Elektrische en magnetische velden

Transcriptie

1 Elektrische en magnetische velden

2

3 Elektrische en magnetische velden A. Henderson VSSD

4 VSSD Eerste druk 1983, Tweede druk 1988, herdrukt 2009 Uitgegeven door de VSSD Leeghwaterstraat 42, 2628 CA Delft, The Netherlands tel , telefax , internet: URL over dit boek: All rights reserved. No part of this publication may be reproduced, stored in a retrieval system, or transmitted, in any form or by any means, electronic, mechanical, photo copying, recording, or otherwise, without the prior written permission of the publisher. ISBN NUR 924 Trefwoorden: elektrische en magnetische velden

5 5 Voorwoord In dit boek wordt de theorie van de elektrische en magnetische velden voor technici behandeld; daarbij wordt naast de noodzakelijke formules ook aandacht gegeven aan de ontwikkeling van het fysische inzicht. In een inleidend hoofdstuk wordt een beknopt overzicht gegeven van de vectoralgebra. Daarna volgen de elektrostatica, de elektrische stromen en magnetische velden en vervolgens de wetten van Maxwell in integraalvorm. Daarbij komen ook de voor de netwerktheorie noodzakelijke wetten van Kirchhoff naar voren. Tenslotte volgen de wetten in differentiaalvorm, waarbij tevens wordt ingegaan op de beginselen van de vector-analyse en een rekenvoorbeeld van golven. Er is een aantal vraagstukken met een antwoordlijst opgenomen. Ik dank t. W. Buijze voor zijn opbouwende kritiek. Voorwoord bij de tweede druk Zomer 1983 A. Henderson De tekst is hier en daar wat aangevuld, er zijn enkele fouten hersteld en er zijn verscheidene vraagstukken toegevoegd. Voorjaar 1988 A. Henderson

6 o Inhoud Formule-overzicht Symboliek O. OVERZICHT VAN DE VECTORALGEBRA 1. ELEKTROSTATICA l. Lading, veld en kracht 2. Ladingsdichtheid 3. Fluxdichtheid 4. Het theorema van Gauss 5. Polarisatie 6. Influentie 7. Spanning en potentiaal 8. Geleiders 9. De elektroscoop 10. Capaciteit 1 1. Breking van veldlijnen 12. De energie van het elektrostatische veid 13. De elektrische dipool ll 8 9 l4 t6 T T ELEKTRISCHE STROMEN EN MAGNETISME 1. Elektrische stroom. De stroomwet van Kirchhoff 2. De condensator als netwerkelement 3. De wet van Ohm 4. Bewegende lading 5. Krachten tussen stromen 6. Fluxdichtheid 7. Het hali-effect 8. De regel van Ampère 9. Magnetische flux 10. De spoel in vacuiim 11. De inductiewet van Faraday 12. De spoel als netwerkelement 13. De spanningswet van Kirchhoff 14, De permanente magneet 15. De magnetische dipool 16. Diamagnetisme 17. Paramagnetisme 18. Ferromagnetisme 19. De energie van het magnetische veld 20. De formule van Hopkinson 21. Het skin-effect 22. De wetten van Maxwell Á1 AL 43 4s 46 Á

7 3. DE DIFFERENTIAALVORM VAN DE WETTEN 1. Inleiding 2. Nabla, divergentie en gradiënt 3. Rotatie 4. ELEKTROMAGNETISCHE GOLVEN l. Inleiding 2. Rekenvoorbeeld 3. De vector van Poynting 5. VRAAGSTUKKEN 6. ANTWOORDEN 7. LITERATUUR INDEX l

8

9

10

11 t1 0. Overzicht van de vectoralgebra Een scalar heeft alleen een grootte. Voorbeeld: de temperatuur T. Een vector heeft een glootte en een richting. Voorbeeld: kracht, snelheid. Een scalar geven we aan zonder streepje, bijvoorbeeld de energie W, een Yector geven we aan met een streepje boven het symbool, bijvoorbeeld de kracht Fa. Beide grootheden kunnen functies zijn van de plaats in de ruimte en van de tijd: W = W(x,y,z,t) F = F(x,y,z,t) (0. 1) (0.2) F.en veld is een vectorfunctie in de ruimte. Scalars mogen numeriek worden opgeteld, bijvoorbeeld Wl = 22 en Wz = 14; hieruit volgt Wr + Wz = 36. Vectoren moeten vectorisch worden opgeteld, zie figuur 0.1. Fig (b) E^ 1 We schrijven F=Fr+ F2. (0.3) In figuur 0.1.a is de parallellogram-constructie uitgevoerd, in figuur 0.1.b hebben we de'kop-aan-staart' constructie. Een vector in een loodrecht assenkruis wordt aangegeven met zijn ontbondenen in de X-, y- en z-richting, zie figuur 0.2. z Fig I I )/

12 l2 We schrijven F=F*+Fr+nr. (0.4) De assen worden rechtscyclisch gekozen, dat wil zeggen: als we de x-as over 90o draaien naar de y-as, geeft de rechtse schroefbeweging de richting van de z-as. De eenheidsvector langs de x-as noemen we i, die langs de y-as heet J en die langs de z-as heet k. Is R een vector met zijn voet in de oorsprong, dan kunnen we dus schrijven: R=xi+yj+zk. (0.s) De lengte van een vector geven we aan zonder streepje, dus lrl = n (0.6) Het ínwendige product of scalar-product van de vectoren á en 6 is gedefinieerd als á'6=a*b**urbrtàrbr. (0.7) We spreken dit uit als a in b, of a scalair b. Het blijkt, dat geldt á'b = abcosrp. (0.8) waarin g de hoek is tussen de vectoren a en b. Het scaiar! Als a I b dan is a'b = 0. inwendige product is dus een Het uitwendige product van twee vectoren definiëren we met een determinant: á*6 = i ^*x l-k ay az (0.e) ẖx b, bz Uitgeschreven levert dit zes termen, drie positieve en drie negatieve. De termen vinden we door het product op te schrijven van drie factoren, gaande van links boven naar rechts beneden, dat zijn de positieve termen en vervolgens van rechts boven naar links beneden, dat zijn de negatieve termen. De eerste positieve term is íarbr, de tweede positieve term is Jarb* en de derde karbr. De negatieve termen zijn karb*, ja*br, en Larbr. lve vinden zodoende áxb= (arbr_ arby)i+(arb* - a*br)i*(a*b, - arb*)k. We spreken dit uitwendige product uit als a uit b of als a maal b. Men kan afleiden: áx6 = nabsing. (0.10) Hierin is n de normaal (dat is: de loodrechte vector) met lengte 1 op het vlak

13 13 door à en 6; de richting van n vinden we door á naar b te draaien over de hoek g, dat is de hoek tussen a en 6. De rechtse schroefbeweging geeft de richting van n. Het uitwendige product is dus een vector! Als à en 6 parallel zijn is áxb- = 0 (nulvector). Als à en 6loodrecht op elkaar staan, is áx5 = nab. Dus is ïxj = k en ixï = 0. Een vector loodrecht op het tekenvlak naar achteren gericht, kan worden aangegeven met I en naar voren gericht met O.

14 I4 1. Elektrostatica 1.1. Iáding, veld en kracht Materie bestaat uit moleculen. Deze bestaan weer uit atomen. Vaak bestaan de moleculen uit verscheidene atomen, bijvoorbeeld water, HrO, bestaande uit twee atomen waterstof en één atoom zuurstof per molecuul. Vaak ook bestaan de moleculen uit gelijke atomen, bijvoorbeeld zuurstof, oz, of koper, Cu. De atomen (er zijn er meer dan 100 verschillende) hebben een diameter van de srootteorde van 10-10m. Een atoom heeft een positieve kern waaromheen elektronen cirkelen (elektronenwolk). Het elektron heeft een negatieve lading: Q. = -1,6'10-lec' De eenheid van lading is I coulomb ( 1C). Q" is de kleinst mogelijke lading. Elke lading blijkt een geheel veelvoud lr2n Q" te zijn. Beschouwt men de differentiaal dq van een lading, dan behoort dit wiskundig gezien oneindig klein te zljn. Dat is dus niet het geval. Men zegt dat lading is gekwantiseerd. Omdat de beschouwde ladingen echter vele malen ggoter zijn dan de lading van een elektron, kan men toch dq hanteren. Een atoom met een teveel of een tekort aan één of meer elektronen heet een ion. In een geleider (bijvoorbeeld Ag, Cu, Fe, Zn) zijn veel vrije elektronen, dat zíjn elektronen, die niet gebonden zijn aan een atoom. Deze vrije elektronen bewegen met zeer grote snelheid (tot 106 m/s) kris-kras door de geleider. Een vrijgekomen elektron laat een lege plaats achter in het atoom (positief gat) en men kan zich voorstellen, dat er gelijktijdig snel bewegende positieve wije ladingen in een geleider zijn. Verwijdert men elektronen uit een geleider, dan is er een overschot aan positieve ladingen. In een isolator (glas, porcelein, rubber, plastics) zijn geen wije ladingen aanwezig. Men kan wel plaatselijk een positieve of negatieve lading toevoeren. Een halfgeleider (Ge, Si) tenslotte heeft wel vrije ladingen, maar hun aantal is veel kleiner dan in een geleider. Door wrijven kan men op geleiders en isolatoren een lading aanbrengen (wriivingsele ktriciteit). Een (elektrisch) geladen lichaam oefent op een ander geladen lichaam in vacuiim (op een bepaalde afstand) een kracht uit, coulomb-kracht of elektrostatische kracht genoemd: F=k"ïP, R>0. (l.l) Dit is de wet van Coulomb. We nemen aan, dat de afmetingen van de lichamen met ladinggn Qr.n Qz klein is t.o.v. hun onderlinge afstand R. De constante k" dient om de eenheden in het te gebruiken stelsel aan te passen. Wij gebruiken het gerationaliseerde gíorgí-stelsel en dan geldt k" = I l4neo, waarin

15 l5 ê=- 'o I 362'. roe (1.2) Men noemt dit de absolute permittívíteít. De kracht is afstotend, als de ladingen gelijknamig zijn, d.w.z. beide positief of beide negatief, de kracht is aantrekkend, als de ladingen ongelijknamig zijn. De coulombkracht lijkt op de gravitatiekracht tussen twee massa's ITI, ITl, Fr=kr--#,!R. R>0. De gravitatiekracht is echter altijd aantrekkend. Formule (1.1) kan als een vectorformule worden geschreven, zie figuur 1.1. De kracht, die Q, ondervindt van Qt is F=,1 47Teo Rr ot?tn. (1.3) Q, Q' Fig Fig De afstandwerking tussen ladingen kan men beschrijven door rondom elke lading een (ruimtelijk) veld te denken, hier een elektrisch veld. Zljn de ladingen in rust, dan spreekt men van een elektrostatisch veld. De veldsterkte,veroorzaakt door de lading Qt ter plaatse van Q, is Algemeen Er =-Sr-R 4reo R" E= Q -n. R>0. (1.4) 4zreo R' Zie frguur 1.2. Er ontstaat zodoencie F = E, Qr. Algemeen F = Ee. (l.s) Q is de lading in het veld E. Veldstrekte en kracht zíin beide functies van de plaats, dus

16 t6 E = E(x,y,z) F = F(x,y,z). Een puntlading is een lading, geconcentreerd in een lichaam zonder afmetingen. De eenheidslading is een puntlading van *1 C. Een veldliin is een lijn, waarvan in ieder punt de raaklijn samenvalt vector E. tn figuur 1.3 zijn enkele veldlijnen getekend rondom een met de veldpuntlading Q. Fig l-adingsdichtheid De ruimte-ladingsdichtheid in een punt is de lading per volume-eenheid: P = '9Q" d(vol)' ( 1.6) De eenheid is C/m3. p is een functie van de plaats in de ruimte. Is p constant, dan spreekt men van een homogene ladingsverdeling. De lading binnen een volume kan men door inteeratie vinden: voorbeeld 1. I Q = IIIpd(vol). 1.7) ln een rechthoekig blok met ribben 4,5 en 7 cm is de ladingsdichtheid Q,ZClm3 Bepaal de totale lading. oplossing.' omdat we een homogene ladingsverdeling hebben, behoeven we niet te integreren. We vinden Q=p(vol) =0, rc-6 = C e28pc. voorbeeld L2 In een bol met straal R = 2 cm is de ladingsdichtheid p = 6Í, waarin r de afstand tot het middelpunt is. Bepaal de totale lading in de bol. Oplossing.' We brengen binnen de bol een bolschil aan met straal r en wanddikte dr, zíe figuur 1.4.

17 t7 Fig De lading in die bolschil is dq = 4Ttr2'dyp = 24nr3 dr. De totale lading binnen de bol is dus: R. Q = III pd(vol) = 24n! 13 dr = 6n'Ra = 96n' 10-EC. 0 Vaak bevindt de lading zich op een oppervlak. Men heeft dan te maken met de oppervlakte-ladingsdichtheid o. Er geldt ^_dq "-da ( 1.8) De eenheid is C/m2. In een geladen geleider bijvoorbeeld zullen de wije ladingen elkaar afstoten, zodat de gehele lading zich op het buitenste oppervlak bevindt. Een enkele maal is de lading op een lijn geconcentreerd. Men spreekt dan van de lineieke ladinesdichtheid ). met De eenheid is C/m. À =:F 1.3. Fluxdichtheid glas 7 tot 8 porcelein 6 transformator-olie 2 lucht 1,006 We merken op: er2 I. Voor vacuum is e, = 1. water 18 alcohol 24 geleiders Een isolator noemt men ook wel een diëlektricum. I ( l.e) lve voeren nu de elektrische fluxdichtheid D in. Dit is een fictieve, niet rechtstreeks meetbare vectorglootheid. Er geldt D = eoe.e e, hangt af van de materie, waarin het elektrische veld zich bevindt. eo is de absolute permittiviteit, e. is de relatieve permittiviteit. Hieronder volgt voor enkele stoffen de waarde van r. ( 1.10)