Elektro-magnetisme deel I. Auteur : Jouri Van Landeghem Versie 0.91

Transcriptie

1 Elektro-magnetisme deel I Auteur : Jouri Van Landeghem Versie

2 Copyright (c) 2008 Jouri Van Landeghem. Toestemming wordt verleend tot het kopiëren, verspreiden en/of wijzigen van dit document onder de bepalingen van de GNU Vrije Documentatie Licentie, versie 1.2 of iedere latere versie uitgegeven door de Free Software Foundation. Een kopie van de licentie is terug te vinden op 2

3 Inhoudsopgave 1 Elektrische verschijnselen Waarnemingen Geleiders en isolatoren Microscopische verklaring Verklaring geleiding Hoe worden voorwerpen geladen? Elektrische inductie Inductie bij een isolator Inductie bij geleiders Aarding Oefeningen De Coulombkracht Elektrische stroom Spanning Spanningsbron Belasting Eenheid van stroomsterkte De Coulombkracht Eenheid van lading De Coulombkracht Oefeningen Het elektrisch veld en veldsterkte Het elektrisch veld De elektrische veldsterkte Definitie Veldsterkte rondom een puntlading Elektrisch veld opgewekt door meerdere puntladingen Elektrische veldlijnen Onderzoek van een aantal veldconfiguraties Elektrisch veld van een puntlading Homogene velden Veldsterkte binnen in een neutrale geleider Radiaal veld van een bolvormige geleider Elektrisch veld in en rond een geladen geleider in evenwicht Dipoolveld Oefeningen Elektrische potentiaal Potentiaal in het veld van een puntlading Arbeid verricht door Coulombkracht Potentiële energie in het veld van een puntlading Elektrische potentiaal Arbeid verricht bij verplaatsing in een elektrisch veld Equipotentiaaloppervlakken Potentiaal in en rond een bolvormige geleider Potentiaal in een homogeen veld Verband tussen potentiaalverschil en veldsterkte

4 4.4.2 Potentiaal in een homogeen veld Oefeningen Gelijkstroomkringen Weerstand Spanning Stroom Definitie weerstand Weerstand van meettoestellen Wet van Ohm Schakelen van weerstanden Serieschakeling...36 a Stroom en spanning over een serieschakeling...36 b Substitutieweerstand...36 c Spanningsdeler Parallelschakeling...38 a Stroom en spanning in een parallelschakeling...38 b Substitutieweerstand...38 c Stroomdeler Gemengde schakelingen...39 a Uitgewerkt voorbeeld Factoren die de weerstand beïnvloeden Invloed van de lengte Invloed van de doorsnede Invloed van het materiaal Wet van Pouillet Invloed van de temperatuur...44 a Geleiders...44 b Isolatoren...44 c Temperatuurscoëfficiënt Supergeleiding Inwendige weerstand van een spanningsbron De wetten van Kirchhoff Stroomwet Spanningswet Toepassingen...48 a Circuits met één bron...48 b Circuits met meerdere bronnen Elektrische energie en vermogen Oefeningen Condensatoren Constructie en werking van een condensator Constructie Opladen en ontladen van een condensator...54 a Principe...54 b Oplaad- en ontlaadcurves Capaciteit van een condensator De invloed van de weerstand op het ontladen Schakelen van condensatoren

5 6.2.1 Serieschakeling Parallelschakeling Experimentele bevestiging Oefeningen Magnetische verschijnselen Eigenschappen van permanente magneten Het magnetisch veld Definitie Magnetische veldlijnen Het aardmagnetisch veld Oefeningen Elektro-magnetisme Magnetisch veld van stroomvoerende geleiders Algemeen Magnetisch veld rond een rechte stroomvoerende geleider Magnetisch veld van een stroomvoerende winding Magnetisch veld van een solenoïde of een spoel Oorzaak van permanent magnetisme Diamagnetisme Paramagnetisme Ferromagnetisme Magnetische krachtwerking Lorentzkracht Magnetische veldsterkte...69 a Definitie...69 b Magnetische veldsterkte in een punt op afstand r van een rechte, stroomvoerende geleider...71 c Magnetische veldsterkte in een punt binnenin een stroomvoerende solenoïde Toepassingen Kracht op twee evenwijdige geleiders De elektromotor Oefeningen

6 Elektrische verschijnselen 1 Elektrische verschijnselen 1.1 Waarnemingen Wat gebeurt er als we met een ebonietstaaf een stapel papiersnippers naderen? Wat gebeurt er als we met een ebonietstaaf een stapel papiersnippers naderen, nadat we eerst over de ebonietstaaf gewreven hebben met een wollen doek? Wat gebeurt er als we met een glasstaaf een stapel papiersnippers naderen, nadat we eerst over de glasstaaf gewreven hebben met een wollen doek? Wat gebeurt er als we met een koperen staaf een stapel papiersnippers naderen, nadat we eerst over de koperen staaf gewreven hebben met een wollen doek? Wat gebeurt er als we met een opgewreven ebonietstaaf een andere (niet opgewreven) ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst? Wat gebeurt er als we met een opgewreven ebonietstaaf een andere opgewreven ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst? Wat gebeurt er als we met een opgewreven glasstaaf een opgewreven ebonietstaaf naderen die (draaibaar) op een statief is geplaatst? Welke conclusies kan je trekken? Bovenstaande verschijnselen zijn gevallen van elektrische verschijnselen. We kunnen alle bovenstaande verschijnselen verklaren door volgend model aan te nemen : Er zijn twee soorten ladingen, positieve en negatieve. Bij conventie zeggen we dat glas een positieve lading krijgt, en eboniet een negatieve lading. Ladingen kunnen niet verschijnen of verdwijnen. Ladingen oefenen een kracht uit op elkaar: gelijksoortige ladingen stoten elkaar af, verschillende ladingen trekken elkaar aan. De oorzaak van elektrische verschijnselen is scheiding van lading. De elektroscoop Afbeelding 1: De elektroscoop 1.2 De elektroscoop is een toestel waarmee we de aanwezigheid van lading kunnen detecteren. Het bestaat uit twee metalen stroken, waarvan één beweeglijk en de ander vast, die geïsoleerd van de grond zijn opgesteld. Als we de elektroscoop naderen met een geladen voorwerp, dan zien we dat de beweeglijke strook uitwijkt. Hoe meer de strook uitwijkt, hoe groter de lading. Eens het geladen voorwerp uit de buurt gehaald is, verdwijnt de uitwijking. Je kan ook een elektroscoop laden door een geladen voorwerp in contact te brengen met de elektroscoop. Een deel van de lading wordt dan overgebracht op de elektroscoop, en de uitwijking blijft tot de elektroscoop ontladen wordt (bvb. door je vinger er op te leggen...). Geleiders en isolatoren Wat gebeurt er als we een geladen elektroscoop aanraken met een ongeladen 6

7 Elektrische verschijnselen glas- of ebonietstaaf? En als we de elektroscoop aanraken met een koperstaaf of met onze vinger? We zetten twee elektroscopen naast elkaar, en verbinden ze met een koperen draad. Wat gebeurt er met de tweede elektroscoop als we de eerste elektroscoop laden? We zetten twee elektroscopen naast elkaar, en verbinden ze met een wollen draad. Wat gebeurt er met de tweede elektroscoop als we de eerste elektroscoop laden? Uit bovenstaande proeven kunnen we concluderen dat ladingen mobiel zijn. De mobiliteit hangt echter duidelijk af van de middenstof. We kunnen materialen grofweg indelen in drie categorieën : 1.3 Geleiders : in geleiders hebben ladingen een grote mobiliteit en kunnen ze gemakkelijk doorheen het hele materiaal bewegen. Via een geleider kan lading gemakkelijk van een plaats naar een andere vloeien. Voorbeelden van geleidende materialen zijn : koper, aluminium, ijzer,... Isolatoren : materialen waarin ladingen weinig tot geen mobiliteit hebben. De ladingen zitten vast op hun plaats. Voorbeelden van isolatoren zijn : PCV, glas, porselein,... Halfgeleiders : materialen die zich onder bepaalde omstandigheden gedragen als geleiders, onder andere omstandigheden als isolatoren. Voorbeelden : germanium, silicium,... Microscopische verklaring Een atoom is elektrisch neutraal. Het bestaat uit een positieve kern, die op zijn beurt bestaat positieve protonen en neutrale neutronen, waarrond negatief geladen elektronen bewegen in schillen. De elektronen in de buitenste schil (de valentieelektronen) zorgen zowel voor de chemische als elektrische eigenschappen van een stof. De elektronen blijven bij de kern omdat hun negatieve lading aangetrokken wordt door de positieve lading van de protonen. Maar hoe komt het dat de protonen, die allemaal een positieve lading hebben (en elkaar bijgevolg afstoten), toch in de kern blijven? Verklaring geleiding Afbeelding 2: De atoomstructuur met de protonen, neutronen en elektronen (bron : education.jlab.org) Goede geleiders hebben weinig valentieelektronen. De materialen zijn opgebouwd uit een rooster bestaande uit positieve ionen die samengehouden worden door een vrije elektronenwolk. De elektronen zijn niet gebonden aan één ion en bewegen vrij door het rooster, waardoor lading zich gemakkelijk kan verplaatsen doorheen het materiaal. Isolatoren hebben atomen met een bijna gevulde schil, die onderling zeer sterke covalente bindingen vormen. In een isolator zijn er geen vrije 7

8 Elektrische verschijnselen ladingsdragers, en bijgevolg is er geen transport van lading mogelijk. Afbeelding 3: De structuur van een geleider : een rooster van positieve ionen met vrij bewegende elektronen. Als er lading verplaatst wordt doorheen een medium door de beweging van geladen deeltjes, dan spreken we van een elektrische stroom in dat materiaal. Afbeelding 4: De structuur van twee isolatoren (kwarts en diamant) toont de covalente bindingen tussen de individuele atomen Hoe worden voorwerpen geladen? Een isolator kan je laden door wrijving. Dit kan elektronen van het ene voorwerp wegnemen en op een ander voorwerp plaatsen. Als we een glasstaaf opwrijven met een wollen doek, waar zullen dan elektronen verdwijnen en waar komen er bij? Als we een ebonietstaaf opwrijven met een wollen doek, waar zullen dan elektronen verdwijnen en waar komen er bij? Een metaal kan je laden door ofwel elektronen toe te voegen (dan krijgt het een negatieve lading) ofwel door elektronen af te nemen (positieve lading). De lading van een isolator zal lokaal blijven, terwijl in een metaal de lading verdeeld zal zijn over het hele voorwerp. Bij een geladen metaal zal de lading zich altijd aan de oppervlakte bevinden. Kan jij verklaren waarom? 8

9 Elektrische verschijnselen 1.4 Elektrische inductie Twee ladingen oefenen op elkaar een aantrekkende of afstotende kracht uit. Maar hoe komt het dat een geladen voorwerp ook een kracht uitoefent op een ongeladen voorwerp, en dat die kracht altijd aantrekkend werkt? De oorzaak hiervan is de elektrische inductie (ook wel influentie of polarisatie genoemd). We bekijken wat er gebeurt als we een isolator en een geleider naderen met een negatief geladen ebonietstaaf Inductie bij een isolator Naderen we een neutrale isolator (bv. papiersnipper) met een negatief geladen staaf. Als we op moleculair niveau kijken, zien we dat door de nabijheid van de negatieve lading de moleculen Afbeelding 5: Elektrische inductie op een neutrale enigszins vervormd papiersnipper. worden. De negatieve elektronen die nog het meest mobiel zijn, zullen zich proberen verwijderen van de staaf maar raken niet weg van hun kern, terwijl de positieve kernen ter plaatse blijven. Hierdoor krijg je aan de kant van de staaf een netto positieve lading, en aan de kant weg van de staaf een netto negatieve lading. Tussen de netto positieve lading en de negatieve staaf ontstaat aantrekking, die sterker is dan de afstoting tussen de staaf en de negatieve kant, die ietsje verder is van de staaf. De papiersnipper in zijn geheel blijft wel degelijk neutraal!!! Inductie bij geleiders Als je een niet geladen metalen voorwerp (bv. bolletje zilverpapier) nadert met een negatief geladen staaf, verschuift een gedeelte van de vrije elektronen Afbeelding 6: Elektrische inductie op een neutrale geleider. van het metalen voorwerp naar de tegenoverliggende rand. Daardoor heeft de kant die het dichtst bij de staaf ligt een tekort aan elektronen (en bijgevolg een netto positieve lading). Wat wordt de netto lading van het gepolariseerd metaal? 9

10 Elektrische verschijnselen 1.5 Aarding We spreken van een geaard toestel als het toestel verbonden is met de aarde door middel van een geleider. Een aarding voorkomt dat er zich lading gaat opbouwen op het voorwerp, waardoor je een elektrische schok zou kunnen krijgen als je het aanraakt. Een aarding wordt symbolisch voorgesteld door drie horizontale streepjes. De kabel naar de aarde in elektrische leidingen is dikwijls groen-geel gestreept. Afbeelding 8: Symbool aarding Afbeelding 7: De groen-geel gestreepte kabels in een schakelkast zijn de verbindingen naar de aarde. De aarde zelf kan beschouwd worden als een reusachtige geleider (= vat van vrije elektronen ). Een negatief geladen voorwerp zal door de verbinding elektronen aan de aarde afstaan en wordt neutraal. Bij aarding van een positief geladen voorwerp verplaatsen elektronen zich van de aarde naar het voorwerp, waardoor de positieve lading verdwijnt. 10

11 Elektrische verschijnselen 1.6 Oefeningen 1. Welke van onderstaande uitspraken is/zijn waar? Een neutrale geleider bevat evenveel elektronen als rooster-ionen. Een neutrale geleider bevat evenveel vrije elektronen als roosterionen. Een neutrale geleider bevat evenveel elektronen als protonen. Een neutrale geleider bevat evenveel vrije elektronen als protonen. Geen van bovenstaande uitspraken is waar. 2. Een elektrisch neutraal voorwerp wordt dikwijls een ongeladen voorwerp genoemd. Het woord ongeladen is hier nogal ongelukkig gekozen. Verklaar. 3. P is een positief geladen isolator. Q is een horizontaal geplaatste, neutrale geleider. R is een heel licht aluminium bolletje, opgehangen aan een katoenen draadje, dat rechts contact maakt met de metalen staaf. Teken de opstelling. Verklaar waarom R zich naar rechts verplaatst als als P links tegen de metalen staaf gebracht wordt. 4. Doe-het-zelf : Neem een neutrale elektroscoop, en nader die met een opgewreven ebonietstaaf. Wat neem je waar? Raak nu de elektroscoop aan met je vinger, terwijl je de ebonietstaaf nog altijd bij de elektroscoop houdt (zonder echter deze aan te raken!!!). Wat neem je waar? Verwijder nu tegelijkertijd je vinger en de ebonietstaaf. Wat neem je waar? Is de elektroscoop positief of negatief geladen? Hoe kan je dit nagaan? Geef een verklaring voor de waargenomen fenomenen. 11

12 De Coulombkracht 2 De Coulombkracht We weten nu dat er zoiets bestaat als lading, dat lading de oorzaak is van de elektrische krachtwerking, maar we hebben er nog geen idee van hoe we lading kunnen meten, noch wat we als eenheid kunnen gebruiken. In dit hoofdstuk bekijken we hoe we tot een definitie kunnen komen van de eenheid van lading via een omweg langs de elektrische stroom, en bekijken we de elektro-statische krachtwerking in detail. 2.1 Elektrische stroom Spanning Beschouw twee elektroscopen. We laden één elektroscoop positief, de andere laten we neutraal. Vervolgens verbinden we beide elektroscopen met een geleider. Wat neem je waar? De uitwijking van de geladen elektroscoop zal afnemen, terwijl de uitwijking van de ongeladen zal toenemen, totdat beide uitwijkingen gelijk zijn. Dan blijft de situatie ongewijzigd. Indien in A een grotere lading aanwezig dan in B, en we verbinden A en B met een geleider, dan zal door de geleider een elektrische stroom vloeien totdat de lading in A en B gelijk is. Eens de lading gelijk in A en B, stopt de stroom. Indien er een ladingsverschil is tussen A en B, zeggen we dat er een spanning is tussen A en B. Een spanning tussen twee punten A en B is noodzakelijk wil er een stroom vloeien tussen die twee punten A en B. Er is een spanning tussen twee punten A en B als beide punten een verschillende potentiaal hebben. Het punt met de grootste positieve lading heeft de hoogste potentiaal. We komen later nog uitgebreid terug op het begrip potentiaal. Afbeelding 9: Bij verbinden van een geladen en een ongeladen elektroscoop zal er een stroom vloeien totdat de lading op beide elektroscopen even groot is. De elektrische stroom stroomt bij conventie altijd van het punt met de hoogste potentiaal (+) naar het punt met de laagste potentiaal (-). Welke ladingsdragers zijn verantwoordelijk voor de elektrische stroom? In welke richting bewegen zij? Wat is de het verschil tussen de conventionele stroomzin en de effectieve stroomzin? Een geaard punt heeft altijd potentiaal nul (0) Spanningsbron Een stroom tussen twee punten zal altijd proberen het potentiaalverschil tussen die twee punten weg te werken. Als je een stroom wil onderhouden, moet je er dus voor zorgen dat je op de één of andere manier ook de spanning constant 12

13 De Coulombkracht houdt. Dit kan met een spanningsbron. Een spanningsbron heeft twee polen, waartussen een potentiaalverschil heerst. De pool op hoogste potentiaal is de positieve pool (+), de andere de negatieve pool (-). Door de polen te verbinden vloeit er stroom van (+) naar (-). Afbeelding 11: symbool van een spanningsbron. Het lange streepje duidt altijd de positieve pool aan. Afbeelding 10: Een conventionele batterij is een spanningsbron in dagdagelijks gebruik. Een spanningsbron kan vergeleken worden met een elektronenpomp. In een gesloten kring vloeien de elektronen van de negatieve pool naar de positieve pool, en ze worden dan door het interne mechanisme (chemisch, mechanisch, elektronisch,...) van de bron terug naar de negatieve pool gepompt. Hier is arbeid voor nodig, die geleverd wordt door bvb. chemische of mechanische processen in de bron. Als de kring gesloten is, wordt de potentiële energie opgeslagen in de bron omgezet in kinetische energie van de elektronen. Afbeelding 12: Conventionele stroomzin versus beweging van elektronen Belasting De kinetische energie van de elektronen in een gesloten stroomkring kan gebruikt worden door een elektrisch toestel om arbeid te verrichten, en de 13

14 De Coulombkracht kinetische energie van de elektronen om te zetten in licht, warmte, mechanische arbeid,... Een aangesloten toestel dat de kinetische energie van de elektronen omzet naar een andere vorm noemen we een belasting. Hierdoor zal de kinetische energie van de elektronen afnemen. Het toestel vormt een weerstand voor de elektrische stroom. Een gesloten kring zonder belasting noemen we een kortgesloten kring. De stromen in een kortgesloten kring kunnen zéér groot worden, zodanig dat het interne mechanisme van de stroombron niet kan volgen en we spanningsverlies krijgen. Afbeelding 13: Links een stroomkring met belasting, rechts een kortgesloten kring. 2.2 Eenheid van stroomsterkte We definiëren de stroomsterkte I door een kring als de hoeveelheid lading Q die per tijdsinterval t door de kring wordt verplaatst. I= Q t Het probleem is dat we lading nog niet kunnen meten, en bijgevolg I ook (nog) niet. Om I te meten hebben we een goed gedefiniëerde eenheid nodig. En die eenheid bekomen we door gebruik te maken van een merkwaardig fenomeen dat zich afspeelt tussen twee stroomvoerende geleiders. Beschouw twee evenwijdige geleiders, waarover we eenzelfde spanning aanleggen. Als we de stroomkring sluiten, zie je dat beide geleiders op elkaar een kracht uitoefenen. En een kracht, dat kennen we en kunnen we meten! Dus vertrekkende van dit fenomeen, kunnen we als volgt de eenheid van elektrische stroom definiëren, de ampère : Afbeelding 14: Twee stroomvoerende geleiders oefenen een kracht uit op elkaar. Eén ampère (symbool A) is de constante elektrische stroom, die, wanneer deze loopt door twee parallelle geleiders van oneindige lengte en met een verwaarloosbare diameter, op 1 meter van elkaar geplaatst in vacuüm, een kracht tussen deze geleiders produceert van newton per meter lengte. 14

15 De Coulombkracht Deze eenheid, is naast de m, s en kg, één van de standaardeenheden van het SI-stelsel. Zij kan met andere woorden niet afgeleid worden uit andere eenheden. 2.3 De Coulombkracht Eenheid van lading Uit de definitie van de elektrische stroom en van de ampère kunnen we nu de eenheid van lading definiëren, de coulomb. Afbeelding 15: André-Marie Ampère, Eén coulomb is de hoeveelheid lading die door een stroom van 1A in 1s wordt verplaatst. 1C =1 A 1 s De Coulombkracht Een puntlading is een bol met verwaarloosbaar kleine afmetingen waarop een lading wordt aangebracht. Beschouw twee puntladingen Q1 en Q2 op een afstand r van elkaar. Elke lading oefent een elektrische kracht uit op de andere. Beschouw nu op Q2. Voor Afbeelding 16: Charles-Augustin de Coulomb ( ) F 1,2, de kracht uitgeoefend door Q1 F 1,2 geldt : het aangrijpingspunt is de lading Q2 de richting is de verbindingslijn tussen de ladingen als beide ladingen hetzelfde teken hebben, is de zin weg van Q1 als beide ladingen hetzelfde teken hebben, is de zin gericht naar Q1. Voor de grootte van de kracht toonde Coulomb experimenteel aan dat F 1,2 ~ Q 1 F 1,2 ~ Q 2 1 F 1,2 ~ 2 r Daaruit volgt dat In vacuüm is die constante Q Q F 1,2 =k r 2 9 Nm k =8, C Hoe groot is dan de kracht die Q2 op Q1 uitoefent? Hoe is die gericht? 15

16 De Coulombkracht Afbeelding 18: een schets van de torsiebalans zoals gebruikt door Coulomb Afbeelding 17: een replica van de torsiebalans 16

17 De Coulombkracht 2.4 Oefeningen 1. Bereken de grootte van de kracht tussen twee tegengesteld geladen bolletjes als de grootte van beide ladingen 0,50 µc bedraagt, en hun middelpunten zich op een onderlinge afstand van 3,0 cm bevinden. 2. Bereken de grootte van twee identieke puntladingen opdat ze elkaar op een onderlinge afstand van 0,50 m met een kracht van 100 N zouden afstoten. 3. Welke is de grootte van de kracht waarmee twee heliumkernen elkaar afstoten als ze zich op een afstand van m van elkaar bevinden? 4. We veronderstellen dat in het waterstofatoom het elektron op een cirkelvormige baan rond de kern draait. Als de straal van deze cirkelbaan gelijk is aan 5, m, bereken dan de grootte van de elektrostatische kracht, waarmee het proton het elektron aantrekt. 5. Een lading van 3,0 µc bevindt zich op een afstand van 0,25 m van een lading van 5,0 µc en op een afstand van 0,30 m van een lading van 6,0 µc. Welke kracht ondervindt de lading van 3,0 µc indien de drie ladingen op een rechte lijn staan? 6. Twee identieke kleine geladen metalen sferen staan met hun middelpunten op 0,050 m van elkaar en trekken elkaar aan met een kracht van 2700 N. We brengen ze met elkaar in contact en brengen ze vervolgens naar hun oorspronkelijke situatie terug. Nu stoten ze elkaar met een kracht van N af. Bereken hieruit de oorspronkelijke ladingen. 7. Twee identieke vliermergbolletjes dragen dezelfde lading en hebben een massa van 0,100 g. Ze zijn met twee draadjes in een punt a opgehangen. De lengte van de draadjes is 13,0 cm en de bolletjes zijn in rust wanneer ze op een afstand van 10,0 cm van elkaar komen. Zoek de lading van elk bolletje. 8. Twee bolletjes, elk met een massa van 89,9g, worden door middel van lichte en niet geleidende draden in eenzelfde punt opgehangen. Elk bolletje draagt een lading van 1,00 µc. De bolletjes blijken in evenwicht te zijn als ze op een afstand van 0,100 m van elkaar verwijderd zijn. Bereken de hoek tussen de twee draden. 17

18 Het elektrisch veld en veldsterkte 3 Het elektrisch veld en veldsterkte 3.1 Het elektrisch veld De aanwezigheid eigenschappen : van een lading geeft de ruimte rondom specifieke als we een geladen voorwerp in die ruimte plaatsen, dan ondervindt het een kracht, plaatsen we een ongeladen voorwerp in die ruimte, dan wordt het gepolariseerd. Rond een elektrisch geladen voorwerp is er een ruimte waarin andere voorwerpen een duidelijke (elektrische) invloed ondervinden. Deze ruimte noemen we het elektrisch veld van het geladen voorwerp. Het elektrisch veld is de ruimte rond een geladen voorwerp waarin de elektrische kracht zich laat voelen. 3.2 De elektrische veldsterkte Definitie Plaatsen we een lading Q in een punt P van een elektrisch veld, dan zal deze ondervinden. lading een elektrische kracht F We definiëren nu de elektrische veldsterkte in het punt P als volgt : De elektrische veldsterkte in een punt P is de vector die de verhouding geeft van de elektrische kracht op een lading Q in P tot die lading: F E= Q Die verhouding is onafhankelijk van de lading Q De eenheid van elektrische veldsterkte is N.C-1. We onthouden : Het aangrijpingspunt van E is het punt P. De grootte van E is De richting van De zin van E is dezelfde als die van de de Coulombkracht op een positieve lading in P. F. Q E is die op van de Coulombkracht op de lading Q. Uit de definitie volgt dat als in een bepaald punt P van de ruimte de elektrische veldsterkte E gegeven is, dat dan de kracht die een puntlading Q zal ondervinden in dat punt P berekend kan worden door : =Q E F Veldsterkte rondom een puntlading Beschouw een puntlading Qb (de bronlading). Deze lading wekt in de omliggende ruimte een elektrisch veld op. We gaan nu proberen de elektrische veldsterkte te 18

19 Het elektrisch veld en veldsterkte bepalen in een punt P van het elektrisch veld opgewekt door een bronlading Qb. Plaatsen we in het punt P een tweede, positieve, puntlading Qt (de testlading), dan zal deze een in het punt P een kracht ondervinden met aangrijpingspunt in P waarvan de grootte gegeven wordt door : F C =k Qt Qb afstand is tussen Qb en P, r2, waarbij r de met als richting de verbindingslijn tussen Qb en Qt met als zin weg van Qb als Qb positief is, en naar Qb toe als Qb negatief is. Uit de definitie van de elektrische veldsterkte volgt dan dat de elektrische veldsterkte opgewekt door Qb in het punt P gegeven wordt door de vector E, met aangrijpingspunt in P =k waarvan de grootte gegeven wordt door : E afstand is tussen Qb en P, Q b r2, waarbij r de met als richting de verbindingslijn tussen Qb en P met als zin weg van Qb als Qb positief is, en naar Qb toe als Qb negatief is. Wat wordt dit voor een negatieve testlading? Afbeelding 19: Elektrische veldsterkte en Coulombkracht bij verschillende configuraties. Samengevat kunnen we schrijven : De elektrische veldsterkte opgewekt door een puntlading Q in een punt P op een afstand r van Q, is gegeven door 19

20 Het elektrisch veld en veldsterkte Q E =k 2 e r r waarbij e r een eenheidsvector is volgens de verbindingslijn Q en P, met zin van Q naar P Elektrisch veld opgewekt door meerdere puntladingen In dit geval is de veldsterkte in een bepaald punt P de vectorsom van de veldsterkten opgewekt door de verschillende puntladingen in dit punt. E 1, E 2, E 3,..., E n de veldsterkten opgewekt door Q1, Q 2, Q 3,... Q n in het Zijn punt P, dan geldt dat de veldsterkte in P gegeven wordt door : E = E 1 E 2 E 3... E n= E i 3.3 Elektrische veldlijnen We verbinden een geïsoleerde geleider waaraan verschillende papiersnippers bevestigd zijn, met de elektriseermachine. Wat merk je? We strooien in een oliebad een aantal griesmeelkorrels. We plaatsen in het bad verschillende elektroden en laden de elektroden met de elektriseermachine. Wat merk je? Afbeelding 22: Elektrische veldlijnen zichtbaar gemaakt bij een puntlading. Afbeelding 20: Elektrische veldlijnen van een dipool Afbeelding 21: Elektrische veldlijnen tussen twee evenwijdige platen In een elektrisch veld richten de materiedeeltjes zich volgens bepaalde richtingen, elektrische veldlijnen genoemd. Een elektrische veldlijn is een lijn waarvan in elk van haar punten de richting van de raaklijn overeenstemt met de richting van de elektrische veldsterkte. Afbeelding 23: De elektrische veldsterkte is rakend in elk punt van de veldlijn. 20

21 Het elektrisch veld en veldsterkte De zin van een elektrische veldlijn is steeds van positieve lading weg naar negatieve toe (verklaar!). Door elk punt van het veld gaat slechts één veldlijn. Waren er twee, dan zou de veldsterkte in dit punt twee verschillende richtingen tegelijk kunnen aannemen, wat natuurlijk onmogelijk is. Veldlijnen kunnen elkaar alleen kruisen, daar waar zich een lading bevindt. Veldlijnen hebben bovendien de eigenschap dat ze steeds loodrecht op geleidende oppervlakken staan. De verzameling van alle veldlijnen noemen we het elektrisch spectrum. Hoe groter de dichtheid van de veldlijnen, hoe sterker het elektrisch veld. 3.4 Onderzoek van een aantal veldconfiguraties Afbeelding 24: Bij contact met een elektriseermachine richt het haar zich volgens de elektrische veldlijnen. Elektrisch veld van een puntlading We hebben hierboven de elektrische veldsterkte van een veld opgewekt door een puntlading al afgeleid, maar het is interessant om het elektrisch spectrum te bekijken. We zien dat de veldlijnen recht zijn en samenkomen in de puntlading. Een dergelijk veld noemen we een radiaal veld. De zin van de veldlijnen is afhankelijk of de lading positief is (naar buiten toe) of negatief (naar de lading toe). Afbeelding 25: eldlijnen in geval van een positieve puntlading (links) en een negatieve puntlading (rechts) 21

22 Het elektrisch veld en veldsterkte Homogene velden Beschouw twee evenwijdige geladen geleiders die een even grote maar tegengestelde lading dragen (+Q en -Q). Als we de randen buiten beschouwing laten, lopen de veldlijnen tussen de geleiders evenwijdig en op regelmatige afstand van elkaar. Het veld is overal even sterk. We spreken van een homogeen veld Veldsterkte binnen in een neutrale geleider Afbeelding 26: Homogeen veld tussen twee evenwijdige, tegengesteld geladen geleiders. Beschouw een neutrale geleider. We plaatsen deze geleider in een homogeen elektrisch veld. Hierdoor wordt een kracht uitgeoefend op de vrije elektronen, die zich zullen verplaatsen tegen het veld in, en zich zullen verzamelen aan één kant van de geleider. Aan één kant van de geleider is nu een overschot aan negatieve lading (-), terwijl aan de andere kant een tekort is aan negatieve lading (+). Hierdoor zal er binnen de geleider een nieuw elektrisch veld vormen, die het oorspronkelijke zal tegenwerken, waardoor de netto elektrische veldsterkte binnen de geleider steeds nul zal zijn. Dit effect kan gebruikt worden om een ruimte af te schermen van een elektrisch veld door gebruik te maken van een holle geleider. Plaatsen we zo'n holle geleider in een extern elektrisch veld, dan zal er een kracht inwerken op de vrije Afbeelding 27: Principe van de kooi van ladingsdragers van de geleider, Faraday. Het veld veroorzaakt een scheiding en zal er een stroom ontstaan. van lading, wat op zijn beurt een veld Hierdoor verschuiven de veroorzaakt dat het oorspronkelijke veld zal ladingsdragers van plaats, tot ze opheffen. Binnen in de geleider zal geen netto een positie hebben waardoor hun veld aanwezig zijn. eigen veld het externe veld opheft, en de stroom stopt. Op dezelfde manier wordt het elektrisch veld van een eventuele lading binnen de holle geleider geblokkeerd naar buiten toe. Dit principe staat bekend als de kooi van Faraday. Dit principe wordt gebruikt bij bliksemafleiders en is de oorzaak dat je de GSM niet kan gebruiken in een (volledige) metalen lift Radiaal veld van een bolvormige geleider Breng je een lading Q aan op een bolvormige (holle of massieve) geleider met straal R, dan verspreidt de lading zich over het oppervlak. 22

23 Het elektrisch veld en veldsterkte De veldlijnen vertrekken loodrecht op het boloppervlak en vormen een radiaal veld buiten de bol. Binnen in de geleider zijn er geen veldlijnen; de veldsterkte is er nul Elektrisch veld in en rond een geladen geleider in evenwicht We kunnen het bovenstaande veralgemenen tot geladen geleiders van eender welke vorm... Afbeelding 28: Veldlijnen in geval van een positief geladen sfeer. In het binnenste van de sfeer is de veldsterkte nul (geen veldlijnen). de geleider; Indien er binnen in een geleider geen netto ladingsverplaatsing is (met andere woorden geen stroom vloeit door de geleider), dan is de geleider in elektrostatisch evenwicht. Een geleider in elektrostatisch volgende eigenschappen : evenwicht heeft het elektrisch veld is nul overal binnen in niet gecompenseerde lading op een geïsoleerde geleider bevindt zich steeds aan het oppervlak; het elektrisch veld aan het oppervlak van een geleider staat steeds loodrecht op het oppervlak; het veld is het sterktst daar waar de kromming van het oppervlak het sterkts is (spitseffect). Dipoolveld Brengen we twee even grote, maar tegengestelde ladingen op een kleine afstand van elkaar. Het lijnenbeeld vormt een dipoolveld. Tussen de twee tegengestelde ladingen is het veld sterk: de lijnen liggen dicht bij elkaar. Brengen we twee even grote puntladingen met hetzelfde teken dicht bij elkaar, dan verschilt het lijnenbeeld grondig: in het midden tussen de twee gelijke ladingen is het veld vrijwel nul. Afbeelding 29: De veldlijnen in de omgeving van twee even grote bronladingen. In de figuur links hebben beide ladingen hetzelfde teken, in de figuur rechts een tegengesteld teken. 23

24 Het elektrisch veld en veldsterkte 3.5 Oefeningen 1. Bepaal de grootte van de veldsterkte in een punt op 30,0 cm van een puntvormige lading van 5, C. Bepaald de kracht, die een lading van 4, C in dat punt vanwege het veld ondervindt. 2. Gegeven een puntlading van 2, C en een van -5, C op een afstand van 10,0 cm van elkaar verwijderd. Zoek de veldsterkte in het midden van de verbindingslijn van beide ladingen. Bepaal ook de kracht die een lading van 4, C in dat punt ondervindt. 3. Twee ladingen, respectievelijk 10, C en C groot, staan op 68 cm van elkaar. Bepaal het punt op de verbindingslijn van beide puntladingen waarvan de grootte van de veldsterkte 0 N/C is. 4. Een bolvormige geleider met een straal van 7,0 cm draagt een lading van 16 µc. Bereken: a) De grootte van de veldsterkte in een punt op de bol; b) De grootte van de veldsterkte in een punt p op 12,0 cm van het middelpunt van de bol; c) De grootte van de kracht die een lading van 5,0 µc in het punt p ondervindt; d) De grootte van de veldsterkte in een punt op 6,5 cm van het middelpunt van de bol. 24

25 Elektrische potentiaal 4 Elektrische potentiaal 4.1 Potentiaal in het veld van een puntlading Arbeid verricht door Coulombkracht Als een lading Q zich verplaatst in het elektrisch veld opgewekt door een bronlading Qb, wordt op Q door de Coulombkracht arbeid verricht. We kunnen nu aantonen dat de arbeid verricht door de Coulombkracht op de lading Q enkel afhankelijk is van het beginpunt en het eindpunt van de verplaatsing, en onafhankelijk van de gevolgde weg. De Coulombkracht is met andere woorden een conservatieve kracht. We tonen dit aan als volgt : De Coulombkracht is geen constante kracht. Om de arbeid te berekenen verricht door de Coulombkracht bij een verplaatsing van punt a naar punt b gaan we als volgt te werk : Veronderstel dat punt A bepaald wordt door de plaatsvector r 1, en punt B door de plaatsvector r 2. Verder veronderstellen we dat Qb, a en b op één lijn liggen. Verplaatsen we nu een lading Q van A naar B. We delen de verplaatsing r 2 r 1 r zodat binnen op in n zeer kleine, even grote plaatsveranderingen elk stukje de Coulombkracht als constant mag beschouwd worden. Afbeelding 30: Verplaatsing van lading Q in het veld van Q'. Dit betekent dat het voor het punt C, ergens tussen A en B, gelegen op een afstand r van Qb, praktisch geen verschil uitmaakt of wij de grootte van de Coulombkracht inwerkende op Q in C aangeven door k Q Q b r2, of door k Q Qb r r 2, of door de tussenliggende waarde k Q Qb. r r r De arbeid W, verricht bij een verplaatsing r, is bijgevolg: W = F c r k Q Q b r W = r r r 25

26 Elektrische potentiaal aangezien r 1 1 = r r r r r r is 1 1 W =k Q Q b r r r r 2 r 1 opgedeeld in n kleine verplaatsingen r. r of r 2=r 1 n r waarbij n een zeer groot getal Dit betekent dat r 2= r 1 n We hebben is. De afstand van de lading Qb tot het begin van het eerste stukje is dan r1. De afstand van de lading Qb tot het begin van het tweede stukje is dan r 1 r. De afstand van de lading Qb tot het begin van het derde stukje is dan r 1 2 r. De afstand van de lading Qb tot het begin van het i-e stukje is dan r 1 i 1 r. De afstand van de lading Qb tot het begin van het n-e stukje is dan r 1 n 1 r. De arbeid verricht door de Coulombkracht als de lading Q wordt verplaatst langs het i-e stukje is dan : W =k Q Q b 1 1 r 1 i 1 r r 1 i r De totale arbeid bij verplaatsing van a naar b wordt gegeven door W = W W =k Q Qb r 1 r 1 r r 1 r r 1 2 r r 1 2 r r 1 3 r r 1 n 1 r r 1 n r Alle termen tussen de haken vallen weg, alleen de eerste en de laatste blijven over, zodat : W =k Q Qb 1 1 r1 r 2 Men kan aantonen dat dit resultaat eveneens geldig is als Q b, A en B niet op één lijn liggen. (hoe? Doe dit als oefening...) De geleverde arbeid wordt dus enkel bepaald door de afstand van het beginpunt tot de bronlading, en de afstand van het eindpunt tot de bronlading, en de gevolgde weg speelt geen rol. De Coulombkracht is bijgevolg een conservatieve kracht Potentiële energie in het veld van een puntlading Zoals gezien in de cursus mechanica, verkrijgt een voorwerp waarop een conservatieve kracht inwerkt, potentiële energie. De potentiële energie van een voorwerp in positie P ten opzichte van een referentiepunt O, is bij definitie de arbeid verricht door de conservatieve kracht 26

27 Elektrische potentiaal bij verplaatsing van het voorwerp van P naar het referentiepunt. We gaan nu de potentiële energie bepalen van een lading Q, in een punt P op een afstand r van een bronlading Qb. Als referentiepunt nemen we een punt O op een oneindige afstand van de bronlading Qb. De arbeid geleverd door de Coulombkracht bij verplaatsing van P naar O wordt dan : 1 1 W =k Qb Q r Qb Q W =k r De potentiële energie van een lading Q, in het veld van een bronlading Qb op een afstand r van Qb, is bijgevolg gegeven door : Q b Q r E p =k Zijn er meerdere bronladingen in de ruimte, dan levert elke bronlading zijn bijdrage in de potentiële energie : E p =E p,1 E p,2 E p,3... Q Q Q Q Q Q E p =k 1 k 2 k 3... r1 r2 r Elektrische potentiaal Beschouw een punt P in het veld van een bronlading Qb, op een afstand r van Qb. Plaatsen we een lading Q in het punt P, dan verkrijgt de lading Q een potentiële energie gegeven door : E p =k Qb Q r De grootheid k Qb hangt niet af van de lading Q, maar enkel van de plaats in r het elektrisch veld en van Q'. Deze grootheid noemen we de potentiaal V in het beschouwde punt. De elektrische potentiaal V in een punt P is de scalair die de verhouding geeft van de potentiële energie van een lading Q in dat punt P tot die lading Q. V= Ep Q Die verhouding is onafhankelijk van de lading Q. De eenheid van elektrische potentiaal is de Volt (1 V = 1 JC-1). In een radiaal veld opgewekt door een puntlading Q is de potentiaal op een afstand r van Q gegeven door : V= k Q r Zijn er meerdere ladingen in de ruimte, dan kan de potentiaal in een punt P geschreven worden als de som van de potentialen opgewekt door de individuele ladingen : 27

28 Elektrische potentiaal V =V 1 V 2... V n k Q 1 k Q 2 k Q n V=... r1 r2 rn Afbeelding 31: Vergelijking tussen grootte van elektrische veldsterkte en elektrische potentiaal rond een positieve puntlading (links) en een negatieve puntlading (rechts) Arbeid verricht bij verplaatsing in een elektrisch veld Verplaatsen we lading Q in een elektrisch veld van een punt A naar een punt B, dan wordt de arbeid geleverd door de Coulombkracht gegeven door : W =E p, A E p, B W =Q V A Q V B W =Q V A V B Het potentiaalverschil tussen twee punten wordt ook de spanning genoemd. 4.2 Equipotentiaaloppervlakken Elk punt in een elektrisch veld heeft een potentiaal. Een equipotentiaaloppervlak is een verzameling punten met dezelfde potentiaal. In een ruimte met één puntlading, concentrische sferen rond de puntlading. zijn de equipotentiaaloppervlakken 28

29 Elektrische potentiaal Afbeelding 32: Equipotentiaaloppervlakken (stippellijnen) en veldlijnen rond een positieve en een negatieve puntlading. Het oppervlak van een geleider is altijd een equipotentiaaloppervlak. (verklaar!) 4.3 Potentiaal in en rond een bolvormige geleider Bekijken we de potentiaal in het veld opgewekt door een bolvormige geleider, dan moeten we onderscheid maken tussen twee gebieden : Buiten de bol is de situatie dezelfde als mocht de gehele lading Q geconcentreerd zijn in één punt. De potentiaal op een afstand r van het middelpunt van de bol met lading Q wordt gegeven door : V =k Afbeelding 33: Veldsterkte en potentiaal in en rond een bolvormige geleider. Q r Binnen in de bol is er geen elektrisch veld. Om een lading in de bol te verplaatsen moet je geen arbeid leveren. Het potentiaalverschil tussen punten gelegen binnen de bol is bijgevolg nul. Alle punten in de bol hebben dezelfde potentiaal als de punten aan het oppervlak van de bol, gegeven door : V =k Q R Bovenstaande figuur geeft zowel de grootte van de elektrische veldsterkte als de elektrische potentiaal weer in- en rond een geladen bolvormige geleider. (hoe lopen de equipotentiaaloppervlakken in en rond een bolvormige geleider?) 29

30 Elektrische potentiaal 4.4 Potentiaal in een homogeen veld Verband tussen potentiaalverschil en veldsterkte Beschouw twee vlakke platen met oppervlakte A waartussen de afstand d is. We brengen op de platen twee gelijke, tegengestelde ladingen +Q en -Q. Hierdoor ontstaat tussen de potentiaalverschil V a V b. platen een homogeen veld E en een De arbeid verricht door de Coulombkracht als een positieve lading Q' van plaat a naar plaat b wordt overgebracht, wordt gegeven door : W =F d W =Q ' E d Deze arbeid is ook gelijk aan W =Q ' V a V b Uit bovenstaande volgt d =Q ' V a V b Q ' E V V b E= a d uit bovenstaande formule blijkt dat de grootte van de elektrische veldsterkte ook kan uitgedrukt worden in Vm-1 in plaats van NC Potentiaal in een homogeen veld Beschouwen we nu een punt P tussen de twee platen, op een afstand x van de negatieve plaat. De arbeid om een lading Q' te verplaatsen van P naar de negatieve plaat wordt dan : W =Q ' E x Deze arbeid kan ook berekend worden door : W =Q ' V V b met V de potentiaal in het punt P. Hieruit volgt dat het potentiaalverschil tussen de negatieve plaat en een punt op afstand x van de negatieve plaat gegeven wordt door : V V b= E x Afbeelding 34: veldlijnen en equipotentiaaloppervlakken van een homogeen veld. Hieronder staat zowel de grootte van het elektrisch veld als van de elektrische potentiaal in een homogeen veld in functie van de positie tussen de platen. De equipotentiaaloppervlakken zijn vlakken evenwijdig met de platen. In een homogeen veld staan de equipotentiaaloppervlakken loodrecht op de veldlijnen. 30

31 Elektrische potentiaal Afbeelding 35: Veldsterkte van een homogeen veld. Afbeelding 36: Potentiaalverloop in homogeen veld. 31

32 Elektrische potentiaal 4.5 Oefeningen 1. Hoe groot is de arbeid die geleverd moet worden om een lading Q te verplaatsen tussen twee punten op éénzelfde equipotentiaaloppervlak? Is de gevolgde weg hier van belang? 2. Een elektron bevindt zich in rust in een elektrisch veld. Als men dat elektron niet vasthoudt op die plaats, zal het zich dan spontaan verplaatsen in de richting van toenemende of afnemende potentiaal? Wat gebeurt er met een positieve testlading in dezelfde situatie? Hoe verandert in beide gevallen de potentiële energie van beide ladingen? Wat is er met die potentiële energie gebeurt? 3. Hoeveel arbeid moet er geleverd worden op een lading van 5, C te verplaatsen van een punt met potentiaal van 150 V naar een punt met potentiaal 40V? 4. Men moet een arbeid van 0,60 J verrichten om een lading van 10,0 mc in het elektrisch veld tussen twee punten te verplaatsen. Bereken het potentiaalverschil tussen beide punten. 5. Vier puntladingen bevinden zich op de hoekpunten van een vierkant met een zijde van 0,10 m. Hierbij is (in wijzerzin) Q1 = 2,0 µc, Q2 = 2,0 µc en Q3 = - 4,0 µc. Opdat de potentiaal in het middelpunt van het vierkant nul volt zou bedragen, moet Q4 gelijk zijn aan: a) 4,0 µc; b) + 4,0 µc; c) 2,0 µc; d) 0,0 µc; 6. Twee puntladingen, respectievelijk met een waarde van +10,0 nc en nc staan 130 mm van elkaar. Men beschouwt een punt P respectievelijk op 50 mm van het eerste, en op 120 mm van de tweede lading. Maak een schets van de opstelling. Teken de resulterende veldsterkte in het beschouwde punt P en bereken haar grootte. Bereken de potentiaal in het punt P. 32

33 Gelijkstroomkringen 5 Gelijkstroomkringen 5.1 Weerstand Spanning Als in een punt a de elektrische potentiaal gegeven wordt door Va, en in een punt b door Vb, dan wordt bij definitie de elektrische spanning over a en b gegeven door het potentiaalverschil tussen a en b. De spanning U over 2 punten op verschillende potentiaal, is het verschil in potentiaal. U ab=v a V b De eenheid van spanning is dezelfde als deze van potentiaal: de Volt (V). Afbeelding 37: Voltmeter Een spanning in een stroomkring wordt onderhouden door een spanningsbron. Het punt op de hoogste potentiaal wordt de positieve pool genoemd (+), het punt op de laagste potentiaal de negatieve pool (-). Een spanningsbron kan gelijkspanning (DC) leveren of wisselspanning (AC). Gelijkspanning blijft constant in de tijd, terwijl wisselspanning periodiek zal variëren. In dit gedeelte beperken we ons tot gelijkspanning, wisselspanningskringen komen volgend jaar nog uitgebreid aan bod. Afbeelding 38: Een voltmeter schakel je parallel over het element waarover je de spanning wilt meten. Spanning meten we met een voltmeter. Als we de spanning willen meten over een bepaald elektrisch element, schakelen we de voltmeter parallel (naast elkaar) aan het elektrisch element Stroom Plaatsen we een spanning over een geleider, dan veroorzaakt die spanning een elektrische stroom door de geleider. De elektrische stroomsterkte werd gedefinieerd als de hoeveelheid lading die per tijdseenheid doorheen de geleider wordt getransporteerd. I= Q t De eenheid van elektrische stroomsterkte was de ampère (A) Stroom meten we met een ampère-meter. Als we de stroom willen meten door 33

34 Gelijkstroomkringen een geleider, schakelen we de ampère-meter in serie (achter elkaar) met de geleider. Afbeelding 40: Een ampèremeter schakel je in serie met het element waardoor je de stroom wil meten. Afbeelding 39: Ampèremeter Definitie weerstand We definiëren de weerstand R van een element als de verhouding tussen de spanning over het element en de stroom door het element. R= U I De weerstand is positief De eenheid van weerstand is de Ohm (Ω) 1 =1 V A De weerstand van een component is een grootheid die aangeeft in welke mate de vrije elektronen energie verliezen bij doorgang door die component. In een component met lage weerstand kunnen de vrije elektronen zich gemakkelijk verplaatsen en gaat er in eenzelfde tijd meer lading door de component dan in een component met hoge weerstand, waarin de elektronen zich minder makkelijk kunnen verplaatsen omdat ze meer botsen (en kinetische energie verliezen) met de roosterionen. De weerstand van een element kan afhankelijk zijn van zeer vele factoren : de spanning over het element; de stroom door het element; de temperatuur; invallend licht;... Weerstand van meettoestellen Om de stroom in een elektrische kring te meten, moet een ampèremeter deel uitmaken van de kring (in serie geschakeld zijn) waardoor je de stroom wil meten. Als de ampèremeter zelf een weerstand heeft, beïnvloedt die de stroom in de kring en is de meting niet betrouwbaar. De ideale ampéremeter mag bijgevolg geen weerstand hebben. In de praktijk heeft de weerstand een grootte-orde van ongeveer 0,01 Ω. Om de spanning te meten over een element van de elektrische schakeling plaats 34

35 Gelijkstroomkringen je een voltmeter parallel over dat element. Zo maak je een zijtak, waar stroom door kan lopen als de weerstand van de voltmeter niet groot genoeg is. Door stroom af te takken, beïnvloed je de spanning over het element, en is de meting niet betrouwbaar. De ideale voltmeter heeft bijgevolg een oneindig grote weerstand. In de praktijk heeft de weerstand een grootte-orde van ongeveer 10 MΩ. Het is van cruciaal belang dat je het meettoestel correct schakelt. Immers, 5.2 er loopt geen stroom door de schakeling als je een voltmeter in serie zou plaatsen; als je een ampéremeter parallel plaatst over een component, maak je een kortsluiting. Wet van Ohm In 1827 publiceerde de Duitse fysicus Georg Ohm de resultaten van verschillende metingen waar hij de stroom door een groot aantal typen geleidende materialen bepaalde in functie van de spanning over de uiteinden van de geleider. Hij vond dat, bij constante temperatuur, de stroom door de geleider recht evenredig was met de spanning over de geleider : U =R I Met andere woorden, de weerstand van dergelijk materiaal (ook wel Ohmse weerstanden of kortweg weerstanden genoemd) is constant bij gegeven temperatuur. Voorbeelden van Ohmse weerstanden zijn : koper; aluminium; ijzer;... Afbeelding 41: Verschillende weerstanden. Het symbool voor een Ohmse weerstand in een elektronisch schema is hieronder weergegeven. Afbeelding 42: Een aantal verschillende types Ohmse weerstanden. Afbeelding 43: Gebruikte symbolen voor Ohmse weerstanden. In deze cursus zullen wij consequent gebruik maken van het bovenste symbool. 35

36 Gelijkstroomkringen 5.3 Schakelen van weerstanden Serieschakeling Schakel je twee weerstanden achter elkaar, dan ontstaat er een serieschakeling. Afbeelding 44: Twee weerstanden in serie geschakeld. a Stroom en spanning over een serieschakeling Beschouw twee weerstanden R1 en R2 in serie geschakeld. Over beide weerstanden plaatsen we een bron met spanning Ub. Als je met een ampèremeter de stroom I meet voor R1, tussen R1 en R2, en na R2, zie je dat de stroom overal gelijk is. Meten we met een voltmeter de spanning UR1 over R1 en de spanning UR2 over R2, dan zien we dat de som van beiden gelijk is aan de bronspanning. U R1 U R2=U b Dat geldt ook als meer dan twee weerstanden in serie geschakeld zijn. Samengevat In een serieschakeling is de stroomsterkte I in elk punt hetzelfde. de I 1 =I 2 =I 3=...=I Afbeelding 45: Meten van stromen en spanningen in serieschakeling. In een serieschakeling wordt de spanning verdeeld over de weerstanden : U b=u R1 U R2 U R3... b Substitutieweerstand Twee weerstanden R1 en R2 zijn in serie aangesloten over een bron met spanning Ub. Beide weerstanden kan je vervangen door één weerstand, die aangesloten op dezelfde bron, dezelfde stroom I levert. We noemen die weerstand de substitutieweerstand of de vervangingsweerstand Rs. We zoeken de waarde voor een serieschakeling van weerstanden. In de schakeling geldt : 36

37 Gelijkstroomkringen U b =U R1 U R2 U b=r1 I R 2 I U b= R1 R 2 I U b=r s I Dit geldt ook als meer dan 2 weerstanden in serie zijn geschakeld. De substitutieweerstand Rs van weerstanden R1, R2, R3,... in serie is gelijk aan de som van de weerstanden : R s=r1 R 2 R3... c Spanningsdeler Als je over een bron beschikt van bvb. 12 V, waarmee je een lampje wil doen branden waarover maximaal 9 V mag geschakeld worden, dan kan je dit oplossen met een spanningsdeler. Een spanningsdeler is niks anders dan 2 in serie geschakelde weerstanden. De spanning van de bron zal zich verdelen over beide weerstanden, en van die lagere spanningen kan je gebruik maken. Dit is een techniek die courant wordt toegepast in elektronische schakelingen. Beschouw twee weerstanden spanningsbron Ub. R1 en R2 in serie geschakeld over een Uit de wet van Ohm volgt: U R1=R1 I U R2= R2 I waaruit : U R1 R1 = U R2 R 2 Over de grootste weerstand ontstaat de grootste spanning. Volgens de wetten van serieschakeling geldt : U b=u R1 U R2 U b=r1 I R 2 I 1 I= U R1 R 2 b Waaruit R1 U R 1 R 2 b R2 U R2= R2 I = U R1 R2 b U R1=R1 I = De spanning over elke weerstand ligt tussen 0 V en de waarde van Ub. Ze is afhankelijk van de waarde van R1 en R2. Deze techniek wordt ook toegepast in de zgn. potentiometer-schakeling. In deze schakeling wordt een regelbare weerstand over een vaste spanningsbron geschakeld om zo een regelbare spanningsbron te verkrijgen. Probeer zelf te Afbeelding 46: Een regelbare weerstand als regelbare spanningsbron (potentiometerschakeling) 37

38 Gelijkstroomkringen verklaren hoe deze schakeling werkt... Welke twee weerstanden zou je kunnen gebruiken om het in het begin van deze paragraaf aangehaalde probleem op te lossen? a Parallelschakeling Stroom en spanning in een parallelschakeling Schakel je twee weerstanden naast elkaar, dan ontstaat er een parallelschakeling. Een knooppunt is een punt waar meerdere stromen samenkomen. Op bovenstaande figuur zijn er twee knooppunten, aangeduid met 1 en 2. Een tak is een deel van de schakeling tussen twee opeenvolgende knooppunten. De takken die de bron verbinden schakeling worden hoofdtak genoemd. met de Als we in bovenstaande schakeling de stroom I meten die vloeit door de hoofdtak (waar plaats je de ampèremeter?), en vervolgens de stroom I1 die vloeit door R1 en de stroom I2 die vloeit door R2 (waar plaats je de ampèremeters? ), dan stel je vast dat : I =I 1 I 2 Afbeelding 47: Twee weerstanden parallel geschakeld. Als je de spanning UR1 en UR2 meet over resp. R1 en R2 (waar plaats je de voltmeters?), en vervolgens de spanning U tussen knooppunt 1 en 2, dan stel je vast dat U =U R1=U R2 In bovenstaande schakeling is U = Ub. Samengevat : In een parallelschakeling is de spanning U over elke tak gelijk. U R1=U R2=...=U =U b In een parallelschakeling is de stroom verdeeld over de weerstanden. I =I 1 I 2... b Substitutieweerstand Twee weerstanden R1 en R2 zijn parallel aangesloten over een bron met spanning Ub, zoals hieronder getekend. Beide weerstanden kan je ook nu weer vervangen door één weerstand, die aangesloten op dezelfde bron, dezelfde stroom I levert, de substitutieweerstand of de vervangingsweerstand Rs genoemd. Uit de wet van Ohm volgt : Ub R1 U I 2= b R2 I 1= 38

39 Gelijkstroomkringen Hieruit : I =I 1 I 2 Ub Ub I= R1 R2 1 1 I = U b R1 R2 1 I = U b Rs Afbeelding 48: Weerstanden in parallel met stromen door alle takken. Dit geldt ook als er meerdere weerstanden in serie zijn geschakeld. De substitutieweerstand Rs van een reeks parallel geschakelde weerstanden R1, R2,..., Rn bereken je met de formule : =... Rs R1 R 2 Rn De substitutieweerstand is altijd kleiner dan de kleinste weerstand. c Stroomdeler Gemengde schakelingen In de praktijk worden we meestal geconfronteerd met een combinatie van serieen parallelschakelingen. Het komt er dan op aan om : de substitutieweerstand Rs te bepalen van de hele schakeling; de spanning over elke weerstand te berekenen; de stroom door elke tak te berekenen. Dit kan je doen met onderstaande methode : Zoek de substitutieweerstand van de gemengde schakeling. Duid alle knooppunten aan op de figuur van de schakeling. Vervang in elke tak weerstanden die in serie staan door hun substitutie-weerstand. Herteken de vereenvoudigde schakeling. Vervang parallelle weerstanden door hun substitutie-weerstand. Herteken de vereenvoudigde schakeling. Herhaal deze stappen tot je de hele schakeling hebt herleid tot een schakeling met één enkele substitutie-weerstand. Bereken de stroom door de hoofdtak door de wet van Ohm toe te passen. Bereken de stroom in elke tak en de spanning over elke weerstand door de wet van Ohm toe te passen voor de verschillende takken in de gepaste schakeling. Werk van de vereenvoudigde schakeling in stappen terug naar de oorspronkelijke schakeling. Bepaal met de wet van Ohm de spanningen over weerstanden in serie in de vereenvoudigde schakelingen. Bepaal dan de stroom door de verschillende takken. 39

40 Gelijkstroomkringen Herhaal dit tot je de stroom hebt door alle takken en de spanning over alle weerstanden. a Uitgewerkt voorbeeld Beschouw 4 weerstanden geschakeld zoals in nevenstaand schema. Bereken de substitutieweerstand van de hele schakeling. Bereken de stroom door elke weerstand. Bereken de spanning over elke weerstand. Er zijn twee knooppunten, aangeduid met A en B. Afbeelding 49: Opgegeven schakeling In de bovenste tak tussen A en B staan twee weerstanden in serie geschakeld. We berekenen de substitutieweerstand. RS1=R 1 R2= =1000 We passen de schakeling een eerste maal aan, en vervangen de serieschakeling van R1 en R2 door de substitutie-weerstand : Afbeelding 50: Serieschakeling tussen A en B is vervangen. Tussen A en B staat nu een parallelschakeling van twee weerstanden. We berekenen de substitutie-weerstand : = = = Rs2 Rs1 R We passen weer de figuur aan, en vervangen de parallelschakeling van RS1 en R3 door de substitutie-weerstand. Rs2 en R4 zijn in serie geschakeld: 40

41 Gelijkstroomkringen Afbeelding 51: Vervanging van parallelschakeling door substitutieweerstand R s=r s2 R4= =800 We passen de figuur weer aan : Afbeelding 52: Vervanging van serieschakeling door substitutie-weerstand Met behulp van de wet van Ohm berekenen we de stroom door de hoofdtak : I= U b 25V = =31,25 ma R s 800 Nu werken we in stappen terug tot de oorspronkelijke schakeling: U R4 =R4 I =600 31,25 ma=18,75 V R4 en RS2 staan in serie over de bron, dus er geldt : U R4 U Rs2 =U b U Rs2 =U b U R4=6,25 V Dit hadden we analoog kunnen vinden door : U Rs2 =R s2 I =200 31,25 ma=6,25v R3 en Rs1 staan parallel, dus geldt er: U Rs2 =U Rs1=U R3=6,25 V Hiermee kunnen we de stroom door beide takken tussen A en B berekenen. Zij I1 de stroom door de bovenste en I2 de stroom door de onderste tak : 41

42 Gelijkstroomkringen U Rs1 6,25 V = =6,25 ma Rs U R3 6,25V I 2= = =25 ma R I 1= Reken na dat I =I 1 I 2! Tenslotte berekenen we de spanning over R1 en R2 : U R1=R1 I 1=400 6,25 ma=2,5 V U R2= R2 I 1 =600 6,25 ma=3,75 V Antwoord : De totale substitutieweerstand bedraagt 800 Ω. De spanning over R1 bedraagt 2,5 V, de stroom door R1 bedraagt 6,25 ma De spanning over R2 bedraagt 3,75 V, de stroom door R2 bedraagt 6,25 ma De spanning over R3 bedraagt 6,25 V, de stroom door R3 bedraagt 25 ma De spanning over R4 bedraagt 18,75 V, de stroom door R4 bedraagt 31,25 ma 5.4 Factoren die de weerstand beïnvloeden We bekijken nu hoe volgende factoren de grootte van de weerstand beïnvloeden voor een geleider : Lengte l van de draad De doorsnede (dikte) van de draad Het materiaal waaruit de draad vervaardigd is. De temperatuur. Invloed van de lengte De weerstand van een geleider is recht evenredig met de lengte. We kunnen dit aantonen als volgt : Beschouw een weerstand R met lengte l. Plaatsen we daarachter een identieke weerstand R, eveneens met lengte l. Volgens de wetten van serie-schakeling krijgen we dan een weerstand 2R, met lengte 2l. Plaatsen we n identieke weerstanden achter elkaar, dan krijgen we via analoge redenering een weerstand nr, met lengte nl. Hieruit volgt : R~l Invloed van de doorsnede De weerstand van de geleider is omgekeerd evenredig met de doorsnede. We kunnen dit aantonen als volgt : Beschouw een weerstand R met doorsnede A. Plaatsen we daarnaast een identieke weerstand R, eveneens met doorsnede A. Volgens de wetten van parallelschakeling krijgen we dan een weerstand 1, met doorsnede 2A. 2R 42

43 Gelijkstroomkringen Plaatsen we n identieke weerstanden na elkaar, dan verkrijgen we via analoge redenering een weerstand 1, met doorsnede na. nr Hieruit volgt : R~ A Invloed van het materiaal Twee verschillende geleiders met dezelfde lengte en gelijke doorsnede, maar gemaakt van verschillende materialen, kunnen toch een verschillende weerstand hebben. De weerstand is eveneens afhankelijk van het materiaal Wet van Pouillet De drie bovenvermelde eigenschappen worden samengevat in de wet van Pouillet. De weerstand R van een geleidende draad met lengte l en doorsnede A is gelijk aan R= l A Daarin is ρ de specifieke weerstand of resistiviteit van het materiaal. In welke eenheid wordt ρ uitgedrukt? De resistiviteit is kenmerkend voor een stof. In onderstaande tabel zie je dat metalen een lage resistiviteit hebben en dus goede geleiders zijn, voor isolatoren is de resistiviteit dan weer heel groot. Elektrische conductiviteit σ is het reciproke van resistiviteit. = 1 Specifieke weerstand van enkele materialen bij kamertemperatuur in Ωm. aluminium 2, bakeliet 105 constantaan diamant 1013 goud 2, eboniet 108 ijzer 9, glasvezel 1015 koper 1, kwik 108 Nichroom (Ni, Fe, Cr) kwarts 1020 platina 10, PVC 1014 porselein 1012 teflon 1020 wolfraam zilver 5, ,

44 Gelijkstroomkringen a Invloed van de temperatuur Geleiders Als de temperatuur van een geleider stijgt, neemt zijn weerstand toe. De verklaring hiervoor ligt in het structuurmodel van een metaal. Wanneer de temperatuur van de geleider toeneemt, zullen de roosterionen heftiger gaan trillen, en een groter obstakel gaan vormen voor de vrije elektronen. De vrije elektronen zullen dus meer botsen met de roosterionen, en minder vlot door de geleider kunnen passeren. De mate waarin de resistiviteit toeneemt met de temperatuur, is materiaalsafhankelijk (zie verder bij temperatuurscoëfficiënt). b Afbeelding 53: Resistiviteit in functie van temperatuur voor een geleider. Isolatoren Neemt de temperatuur van een isolator toe, dan zal in eerste instantie de weerstand ongeveer constant blijven. Overschrijden we echter een zekere kritische temperatuur, dan zal de weerstand van de isolator sterk beginnen afnemen. De verklaring ligt ook hier in het structuurmodel van een isolator. In een isolator zitten alle atomen sterk covalent gebonden aan elkaar. Voeren we energie toe in de vorm van warmte, dan zullen de atomen Afbeelding 54: Resistiviteit in functie meer en meer beginnen trillen, tot in die van temperatuur voor een isolator. mate dat er covalente bindingen gebroken worden. De elektronen komen vrij uit de covalente binding, en worden vrije ladingsdragers. Hoe meer covalente bindingen er gebroken worden, hoe meer vrije ladingsdragers er vrij komen, en hoe beter het materiaal zal geleiden. c Temperatuurscoëfficiënt Veronderstel dat een component bij temperatuur T0 een weerstand heeft van R0. Als we de temperatuur verhogen met T, dan zal de weerstand wijzigen met een waarde R. We definiëren de temperatuurscoëfficient α als de verhouding tussen de relatieve toename in weerstand en de wijziging in temperatuur, of R = T R0 Als de weerstand toeneemt bij toenemende temperatuur (zoals bij een geleider), is α positief en spreken we van materiaal met een PTC (Positieve Temperatuurs-Coëfficiënt). Als de weerstand afneemt bij toenemende temperatuur (zoals bij een isolator), 44

45 Gelijkstroomkringen is α negatief en spreken we van materiaal met een NTC (Negatieve Temperatuurs-Coëfficiënt) Supergeleiding De meeste metalen hebben bij het absolute nulpunt nog een kleine weerstand. In 1911 ontdekte Kamerlingh Onnes dat sommige metalen bij een zekere kritische temperatuur (Tk) hun weerstand volledig verliezen. In een dergelijk materiaal, gekoeld onder de kritische temperatuur, kan een elektrische stroom in theorie oneindig lang blijven lopen zonder verliezen. In het geval van supergeleiding voldoet de voorstelling niet meer van een geleidelijk afnemende weerstand naarmate de trilling van het ionenrooster vermindert. Er is een meer verfijnd model nodig. In dit model, ontwikkeld door Cooper, Bardeen en Schrieffer, vormen de elektronen bij temperaturen onder T k elektronenparen in het rooster. Afbeelding 55: Weerstand in functie van temperatuur van supergeleidend materiaal. Afbeelding 56: Heike Kamerlingh Onnes, de ontdekker van supergeleiding De elektronen van deze zgn. cooperparen zijn zwak aan elkaar gebonden, en vormen een kluwen vrije elektronen. Dit kluwen zal zich vormen bij Tk, en zeer vlug verdwijnen eens de temperatuur boven Tk komt. Dit kluwen gaat zich op een andere, vlottere manier door het kristalrooster verplaatsen, zonder beïnvloed te worden door de roosterpunten, dus zonder energieverlies. Als door een elektrische potentiaal de verzameling cooperparen eenmaal in beweging is gebracht, dan loopt de stroom onbeperkt door. Het praktisch gebruik van supergeleiding werd tot hiertoe sterk afgeremd door de noodzaak van het instandhouden van extreem lage temperaturen. De laatste decennia werden materialen ontwikkeld die reeds supergeleidend worden in vloeibaar stikstof, bij 178 C. Vermits vloeibaar stikstof aanmerkelijk goedkoper is dan het dure helium, opende dit perspectieven tot praktische toepassingen. In onder andere NMR-scanners, waar zeer sterke magnetische velden nodig zijn, worden supergeleidende spoelen gebruikt om deze op te wekken. 45

46 Gelijkstroomkringen Voor op grote schaal commercieel bruikbare toepassingen zou men materiaal moeten ontwikkelen dat supergeleidend wordt op kamertemperatuur, maar dat is (voorlopig nog?) toekomstmuziek. Hieronder vind je een tabel met een aantal supergeleidende materialen met bijhorende Tk. Materiaal 5.5 Tk (K) Gallium 1.1 Aluminium 1.2 Indium 3.4 Tin 3.7 Kwik 4.2 Lood 7.2 Nobium 9.3 Nobium-tin 17.9 La-Ba-Cu-oxide 30 Y-Ba-Cu-oxide 92 Tl-Ba-Cu-oxide 125 Afbeelding 57: Een permanente magneet zweeft boven een supergeleidende, stroomvoerende geleider. Inwendige weerstand van een spanningsbron Een ideale weerstand. spanningsbron heeft zelf geen In de praktijk heeft elke spanningsbron een inwendige weerstand. De invloed van deze inwendige weerstand is in de praktijk dikwijls niet verwaarloosbaar, en moet in rekening gebracht worden. Nemen we een batterij met bronspanning Ub en inwendige weerstand Ri, waarover we een weerstand R aansluiten. We definiëren de klemspanning als de spanning die we meten over de klemmen van de batterij. In bovenstaande schakeling geldt : Afbeelding 58: Spanningsbron met inwendige weerstand. U b=u Ri U R U b=ri I U R Hieruit volgt dat de spanning over de weerstand gelijk is aan : 46

47 Gelijkstroomkringen U R =U b Ri I De spanning over R is dus niet gelijk aan de bronspanning, maar kleiner. Ze is gelijk aan de klemspanning Uk die gemeten wordt over de klemmen van de batterij, dus : U k =U b Ri I Hoe groter I, hoe kleiner de klemspanning. Als de kring open is, is I = 0 A. De bron is dan onbelast, en de klemspanning is gelijk aan de bronspanning. De spanning van een onbelaste bron noemen we de elektro-motorische spanning (ems). Samengevat : De elektromotorische spanning (ems) van een batterij is de spanning Ub van de batterij in een onbelaste kring. De klemspanning Uk van een batterij met inwendige weerstand Ri en ems Ub is gelijk aan : U k =U b Ri I 5.6 De wetten van Kirchhoff We hebben de wetten van Kirchhoff al experimenteel vastgesteld bij het schakelen van weerstanden, zonder ze echter expliciet te vermelden. We vermelden ze hieronder voor de volledigheid Stroomwet Komen meerdere geleiders in een punt a samen, dan wordt in dat punt geen lading opgehoopt. Alle lading die per tijdseenheid worden aangevoerd, moet meteen ook afgevoerd worden. Deze wet is een gevolg van behoud van lading : je kan geen lading vernietigen of bij creëeren. Afbeelding 59: De som van inkomende stromen is de som van uitgaande stromen In elk knooppunt is de som van de aankomende stromen gelijk aan de som van de wegvloeiende stromen. Bvb., voor het geval gegeven in de nevenstaande figuur : I 1 I 2 I 3= I 4 I 5 Spanningswet Doorloop je een gesloten stroomlus éénmaal volledig, dan kom je, vertrekkende van een punt a met potentiaal Va, na het doorlopen van een aantal potentiaalverschillen terug in a, zodat het uiteindelijke potentiaalverschil Va Va = 0 V. Bij een volledige omloop in één gesloten stroomlus is de som van alle potentiaalverschillen nul. Deze wet is een gevolg van behoud van energie. 47

48 Gelijkstroomkringen Praktische werkwijze : Kies een omloopzin in de stroomlus. Duid bij elk schakelelement (weerstand, spanningsbron,...) het punt met de hoogste potentiaal (+) en het punt met de laagste potentiaal (-) aan. Wordt een schakelelement doorlopen van + naar -, dan daalt de potentiaal ( V = -U). Wordt een schakelelement doorlopen van naar +, dan stijgt de potentiaal ( V = +U). Bijvoorbeeld in bovenstaande stroomlus is, vertrekkend bij a in aangeduide omloopzin : Afbeelding 60: Stroomkring met gekozen doorloopzin en aanduiding van punten op hoge en lage potentiaal. onderstaande grafiek : V bc V de V fg V ha =0 U R1 U R2 U R3 U b=0 IR 1 IR 2 IR 3 U b=0 Het potentiaalverloop stellen we voor in Afbeelding 61: Potentiaalverloop in functie van doorlopen punten in stroomkring a Toepassingen Circuits met één bron We kunnen de regels van Kirchhoff perfect toepassen op gelijkaardige circuits als deze die we hierboven behandeld hebben. Hernemen we het bovenvermelde voorbeeld, en proberen met de wetten van Kirchhoff de stromen door de 48

49 Gelijkstroomkringen verschillende takken te bepalen : Uit de stroomwet volgt : I =I 1 I 2 (1) Passen we spanningswet toe op lus abef : U R3 U R4 U b=0 V R3 I 1 R 4 I U b=0v (2) Op lus acdf : U R1 U R2 U R4 U b=0 V R1 I 2 R2 I 2 R4 I U b =0 V (3) We hebben nu drie vergelijkingen, en drie onbekenden. Uit (2) en (3) volgt : R3 I 1= R1 R 2 I 2 R1 R 2 I 1= I2 R3 (4) Dit invullen in (1) geeft : I= R1 R2 R3 I2 R3 (5) (4) en (5) in (2) geeft : R4 R R2 R3 I 2=U b R3 1 U b R3 I 2= R3 R1 R 2 R4 R1 R 2 R3 25 V 250 I 2= V 250 I 2= I 2=6,25 ma R1 R2 I 2 Hieruit volgt : 49

50 Gelijkstroomkringen I 1= ,25 ma 250 I 1=25 ma En bijgevolg : I =I 1 I 2=31,25 ma b Circuits met meerdere bronnen De wetten van Kirchhof kunnen het rekenwerk vereenvoudigen bij analyse van complexe netwerken met één bron, maar hun grote kracht ligt in de analyse van netwerken waar méér dan één bron is in opgenomen. Beschouw bv. Het volgende netwerk, bestaande uit twee bronnen en twee weerstanden. We gaan nu proberen de stroom te bepalen in het circuit. We doorlopen het circuit in wijzerzin. Gaan we van a naar b, dan stijgt de potentiaal met 6 V. Van b naar c is er een spanningsval van IR1. Van c naar d is daalt de potentiaal met 12 V, en van d naar a is er een spanningsval van IR2. de spanningswet geeft ons : U b1 IR1 U b2 IR2=0V waaruit : I= U b1 U b2 6 V 12 V 1 = = A R1 R Het negatieve teken voor I geeft aan dat de stroomzin tegengesteld aan hetgeen we verwacht hadden, dus tegenwijzerzin Elektrische energie en vermogen Een elektrisch toestel zet elektrische energie om in een andere vorm van energie, zoals licht (lampen,...), warmte (verwarming, gloeilamp,...), mechanische energie (wasmachine, boormachine,...). We schakelen een verbruikerstoestel over een spanningsbron die een spanning U levert. De elektrische energie E die in het toestel wordt omgezet naar een andere vorm is gelijk aan het verlies aan potentiële energie van de lading Q die erdoor stroomt. 50

51 Gelijkstroomkringen E=E pa E pb E=Q V A V B E=Q U Het is eenvoudiger stroomsterkte te meten dan lading. Daarom herschrijven we : E=U I t Hieruit volgt dat het elektrisch vermogen van het toestel, zijnde de elektrische energie die per seconde wordt omgezet, gegeven wordt door: P= E =U I t De teller in huis meet hoeveel elektrische energie er verbruikt is door alle toestellen in huis gedurende een zekere periode. De teller is dus een energiemeter. De verbruikte energie wordt gemeten in kwh (kilowattuur). Eén kilowattuur is de energie die omgezet is door een toestel met een vermogen van 1 kw als het één uur gewerkt heeft. 1 kwh = 103 W x 3600 s = 3,6.106 J. De kwh is een praktische eenheid wanneer het gaat over grote hoeveelheden elektrische energie. De kwh is geen SI -eenheid. In een ohmse weerstand wordt de elektrische energie volledig omgezet in warmte. Die warmteontwikkeling noemt met het joule-effect. Het jouleeffect wordt veroorzaakt door de energie-overdracht van de elektronen op de roosterionen waartegen ze botsen. Voor een ohmse weerstand R geldt er : P=U I =R I 2 Afbeelding 62: kwh-meter in huis. 51

52 Gelijkstroomkringen 5.8 Oefeningen 1. Men schakelt twee weerstanden, respectievelijk 60,0 Ω en 90,0 Ω parallel en plaatst daarmee in serie een weerstand van 24,0 Ω. Het geheel staat op een spanning van 24,0 V geschakeld. Teken het schakelschema, bereken de stroomsterkte in elke tak en bereken de spanning over elke weerstand. 2. Twee weerstanden, respectievelijk 20,0 Ω en 80,0 Ω staan parallel. Een derde weerstand wordt hiermee in serie geschakeld en aangesloten op een spanning van 220 V. Bereken deze weerstand opdat de stroomsterkte in de hoofdketen 5,5 A zou bedragen. Bereken tevens de spanning over elke weerstand. 3. Een bepaalde stroom splitst zich in punt a in twee takken: de weerstand van de eerste tak is 5,0 Ω, deze in de tweede tak is 10,0 Ω. Bereken de stroomsterkte in de eerste tak en in de hoofdtak (voor de splitsing) als je weet dat de stroomsterkte in de tweede tak 3,0 A is. 4. Hoe kan je met drie identieke weerstanden van 30 Ω een schakeling maken waarvan de totale weerstand slechts 20 Ω bedraagt? 5. Een bron met e.m.s. van 110 V en een inwendige weerstand van 5,2 Ω levert door een uitwendige weerstand een stroom van 0,43 A. Bepaal de klemspanning en de uitwendige weerstand. 6. Je beschikt over een weerstand van 2 Ω en twee weerstanden van 4 Ω. Hoe moet je ze alledrie schakelen opdat : De resulterende weerstand minder dan 2 Ω zou bedragen? De resulterende weerstand meer dan 4 Ω maar minder dan 8 Ω zou bedragen? Teken beide schakelingen. 7. Bereken de schakelingen : substitutieweerstand voor elk van onderstaande 8. Bereken de stroomsterkte in elke vertakking, en de spanning over elke weerstand bij volgende schakelingen: 52

53 Gelijkstroomkringen 9. Zelfde opgave als hierboven, maar nu met onderstaande schakelingen : 10.Op een broodrooster staat aangeduid : 220 V/1400 W. a) Bepaal de stroom door het toestel. b) Hoe groot is de weerstand ervan? 53

54 Condensatoren 6 Condensatoren 6.1 Constructie en werking van een condensator Constructie Een condensator bestaat uit twee geleidende platen, die gescheiden worden door een diëlectricum (isolerend materiaal). Als isolerend materiaal worden vooral keramische materialen of lucht gebruikt. Voor condensatoren met hoge capaciteit worden ook wel elektrolytische materialen gebruikt, zoals dunne laagjes aluminiumoxide. Condensatoren worden veelvuldig gebruikt in elektrische toestellen om kortstondig energie op te slaan, om plotse spanningsvallen te compenseren, storingen af te vlakken,... Afbeelding 64: Symbool van een condensator in een elektrische schakeling. In de cursus zullen we consequent het onderste symbool gebruiken a Afbeelding 63: Elektrolytische condensatoren. Opladen en ontladen van een condensator Principe Als we een spanning U plaatsen over de condensator, zullen elektronen onder invloed van het potentiaalverschil migreren van de éne plaat naar de andere. Er zal een kortstondige stroom vloeien door de kring (a). Door de ladingsmigratie komt er op de ene plaat een lading +Q, op de andere een lading -Q. Hierdoor ontstaat over de platen van de condensator een spanning UC. De ladingsmigratie gaat door totdat de spanning over de condensator gelijk is aan de bronspanning. Als Uc = U, dan stopt de stroom, en de condensator is opgeladen. Koppelen we condensator los van de bron, dan blijft de lading op de platen, en blijft de spanning over de platen bestaan (b). 54

55 Condensatoren Afbeelding 65: Opladen en ontladen van een condensator. De condensator kan nu gebruikt worden als spanningsbron. Verbinden we beide platen nu door middel van een geleider, dan zal de condensator ontladen (b). Er zal een kortstondige stroom vloeien, de lading op beide platen zal verdwijnen, evenals de spanning over beide platen. Als alle lading gerecombineerd is, en het spanningsverschil verdwenen, dan is de condensator ontladen. b Oplaad- en ontlaadcurves We kunnen het opladen en ontladen van de condensator bestuderen met behulp van onderstaande schakeling. Met de schakelaar in de bovenste stand zal de condensator opladen. Eens de condensator opgeladen, switchen we de schakelaar naar onderen, waardoor we condensator loskoppelen van de bron, en de condensator zich zal ontladen. Over de condensator plaatsen we een spanningsensor, en in serie met de condensator plaatsen we een stroomsensor. Bekijken we de spanning en stroom in functie van de tijd tijdens het opladen en het ontladen, dan krijgen we een verloop zoals afgebeeld in afb. 67. In de grafiek is ook de geaccumuleerde lading te zien in functie van de tijd. Wat is de relatie tussen de stroom door de kring en de lading op de condensator? Hoe wordt uit de grafiek van de stroom de grafiek van de lading afgeleid? Vergelijk de curves van geaccumuleerde lading en spanning. Wat stel je vast? Afbeelding 66: Experimentele opstelling om het op- en ontladen van een condensator te bestuderen. 55

56 Condensatoren Afbeelding 67: Grafieken van de stroom, geaccumuleerde lading en spanning bij op-en ontladen van condensator. Capaciteit van een condensator We bekijken nu de geaccumuleerde lading in functie van de aangelegde spanning. We verhogen stelselmatig de spanning over de condensator, en noteren in onderstaande tabel de lading : U (V) Q (C) Verwerk bovenstaande metingen met foutentheorie in EXCEL, en maak een grafiek van Q in functie van U. Voeg deze grafiek toe aan je cursus. Wat stel je vast? Bereken nu voor elke meting de verhouding Q. Wat is je conclusie? U We definiëren de capaciteit van een condensator als volgt : De capaciteit van een condensator is de constante verhouding van de opgenomen lading Q tot het potentiaalverschil U tussen de platen. C= Q U De eenheid van capaciteit is de farad (F). Uit de definitie volgt : F = CV-1 56