Overzicht voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B examenpilot 2011

Transcriptie

1 Overzicht voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B examenpilot 0 Hierbij treft u een aantal voorbeeldexamenopgaven aan die op het niveau van eindexamenopgaven volgens het nieuwe programma zijn geformuleerd. Het zijn bestaande oude examenopgaven, bewerkingen van bestaande opgaven en ook compleet nieuwe opgaven. Deze opgaven geven een beeld van de wijze waarop de (sub)domeinen van het examenprogramma kunnen worden getoetst. De verdeling van de opgaven over de (sub)domeinen is niet evenredig met de omvang van de studielast: er is meer aandacht voor het nieuwe meetkundedomein. Binnenkort zal een voorbeeldexamen worden samengesteld, waarin een aantal van deze opgaven zal worden opgenomen. In de tabel op de volgende pagina wordt aangegeven welke (sub)domeinen er in de vragen van deze set met opgaven aan de orde komen. Het betreft de volgende opgaven. Opgave Bron A Windenergie examen wi havo B 00, e tijdvak, bewerkt B Gebogen plaat nieuw C Bumpersticker examen wi havo B 009, e tijdvak, bewerkt D Posters vervoeren nieuw E Basketbal examen wi havo B 994, e tijdvak, bewerkt F Hoge bomen examen wi havo B 000, e tijdvak, bewerkt G Kwartcirkel en raaklijn nieuw H Wortelfunctie nieuw I Hoek op cirkelboog nieuw J Stansmachine nieuw K Gebroken functie met rechthoek examen wi havo B 009, e tijdvak, bewerkt L Parabool met raaklijn nieuw voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc

2 opgaven met vragen Subdomeinen A B C D E F G H I J K L A Algemene vaardigheden De kandidaat heeft kennis van de rol van wiskunde in de maatschappij, kan hierover gerichte informatie verzamelen en de resultaten communiceren met anderen. A Profielspecifieke vaardigheden De kandidaat kan een profielspecifieke probleemsituatie in wiskundige termen analyseren, oplossen en het resultaat naar de betrokken context terugvertalen. A Wiskundige vaardigheden De kandidaat beheerst de bij het examenprogramma passende rekenkundige, algebraïsche en deductieve vaardigheden en kan bewerkingen uitvoeren zonder ICT en waar nodig met ICT. B Standaardfuncties De kandidaat kan standaardfuncties (machtsfuncties, exponentiële en logaritmische functies en goniometrische functies) hanteren, interpreteren binnen een context, de grafieken beschrijven en in een functievoorschrift vastleggen en werken met eenvoudige transformaties. B Vergelijkingen en ongelijkheden De kandidaat kan eenvoudige vergelijkingen, ongelijkheden en stelsels van twee lineaire vergelijkingen oplossen, in voorkomende gevallen grafisch oplossen of de oplossingen numeriek benaderen en de oplossingen interpreteren in de context. B Evenredigheidsverbanden De kandidaat kan verbanden tussen de twee grootheden a en b van de vorm a = c b d herkennen, toepassen en bijbehorende grafieken tekenen, vanuit de beschrijving van een dergelijk verband een formule opstellen, de evenredigheidsconstante bepalen en redeneren over het effect van schaalvergroting. B4 Periodieke functies De kandidaat kan periodieke verschijnselen beschrijven door middel van sinus- of cosinusfuncties, de bijbehorende sinusoïden tekenen en de karakteristieke eigenschappen ervan benoemen en alle oplossingen van een eenvoudige goniometrische vergelijking op een gegeven interval bepalen. C Afstanden en hoeken in concrete situaties De kandidaat kan afstanden en hoeken berekenen met behulp van goniometrische verhoudingen, de stelling van Pythagoras en de sinus- en cosinusregel. C Analytische methoden De kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren aan de hand van gegeven contexten en figuren. C Vectorrekening De kandidaat kan berekeningen uitvoeren met vectoren in het platte vlak en het inwendig product van twee vectoren wiskundig en fysisch interpreteren. D Veranderingen De kandidaat kan het veranderingsgedrag van een functie, gegeven door grafiek, tabel of formule, beschrijven door middel van toenamediagrammen en differentiequotiënten en kan differentiequotiënten berekenen en interpreteren, ook vanuit een profielspecifieke probleemsituatie. D Afgeleide functies De kandidaat kan de afgeleide functie begripsmatig interpreteren en kan lokale veranderingen van een functie benaderen zowel met een differentiaalquotiënt als numeriek-grafisch en kan de afgeleide functie van machtsfuncties met rationale exponenten bepalen. D Bepaling afgeleide functies De kandidaat kan voor het bepalen van de afgeleide functie en de interpretatie daarvan binnen een context gebruik maken van de som-, verschil-, product-, quotiënt- en kettingregel. D4 Toepassing afgeleide functies De kandidaat kan analytisch-algebraïsche berekeningen uitvoeren gericht op onder meer optimaliseringsproblemen op meetkundige lichamen en figuren en op andere profielspecifieke contexten. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc

3 Denkactiviteiten in de voorbeeldopgaven syllabus havo wiskunde B In het visiedocument van ctwo Rijk aan betekenis is een zestal denkactiviteiten geformuleerd die gelden als kernactiviteiten in de nieuwe examenprogramma s en die richtinggevend zijn voor de concrete invulling van de vakdomeinen. Deze denkactiviteiten zijn verbonden aan de algemene vaardigheden van domein A; daarnaast zijn in de examenprogramma s kruistabellen opgenomen die aangeven welke denkactiviteiten in de verschillende domeinen aan de orde zouden kunnen komen. De volgende denkactiviteiten zijn onderscheiden: Mo - Al = Modelleren en algebraïseren (eindterm A) Or - St = Ordenen en structureren (eindterm A) An - Pr = Analytisch denken en probleemoplossen (eindterm A) Fo = Formules manipuleren (eindterm A) Ab = Abstraheren (eindterm A) Lo - Be = Logisch redeneren en bewijzen (eindterm A) Bij de vragen van de voorbeeldexamenopgaven is op de volgende bladzijde aangegeven welke denkactiviteiten aan de orde zijn. Ter toelichting op de kruisjes: Modelleren-Algebraïseren is aangekruist als er sprake is van het vertalen van een kenmerk, vraag of eigenschap in termen van algebra. Denk aan snijpunt -> vergelijking, helling/top -> afgeleide, verticale afstand tussen twee grafieken -> f(x)-g(x), etcetera. Analyseren-Probleemoplossen is aangekruist als er sprake is van een probleemaanpak die meerstaps is, of op een andere manier niet direct standaard. Formules manipuleren is aangekruist als een vergelijking moet worden opgelost of een formule moet worden herschreven. Het is duidelijk dat enkele van deze denkactiviteiten niet in de vragen aan de orde komen. Ordenen- Structureren en Abstraheren zullen een plaats moeten krijgen in het onderwijsleerproces en binnen het schoolexamen. Binnen een centraal examen ontbreekt de tijd om deze activiteiten op een betrouwbare wijze te toetsen. Ten opzichte van de bestaande examenpraktijk bij havo wiskunde B zijn in deze set voorbeeldopgaven meer vragen te vinden waarin Analyseren-Probleemoplossen een rol speelt. Met name bij meetkundevragen is het vaak niet meteen duidelijk op welke wijze het probleem moet worden aangepakt. Maar ook de vraagstelling bij de analysevragen wordt in het nieuwe programma meer open dan in het huidige programma. In de tabel op de volgende pagina wordt aangegeven welke denkactiviteiten er in de vragen van deze set met opgaven aan de orde komen. Overigens is de wijze van identificeren van denkactiviteiten in vragen nog in ontwikkeling. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc

4 Voorbeeldexamenopgaven Mo - Al Or - St An - Pr Fo Ab Lo - Be havo wiskunde B A Windenergie X X X 4 X X B Gebogen plaat X X X 4 X C Bumpersticker X X X X D Posters vervoeren X X X E Basketbal X X X F Hoge bomen X X X G Kwartcirkel en raaklijn X X X X X X 4 X H Wortelfunctie X X X X X I Hoek op cirkelboog X J Stansmachine X X K Gebroken functie met rechthoek X X X X X X 4 X X X L Parabool met raaklijn X X voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 4

5 voorbeeldexamenopgaven Deze vraag kan niet in het examen 0 worden gesteld (valt onder de uitsluitingen). voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

6 A Windenergie De laatste jaren wordt een steeds grotere hoeveelheid stroom opgewekt door de wind. Voor het omzetten van windenergie in electriciteit gebruikt men windturbines. In de figuur is een windturbine getekend. De energieproductie per tijdseenheid wordt het vermogen genoemd. De eenheid van vermogen is watt. Het vermogen van een windturbine hangt hoofdzakelijk af van: de ashoogte; de windsnelheid; ashoogte de rotordiameter. figuur rotor diameter rotorblad draaias Onderzoek aan verschillende typen windturbines leidt tot de volgende vuistregel: Een toename van de ashoogte met meter levert % meer vermogen op. grond p Bereken hoeveel procent meer vermogen een toename van de ashoogte met 5 meter volgens deze vuisregel oplevert. In het vervolg van deze opgave kijken we naar windturbines met vaste ashoogte. Het vermogen P (in kilowatt) van een windturbine met vaste rotordiameter is evenredig met v, ofwel P = c v, waarbij v de windsnelheid is in m/s. Van een bepaald type windturbine is bij een windsnelheid van 0 m/s het vermogen gelijk aan 95 kilowatt. p Bereken het vermogen van deze windturbine bij een windsnelheid van 5 m/s. Wanneer men van een windturbine de rotordiameter D (in m) verandert, blijkt dat het vermogen P van een windturbine niet alleen evenredig is met v, maar dat P ook evenredig is met D. Er geldt dus: P= d v D. Als men een windturbine plaatst op een plek waar het niet zo hard waait, heeft men een grotere rotordiameter nodig om hetzelfde vermogen te kunnen halen als op een plek waar het harder waait. p Bereken hoeveel keer zo groot de rotordiameter moet worden om bij eenzelfde windturbine met een half zo grote windsnelheid hetzelfde vermogen te behalen. Er moet een nieuwe windturbine worden geplaatst met een vermogen van 750 kilowatt. Hiervoor wordt eerst de (gemiddelde) windsnelheid ter plekke gemeten. Om de benodigde grootte van de rotordiameter te kunnen berekenen bij dit vermogen, is er behoefte aan een formule voor D als functie van v. Windturbines van het type Eolus kunnen met verschillende rotordiameters worden geplaatst. Dit type levert een vermogen van 750 kilowatt bij een rotordiameter van 47 meter en windsnelheid van 5 m/s. Het vermogen van 750 kilowatt kan door dit type worden geleverd bij meerdere combinaties van v en D. 4p 4 Geef voor dit type windturbine een formule voor D als functie van v waarbij het vermogen 750 kilowatt bedraagt. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

7 B Gebogen plaat Vlakke platen kunnen worden gebogen foto door de twee uiteinden naar elkaar toe te duwen. De vlakke plaat krijgt hierdoor een kromming. Foto laat een voorbeeld hiervan zien: een gebogen bankpasje. De kromme die zo ontstaat, wordt met een wiskundig model beschreven. Het vooraanzicht van het pasje wordt hiervoor in een assenstelsel geplaatst. Hierbij is de lijn door de laagste punten van het pasje de x-as. Het linker eindpunt ligt in de oorsprong. De afstand tussen linker en rechter eindpunt wordt b genoemd. De hoogte van het pasje boven de x-as wordt h genoemd. De grootste hoogte is h max. De eenheid voor x en h is cm. De kromme gaat in dit model dus door de punten (0, 0), (b, 0) en ( bh ). Zie figuur. figuur h h max, max O Stel d at het pasje zo wordt gebogen, dat b = 6 en h max =. b x De vorm van het gebogen pasje kan worden benaderd met een sinusoïde. Zie figuur. figuur h O 6 x 5 p Geef een vergelijking van deze sinusoïde. De vorm van het gebogen pasje kan ook worden benaderd met een parabool. Zie figuur. figuur h 5 p Geef een vergelijking van deze parabool. O 6 x voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

8 De vorm van het gebogen pasje kan figuur 4 ook worden benaderd door middel h van een cirkel door de punten (0, 0), (, ) en (6, 0). In figuur 4 is een deel van deze cirkel met straal r getekend. Er geldt dus MO= MQ= MT = r. O T P Q x r r r 4p Stel de vergelijking op van de cirkel met middelpunt M, die door de punten O, T en Q gaat. M foto Een ander voorbeeld van een gebogen plaat is een afdakje boven de voordeur van een huis. Zie foto. Om de vorm van de gebogen plaat vast te stellen zijn aan het afdakje enkele metingen verricht. Op grond hiervan zijn voor de benadering van de gebogen vorm drie functies opgesteld: Voor de sinusoïde geldt: f ( x) = 9,4sin(0,06 x ). Voor de parabool geldt: s f ( x) = 0,0055x + 0,66x. p Voor de cirkelboog geldt: fc ( x) = (6906,5+ 0 x x ) 8,. In deze situatie is een soortgelijk assenstelsel als bij het pasje in de figuren en gebruikt. Gemeten is ook de hoek α die de raaklijn aan de gebogen vorm bij met de x-as. Deze hoek is ongeveer 8º. Zie figuur 5. figuur 5 h x = 0 maakt 8 O 5p 4 Onderzoek welk van deze drie modellen het best bij deze meting past. x voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 4 lees verder

9 C Bumpersticker In het verkeer zie je regelmatig auto s met bumperstickers. Een veel voorkomende sticker heeft de vorm van een visje zoals te zien is op de foto. Dit visje is opgebouwd uit twee even grote cirkelbogen die in een gemeenschappelijk punt beginnen en elkaar in een tweede punt snijden. Zie figuur. Ook is in deze figuur te zien dat het visje precies wordt omsloten door een rechthoek. foto figuur In deze opgave wordt nagegaan hoe een visje getekend kan worden dat in een rechthoek past met een breedte van 0 cm en een hoogte van 4 cm. Om het visje te kunnen tekenen, is het nodig te weten hoe groot de straal is van de bijbehorende cirkelbogen. Ook moet de positie van de middelpunten van de cirkelbogen ten opzichte van de rechthoek bekend zijn. In figuur zijn de rechthoek en een figuur deel van de onderste cirkel op schaal p getekend. D Er geldt het volgende: - AB = CD = 0 cm - AD = BC = 4 cm - E is het midden van AD - G is het midden van FH - DH = EG = AF = p cm - De straal van de cirkelboog is r cm. E A r H G F M 0 - p r C B voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 5 lees verder

10 Met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MGE kan een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot I r = p + 4 6p Stel de gevraagde vergelijking op en werk deze om tot 4 r = p +. Op soortgelijke manier kan met behulp van de stelling van Pythagoras in driehoek MBF een vergelijking worden opgesteld. Deze vergelijking kan vervolgens worden omgewerkt tot II p 0p+ 6 8r = 0 De in vergelijking I gegeven uitdrukking voor r kan in vergelijking II worden gesubstitueerd. Hierdoor ontstaat een vergelijking die kan worden omgewerkt tot III p + 0p 08 = 0 p Voer de hierboven beschreven substitutie uit en werk de daarbij verkregen vergelijking om tot p + 0p 08 = 0. Op de uitwerkbijlage is een rechthoek van 0 cm bij 4 cm getekend. Hierin kan een visje worden getekend als de waarden van p en r bekend zijn. Deze kunnen worden berekend met behulp van de vergelijkingen I en III. 6p Bereken de waarden van p en r en teken in de rechthoek op de uitwerkbijlage het visje. Geef duidelijk uitleg over je werkwijze. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 6 lees verder

11 D Posters vervoeren In de museumwinkel van het Van Gogh Museum in Amsterdam kun je posters van schilderijen van Vincent van Gogh kopen. Het museum heeft een kartonnen verpakking ontworpen waar de posters in worden gedaan. Deze verpakking heeft de vorm van een prisma. Het grondvlak van dit prisma is een gelijkzijdige driehoek met zijden van 0 cm. De hoogte van het prisma is 80 cm. foto Een poster wordt opgerold en in de verpakking gestopt. Deze situatie kan worden voorgesteld zoals in figuur is afgebeeld. De opgerolde poster is hier een cirkel die aan alle zijden van de driehoek raakt. In deze opgave worden de diktes van papier en karton verwaarloosd. figuur y C M A B x 4p Toon aan dat de lijn door B en C de vergelijking y = x+ 5 heeft. 6p Toon aan dat de exacte straal van de opgerolde poster gelijk is aan 5. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 7 lees verder

12 In deze verpakking kunnen ook drie posters worden vervoerd. Hiervoor worden ze alle drie even strak opgerold, zodat ze in de posterkoker passen zoals is afgebeeld in figuur. figuur y C M N r A P B x In figuur is in de cirkel rechtsonder de straal r = NP aangegeven. 5p Bereken voor deze situatie de straal r van de posters. Geef je antwoord in hele mm nauwkeurig. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 8 lees verder

13 E Basketbal In figuur zie je drie momentopnamen van het neerlaten van een basketbalstellage. figuur De stellage bestaat uit een frame met een rechthoekig bord waaraan een basket bevestigd is. Een basket is een ijzeren ring met een netje. Twee kettingen, die even lang zijn, dienen als beveiliging tegen vallen of te ver zakken van het geheel. Het zijaanzicht van het frame is een parallellogram. We noemen dit parallellogram ABCD. Zie figuur. figuur BC is 90 cm en AB is 00 cm lang. In de gymzaal waar de foto s genomen zijn, is de hoogte van bevestigingspunt B gelijk aan 80 cm. De hoek bij punt B ( ABC) noemen we β. De lengte van lijnstuk AC wordt gegeven door: AC = cosβ 4p Toon de juistheid van de formule voor AC aan. Een van de kettingen is bevestigd tussen de punten C en A. De ketting heeft een lengte van 60 cm. De basket wordt zoveel mogelijk omlaag gelaten (figuur, foto ). 6p Bereken de hoogte van punt A boven de vloer in dat geval. Rond je antwoord af op een geheel aantal cm. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 9 lees verder

14 F Hoge bomen In Amerika zijn 576 verschillende soorten bomen onderzocht. Van elke soort is het hoogste exemplaar opgespoord en daarvan is de diameter van de stam op meter boven de grond gemeten. Onderzocht is of er een verband bestaat tussen deze diameter D (in meter) en de hoogte H (in meter) van deze bomen. Om van alle bomen de gegevens in één figuur duidelijk te kunnen weergeven is log D uitgezet tegen log H. Het resultaat is de puntenwolk in de figuur. Hierin heeft een bioloog een rechte lijn k getekend die redelijk goed bij deze puntenwolk lijkt te passen. Deze figuur staat vergroot op de uitwerkbijlage. figuur p Eén van de bomen is in de figuur aangegeven met de letter P. Hoe groot is de diameter van deze boom op meter boven de grond? Gebruik de figuur op de uitwerkbijlage en licht je werkwijze toe. Het verband tussen D en H voor bomen in de puntenwolk kan grofweg worden benaderd met een vergelijking die past bij de lijn k. Een vergelijking van k is: log D=, 0 +,5log H. Een boom heeft op meter hoogte een diameter van,5 meter. Met behulp van de vergelijking van k kan de hoogte van deze boom worden geschat. p Geef deze schatting. Rond je antwoord af op gehele meters. De vergelijking van k kan omgeschreven worden tot D= p H. 4p Bereken p en q. q voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 0 lees verder

15 G Kwartcirkel en raaklijn In een assenstelsel is gegeven de cirkel met straal 40 en middelpunt O(0, 0). In deze opgave bekijken we de kwartcirkel rechtsboven. Punt R ligt op deze cirkel. De raaklijn in punt R aan de cirkel snijdt de x-as in het punt A(a, 0) en de y-as in het punt B(0, b). Het lijnstuk AB staat loodrecht op de straal OR. In de figuur is de situatie voor twee mogelijke posities van punt R getekend. figuur y y B(0, b) B(0, b) 40 R R O x 40 A(a, 0) O 40 x A(a, 0) 6p Bereken exact de coördinaten van de punten A en B in het geval dat punt R de coördinaten (, 6) heeft. Er geldt: OB = a 40. a 40 5p Toon de juistheid aan van deze formule voor OB. 4p Bereken exact de waarde van a waarvoor geldt OB = 0. 6p 4 Bereken exact de coördinaten van R als de richtingscoëfficiënt van lijnstuk AB 9 gelijk is aan. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

16 H Wortelfunctie De functie f is gegeven door f( x) = x x +. 0 In de figuur is de grafiek van f getekend. figuur y f O x Op de grafiek van f liggen, behalve de oorsprong O(0, 0), nog twee punten waarvan de x- en y-coördinaten gelijk zijn. 5p Bereken exact de coördinaten van deze twee punten. Uit de figuur kan het vermoeden ontstaan dat de raaklijn aan de grafiek van f in de oorsprong horizontaal loopt. 4p Onderzoek met behulp van differentiëren of dit vermoeden juist is. I Hoek op cirkelboog Gegeven zijn de punten A (, 0) en B(8,). figuur De cirkel met middelpunt A en straal AB y snijdt de y-as in de punten D en E. Zie de figuur. D 6p Bereken DBE. O A B x E voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

17 J Stansmachine Een stansmachine is een machine waarmee gaten in plaatmateriaal gemaakt kunnen worden. Een draaiende beweging wordt daarbij omgezet in een heen-en-weer -beweging. afbeelding In figuur zijn schematisch drie posities van het mechaniek van zo n stansmachine afgebeeld (niet op schaal). De ronde schijf draait om een as (punt A) in de aangegeven richting. Aan de schijf is in punt Q, op 0 cm van A, een stang bevestigd met lengte 0 cm. Onder aan deze stang QP is bij scharnierpunt P is het mes bevestigd. Dit mes heeft een hoogte van 6 cm. Het mes gaat verticaal op en neer. Hierbij snijdt het mes door het plaatmateriaal. Dit materiaal is in de figuur zwart gekleurd. Zoals aangegeven in positie meten we de draaihoek α (in graden, 0 α 60) ten opzichte van de horizontale lijn door A. In positie bevindt Q en dus ook het mes zich in de laagste stand. In positie bevindt Q zich op dezelfde hoogte als as A. In de getekende positie bevindt de onderkant van het mes zich cm in (of door) het materiaal. figuur 6 mes materiaal 4p Bereken de hoogte h van de onderkant van het mes boven het materiaal in positie. Geef je antwoord in cm nauwkeurig. Tijdens zijn beweging bereikt het mes een hoogste en laagste punt. De evenwichtsstand is de hoogte hier midden tussen in. 7p Bereken de grootte van α wanneer de onderkant van het mes zich voor het eerst in de evenwichtsstand bevindt. Rond je antwoord af op hele graden. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

18 K Gebroken functie met rechthoek De functie f is gegeven door f( x ) = +, x figuur met x > 0. y Punt B ligt op de grafiek van f. Punt A ligt op de x-as en punt C op de y-as, zodanig dan vierhoek OABC een rechthoek is. Zie de figuur. Stel dat de y-coördinaat van B gelijk is aan 4. p Berek en exact de omtrek van rechthoek OABC in deze situatie. In het algemeen heeft punt B coördinaten (, b + ). b C O B A x 5p Druk de omtrek van rechthoek OABC uit in b en bereken met behulp van differentiëren bij welke waarde van b deze omtrek minimaal is. p Voor elke positie van punt B op de grafiek van f is de oppervlakte van rechthoek OABC groter dan. Toon dit aan. 4p 4 Bereken exact voor welke waarde van b rechthoek OABC een vierkant is. L Parabool met raaklijn De functie f is gegeven door f ( x) = x 5x+ 8. De lijn door de punten (0, 4) en (4, 0) lijkt de grafiek van f te raken. Zie de figuur. 5p Onderzoek langs algebraïsche weg of dit inderdaad het geval is. figuur 4 y f O 4 x einde voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 4 lees verder

19 voorbeeldexamenopgaven uitwerkbijlage Let op: Om de figuren op de juiste afmetingen te krijgen op papier, moet bij het afdrukken van deze pdf-versie van de uitwerkbijlage in het menu Afdrukken bij Pagina s schalen gekozen worden voor de optie Geen. voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

20 voorbeeldexamenopgaven uitwerkbijlage C D 0 C 4 A B voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

21 F voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder einde

22 voorbeeldexamenopgaven beoordelingsmodel voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

23 Vraag Antwoord Scores A Windenergie maximumscore De groeifactor per meter is,0,0 5,6, dus het vermogen neemt met 6% (of nauwkeuriger) toe maximumscore Invullen van P = 95 en v = 0 geeft 95 = c 0 c = 0,95 Bij V = 5 geldt P = 0, (kilowatt) (of nauwkeuriger) of De windsnelheid wordt,5 keer zo groot, dus P wordt,5 keer zo groot P = 95,5 658 (kilowatt) (of nauwkeuriger) maximumscore v wordt keer zo klein, dus v wordt = 8 keer zo klein Als P gelijk moet blijven, moet D dus 8 keer zo groot worden D moet dan 8 (of,8 (of nauwkeuriger)) keer zo groot worden of Invullen van gekozen waarden, waarbij v gehalveerd wordt en P gelijk blijft, en daarbij de waarden van D uitrekenen D is,8 (of nauwkeuriger) keer zo groot (dus de rotordiameter moet,8 keer zo groot worden) 4 maximumscore 4 P= d v D met P = 750, D = 47 en v = 5 levert d 0,000 0,000 v D = = 750 0,000 = v v D = v ) D = v (of een gelijkwaardige uitdrukking) voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

24 Vraag Antwoord Scores B Gebogen plaat maximumscore 4 De formule heeft de vorm h= p sin( qx) p = (De periode is, dus) π q = (of 6 π De formule: h= sin( πx) 6 Opmerking De formule kan ook in andere vorm, bijvoorbeeld met behulp van de cosinusfunctie, worden gegeven. maximumscore 5 De vergelijking heeft de vorm h= a x ( x 6) Voor x = geldt h = (maximum) = a ( 6), dus a = 9 De vergelijking: h= x ( x 6) (of h= x + x) 9 9 of De parabool gaat door (0, 0), dus h= ax + bx 6a+ 6b= 0 De parabool gaat door (6, 0) en (, ), dus 9a+ b= De oplossing van dit stelsel vergelijkingen is a = 9 en b = De vergelijking: h= x + x 9 maximumscore 4 De stelling van Pythagoras in driehoek MPQ geeft + ( r ) = r Hieruit volgt r = 5 De coördinaten van M zijn (, 4) De vergelijking: ( x ) + ( y+ 4) = 5 4 maximumscore 5 De hoek α die de raaklijn aan de grafiek van functie f met de x-as maakt in x = 0, kan worden berekend met de formule: tan α= f '(0) Met differentiëren of met de GR: fs (0) 0,50, dus α 7 Met differentiëren of met de GR: f p (0) = 0,66, dus α Met de GR: fc (0) 0,7, dus α 6 De conclusie: de sinusoïde past het best bij de meting voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

25 Vraag Antwoord Scores C Bumpersticker maximumscore 6 In driehoek MGE geldt: EG + GM = EM EG = p, GM = r en EM = r, dus p + ( r ) = r Dit geeft: p + r 4r+ 4= r Hieruit volgt: 4 r = p + 4 Delen door 4 leidt tot: maximumscore 0 6 8( p p+ p + ) = r = p + p 0p+ 6 p 8 = 0 p 0p + 08 = 0 en dus p + 0p 08 = 0 voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 4 lees verder

26 Vraag Antwoord Scores maximumscore 6 Beschrijven hoe de vergelijking p + 0p 08 = 0 opgelost kan worden p 4, 4 ( p 4,4 voldoet niet) Invullen van de gevonden waarde van p in vergelijking I geeft r 5,9 De lijn HM is op de juiste plaats getekend (de waarde van p is correct uitgezet) De middelpunten M en N van de cirkelbogen zijn op de juiste plaats getekend (de waarde van r is correct uitgezet) en de cirkelbogen zijn correct getekend Opmerking Met E het midden van AD kunnen de middelpunten van de cirkelbogen ook worden getekend als snijpunten van de lijn HM met de middelloodlijnen van BE en CE. N 5,9 D 4,4 H C E A B M 5,9 voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 5 lees verder

27 Vraag Antwoord Scores D Posters vervoeren maximumscore 4 OC = 0 5 = 75 = 5 (dus C (0,5 ) ) De coördinaten van punt C voldoen aan de gegeven vergelijking van BC 5 De richtingscoëfficiënt van BC is = (en dit klopt ook met de 5 gegeven vergelijking) maximumscore 6 Het middelpunt M van de cirkel ligt op de y-as en op de middelloodlijn van BC Punt C heeft coördinaten (0,5 ) Het midden van BC heeft coördinaten (, ) De richtingscoëfficiënt van de middelloodlijn van BC is ( = ) De vergelijking van de middelloodlijn van BC is y = x+ 5 M (0, 5 ), dus de straal is 5 of Middelpunt M van de cirkel ligt op de y-as MOB is gelijkvormig met BOC (hh, rechte hoek en hoek van 0 ) Punt C heeft coördinaten (0,5 ) r 5 MO : BO = OB : OC geeft = r = ( = ) maximumscore 5 NPB is gelijkvormig met MOB (hh, rechte hoek en hoek B) PB = 5 r NP : PB = MO : OB, dus r : (5 r) = 5 : 5 r, 8, dus de straal r is 8 (mm) (of,8 cm) of Driehoek NPB rechthoekig met NP = r, PB = 5 r en B = 0 r tan(0 ) = 5 r r Uit 0,577 5 r volgt r, 8, dus de straal r is 8 (mm) (of,8 cm) voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 6 lees verder

28 Vraag Antwoord Scores E Basketbal maximumscore 4 De cosinusregel in driehoek ABC geeft: AC = AB + BC AB BC cosβ Invullen AB = 00 en BC = 90 geeft AC = cosβ cosβ=00 (8 80 cosβ) Dit geeft AC = ( cosβ = ) cosβ maximumscore 6 De vergelijking 60 = cosβ moet worden opgelost Deze vergelijking oplossen met de GR geeft β 4,6 º De scherpe hoek tussen AB en BC is 80 β 65,4 Punt A bevindt zich 00 cos(65,4 ) 4 (cm) onder B De hoogte van punt A is 80 4 = 8 (cm) voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 7 lees verder

29 Vraag Antwoord Scores F Hoge bomen maximumscore log D 0, D,6 meter (of nauwkeuriger) Opmerking De afgelezen waarde van log D mag hoogstens 0,05 afwijken. maximumscore log,5=,0+,5logh Beschrijven hoe deze vergelijking kan worden opgelost De hoogte is afgerond 40 meter maximumscore 4,5 log D= log0 + log H, 5 D= 0 H p = 0,0 en q =,5 of Bijvoorbeeld H = geeft D = 0,0 en H = 00 geeft D = 0 0,0 = p q geeft p = 0,0 0 = 0,0 00 q geeft 0 q = 0 dus q =,5 voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 8 lees verder

30 Vraag Antwoord Scores G Kwartcirkel en raaklijn maximumscore 6 De richtingscoëfficiënt van OR is 6 (= ) Dus de richtingscoëfficiënt van AB is R(6, ) invullen in de vergelijking y = x+ b Hieruit: b = 6, dus B (0,6 ) A(a, 0) invullen in de vergelijking y = x+ 6 Hieruit: a = 0, dus A(0,0) of Met R' de projectie van R op de y-as: ΔORR' is gelijkvormig met ΔAOR (twee gelijke hoeken) OR : OA = RR' : OR geeft 40 a = 40 Hieruit: a = 0, dus A(0, 0) ΔORR' is gelijkvormig met ΔOBR (hh, rechte hoek en gelijke hoek bij O) OR : OB = OR' : OR geeft 40 6 b = 40 Hiermee: b = 40 6 (= 6 ), dus B (0,6 ) maximumscore 5 ΔORA is gelijkvormig met ΔBOA (hh, rechte hoek en gelijke hoek bij A) Met de stelling van Pythagoras: AR = a 40 OB 40 OB : OA = OR : AR geeft = a a 40 Hieruit: OB = a 40 a 40 of OAR = BOR (beide gelijk aan 90 AOR ) cos OAR = cos BOR Met de stelling van Pythagoras: AR = a 40 a = a OB Hieruit: OB = a a voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 9 lees verder

31 Vraag Antwoord Scores maximumscore 4 a 40 = 0 geeft 40a = 00( a 40) a 40 a = of a = = maximumscore 6 9 rc OR = geeft rc OR = 9 Lijn OR heeft vergelijking y = x 9 Snijden van de (kwart)cirkel x + y = 40 met de lijn y = x 9 x + ( x) = 40, dus 50 x = x =, dus de x-coördinaat van R is p = 5 De y-coördinaat van R is ( ) q = 40 = 5 of Voor de kwartcirkel geldt: y = 40 x dy x = dx 40 x dy x 9 In punt R geldt: = = dx 40 x x 8 40 x =, dus 69x = 40 8x 69 x = 40 =, dus de x-coördinaat van R is p = De y-coördinaat van R is q = 40 ( ) = voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 0 lees verder

32 Vraag Antwoord Scores H Wortelfunctie maximumscore 5 De vergelijking x x + = x moet worden opgelost Dit geeft 0 0 x + = (want x 0 ) Herleiden tot x = 99, dus x = 99 of x = 99 De gevraagde punten zijn ( 99, 99 ) en ( 99, 99 ) maximumscore 4 Het gebruik van de productregel Het gebruik van de kettingregel x f '( x) = x + + x 0 0 x + f '(0) = (dus het vermoeden is niet juist) 0 voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

33 Vraag Antwoord Scores I Hoek op cirkelboog maximumscore 6 Een vergelijking van de cirkel is ( x ) + y = 50 Snijpunten van de cirkel met de y-as zijn D (0,7) en E(0, 7) Met C de projectie van B op de y-as, DC = 6 en EC = 8 6 tan CBD =, dus CBD tan CBE =, dus CBE = 45 8 Het antwoord: DBE = = 8 (of nauwkeuriger) of Een vergelijking van de cirkel is ( x ) + y = 50 Snijpunten van de cirkel met de y-as zijn D (0,7) en E(0, 7) DBE berekenen met de cosinusregel: DE = BD + BE BD BE cos DBE 96 = cos DBE cos DBE = 60 Het antwoord: DBE = 8 (of nauwkeuriger) of Een vergelijking van de cirkel is ( x ) + y = 50 Snijpunten van de cirkel met de y-as zijn D (0,7) en E(0, 7) DBE berekenen met het inproduct: BD BE= BD BE cos DBE BD = ( 8,6) en BE = ( 8, 8) 6 cos DBE = 80 Het antwoord: DBE = 8 (of nauwkeuriger) voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

34 Vraag Antwoord Scores J Stansmachine maximumscore 4 Met de stelling van Pythagoras: AP = 0 0 = 800 8, (cm) AP was = 40 cm, dus het mes zit 40 8, =,7 cm hoger dan in positie,7 = 8,7, dus de onderkant van het mes zit 9 (cm) boven het materiaal maximumscore 7 In de hoogste stand bevindt Q zich boven A en de onderkant van het mes 0 cm hoger, dus 7 cm boven het materiaal De evenwichtsstand is dus 7 + = 7 (cm) boven het materiaal In de evenwichtsstand is AP dus 0 (cm) ( ΔPAQ is gelijkbenig met AP = PQ = 0 en AQ = 0) dus cos PAQ = 5 0 Hieruit: PAQ 80 Het antwoord: α is α= = 90 Q 0 A 0 0 P voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc lees verder

35 Vraag Antwoord Scores K Gebroken functie met rechthoek maximumscore + = 4 x x = De omtrek van OABC is 4+ = 8 maximumscore 5 Voor de omtrek P van rechthoek OABC geldt: Pb ( ) = b+ ( + )( = b+ + ) b b P'( b) = b Als P minimaal is, geldt P'( b ) = 0 Dit geeft b =, dus de afmetingen zijn OA = en OC = maximumscore Voor de oppervlakte S van rechthoek OABC geldt: S = b ( + ) b S = + b b > 0 S > Omdat, geldt dat 4 maximumscore 4 Er moet gelden b = + b Dit geeft: b b = 0 Deze vergelijking oplossen met de abc-formule of kwadraat afsplitsen De oplossing b = + ( b = voldoet niet) 5 5 voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 4 lees verder

36 Vraag Antwoord Scores L Parabool met raaklijn maximumscore 5 De lijn door (0, 4) en (4, 0) heeft vergelijking x+ y = 4, dus met richtingscoëfficiënt f 'x ( ) = x 5 Er moet gelden x 5= Dit geeft x = f () = en punt (, ) ligt op de lijn, dus de lijn is inderdaad een raaklijn of De lijn door (0, 4) en (4, 0) heeft vergelijking y = 4 x 4 x = x 5x+ 8 Deze vergelijking omwerken tot x 4x+ 4= 0 Dit geeft x = (of D = 0) Er is één snijpunt, dus de lijn is inderdaad een raaklijn voorbeeldexamenopgaven syllabus havo B def.doc 5 lees verder einde