Lijfrentes in de 17e en 18e eeuw

Transcriptie

1 1 Lijfrentes in de 17e en 18e eeuw Jan P. Hogendijk Mathematisch Instituut, Utrecht augustus 2009

2 2 Overzicht Inleiding Renteberekeningen omstreeks 1585 Lijfrentes bij Jan de Witt (1671) Lijfrentes bij Nicolaas Struyck ( ) Uitleiding

3 3 Geschiedenis van de Wiskunde in de Noordelijke Nederlanden 1581 Val van Antwerpen; Leiden werd centrum

4 3 Geschiedenis van de Wiskunde in de Noordelijke Nederlanden 1581 Val van Antwerpen; Leiden werd centrum Simon Stevin ( ): Wiskunde ( wisconst ) moet in het Nederlands!

5 3 Geschiedenis van de Wiskunde in de Noordelijke Nederlanden 1581 Val van Antwerpen; Leiden werd centrum Simon Stevin ( ): Wiskunde ( wisconst ) moet in het Nederlands! Universiteit, rekenmeesters /landmeters, en tussenvorm: Duytsche Mathématique (vanaf 1600)

6 3 Geschiedenis van de Wiskunde in de Noordelijke Nederlanden 1581 Val van Antwerpen; Leiden werd centrum Simon Stevin ( ): Wiskunde ( wisconst ) moet in het Nederlands! Universiteit, rekenmeesters /landmeters, en tussenvorm: Duytsche Mathématique (vanaf 1600) Bloeitijd tot 1660 (Descartes, van Schooten, Chr. Huygens), daarna langzame afname.

7 4 Renteberekeningen omstreeks 1585 (Simon Stevin) Probleem I: wat is de contante waarde van een betaling van 100 gulden over 1 jaar als de rentestand 4 procent is.

8 4 Renteberekeningen omstreeks 1585 (Simon Stevin) Probleem I: wat is de contante waarde van een betaling van 100 gulden over 1 jaar als de rentestand 4 procent is = 96 gulden 3 stuivers... ( = 96, ).

9 4 Renteberekeningen omstreeks 1585 (Simon Stevin) Probleem I: wat is de contante waarde van een betaling van 100 gulden over 1 jaar als de rentestand 4 procent is = 96 gulden 3 stuivers... ( = 96, ). En over 6 maanden? [Men was het daar niet over eens ? = 98, ].

10 4 Renteberekeningen omstreeks 1585 (Simon Stevin) Probleem I: wat is de contante waarde van een betaling van 100 gulden over 1 jaar als de rentestand 4 procent is = 96 gulden 3 stuivers... ( = 96, ). En over 6 maanden? [Men was het daar niet over eens Later: 100? = 98, ] = 98,

11 5 Renteberekeningen omstreeks 1585 (Simon Stevin) Probleem II: wat is de contante waarde van een betaling van termijnen van 100 gulden per jaar, gedurende 30 jaar, als de rentestand 4 procent is? Antw gulden 4 stuivers...

12 5 Renteberekeningen omstreeks 1585 (Simon Stevin) Probleem II: wat is de contante waarde van een betaling van termijnen van 100 gulden per jaar, gedurende 30 jaar, als de rentestand 4 procent is? Antw gulden 4 stuivers... Hiervoor werden rentetabellen opgesteld, bijv. door Stevin

13 6 Rentetabel van Simon Stevin Jr. I II Jr. I II Jr. I II

14 Jan de Witt ( ) Raadspensionaris Boek over algebraı sche vergelijkingen van kegelsneden (toen iets nieuws!!) Lijfrenten (1671) 7

15 8 Principe van lijfrentes Iemand kan bij de overheid een lijfrente kopen op het lijf van iemand anders (bijv. een jong kind). Zolang dat lijf leeft, krijgt de koper een vaste uitkering per jaar. Bijv. een uitkering van 1000 per jaar werd verkocht voor een inleg van (inleg: jaarlijkse uitkering = 11:1). Systeem bestaat al sinds 1400; inleg vastgesteld door natte-vingerwerk. Altijd te laag, en dus onvoordelig voor de overheid.

16 9 Waardije van lijfrentes naar proportie van losrentes Van Jan de Witt (1671); eerste wetenschappelijk geschrift over lijfrentes. Overheid had geld nodig (1672 rampjaar). Conclusie: Voor een uitkering van 1000 per jaar minstens inleg nodig. Inleg : jaarlijkse uitkering = 16:1.

17 9 Waardije van lijfrentes naar proportie van losrentes Van Jan de Witt (1671); eerste wetenschappelijk geschrift over lijfrentes. Overheid had geld nodig (1672 rampjaar). Conclusie: Voor een uitkering van 1000 per jaar minstens inleg nodig. Inleg : jaarlijkse uitkering = 16:1. Politiek niet haalbaar. Conclusie: lijfrentes werden verkocht met inleg: jaarlijkse uitkering = 14 : 1.

18 10 Waardije van lijfrentes naar proportie van losrentes We gaan uit van een lijf van 3 jaar en 0 maanden, en een uitkering van stuivers (= gulden) per half jaar. Rentestand is 4 procent. Als het lijf binnen een half jaar doodgaat, dan hoeft de overheid niets te betalen. Als het lijf sterft op een leeftijd tussen 3,5 jaar en 4 jaar, moet over een half jaar uitgekeerd worden, contante waarde 100 is = stuivers. Als het lijf sterft tussen 4 en 4,5 jaar, moet over een half jaar en over een jaar uitgekeerd worden, contante waarde is in totaal = stuivers. Als het lijf tussen 79,5 en 80 jaar sterft, moet in totaal 153 keer een uitkering gedaan worden, contante waarde is in totaal stuivers.

19 11 Waardije van lijfrentes naar proportie van losrentes Idee: inleg is som van (sterftekansen maal contante waarden). Aanname over (onvoorwaardelijke) sterftekansen. Het leven bestaat uit vier periodes: Van 3 tot 53 jaar: Tussen 53 en 63 jaar. Tussen 63 jaar en 73 jaar. Tussen 73 jaar en 80 jaar. Sterftekansen (per half jaar) zijn in elke periode constant, en in de vier perioden verhouden ze zich als 2:3:4:6. Inleg is: = /128 = stuivers = gulden Voor gulden per jaar, in twee halfjaarlijkse uitkeringen.

20 12 Waardije van lijfrentes naar proportie van losrentes De Witt heeft een praktijkvoorbeeld nagerekend van lijfrentes die omstreeks 1580 in Den Haag afgesloten waren. In een register waren de leeftijden bijgehouden die de lijven bereikt hadden. Bewaard is (in de correspondentie van Huygens) een database voor een soortgelijke berekening gedaan door Johannes Hudde ( ), burgemeester van Amsterdam en een heel goed wiskundige. Conclusie: inleg : jaarlijkse uitkering 18:1. (Politiek nog minder haalbaar)

21 Basis van Hudde s berekening 13

22 Basis van Hudde s berekening (detail) 14

23 15 Na Jan de Witt (1671) Sterftekansen bij Jan de Witt zijn tamelijk willekeurige aannamen.

24 15 Na Jan de Witt (1671) Sterftekansen bij Jan de Witt zijn tamelijk willekeurige aannamen. De inleg kan lager zijn bij een lijf van hogere leeftijd. Latere ontwikkeling: Sterftetafels.

25 15 Na Jan de Witt (1671) Sterftekansen bij Jan de Witt zijn tamelijk willekeurige aannamen. De inleg kan lager zijn bij een lijf van hogere leeftijd. Latere ontwikkeling: Sterftetafels. Er is verschil tussen mannen en vrouwen!

26 16 Sterftetafels Probleem: hoe bepaal ik de kans dat iemand in een bepaald jaar van zijn leven sterft?

27 16 Sterftetafels Probleem: hoe bepaal ik de kans dat iemand in een bepaald jaar van zijn leven sterft? D.w.z. voorwaardelijke kans: stel ik word vandaag 54 jaar oud, wat is de kans dat ik 55 jaar oud zal worden?

28 16 Sterftetafels Probleem: hoe bepaal ik de kans dat iemand in een bepaald jaar van zijn leven sterft? D.w.z. voorwaardelijke kans: stel ik word vandaag 54 jaar oud, wat is de kans dat ik 55 jaar oud zal worden? Leuk idee: volg een populatie van bijvoorbeel 1000 babies en kijk hoe oud ze worden. Dan heb je na 100 jaar een sterftetafel.

29 16 Sterftetafels Probleem: hoe bepaal ik de kans dat iemand in een bepaald jaar van zijn leven sterft? D.w.z. voorwaardelijke kans: stel ik word vandaag 54 jaar oud, wat is de kans dat ik 55 jaar oud zal worden? Leuk idee: volg een populatie van bijvoorbeel 1000 babies en kijk hoe oud ze worden. Dan heb je na 100 jaar een sterftetafel. Je kunt ook naar een stationaire bevolking kijken - stad Wroclaw in Polen tussen 1687 en Hieruit werd in 1693 een sterfetafel afgeleid door Edmund Halley ( )

30 17 Halley s sterftetafel Jaar In leven Kans dat een lijf (dat nu precies 4 jaar oud is) 6 jaar oud zal worden is volgens deze tafel

31 18 Problemen Gelden deze cijfers ook voor andere plaatsen dan Wroclaw, en voor andere tijden dan ?

32 18 Problemen Gelden deze cijfers ook voor andere plaatsen dan Wroclaw, en voor andere tijden dan ? Heb je hier iets aan voor lijfrenten? Niet altijd, want de koper van een lijfrente zal een gezond lijf uitzoeken.

33 De tweede held van vandaag: Nicolaas Struyck ( ) De eerste (op de hele wereld) die opmerkte (1740), dat de sterfte van vrouwen anders is dan de sterfte van mannen. 19

34 20 Het werk van Struyck Struyck onderzocht registers over lijfrentes die in en in Amsterdam waren uitgegeven (toen Hudde daar burgemeester was).

35 21 Nicolaas Struyck s Tafel van Mansperzoonen Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz

36 22 Nicolaas Struyck s Tafel van Vrouwsperzoonen Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz Jaar Perz

37 23 Nicolaas Struyck s Lijfrentetabel Struyck berekende (hoe?) uit zijn sterftetabellen nieuwe tabellen voor lijfrentes voor mannelijke en vrouwelijke lijven (uitgaande van een rente van 2,5 procent). Inleg voor de aangegeven beginleeftijd van het lijf, bij een jaarlijkse uitkering van 100 gulden. Leeftijd Vrouw Man

38 24 Nicolaas Struyck s Vijand Dit was Willem Kersseboom ( ) (geen portret beschikbaar) Deze publiceerde een lijfrentetabel (mannen en vrouwen door elkaar) en bekritiseerde Struyck, die zich niet verwaardigde de kritiek te beantwoorden.

39 25 De rest van de 18e eeuw Struyck en Kersseboom waren in Nederland roependen in de woestijn. Hun adviezen werden i.h.a. niet opgevolgd. In de achttiende eeuw waren er veel bedriegers.

40 26 Happy End Pas in 1807 ontstond in Nederland de Hollandsche Societeit van Levensverzekeringen te Amsterdam met als wiskundig adviseur Jan Hendrik van Swinden ( ).