen dynamica bevat afhankelijke buffers bevat algebraïsche lussen bevat geen van bovenstaande antwoorden is juist. 4. Het aantal vrij te kiezen beginwaarden van een bondgraaf wordt bepaald uit: het totaal aantal buffers. de -buffers aan -juncties plus de -buffers aan -juncties de buffers met integrerende voorkeurscausaliteit de buffers die zowel bij integrerende voorkeurscausaliteit als differentiërende voorkeurscausaliteit de voorkeurscausaliteit krijgen 3 van

4 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, Gegeven is de volgende bondgraaf ( is een lineaire -poort ): Se TF GY Gevraagd: Welke van de volgende bondgrafen is op de juiste manier causaal gemaakt, uitgaande van integrerende voorkeurscausaliteit? Se TF GY Se TF GY Se TF GY Se TF GY 6. Welke van de onderstaande uitspraak is waar en volledig? Voor een bondgraaf met n bonds en m buffer-poorten geldt dat deze bestaat uit: n constitutieve relaties n constitutieve relaties en n poorten n constitutieve relaties, n poorten en m onafhankelijke toestandsvariabelen n constitutieve relaties en m onafhankelijke toestandsvariabelen 4 van

5 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, Gegeven de constitutieve relatie e = a tan(α), waarbij a een parameter is en α wordt berekend als de integratie van de flow f. Met welk bondgraaf element kan deze constitutieve relatie het best worden weergeven, wanneer men geïnteresseerd is in de causale paden (dynamische structuur) van de bondgraaf waarin dit element voorkomt? een MSe een MTF een een 8. Bij de systematische methode voor het opstellen van een bondgraaf vanuit een PM worden de referenties (of referentie in geval van domein): alleen in het PM aangegeven alleen in de bondgraaf aangegeven zowel in de bondgraaf als in het PM aangegeven wel benoemd, maar noch in de bondgraaf, noch in het PM aangegeven 9. Gegeven de bondgraaf van een netwerk gevoed door een spanningsbron, waarvan de weerstand is uitgevoerd als gloeidraad die flink gaat gloeien. Een aantal thermische effecten is meegenomen in dit model: :c :c :se S S :se Gevraagd: Wat stellen,, Se en Se hierin voor? is de warmtecapaciteit van de gloeidraad is de elektrische condensator Se is de omgevingstemperatuur Se is de voedingsbron is de elektrische condensator is de warmtecapaciteit van de gloeidraad Se is de voedingsbron Se is de omgevingstemperatuur is de elektrische condensator is de elektrische capaciteit van de gloeidraad Se is de voedingsbron Se is de omgevingstemperatuur is de elektrische capaciteit van de gloeidraad is de elektrische condensator Se is de omgevingstemperatuur Se is de voedingsbron 5 van

6 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, Gegeven is de energiefunctie van een niet-lineaire buffer: E = Eq (, q ) = aq + bq q + cq Wat is de juiste lineaire beschrijving van kleine variaties van e en e rondom een bepaalde toestand (q,, q, ) in matrix-vorm? é a bq ù, êbq, bq, + cú ë û La b O NM b cqp L N M a + bq bq,, bq c, O Q P é + ù a bq, 4bq,q, + êë 4bq,q, bq, cú û. Gegeven de energiefunctie van een niet-lineaire buffer (andere dan bij vraag ): E = Eq (, q ) = aq + bqq + cq Wat is de juiste koppelfactor k in het werkpunt (q,, q, )? bq, ( + bq ) ac, 4( bq,q, ) ( a+ bq,)( c+ bq, ) bq, ( + bq ) ac, bq q,, ( ) ( a+ bq ) c+ bq,,. Gegeven een systeem bestaande uit een puntmassa m [kg] die met een hoeksnelheid ω [rad/s] horizontaal ronddraait aan een veer met lengte x en rustlengte l [m] en een veerconstante K [N/m]. De energiefunctie is: b K( x- l) Ebx (, ) = + mx Onder welke voorwaarde is dit systeem intrinsiek stabiel in de toestand (b, x )? b Kx ( - l) > mx b K( x- l) = mx 3 3 K = b / mx 4 K > b / mx 4 3. Gegeven de volgende bondgraaf: : : :eg :r y : Welke kringversterkingen zijn in de gegeven bondgraaf aanwezig, wanneer de graaf met de voorkeurscausaliteit causaal wordt gemaakt? : 6 van

7 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, 5-3- s,, r s s sr, r, s s, r, s s sr, s, r 4. Gegeven is de volgende junctiestructuur: Port3 Port De constitutieve relaties in de berekenbare vorm die met de causaliteit correspondeert, zijn: Port e= e f + f - f = 3 e = e 3 e= e f = f + f 3 e = e 3 e= e f = f -f 3 e3 = e De causaliteit is onjuist. 5. Gegeven zijn de volgende 4 mechanische systemen F v ) F ) v 3) 4) NB: F en v duiden ideale kracht respectievelijk snelheidsbronnen aan. Gevraagd: Bij welke van deze systemen is de integrerende voorkeurscausaliteit in de bijbehorende bondgraaf niet voor alle elementen aanwezig? alleen bij systeem is de voorkeurscausaliteit niet voor alle elementen aanwezig bij alle van de vier systemen is de voorkeurscausaliteit wel voor alle elementen aanwezig bij systeem en 4 is de voorkeurscausaliteit niet voor alle elementen aanwezig bij systeem en 3 is de voorkeurscausaliteit niet voor alle elementen aanwezig 7 van

8 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, Gegeven is het volgende mechanisch systeem: K F m m Gevraagd: Welke van de volgende bondgrafen beschrijft dit systeem? Se Se Se Se 7. Gegeven is de onderstaande bondgraaf: m /K L Se TF e_in n GY r e_uit d e Gevraagd: Wat is de voorwaartse padversterking van e in naar e uit? nr nk e smr nr e smk nk 3 smrl 8. Volgens de regel van Mason geldt voor het onderstaand circuit: u u /u b = S P i D i / D met D = S L i + S L i L j - S L i L j L k... L ub 8 van

9 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, 5-3- Gevraagd: Welke waarde heeft D bij integrerende causaliteit? + s ( L + ) + sl sl sl + s ( + L) + + sl sl + s ( + L) + + sl+ s + + ( L ) sl 9. Een ideale fietsdynamo is, qua gedrag met betrekking tot energie en vermogen, analoog aan: een ideale weerstand een ideale spoel (zelfinductie) een ideale elektrische transfomator een ideale elektromotor. Wanneer een star voorwerp met massa m zich met snelheid voorbeweegt dan is mv : de impuls van het voorwerp het vermogen van het voorwerp twee maal de energie van het voorwerp twee maal de co-energie van het voorwerp Opgaven met open vragen (Gaarne de antwoorden elke open opgave op een apart vel beginnen, om het nakijkwerk efficiënt te laten verlopen) A Karakterisering bondgraaf Gegeven de volgende bondgraaf, met lineaire elementen: Se TF GY eg n r 3. Maak de gegeven bondgraaf causaal. Geef de bonds een volgnummer om het proces van causaal maken te tonen.. Wat is de orde van het systeem? Wat is de orde van het stelsel toestandsvariabelen? Motiveer uw antwoord zonder vergelijkingen op te stellen. 3. Vereenvoudig de graaf indien mogelijk. Motiveer ook hier uw antwoord zonder het stelsel toestandsvergelijkingen op te stellen 4. Leidt het stelsel toestandsvergelijkingen in matrixvorm af. De eventuele vereenvoudigingen bij het vorige onderdeel kunt U het beste als uitgangspunt nemen. N.B.: zorg dat de verkregen A matrix regulier is. ontroleer dit antwoord op consistentie met onderdeel en 3. 9 van

10 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, 5-3- B Elektrische transformator (Gaarne op nieuwe pagina beginnen met deze opgave te beantwoorden) Een elektrische transformator bestaat uit twee magnetisch gekoppelde spoelen. Verliezen mogen worden verwaarloosd, maar energieopslag niet. De zelfinductie van de spoelen zijn L [H] ("eerste poort") en L [H] ("tweede poort"). De wederkerige inductie van de spoelen in deze configuratie is M [H]. Er mag worden verondersteld dat de constitutieve relaties van dit systeem lineair zijn. Gegeven is dat er op elk van de twee poorten van deze transformator een bron is aangesloten.. Maak een bondgraafmodel en geef de variabelen aan. s het fysisch gezien zinnig om de bronnen door ideale stroombronnen te benaderen? Beargumenteer uw antwoord.. Schrijf de constitutieve relaties van de elektrische transformator in de voorkeurscausaliteit. Gegeven is dat L = M = µh, L = µh. De bronnen leveren een periodieke spanning als functie van de tijd op de poorten (, ) af, waarbij de signaalvormen als volgt zijn: n N, d.w.z. n = {,,3,...} voor t : u = u = V voor 4(n-) < t 4(n-) + : u = + V en u = V voor 4(n-) + < t 4(n-) + : u = V en u = - V voor 4(n-) + < t 4(n-) + 3: u = - V en u = V voor 4(n-) + 3 < t 4n: u = V en u = + V Op t = zijn beide spoelen stroomloos. Het vermogen dat de eerste poort (met gegeven spanning u (t)) binnengaat heet P en het vermogen dat de tweede poort binnengaat heet P. De gekoppelde fluxen van de eerste respectievelijk de tweede spoel zijn λ en λ. 3. Teken op één pagina de signalen u, u, λ, λ, i, i, P, P als functie van de tijd, alle onder elkaar tegen dezelfde schaal op de tijd-as. Geef alle belangrijke punten op de assen duidelijk aan. (Belangrijke punten zijn de waarden van de variabelen op de tijdstippen dat de spanningen van waarden veranderen.) De schalen van de verticale assen hoeven niet gelijk te worden gekozen, maar juist zodanig dat de grootste absolute waarde die de variabele aan kan nemen ongeveer overeenstemt met de beschikbare ruimte. Gebruik zoveel mogelijk een liniaal / geodriehoek om de signalen te tekenen. 4. Teken (gebruik ook hier zoveel mogelijk een liniaal) de karakteristieken van de poorten van de elektrische transformator en geef het proces zoals beschreven bij onderdeel 3) hierin duidelijk aan; verwijs hierbij zoveel mogelijk naar de beschrijving van het proces bij onderdeel 3). Hoe noemt men een dergelijk proces? 5. Geef de hoeveelheid energie die in 4 tijdseenheden van de ene naar de andere poort wordt overgedragen aan zowel in de signalen getekend bij onderdeel 3) als in de karakteristieken getekend bij onderdeel 4). Bepaal tevens hieruit de waarde van deze hoeveelheid energie. Geef ook aan welke poort ( en/of ) energie levert aan de erop aangesloten spanningsbron. 6. Bewijs dat de elektrische transformator te decomponeren is tot de volgende twee-poort en druk, en n uit in L, L en M. (Ofwel, laat zien dat voor alle waarden van e, f e en f het verband tussen deze variabelen in beide tekeningen hetzelfde is). s een causaal gemaakte bondgraaf van de decompositie noodzakelijk? Verklaar uw antwoord. e Port f TF n e f Port van

11 by Jan F. Broenink Tentamen Dynamische Systemen, Voor de koppelfactor k wordt nu de waarde genomen. s de transformator nog verder te vereenvoudigen? Zo ja, voer deze vereenvoudiging uit en druk de parameters van de vereenvoudigde graaf uit in L, L, M en/of k. Toon aan (net zo als bij onderdeel 6) dat de vereenvoudiging geoorloofd is. 8. s de omzetter nog verder te vereenvoudigen? Zo ja, wat wordt er dan ideaal verondersteld? Geef met een bondgraaf aan wat het resultaat is en toon weer aan hoe de nieuwe parameter uit te drukken is in de oorspronkelijke. Bondgraaf opstellen (Gaarne op nieuwe pagina beginnen met deze opgave te beantwoorden) Gegeven is het volgende ideaal fysisch model (PM): L ig 3 K J K J r J3 d d m d3 4 Het motorhuis zit vast aan de as door J. De massa m hangt in het water.. Stel mbv de systematische methode een bondgraaf van dit systeem op. Laat de verschillende stappen uit het voorschrift duidelijk zien. Om bij verschillende stappen zaken in het PM aan te geven hoeft U maar éénmaal het PM te tekenen en daarin alles aan te geven. Echter, dan wel kort aangeven waaruit de betreffende aktie bestaat.. Maak de opgestelde bondgraaf causaal, en zet bij elk causaal streepje een cijfer dat de volgorde van aanbrengen aangeeft. D Numerieke Nauwkeurigheid Deze opgave hoeft alleen te worden gemaakt voor het vak DynSys inclusief Numerieke Wiskunde (465 dus). Gaarne op nieuwe pagina beginnen met deze opgave te beantwoorden.. Ga uit van de eerste-orde test vergelijking, en vergelijk de oplossing numeriek berekend met forward Euler met de analytische oplossing. De testvergelijking is: x(t)= lx(t) x()=x Bereken hiertoe het verschil van de analytische en numeriek berekende oplossing. Gebruik een reeksontwikkeling van e lt. Geef hierbij de orde-grootte van de fout aan.. Druk de tijdstap h uit in de tijdconstante t van het systeem (de testvergelijking) om nog een zinvolle numerieke benadering te krijgen, met een relatieve fout van minder dan % van

12 : c Antwoorden Meerkeuzevragen Tentamen Dynamische Systemen (465 / 465) :3-7:. 8: a 5: a : c 3: b 4: c 5: b 6: b 7: d 9: b : d : b : d 3: a 4: c 6: c 7: c 8: c 9: d : d