Hobbels in leerlijnen: bouwstenen voor het leren van vakdidactiek

Transcriptie

1 ARTIKEL Hobbels in leerlijnen: bouwstenen voor het leren van vakdidactiek Het ligt voor de hand dat in het voortgezet onderwijs (vo) wordt voortgebouwd op inhouden die in het basisonderwijs (bo) aan de orde zijn geweest. Toch is de overgang niet vloeiend. Daarvoor zijn twee hoofdoorzaken aan te wijzen. Bij de overstap verandert de hele leeromgeving (klasgenoten, docenten, lesrooster, pedagogisch klimaat) en de vakken zijn anders (een docent per vak, abstractere leerstof, nieuwe vakken). Dat kan voor leerlingen een uitdaging vormen, maar ook inhoudelijke problemen opleveren, bijvoorbeeld als in het vo onderwerpen bekend verondersteld worden die in het bo slechts aangestipt zijn. Eenzelfde soort problematiek komt ook voor bij de overgang van onderbouw naar bovenbouw in het havo-vwo. Wat de leeromgeving betreft is die overgang wat kleiner (geen verandering van school bijvoorbeeld), maar inhoudelijk is die minstens zo groot als de overgang van het basis- naar het voortgezet onderwijs. Het gevaar is groot dat het Nederlandse systeem van gescheiden lerarenopleidingen (pabo, tweedegraads, eerstegraads) bijdraagt aan de bestendiging van deze problematiek. Wat het vak rekenen/wiskunde betreft zitten er conceptuele hobbels rond genoemde overgangen. Dit ondanks het uitzetten van leerlijnen (Kemme, 2001). In dit artikel pleiten we ervoor gebruik te maken van deze hobbels om leraren-in-opleiding te oriënteren op leerlijnen en op de achtergronden van wat leerlingen doen. Kortom, om vakdidactiek te leren door hobbels in leerlijnen te benutten als bouwstenen voor de opleiding van leraren. We beschrijven manieren die wellicht ook bij andere vakken gebruikt kunnen worden. In de wiskundedidactiek colleges van de lerarenopleiding van de Hogeschool van Utrecht (HvU) en van de Universiteit Utrecht (UU) wordt enige aandacht besteed aan doorlopende leerlijnen van basis- naar voortgezet onderwijs. Voorbeelden daarvan gebruiken we om te reflecteren op de vraag hoe we de hobbels bij de overgangen zouden kunnen gebruiken om systematisch aandacht te besteden aan leerlijnen. Omdat de voorbeelden gaan over verschillende soorten studenten, besteden we ook aandacht aan specifieke problemen van de betreffende groep (tweedegraads of universitair). We hebben geprobeerd de wiskunde(didactische) inhoud niet al te zwaar te maken, zodat we onze lezers kunnen meevoeren naar conclusies die van toepassing zijn op een breder gebied. AUTEUR(S) Harrie Broekman, IVLOS, Universiteit Utrecht Joke Daemen, Hogeschool van Utrecht & IVLOS, Universiteit Utrecht Ton van der Valk IVLOS & Centrum voor Didactiek van Wiskunde en Natuurwetenschappen De overstap van basisnaar voortgezet onderwijs De aansluiting tussen basis- en voortgezet onderwijs moet vorm krijgen in zowel de manier van werken als in de leerstof die aan de orde komt. Kemme (2001) stelt, vanuit het perspectief van de curriculumontwikkelaar, dat de aansluiting niet problematisch is als het om de werkwijze gaat: "De aansluiting in de leerstof tussen basisonderwijs en de basisvorming lijkt gegarandeerd door het gegeven dat het leerplan voor de leeftijdscategorie 12 tot 16 sterk geïnspireerd is door het realistisch rekenonderwijs op de basisschool. Onderwijs dat o.a. de volgende kenmerken heeft: de leerling ontwikkelt inzicht aan de hand van probleemsituaties; de probleemsituaties zijn vaak uit de werkelijkheid afkomstig; de aangeboden wiskunde is voor elke leerling zinvol." (Kemme 2001). Toch is deze aansluiting in de praktijk niet optimaal. Hoewel de kenmerken van het realistisch reken- wiskundeonderwijs in veel leerboeken van basis- en voortgezet onderwijs zijn terug te vinden, worden ze niet op alle scholen gerealiseerd: ook met een realistische methode kan er op een traditionele, mechanistische manier les gegeven worden. Door het project Wiskunde zijn de leerlijnen van het basisonderwijs doorgetrokken naar het voortgezet onderwijs (Kok e.a. 1992, Lagerwerf 1994). In de praktijk zijn leerlijnen echter vaak niet zo vloeiend en komen diverse onderwerpen aan het eind van de basisschool in de verdrukking. Bijvoorbeeld het onderwerp breuken. In het basisonderwijs wordt dat opgebouwd met de realiteit als bron, maar alleen de snelle leerlingen komen aan formalisering toe. In havo/vwo wordt ervan uitgegaan dat de formalisering voor alle leerlingen heeft plaatsgevonden (Streefland, 1991). Evenzo doen zich hobbels voor bij procenten, verhoudingen en kijkmeetkunde. Lerarenopleidingen moeten hun studenten voorbereiden op dit soort knelpunten. Daarbij kunnen de kernvragen gebruikt worden die door Goffree en ter Pelle (1986) zijn geformuleerd: (hoe) wordt er in het basisonderwijs geanticipeerd op de manier van werken en de leerstof in het voortgezet onderwijs? (hoe) wordt er in het wiskundeonderwijs van de brugklas teruggegrepen op de manier van werken in het basisonderwijs en op hetgeen daar geleerd is? Vanuit dit kader van vooruit kijken naar en anticiperen op en achterom kijken naar en voortbouwen op gaan we na hoe we in de lerarenopleidin- VELON Tijdschrift voor Lerarenopleiders jrg 23(2)

2 gen met studenten aan de gang kunnen gaan met vakdidactiek. Een voorbeeld van een leerlijn: van 1, 2, 3 naar p Het is de bedoeling dat leerlingen in de midden/bovenbouw van het basisonderwijs overgaan van informeel context gebonden rekenen ( tellend rekenen ) naar formeel vakmatig opereren ( structurerend rekenen ). Onderzoek van Menne (2001) heeft laten zien dat het tellend rekenen zich op een natuurlijke wijze laat verkorten tot structurerend rekenen door rekenoperaties te hechten aan de zogenoemde lege getallenlijn. Dit kunnen we illustreren met een voorbeeld uit de middenbouw basisonderwijs ontleend aan Menne (2001) Het betreft een probleem met een bekende start, maar een onbekende uitkomst. In de literatuur wordt dit soort problemen aangeduid als result unknown problems. Zij kunnen met een rekenkundige aanpak worden opgelost, in tegenstelling tot start unknown problems die een algebraïsche oplossingmethode vereisen en dus in het voortgezet onderwijs thuis horen (Nathan en Koedinger 2000). Tom is 63 jaar. Hoe oud was hij 48 jaar geleden? De oplossing van deze opgave kan op de lege getallenlijn worden afgebeeld en uitgerekend: Deze visuele voorstelling kan vervolgens met een pijlennotatie worden verbonden. is uitgebreid tot de positieve, rationale getallen (bijv. 24, ¾, 0,61). In de brugklas leren de leerlingen negatieve getallen kennen en gaan opgaven oplossen zoals: 63 + (-48) =, en 63 (-48) = Daarvoor is een ander, meer wiskundig, getalbegrip nodig. Bij de introductie van negatieve getallen wordt de verbinding met het aftelbare getalbegrip - opnieuw - gelegd door het optellen en aftrekken van negatieve getallen te koppelen aan stappen vooruit en achteruit op een getallenlijn. Het getalbegrip wordt uitgebreid met negatieve getallen en later ook getallen als π en wortel 2 (reële getallen). Het vooruit kijken door de Pabo+ studenten kan de tweedegraads studenten aanzetten tot achterom te kijken : wat gebeurt er in het basisonderwijs aan rekenen/wiskunde? Vooruit kijken vanuit de pabo Het Pabo+ project dat aan de Hogeschool van Utrecht is uitgevoerd biedt pabo-studenten de gelegenheid vooruit te kijken naar de doorlopende leerlijn van het basis- naar het voortgezet onderwijs. Dit project is bedoeld voor getalenteerde pabo-studenten die hun opleiding uitbreiden met een extra vakinhoudelijk deel. Daarna mogen ze ook les geven in de onderbouw van het vmbo. In het project is het de bedoeling dat zij hun specialiteit als leraar basisonderwijs ( generalist zijn en een brede kijk op het lerende kind) expliciet maken, delen met hun medestudenten van de tweedegraads opleiding én leren inzetten in het wiskundeonderwijs van het vmbo. Opdrachten zoals de volgende zetten hen aan tot reflecteren op o.a. leerlijnen. Hobbels in leerlijnen: bouwstenen voor het leren van vakdidactiek 34 Daarna kan de pijlennotatie zelfstandig, dus los van het context probleem en van de getallenlijn, dienst doen om de uitkomst van =... te berekenen. Het voorbeeld geeft aan dat er rekenoperaties uit het dagelijks leven worden gebruikt, bijvoorbeeld weghalen en optellend vergelijken. Leerlingen ontdekken dat weghalen en optellend vergelijken in wezen op hetzelfde neerkomt en zo ontwikkelen ze het begrip aftrekken. De lege getallenlijn is een essentieel hulpmiddel voor het organiseren van gegevens en denkstappen. Er ligt een aftelbaar getalbegrip aan ten grondslag. In de bovenbouw van het basisonderwijs leren de kinderen formele rekenregels voor het opereren met verschillende getalsoorten kennen. Een getal is zelf een entiteit geworden waarmee formeel gemanipuleerd kan worden. Ze leren breuken plaatsen op de getallenlijn tussen de gehele getallen. Als de leerlingen eenmaal structurerend hebben leren rekenen, is de getallenlijn overbodig geworden. Het getalbegrip Een opdracht binnen de Pabo+ "Wat is specifiek anders in hetgeen je meemaakt in het voortgezet onderwijs t.o.v. je ervaring met rekenonderwijs?" Een Pabo+student verwoordde het resultaat van zijn reflectie als een verschil met de vo-docenten: "Een typisch verschil is hoe wij helpen. Wij kennen de rekenproblematiek van meet af aan. Mensen in het voortgezet onderwijs gaan nooit verder terug dan het begin van een hoofdstuk. In het basisonderwijs nemen we leerlingen met problemen apart en gaan met zo iemand steeds verder terug tot we de oorsprong van het probleem hebben. Deze uitspraak typeert het verschil met de tweedegraads studenten zoals die ook wordt opgemerkt door de opleidingsdocenten. Achterom kijken naar en voortbouwen op leerstof van het basisonderwijs Het vooruit kijken door de Pabo+ studenten kan de tweedegraads studenten aanzetten tot achterom te

3 kijken : wat gebeurt er in het basisonderwijs aan rekenen/wiskunde? Dat is onder andere de meerwaarde van een project als Pabo+. Ook studenten van de eerstegraads opleidingen worden onder andere voorbereid op lesgeven in de basisvorming en moeten zich dus oriënteren op de aansluiting van basis- en voortgezet onderwijs. We beschrijven hier drie manieren waarop die oriëntatie kan plaatsvinden, ontleend aan beide soorten opleidingen van vo-leraren. Korte stage basisonderwijs Tot voor enkele jaren kende de tweedegraads opleiding van de Hogeschool van Utrecht een stage in het basisonderwijs. Studenten gingen in hun 2 e jaar gedurende een zestal weken naar een basisschool. Daar observeerden ze de lessen, hielpen ze individuele leerlingen en gaven ze een paar lessen aan groepjes leerlingen uit groep 7/8. Uit de verslagen van de toenmalige wiskundestudenten valt op te maken hoe belangrijk die blik terug in de leerlijnen was. Ze werden zich bewust waar de leerlingen vandaan komen en kregen oog voor lerende kinderen : het was een hartstikke leuke ervaring. Ik kijk nu toch anders aan tegen de problemen die ik in mijn vo-stage kan verwachten [bijvoorbeeld dat kinderen niet even vlug een vergelijking kunnen oplossen waar een breuk in voorkomt] het was heel onverwacht voor mij dat die kinderen zo n moeite hadden met verhoudingen, maar wel overweg konden met vragen over de reus [er werd gewerkt met een leerstofpakketje over een reus, waarbij o.a. verschillende afmetingen van het eigen lichaam vergeleken werden met die van een reus] ik kreeg nu pas door dat ik eigenlijk nooit echt goed begrepen heb hoe dat zit met breuken en procenten. Het is echt heel moeilijk om daar die kinderen dan mee te helpen. Door allerlei omstandigheden, zoals overladenheid van het programma, samenwerking met anders-georganiseerde vakken en organisatorische problemen, is dit curriculumonderdeel geschrapt. Wij zien veel argumenten die pleiten voor een hernieuwde opname van onderdelen als deze in het curriculum en niet alleen voor wiskunde. Doel van zo n oriëntatie zou dan zijn, naast het zicht krijgen op het leren van kinderen in groep 7/8, het leren kennen van aspecten van de werkwijze en de leerstof van rekenen/wiskunde in het basisonderwijs. Materialen uit het basisonderwijs inzetten Aanstaande vo-docenten beheersen de leerinhouden rekenen/wiskunde van het basisonderwijs over het algemeen voldoende op het niveau van procedurele kennis (d.w.z. gericht op het uitvoeren van standaardhandelingen). Het is echter ook nodig dat ze een begripsmatige kennis van leerinhouden hebben, een niveau dat onvoldoende aanwezig is bij veel studenten die instromen in de tweedegraads opleiding. Om dit niveau te bereiken krijgen de studenten een aantal opgaven uit het grensgebied van basis- en voortgezet onderwijs voorgelegd. Ze lossen ze zelf op en zoeken en bespreken alternatieve oplossingsmethoden. Om te zien dat verschillende oplosmethoden op hetzelfde neerkomen, is het begripsmatige niveau nodig. Vervolgens kunnen ze dat toepassen door in bo-methoden na te gaan op welke onderwerpen die opgaven aansluiten en op welke ze voorbereiden. Een les over een bo-vo hobbel laten voorbereiden Universitaire studenten die de lerarenopleiding wiskunde volgen hebben een eigen problematiek. Anders dan pabo-studenten en - in mindere mate - studenten aan de tweedegraads opleiding wiskunde, ondervonden zij destijds geen problemen met de reken-/wiskundeinhoud van groep 7/8 basisonderwijs en van de brugklas voortgezet onderwijs. Zij staan daardoor verder weg van het denken van de leerling. Een student bracht dat onder woorden toen hij zei: Waarom hebben leerlingen toch zo n moeite met simpele opgaven? Zij hebben tijdens hun vakstudie geleerd snel te wisselen van heel concreet, context gebonden naar heel abstract, formeel, en omgekeerd. Ze hebben in eerste instantie de neiging dit ook in de klas te doen en dat levert een knelpunt op voor hun leerlingen. Daarom moet het bestuderen van onderdelen van de schoolwiskunde een belangrijk onderdeel vormen van hun vakdidactisch curriculum. Studenten moeten zich oefenen in het afdalen in en het concretiseren van de wiskunde. Dat kan duidelijk maken waarom de (realistische) wiskunde in de onderbouw weinig formeel is en welke rol de eigen intuïtie van de leerlingen speelt (Wubbels, Korthagen en Broekman, 1997). Zo kunnen ze er een uitdaging in gaan zien les te geven aan leerlingen die wellicht het hoogste wiskunde niveau niet zullen bereiken. Van der Valk en Broekman (2002) hebben elders in dit nummer onder andere de effecten van de lesvoorbereidingsactiviteit beschreven. Als onderwerp van zo n les kan een hobbel in de overstap bo-vo gekozen worden. Dat nodigt onder andere uit tot nadenken over de vraag met welke kennis leerlingen naar de brugklas komen. Optellen en aftrekken van negatieve getallen: de heks met de koude en warme blokjes (uit Moderne Wiskunde, deel 1 mhv) VELON Tijdschrift voor Lerarenopleiders jrg 23(2)

4 Hobbels in leerlijnen: bouwstenen voor het leren van vakdidactiek 36 Als voorbeeld nemen we een student die een les over negatieve getallen voorbereidde en daarover rapporteerde. Dat leidde tot het problematiseren van een wiskundige manier van kijken. Hij en zijn medestudenten waren zich tot dan toe niet zo bewust geweest van die manier van kijken. Zij hadden die waarschijnlijk al in de brugklas. Zij waren immers de beste leerlingen op het gebied van wiskunde! Dit komt naar voren in de reflectie van de student: Weet je, ik heb zelf problemen gehad met dat gedoe van die warme en koude blokjes die een heks in een bak gooide of ze er weer uit haalde. Mijn klasgenoten vonden dat leuk, maar ik weet nog dat ik het maar onzin vond en mijn moeder heeft me toen uitgelegd dat het gewoon een kwestie was van het voortzetten van een getallenrij. Toen ik dat aan mijn leraar vertelde zei hij dat hij dat ook altijd het prettigst vond. Nu weet ik echt niet of ik een les moet plannen met de foefjes van die heks of toch maar echt bezig ga met wiskundig naar die getallen te kijken. De opmerking van de student over de getallenrij bood een aanknopingspunt om de groep studenten te laten nadenken over een leerlijn bij de overstap van basis- naar voortgezet onderwijs. De vraag van een medestudent wat hij bedoelde met wiskundig naar die getallen kijken leverde veel discussiestof op en maakte de studenten nieuwsgierig naar achtergrondliteratuur. Zicht krijgen op een complete leerlijn De leerlijnen die van het basis- naar het voortgezet onderwijs doorlopen, hebben een vervolg in de hogere leerjaren van het vo. Met name bij de overgang van onderbouw naar de tweede fase van het voortgezet onderwijs vindt een aanzienlijke sprong in abstractie plaats. Leraren in opleiding dienen zicht te krijgen op het doortrekken van de leerlijnen naar boven toe. Daartoe kunnen diverse middelen ingezet worden, waarvan wij er drie bespreken. Cursus rekendidactiek Studenten wiskunde van de tweedegraads opleidingen volgen een cursus rekendidactiek, waarin niet alleen gewerkt wordt aan de eigen vakbeheersing, maar ook aan het leren kijken naar opgaven en begrippen vanuit een onderwijs/leer-perspectief. Er worden materialen gebruikt die voor (aanstaande) leraren zijn geschreven, zoals de APS-bundels (APS, 1994), Wiskunde 12-16, een boek voor docenten (Kok e.a. 1992) en Wiskundeonderwijs in de basisvorming (Lagerwerf 1994). Daarnaast worden ook wiskundemethoden uit het voortgezet onderwijs ingezet. In de deelcursus probleem-oplossen zijn, met het oog op het zicht krijgen op het leren van rekenen/wiskunde, de volgende activiteiten ingebouwd: zelf oplossen van enkele (rekenkundige) problemen zoeken van alternatieve oplossingsmethoden reflecteren op de vraag waarom koos ik in eerste instantie een bepaalde oplossingsmethode? met medestudenten en de begeleidende docent bespreken van de methoden. Sommige studenten gaan op deze lijn verder. Ze kiezen een deelonderwerp en analyseren hoe dat behandeld wordt in basisschool- en basisvorming-methoden. Dit geeft een aanzet tot het stellen van vragen als welke doorlopende leerlijnen kan ik herkennen in de methoden van het voortgezet onderwijs? en wat zeggen de kerndoelen hierover? Door de werkwijze zelf doen, alternatieven zoeken, samen reflecteren en waar passend er met leerlingen aan werken verschuift de aandacht geleidelijk van verdieping van eigen kennis en vaardigheden naar wiskundedidactiek leren. Hoe het een en ander in zijn werk kan gaan lichten we toe aan de hand van een voorbeeld dat betrekking heeft op de leerlijn van rekenkundige naar algebraïsche oplossingen. Deze begint bij de introductie van de algebra in het voortgezet onderwijs waarbij de leerlingen de overstap moeten maken van getal naar variabele. In een Vlaams onderzoek hebben Van Dooren e.a. (2001) de volgende opgave voorgelegd aan aanstaande docenten Secundair Onderwijs: 208 vertegenwoordigers van de verschillende Belgische gewesten waren aanwezig op een congres over euthanasie. Er waren 3 keer zoveel Vlamingen als Brusselaars, en 16 Walen minder dan Vlamingen. Hoeveel vertegenwoordigers had elk gewest op het congres? Het blijkt dat er grote verschillen optreden in de manier waarop de aanstaande docenten de opgave aanpakken. Sommigen passen algebraïsche oplosmethoden toe, anderen hebben een duidelijke voorkeur voor rekenkundige methoden (en lopen veelal vast bij deze opgave). In een cursus Rekendidactiek kunnen die verschillende oplossingen gebruikt worden om te reflecteren op de eigen manier van probleemoplossen en die met anderen te vergelijken (Broekman en Wubbels, 2001). Daardoor zijn de studenten genoodzaakt zich te verdiepen in de betreffende leerlijn. Zij gaan zich realiseren dat er in hogere leerjaren gaandeweg steeds meer opgaven zijn die niet meer of slechts met grote moeite rekenkundig opgelost kunnen worden. Daarmee wordt het voor hen belangrijk te herkennen of leerlingen een rekenkundige dan wel een algebraïsche oplosmethode volgen. De reactie van een student die ontdekte dat brugklasleerlingen nog niet veel verder gekomen zijn dan het hanteren van rekenkundige oplosmethoden: Ik heb nu pas een beetje door dat ik gewoon anders naar zo n sommetje kijk dan de leerlingen. Maar hoe krijg ik ze zo ver dat ze net zo gaan kijken als ik? Dat is een mooi startpunt voor didactiek leren. Verdiepen in leerlijnen In de universitaire lerarenopleiding wiskunde van de Universiteit van Utrecht laten we de leraren-inopleiding (lio s) zich verdiepen in twee leerstoflijnen. Daarmee beogen we onder andere dat zij een kritische houding ontwikkelen ten aanzien van het gehele wiskundeonderwijs. Het afgelopen jaar is gekozen voor het in kaart brengen van de meetkundelijn en de kansrekening/statistieklijn. De meetkunde kent de overgang van informele kijkmeetkunde naar formele redeneer-meetkunde en de kansrekening/statistiek

5 kent het veelvuldig verspringen van intuïtief naar formeel. Als voorbereiding nodigen we de lio s uit vanuit hun ervaringen te vertellen over situaties waarin leerlingen het (een bepaald onderdeel van de meetkunde of kansrekening/statistiek) niet te pakken kregen terwijl het toch zo overduidelijk is (als je het snapt, tenminste). Vervolgens wordt de vraag gesteld: Hoe kun je de leerlingen die het niet zien, verder helpen? De ideeën en ervaringen die dan naar boven komen, leveren een motiverend startpunt voor vakdidactische doordenking, aangezien ze vragen naar de opbouw van de stof in een hoofdstuk, gedurende een leerjaar en over het gehele curriculum. Aanvankelijk overheerst scepsis: Wat weten leerlingen tegenwoordig nog. Hoe komt het dat ze niet meer hoeven te weten wat wij vroeger allemaal wel moesten. Hoe zit het basisonderwijs en de basisvorming in elkaar? Hoe is 'het wiskundeonderwijs' gekomen tot deze invulling en aanpak? maar ook: wat zijn de mogelijkheden voor het gebruik van ICT? Dit levert onderwerpen genoeg voor de vulling van enkele bijeenkomsten vakdidactiek, die vervolgens door de lio s worden voorbereid en verzorgd, in samenspraak met de lerarenopleider. De lio's richten zich op uitwerkingen voor hun praktijk van alledag. De opleider gaat meer in op de achterliggende ideeën over ontwikkelingen in het Nederlandse wiskundeonderwijs als geheel en plaatst daarbij - waar mogelijk - de vakdidactische ontwikkelingen in een breder kader, zoals verbanden met andere vakken, leerpsychologische aspecten en internationale ontwikkelingen. Zo ontstaat er begrip en waardering voor het huidige wiskundeonderwijs. Het aanpakken van hobbels in leerlijnen is een problematiek die de scoop van één lerarenopleiding te boven gaat. De vakdidactische opleiders van de pabo, tweedeen eerstegraads opleidingen hebben elkaars expertise nodig. Tot slot Het reken-/wiskundeonderwijs kent leerlijnen die van het basisonderwijs doorlopen tot ver in het voortgezet onderwijs. Bij het volgen van zo n leerlijn doen zich voor leerlingen allerlei hobbels voor. Enkele lastige hobbels bevinden zich precies bij de overstap van basis- naar voortgezet onderwijs en bij de overstap van onderbouw naar bovenbouw havo/vwo. We hebben ons in dit artikel gericht op de vraag hoe het optreden van die hobbels in de lerarenopleidingen gebruikt kan worden om leraren-in-opleiding zicht te geven op de doorlopende leerlijnen als een belangrijk onderdeel van het leren van vakdidactiek. Als kader hebben we genomen: achteromkijken naar en voortbouwen op het voorafgaande onderwijs en vooruitkijken naar/ anticiperen op het vervolgonderwijs. Aan de hand van voorbeelden uit het wiskunde-opleidingsonderwijs van de Hogeschool van Utrecht en de Universiteit van Utrecht hebben we verschillende manieren gevonden waarop dit kan worden vormgegeven. Hier vatten we die manieren samen in wat algemenere bewoordingen zodat ze wellicht ook voor andere vakken bruikbaar zijn. Manieren die vooral geschikt zijn voor achterom kijken en voortbouwen op zijn: een stage van docenten uit het voortgezet onderwijs in het basisonderwijs lesmaterialen van het basisonderwijs gebruiken in de opleiding van leraren voortgezet onderwijs leraren-in-opleiding een les laten voorbereiden over een hobbel die zich bij de overstap van het bo naar het vo bevindt. Daarbij zal de lio georiënteerd worden op de basisschool-voorkennis van de leerlingen. Manieren die vooral betrekking hebben op vooruit kijken en anticiperen op zijn: een stage in het vervolgonderwijs. Een concreet voorbeeld daarvan is het Pabo+ project verdieping van met name die leerstof die een rol speelt bij zo n overstap-hobbel. Daarbij kan lesmateriaal uit het vervolg onderwijs gebruikt worden. Ook het reflecteren op het eigen leerproces hoort erbij. Manieren die ingezet kunnen worden om zicht te krijgen op een complete leerlijn zijn: het volgen van een vakinhoudelijke cursus waarin de lio de verschillende hobbels in de leerlijn zelf ervaart de leerlijn zelf aan de orde stellen in een cursus vakdidactiek cursussen waarin leraren-in-opleiding van de pabo, de tweede- en de eerstegraadsopleidingen elkaar tegenkomen. Het aanpakken van hobbels in leerlijnen is een problematiek die de scoop van één lerarenopleiding te boven gaat. De vakdidactische opleiders van de pabo, tweede- en eerstegraads opleidingen hebben elkaars expertise nodig. Overleg over de didactiek van doorlopende leerlingen zou bijvoorbeeld plaats kunnen vinden in een instituut voor opleiding en verdere professionalisering van personeel in de branche onderwijs, die door Dengerink (2001) wordt voorgesteld. Literatuur APS (1994). Meetkunde. Algebra, Rekenen en Informatieverwerking en Statistiek Utrecht: APS. Broekman, H., & Wubbels, Th. (2001). Energie oproepen, een verhaaltje als middel. In: F. Korthagen, A. Tigchelaar, & Th. Wubbels, Leraren opleiden met het oog op de praktijk. Leuven/Apeldoorn: Garant. Dengerink, J. (2001). Maatwerk, Variëteit en Samenhang, VELON Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 22(4); Dooren, W. van, Verschaffel, L., & Onghena, P. (2001). Rekenen of algebra? Voorkeuren van toekomstige leerkrachten voor rekenkundige of algebraïsche werkwijzen, Tijdschrift voor nascholing en onderzoek van het reken-wiskundeonderwijs, 19(4); VELON Tijdschrift voor Lerarenopleiders jrg 23(2)

6 Kok, D., Meeder, M., Wijers, M., & Dormolen, J. van (1992). Wiskunde een boek voor docenten. Utrecht/ Enschede: Freudenthal Instituut/ SLO. Goffree, F. & Pelle, J. ter (1986). Van rekenen 10 naar wiskunde 16. Enschede, SLO. Kemme, S. (2001). De leerlingen doorlopen het vak wiskunde, Een verkenning van doorlopende leerlijnen. Enschede: SLO. Keijzer, R. (2002). Navigeren over hobbels in reken-wiskunde voor het basisonderwijs, VELON Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 23(2); Lagerwerf, B. (1994). Wiskunde in de basisvorming. Groningen: Wolters-Noordhoff. Menne, J.J.M. (2001). Met sprongen vooruit. Utrecht: CD-ß Press. Nathan, M.J., & Koedinger, K.R., (2000). Teachers and Researchers. Beliefs About the Development of Algebraic Reasoning, Journal of Research in Mathematics Education, 31(2); Streefland, L., (1991) Verhoudingen en procenten. Tilburg: Zwijsen. Valk, A.E. van der, & Broekman, H.G.B., (2002). Gevoelig worden voor redeneringen van leerlingen en studenten, VELON Tijdschrift voor Lerarenopleiders, 23(2); Wubbels, Th., Korthagen, F. & Broekman, H. (1997). Preparing teachers for realistic mathematics education, Educational Studies in Mathematics, 32; Hobbels in leerlijnen: bouwstenen voor het leren van vakdidactiek 38