Enkele methoden voor het meten van polaire figuren van lineaire bemonsterde processen Dekker, G.

Transcriptie

1 Enkele methoden voor het meten van polaire figuren van lineaire bemonterde proceen Dekker, G. Gepubliceerd: 1/1/1966 Document Verion Uitgever PDF, ook bekend al Verion of Record Pleae check the document verion of thi publication: A ubmitted manucript i the author' verion of the article upon ubmiion and before peer-review. There can be important difference between the ubmitted verion and the official publihed verion of record. People intereted in the reearch are advied to contact the author for the final verion of the publication, or viit the DOI to the publiher' webite. The final author verion and the galley proof are verion of the publication after peer review. The final publihed verion feature the final layout of the paper including the volume, iue and page number. Link to publication Citation for publihed verion (APA): Dekker, G. (1966). Enkele methoden voor het meten van polaire figuren van lineaire bemonterde proceen. Eindhoven: Techniche Hogechool Eindhoven. General right Copyright and moral right for the publication made acceible in the public portal are retained by the author and/or other copyright owner and it i a condition of acceing publication that uer recognie and abide by the legal requirement aociated with thee right. Uer may download and print one copy of any publication from the public portal for the purpoe of private tudy or reearch. You may not further ditribute the material or ue it for any profit-making activity or commercial gain You may freely ditribute the URL identifying the publication in the public portal? Take down policy If you believe that thi document breache copyright pleae contact u providing detail, and we will remove acce to the work immediately and invetigate your claim. Download date: 12. Jan. 219

2 AFDELING DER TECHNISCHE NATUURKUNDE ENKELE METHODEN VOOR HET METEN VAN POLAIRE FIGUREN VAN LINEAIRE BEMONSTERDE PROCESSEN Ir. G. Dekker "/ - januari

3 ENKELE METHODEN VOOR HET METEN VAN POLAIRE FIGUREN VAN LINEAIRE BEMONSTERDE PROCESSEN SAMENVATTING In het nu volgende artikel zullen enkele methoden uitgewerkt worden om polaire figuren van lineaire, bemonterde proceen te meten met behulp van tandaard analoge rekenelementen. Nagegaan zal worden wat de invloed i van de monterduur op de meetreultaten. Voor- en nadelen van de verchillende methoden zullen genoemd worden. Volgen het principe van een der behandelde methoden i een "polair plotter" gebouwd 9 welke polaire figuren kan tekenen van proceen die op de nelle proceimulator zijn nageboott. Enkele van de polaire figuren welke op deze manier verkregen zijn, zullen in het kort worden toegelicht. INLEIDING De proceoverdracht van een lineair, bemonterd proce voor een frequentie w wordt gegeven door de vormg oe P*(jwo) = ~ L P( jw + jkw ) K:: -co q... (J Q (1) Hieruit volgt dat P*(jw. ) te verkrijgen i uit de niet-bemonterde procea overdracht P(jw) door de complexe om te bepalen van P(jw) voor w ::: w, w = w + w ' w = w + 2w, w = w - w 'w = w - 2w ooo enzo Deze om i bijvoorbeeld grafich te bepalen uit de polaire figuur van P(jw) (zie figuur 1). I I I I w - 2w = w + 2w :--.. / w - w ' ' " " " ' ',,... P(-w) " figuur 1. Contructie van p ( jw ) uit P( jw).

4 2. Indien de bandbreedte van het proce echter groot i ten opzichte van w, i deze werkmethode zeer t:ijdrovend, daar veel 11 zj,jöanden." dienen te worden meegenomen; dat wil zeggen de om moet gemaakt worden over een groot aantal k-waarden. Teneinde dit te verm:ijden z:ijn enkele methoden ontwikkeld om de polaire figuren van bemonterde ytemen met behulp van analoge rekentechnieken automatich te kunnen tekenen. Om een goede aanluiting te kr:ijgen b:ij de behandeling van deze methoden, zal eert de overdracht van een ideale monternemer (impule ampler) bekeken worden voor inuvormige ignalen. OVERDRACHT VAN EEN IDEALE MONSTERNEMER VOOR SINUSVORMIGE SIGNALEN Een ideale monternemer i een element dat op t:ijdtippen t = nt (n geheel en poitief) een impul afgeeft, waarvan de grootte overeentemt met het ingangignaal van de monternemer op het moment van deze impul. In formulevorm i dit: v.(t) = V.(t).!'(t- nt) (2) ~ ~ voor n geheel en poitief ignaal uitgangignaal monternemer T figuur 2. 2T 3T 4T 5il Overdracht van een ideale monternemer: V. ( t) = V. ( t - nt) ~ ~ In het t:ijddomein maakt de monternemer du het produkt van het ingangignaal en een reek Diracpulen; de t:ijd tuen twee opeenvolgende Diracpulen i T ec. Laplace getranformeerd geeft dit produkt de complexe convolutie, welke voor V. = inwt wordt: ~ c+joo V. ( ) ~ = J 1 w 1 2 -Ty 211 j ( - y/ + w 1 - e C -joo dy o (3)

5 De oploing van deze integraal i met w = ~ ~ K:: -co w ( - jkw ) 2 2 ' + w hetgeen na enig omwerken oplevert: V!'() = ~ 1 T L K== -co w +kw 2 + (w + kw )2 Teruggetranformeerd naar het tijddomein geeft dit: (inwt)* =; ~ K=-oo in(w + kw )t e eo oooo(4) Hieruit volgt dat een impulbemonterde inu te bechrijven i al de om van oneindig veel inuvormige ignalen met gelijke amplituden <i van de oorpronkelijke), gelijke faehoeken (gelijk aan de faehoek van de oorpronkelijke inu) en met frequentie, welke een veelvoud vande.monterfrequentie verchoven zijn ten opzichte van de frequentie van de oorpronkelijke inu. PRINCIPE VAN DE MEETMETHODE. Met behulp van de onder (4) gevonden vorm wordt het in figuur 3 getekende chema onderzocht. inw t monternemer monternemer x middeling over t figuur 3. Meetcircuit voor het opnemen van polaire figuren.

6 4. Het ingangignaal A van het yteem i inw t, zodat het ignaal B gel~k i aan: B = 1 T 1<::.- co in(w + kw )t. Dit ignaal taat aan de ing~ng van het lineaire proce met overdracht P(w). Aan de uitgang van het proce zal hierdoor weer een om van inuvormige ignalen onttaan met frequentie w + kw De amplituden en faehoeken van de divere inuen uit deze reek z~n echter niet meer gelijk, doch veranderd met de proceoverdracht behorend b~ de repectieve frequentie w + kw Voor het totale ignaal C geldt dan: K:-w jp(w +kw )~in {<w +kw )t + ~. (w +kw ) } Dit uit oneindig veel inuen opgebouwde ignaal C i het ingangignaal van een monternemer. Daar voor een monternemer het uperpoitiebeginel geldt (al T contant i), mag du ook elk van de inuen uit C bemonterd worden en daarna opgeteld. Signaal D wordt dan: K=-oa ex> + kw)il in { (w + kw + m.:- mw )t + ~(w + kw )} ( 5: In figuur 4 i chematich aangegeven hoe de frequentiepectra (met faehoek) van de ignalen A, B, C en D eruit zien. Wat er in wezen gebeurt i het volgende: 1) Signaal A= inw t geeft na bemontering ignaal B, betaande uit een aantal inuen met gel~ke amplituden en faehoeken, en wel voor alle frequentie (w +kw ), 2) Elk van de inuen uit ignaal B wordt op een b~ de frequ~ntie w +kw behorende manier verzwakt en in fae gedraaid (C). 3) Ten gevolge van het bemonteren van C geeft een iîlu uit C een b~drage in elke z~band van die betreffende inu. Dit gebeurt met alle inuen, zodat het reultaat i dat in alle z~banden onttaan met gel~ke amplituden en faehoeken. ignalen

7 Signaal A w-a w Signaal B w - 3w 1 w - 2w w - w w w + w w + 2w w-a Signaal C w-a Signaal D w-a figuur 4. Frequentiepectrum van de in het yteem voorkomende ignalen. (De polaire figuur en de monterperiode zijn gelijk aan die waarvoor figuur 1 gechett i).

8 6. In D zal hierdoor de inuvormige component Dw met frequentie w al volgt opgebouwd worden: D = 2 I P ( w ) I in{w t + \.f ( w ) } I P ( w + w ) I in {w t +lp ( w + w )} + w T2 o o o T o o o + 2 IP(w - w )I in {w t +\.V (w - w)} + T2 o o o I P ( w + kw ) I in {w t + t.p ( w + kw )} T2 o o o of: ()() jp(w +kw )!.in {w t + ~ (w ( 6) Soortgel~ke K:::- oo uitdrukkingen zijn ook op te tellen voor de inuen met andere frequentie ( w + (m + k)w bij m.j -k) o Vergelijking (5) i dan ook te chrijven al de om van oneindig veel reeken. Elk van die reeken bevat lecht inuen met één bepaalde frequentie. Na vermenigvuldiging van D met inw t zullen weer inuvormige ignalen onttaan, zodat het produkt gemiddeld over de tijd nul oplevert. Dit geldt echter niet voor de reek met frequentie w het produkt: (reek (6) du); hier geeft. t 1 ~nw - o T 2 I P(w K::-co L [ IP(w +kw )l.co ~ (w +kw)+ K:: -co... I P( w + kw ) I co { 2w t + ~ ( w + kw ) } J Het tweede gedeelte van de reek in het rechter lid i g emiddeld nul, zodat het totale gemiddelde uitgangignaal wordt: L IP(w +kw )l. co ~ (w +kw), evenzo na vermenigvuldiging met cow t en middeling over de tijd: L K : - oo jp(w +kw )j. in \f (w +kw).

9 ?. Door te vermenigvuldigen en te middelen worden uit het ignaal D de Fouriercomponenten voor de frequentie w gefilterd. Het gebruikte actieve filter wordt daarom ook wel ''FOURIER FILTER" genoemd. De ignalen X en Y zijn juit het reële en imaginaire deel van de in figuur 1 gecontrueerde om. Hiermee i du aangetoond dat het mogelijk i direct een punt van het polaire diagram van een lineair bemonterd proce te meteno Door de ignalen X en Y met de X- repectievelijk Y-ingang van een XY-chrijver te verbinden en vervolgen w langzaam een bepaald frequentiegebied te laten doorlopen, wordt op de XY-chrijver het polaire diagram over dit betreffende frequentiegebied gechreven. De complete optelling i in figuur 5a nogmaal getekend. cow t ~ D cow t _./ inw t ~ a. b. c ow t inw t~ cow t inw t c. d. figuur 5. Verchillende configuratie voor het meten van de bemonterde proceoverdracht met behulp van bemonterde ignalen.

10 t. ANDERE CONFIGURATIES Uit figuur 5a i te zien dat het produkt lecht gemaakt wordt op de montermomenten (immer D = voort InT). Het andere -ingangignaal van de vermenigvuldiger (inw t rep. cow t) hoeft du in principe ook alleen maar op de montermomenten aanwezig te zijn, zodat de configuratie volgen figuur 5b equivalent i aan die van figuur 5a. Maar dan zijn ook de optellingen volgen figuur 5c en 5d toegetaan. Voor de exacte berekening hiervan wordt verwezen naar de appendix. In het voorafgaande werd aangenomen dat de produkten gemaakt werden in een oneindig kleine tijd. I deze tijd niet oneindig klein maar wel zo klein dat gedurende deze tijd de ignalen niet veranderen, dan wordt de vermenigvuldiging volgen figuur 6 verkregen. Gemiddeld over de monterperiode levert dit produkt op: v 1.v 2.~/T. nt nt 11 Cn + 1 )T t t V t D t figuur 6. Vermenigvuldiging over een zeer kleine tijd ~ waarin de ignalen contant blijven. Met een houdcircuit i het mogelijk v 1 en v 2 gedurende T econden contant, en wel gelijk aan v 1 rep. v 2, te houden, zodat het nt gemiddelde produkt v 1.v 2 wordt. Deze waarde i evenredig met ~ nt nt T V 1 nt.v 2 nt T De proportionele verterking i~. nt Inplaat van de bemonterde ignalen aan de vermenigvuldiger toe te voeren, mag du ook gebruik gemaakt worden van de vatgehouden ignalen. Op deze manier worden de configuratie welke in figuur?a en 7b gechett zljn verkregen.

11 9. houd cow t --- ~ ~----~ inw t -----r--- o ~ proce,------,c=:j--r < y.,l; 1-l o X,;;b a. houd ~I oy J:,J: proce houd ~x Ir,I, b. figuur 7. Meetmethoden met behulp van houdcircuit.

12 1. PRAKTISCHE VERWEZENLIJKING Monternemer die Dirac-impulen afgeven, betaan in werkelijkheid niet. Meetal heeft men te maken met componenten die gedurende een eindig t~dinterval p (de monterduur of pulbreedte) een ignaal afgeven, waarvan de grootte evenredig i met het ingangignaal t p T ' ' p T figuur 8. Overdracht van een monternemer met eindige pulbreedte. Stellen we de evenredigheidfactor gelijk aan één, dan i het bemonterde ignaal te chr~ven al het produkt van het ingangignaal en een pulreek waarvan de pulhoogte 1, de pulbreedtepen de herhalingfrequentie ~ i. Voor inuvormige ignalen wordt dit: (inw t)* = inw t.(pulreek) p Laplace getranformeerd geeft dit de complexe convolutie: (inw t)* = p C+JOO 1 I 2Tlj C-j oo w + w e-py y(1 - -Ty e ) dy. De oploing van deze integraal wordt gevonden door de om van de reiduen van de integrand te bepalen voor de polen van: 1 - e-py y(1 - -Ty e ) De polen z~n: Ty 21\jk = 2njk, du: T = jkw 5 = y.

13 11 zodat gevonden wordt: (inw t); = ; ~ K=--oO w ( - jkw ) 2 ink:w ~ kw ~ 2 [ + w 2 -jkw p 1 - e J 'kw = - jkw~ -jkw~ 2j (e - e ) (w + kw ) (w + kw ) Vereenvoudiging en tranformatie naar het tijddomein geeft: (inw t) p = ~ inkw 8 ~ K=-oo kw~ 2 of ( 7) Uit deze vergelijking blijkt dat een inuvormig ignaal dat bemonterd wordt door pulen met eindige breedte 9 evenal in het ideale geval, te bechrijven i al een om van inuvormige ignalen, waarvan de frequentie een veelvoud van de monterfrequentie zijn verc}loveh :t. o-o v. die van het niet bemonter< ignaal. De amplituden en faehoeken van de inuen uit de z~öanden krijgen echter een correctieterm. Deze correctieterm i: 'nkw ~ S1 S2 kw~ voor de ampdtude van de k z~öand en - kw ~ rad. voor de faehoek van de k zijband. S2 Wordt het in vergelijking (7) gevonden reultaat toegepat op het in figuur 3 gechette yteem, dan wordt gevonden: ignaal A = inw t.. k ~ = in {(wo + kw ) T. 5 t - kw ~ }. ignaal B ~ L 1n w 52 K:-oo kw~

14 ignaal c ;I S~ "nk WS2 E = p kw2 1<:: - 'kw~ ignaal D ~I ~.n 52 'I' = IP(wo + kw)l K= -oo I P(w + kw) I in {<w + kw)t - kw~ +\f (w + kw)} oo einmw~ kw~ ~ 52 mw52 l1j =-co Vermenigvuldiging van ignaal D met inw t rep. cow t levert weer inuo vormige ignalen op met frequentie (k + m)w Deze ignalen z~n over de tijd nul, tenz~ -m = k, in welk geval geldt: X = (Dinw t) o gem gemiddeld oo [ kw EJ 2 ~n 2 \ IP(w +kw )I co~(w +kw ). ~ kw~ K:::- oo 2 2 Y = (Dcow t) -Eo gem - 2 T2 [ ~n. k w~] 2 2 I P(w +kw )I inl:?(w +kw). kw 1 5 y S. S2 De X en Y z~n weer het reële en imaginaire deel van de in figuur 1 gemaakte om, echter met een correctieterm: 2 Hierin i ~ een proportionele factor die de vorm van X en Y niet aantat; het tweede ged~elte van de correctieterm tat de vorm echter wel aan en zal du zo goed mogel~k gel~k gemaakt moeten worden aan 1; dat wil zeggen (inkw~)/(kw~)~1 of kw~ = k~~ moet klein z~n. In de appendix zal worden aangetoond, dat de in figuur 5 getekende configuratie evenzeer gechikt z~n voor bemontering met eindige pulbreedte. Voor de chema' met houdcircuit i de afleiding iet ingewikkelder. Alvoren op deze berekening in te gaan, zal eert de complexe rekenw~ze ingevoerd worden.

15 BEPALING VAN DE OVERDRACHT MET BEHULP VAN COMPLEXE REKENWIJZE Voor het uitgangignaal van een monternemer, met al ingangignaal een inu, werd gevonden: inkw~ =. (inw t)*.e. I in {<wo + kw )t - kw 5~}, p T K:-oo evenzo geldt: = kw.e. 2 inkw~!l (cow t)* co {<w + kw )t p - kw~} kw~ ~::- Vermenigvuldiging van de eerte vergel~king met j en optelling b~ de tweede geeft: jw t * (e ) p () I.E. inkw~ -jkw.e. S2 = e.e T K: -oo kw~ j(w +kw )t o o(8) Het uitgangignaal van het proce wordt dan: co inkw.e. -jkw.e. j (w +kw )t I 2 2 T kw.e. 2 K: -oo c =.E. e. P(w + kw ). e P(w + kw ) i hier de complexe overdrachtfunctie van het proce en i "lo( kw ) du gel~'k aan IP(w + kw )1. ejt Wo + Bemonterd levert C het ignaal D op, waarvoor geldt: D ~I: inkw 5~ = T 2 K:-ao k.e. "2. e. e -jkw~ e P(w + kw ) -jmw.e. j (w + kw + mw )t S2 I: inmw~ mws2.e. l'n:: -oo Dit ignaal wordt vermenigvuldigd met inw t en cow t en gemiddeld over de t~do Complex komt dit neer op vermenigvuldiging met (ejwot) o toeg. Door de vermenigvuldiging met de toegevoegd complexe treedt geen cheiding van het ignaal in reëel en imaginair deel op.

16 14. Het uitgangignaal van de vermenigvuldiger wordt: P(w + kw ) o oo e(9) Dit i, afgezien van de correctiefactor gegeven overdracht.. 2 ~ [tnkw ~] T kw~ S2, juit de in (1) MEETMETHODE MET HOUDCIRCUITS EN EINDIGE MONSTERDUUR Het houdcircuit kan opgebouwd gedacht worden uit twee gedeelten (zie figuur 9),nl: 1. Pulgedeelte over p econden. 2. Impul-houdgedeelte over T-p econden _,. _,.... ~ --- ~ "' ---- "' "' --- ''" " " " /1 V p T ~ 2T 4T p T 3~ ~ pulgedeelte houdgedeelte t figuur 9. Houdcircuit met eindige pulbreedte. Het pulgedeelte geeft aanleiding tot overdrachten zoal hierboven afgeleid zijn; het houdgedeelte geeft aanleiding tot nieuwe overdrachten. Een impul-houdcirc'.iit over T-p econden heeft een overdracht -(T- p) H() = 1 - e oo o o o o (1) of voor een inuvormig ignaal met frequentie w: -jw(t-p) 1 - e H ( w) = -..;::---- jw. (11)

17 Het ingangignaal van het houdcircuit i echter geen enkelvoudige inu, maar een op tijdtippen nt + p impul-bemonterd inuvormig ignaal (fig. 1), T T + p 2T 2T + p figuur 1. Impulbemontering op nt + p. Met behulp van een complexe convolutie i het uitgangignaal van een monternemer, welke bemontert op tijdtippen nt + p, te berekenen. Deze berekening levert: 1 L jw t -jkw p j (w + kw )t e._. e e T K=-co Het uitgangignaal van het houdcircuit ten gevolge van het houdgedeelte bij een ingangignaal ejwot i~ du: ~L -jkw p e 1 - e -j(w +kw )(T-p) j(w +kw ) K=-oo jw t Het ingangignaal i echter niet e de vermenigvuldiger (verg. fig.?b), du: e j(w +kw )t maar het uitgangignaal van ( 12) -jmw E 52 e P(w + mw ). jmw t e 5 (de reek met frequentie 2w + :nw i weggelaten, 6 daar deze uiteindelijk een bijdrage nul levert)

18 1b.. zodat het uitgangignaal van het houdcircuit ten gevolge van de houdactie wordt: -jmw~ e P ( w + mw ) - j ( mw + kw )( T - p ) e j(mw +kw ) e j(mw +kw )t Dit ignaal i gemiddeld nul, tenz~ k =-m. In dat geval wordt het uitgangignaal van het houdcircuit (nog teed alleen maar ten gevolge van het houdgedeelte): p(t - p) T2 inkw~ jkw~ e P(w +kw ). K:- PO Het totale meetreultaat voor het houdcircuit(pulgedeelte plu houdgedeelte) wordt du: H X, y = p2 ~ [inkw~j 2 P(w + kw )+ P ~ L kw~ 1<.:-oO S2 Lpulgedeelte _ I ex> +J2(T- p) L ~ + T2 K=- ro "nk p "kw w2 p J 2 e P(w +kw ) kw~ oe ( 13) h u d g e d e e 1 t e De eerte term van (13) i voor kleine p te verwaarlozen ten opzichte van de tweede, waaruit blijkt dat de methode met houdcircuit extra faedraaiing geeft in de zijbanden. Uiteraard voldoet ook hier weer de methode welke gechett i in figuur?a.

19 17. VERGELIJKING VAN DE VERSCHILLENDE MEETMETHODEN De verchillen in de behandelde methoden zitten in de ignalen welke de vermenigvuldiger toegevoerd krijgen. Deze ignalen zien er voor de divere methoden al volgt uitg Methode Ia Een bemonterd en een niet bemonterd ignaal (ignaal A en D in figuur 5a). Methode Ib Twee bemonterde ignalen (ignaal B en D in figuur 5b). Methode Ie Een bemonterd en een niet bemonterd ignaal (ignaal B en C in figuur 5c)o Methode Id Twee niet bemonterde ignalen (ignaal A en C in fig. 5d). Methode IIa Twee vatgehouden ignalen (figuur?a). Methode IIb Twee continue ignalen (figuur 7b). In groep I treden teed bemonterde ignalen op, terwijl de ignalen uit groep II vatgehouden ignalen zijn (het ingangignaal van het proce i voor beide groepen bemonterd). Uit de vormen (8) en (12) volgt dat de bandbreedte van de bemonterde ignalen veel groter i, dan die van de vatgehouden ignalen. De correctiefactor in de zi,]èanden van bemonterde ignalen i nl ( inkw 5 ~ )/(kw~), terwijl deze van vatgehouden ignalen gelijk i aan (in (w +kw )(T- p)/2)/ (w +kw )(~- p)/2o Vergelijk hiervoor de in figuur 11 getekende bandbreedtea krommen. ignaalgrootte in de z:i,]nanden l vatgehouden bemonterd w - 1 Ow w figuur 11. Verzwakking in de z:i,]banden van bemonterde, repectievelijk vatgehouden inuvormige ignalen

20 Dat wil du zeggen, dat de in groep I gebruikte ignalen (uitgezonderd die van Id) door hun grote bandbreedte zeer hoge eien aan de vermenigvuldiger tellen. De vatgehouden ignalen tellen met hun kleine bandbreedte veel minder eien aan de apparatuur~ Een tweede nadeel bij het gebruik van bemonterde ignalen i de zeer kleine energie-inhoud. Na elke pulmonternemer moet een verterker gechakeld worden, welke uiteraard weer een grote bandbreedte moet hebben. De energieinhoud van de vatgehouden ignalen i (T- p)/p maal zo groot al die der bemonterde, zodat ook hierdoor de houdactie beter i. Een nadeel van methode II i de faecorrectie in de zj,jbanden. Indien echter de pulbreedte p klein i ten opzichte van T, wordt deze correctie ook klein. Voor methode Id geldt alleen het nadeel van de kleine energie-inhoud, daar er bij die methode geen bemonterde ignalen aan de vermenigvuldiger worden toegevoerd. Het uitgangignaal van het proce zelf kan echter zeer breedbandig zijn, bijv. bij eerte orde proceen met kleine tijdcontanten. In dat geval worden bij bijna alle meetmethoden hoge eien aan de apparatuur geteld. Alleen methode!ia maakt de bandbreedte van het ignaal door de houdactie kleiner. Deze methode i dan ook het bete te intrumenteren. Om een indruk te krijgen, hoe groot de afwijkingen zijn voor methode I en II, zijn in figuur 12 6.P* beide meetmethoden. Hierin i: en 6lf al functie van de frequentie uitgezet voor De overdrachten zijn berekend voor een tweede orde proce met gelijke tijdcontanten van 1 econde; de monterperiode wa 1,1 econde en de pulbreedte 5 mec.

21 6P* bemonterd vatgehouden ~ ~ ~ ~ ~r---~~ r--~=-w,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 w figuur 12. Fouten in de abolute waarde en faehoek ten gevolge van bemontering met eindige monterduur

22 2. BESPREKING VAN ENKELE FIGUREN, DIE MET DE SNELLE PROCESSIMULATOR ZIJN OPGENOMEN Bij de polaire diagrammen die met de nelle proceimulator zijn opgenomen, werd gebruik gemaakt van de meetmethode met houdcircuit voor de vermenigvuldiger (methode IIa). Een tweetal diagrammen zal beproken worden, nl: 1e 2e het polaire diagram van een eerte orde proce, het polaire diagram van een tweede orde proce met gelijke tijdcontanten. Om een indruk te geven van het tijdgedrag van de machine, volgen hier enkele karakteritieke grootheden. a. De tijdcontanten van geimuleerde proceen kunnen ingeteld worden tuen,1 mec en 1 mec. Een eventueel gebruikte dode tijd kan ingeteld worden tuen,1 mec en 1 mec. b. De monternemer heeft een vate monterduur van,1 mec; de monterperiode i in te tellen tuen,1 mec en 3 mec. De inleetijd van de houdcircuit i minder dan,2pec; de houdtijdcontante i ongeveer 1 ec. c. De vermenigvuldiger hebben een tijgtijd van minder dan,3 mec. De ideale (impulbemonterde) overdracht van een eerte orde proce laat zich gemakkelj;j"k berekenen. Het polair diagram voor < w <w /2 i een S halve cirkel onder de reële a door de punteng 1/(1 - e-tk )t voor w = en Het middelpunt van de cirkel ligt op de reële a. Voor het geval dat hier beproken wordt, werd gekozen t -T~ 1/( 1 + e )t voor w = w /2. S =,4 mec, T =,2 mec, zodat de nijpunten met de reële a 1562,5 en 625 zijn. In figuur 13 i zowel dit ideale al het gemeten polaire diagram getekend. Het berekende diagram i echter vermenigvuldigd met een chaalfactor T, het gemeten diagram met een chaalfactor{p(t;p)}~ 1 T. Het gemeten diagram lijkt uit het ideale te zijn onttaan door: 1. een verchuiving naar link (vooral voor hoge frequentie). 2. een extra faedraaiing + frequentieafhankelijke verzwakking. De onder 1 genoemde verchuiving i in werkelj;]xheid niet het gevolg van de meetmethode, doch het effect van paraitaire tijdcontanten (bijv. tijdcontanten van de gebruikte opteller, welke in de orde van groott~ van enkelepec liggen en de tijdcontanten van de houdcircuit).

23 21., ~ \ \ \ \ \-- \ '\ '\.,5 " ~ / w w=f --- 'w = 1) ideaal bemonterd 1 orde proce 2) gemeten met houdcircuit figuur 13. Polaire diagrammen van een bemonterd 1 orde yteem: 1) berekend, 2) gemeten. (uitgezet i T.P voor het berekende diagram en{p(t;p)}: 1 P voor het gemeten diagram) T P " - w a. b. figuur 14~ Onttaan van fouten in P * ten gevolge van de correctietermen: P inkw 8 ~ kw~ 2 jkw~ en e

24 22. Bfj ideale bemontering zouden deze tijdcontanten het polaire diagram tot in het derde kwadrant trekken; daar ze hier veel kleiner zijn dan de pulbreedte, geven ze aanleiding tot een geringe verchuiving. Wordt aan het eerte orde proce een extra tijdcontante toegevoegd, welke niet veel kleiner i dan de pulbreedte, dan komt het polair diagram inderdaad in het derde kwadrant. De onder 2 genoemde extra faedraaiing i een fout welke aan de meetmethode kleefto Hij i onttaan uit een fout ten gevolge van de correctieterm. ~ ~ jkwe. en ten gevolge van e 2. Be~de invloeden zullen apart (~nkw 2 )/kw 2 bekeken worden. Zoal in de inleiding al gezegd i, kan het polair diagram van P* puntgewij gecontrueerd worden uit P door de om te bepalen van P voor w + kw, waarin k van + oo tot - OQ loopt. I de bandbreedte van het proce klein ten opzichte van w 5, dan i het voldoende om lecht enkele z~banden mee te nemen. In figuur 14a i de contructie uitgevoerd voor één z~band en de hoofdband (du k = -1 en ). Uit deze figuur blijkt duidelijk, dat de verzwakkingfactor in de z~band (inw~)/w~ in het uiteindelijke reultaat aanleiding geeft tot een geringe faedraaiing en verzwakking. De fout, ten gevolge van de factor (inkw ~ 2 )/kw ~ 2, treedt zowel bij methode I al "k E methode II op (vergelijk fig. 12). De correctieterm ej -z geeft evenal de in correctieterm ook aanleiding tot een extra faedraaiing en een geringe verzwakking. Alhoewel de poitieve e-macht te denken geeft dat de faedraaiing die erdoor onttaat poitief i, moet wel bedacht worden dat de z~banden die het meete effect hebben, die zijn waarvoor k negatief i (met name k = -1). De ten gevolge van de e-macht onttane faedraaiing i in figuur 14b gecontrueerd. Na de behandeling van het eerte orde proce behoeft het tweede orde proce weinig toelichting. De polaire figuren (ideaal en gemeten) zijn gechett in =,2 mec, T =,22 mec en p =,1 mec. figuur 15. Hier i t 1 = t 2 Opgemerkt zij nog dat bij een tweede orde proce de ideale bemontering beter benaderd wordt door de afvlakkende werking, terwijl paraitaire tijdcontanten veel minder invloed hebben dan bij de eerte orde proceen.

25 1 I J --1) berekend ) gemeten w W= / w w=1b figuur 15. Polaire figuren van een bemonterd 2 orde proce: 1) berekend, 2) gemeten. (uitgezet i. T.l' voor het berekende diagram en{p(:; p)}: 1 Pp voor het gemeten diagram)

26 A-1. APPENDIX AFLEIDING VAN DE HOOFDFORMULES VOOR MONSTERNEMING I de overdracht P() van een proce gegeven, dan i op een eenvoudige manier te berekenen wat de overdracht P*() i, al dit proce bemonterd wordt. Per definitie geldt: p () u () = I*() Indien I(t) een impul i, i I*(t) ook weer een impul, zodat I*() = 1. In dat geval i P*() = u (); dat wil zeggen dat de P*() gevonden wordt door het uitgangignaal van het proce ten gevolge van een impul aan de ingang te bemonteren. In het tijddomein i deze bemontering een vermenigvuldiging met een impulreek Ö(t- ni), hetgeen Laplace getranformeerd een complexe convolutie oplevert. p () = u () = of P*() = U*() = 1 2ll j c., +) j P( c,-j oo c-.joo J "' P(w) c-j oo.1. - w). 1 -Tw 1 - e dw, 1 dw. 1 - e -T(-w) Oploing van de eerte integraal geeft: p () =; L P( + jkw ) K:-oo (tweede hoofdformule van bemontering) De tweede integraal kan opgelot worden al P(w) bekend i. e Voor een 1 orde proce bijv. wordt gevonden: 1 p () = t. e -T( + -t) 1 - (eerte hoofdformule van bemontering) Deze overdrachten gelden lecht voor impulbemontering. In het voorafgaande i beproken dat ten gevolge van bemontering met eindige pulbreedte correctietermen optreden al: kwe l.n 52 kw~ -jkw~ e

27 A-2. Hoe deze correctietermen doorwerken in het eindprodukt bij de divere meetmethoden zal in het nu volgende bekeken worden. Voor de configuratie volgen figuur 5a i afgeleid: P*(jw) p gemeten = :~ f: [ inkw~ J 2 K=-oo kw~ 2 P(w +kw ). Voor de configuratie volgen figuur 5b gaat de afleiding al volgt: het produkt moet gemaakt worden van ignaal B en D, hetgeen oplevert: p T kw~ ~n I kw~ K=-oo S2 e +jkw~ -j(w+kw)t e. ~ p2.i ~nmw2 2 ~ T mw 2 m=-do -jmw ~ S2 e P(w + mw 8 ).I j(w+mw +nw )t. ~ 11::-oo ~nnw 2 -jnw~ e e nw2 i K:-oo m::: -oo -jmw~ e P(w + mw ) n: -oo -J nw ~ S2 e e dit i een inuvormig ignaal met frequentie n + m - gemiddelde waarde heeft, tenzij: n + m - k =. In dat geval komt er: k dat nul al kw~.k ~ i ~. ~ p3i ~n 2 J w2 nmw 2 ~ -Jmw 2 e e P(w + mw ). T3 8 kw~ I mw2 ~ tn:-oo K::-oo.. ~ in(k- m)w~ L- (k- m)w~ K-tn::~oo E. ;, \ inmw2 TL mw~ 2 rn:- oo -j(k - m)w~ e = K:-oo inkw~ kw E. S2 in(k- m)w~ (k- m)w~

28 De laatte reek i al volgt te chrijven: in(k- m)w~ (k- m)w~ = { km 1 m(k- m) } inkw ~ in (k- m)w ~ = (X) = mw~~ L -inkw~ in(k- m)w~ kw ~ S2 K=- oo +--L 1 ~ inkw~ in (k- m)w~ mw~ K =- oo (k-m)w~ + = L 1 i nkw ~ in(k + m)w~ + = mw2.e. kw~ K::-oo 1. k ~ ~n w 52. ~ ~nmw = r:2 62 cokw 5 ~ = ~ mw2 kw~ K::- oo. ~ ~nmw 52 inkw. P 2inmw 6 ~ 11 = 2 =. -- ~ r: kw P ~ mwb2 mw2 wp K=-oo = T. ~ ~nmw 2 P mw 5~ Dit ingevuld in de oorpronkel~ke vorm geeft: p2 ~ [ inmw 6~] 2 2 ~ ~ P(w + mw ), hetgeen identiek i aan T mw 2 tl1 = -oo het antwoord dat b~ de methode volgen figuur 5a gevonden werd.

29 Bij de configuratie volgen figuur 5c moet het produkt gemaakt worden van ignaal B en C. Dit levert op: I<:- inkw~ kw E 2 -jkw E S2 e P(w +kw ). e j (w +kw )t 5.;:- inmw 5 ~ L rn:-oo mw E 2 -j(w + e mw )t Gemiddeld over de tijd wordt alleen een bijdrage verkregen voor k = m, zodat voor het gemiddelde uitgangignaal van de vermenigvuldiger weer dezelfde waarde gevonden wordt al boven, nl: 2 p2 I [inkw ~ J. P(w + kw ) ~ kw E K= -oo 2 Voor de configuratie volgen figuur 5d wordt het uitgangignaal van de vermenigvuldiger bemonterd, hetgeen geeft: [ P -jwt T e I K:::-CO inkw~ kw E 2 -jkw E S2 e j(w P(w + kw )e 6)t] + kw = inkw~ kw E 2 m::::.-oo inmw~ mw E 2 -jmw~ e e j(kw + mw )t gemiddeld wordt wederom alleen een bijdrage verkregen voor k = -m. Deze bijdrage i: P(w + kw ) Ook deze vorm i gel~k aan de hierboven afgeleide vormen.