TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek 2 voor TeMa (2S95) op donderdag 0-03-2005, 4.00-7.00 uur Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine, een onbeschreven Statistisch Compendium en van één tweezijdig beschreven formuleblad in A4-formaat. De antwoorden dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Indien niet anders gespecificeerd geldt: toets op een significantieniveau van 5%. Er zijn 4 vraagstukken met in totaal 5 onderdelen. Elk onderdeel van de opgaven wordt gewaardeerd met 4 punten. Het cijfer wordt bepaald door het totaal der behaalde punten door 6 te delen.. In een Amerikaans onderzoek naar de mate van altruïsme oftewel de mate waarop iemands leven wordt bepaald door de belangen van anderen, werd aan 865 studenten een lijst met vragen voorgelegd betreffende hun interesses en attitudes. Een aantal van deze vragen vormen een meetschaal, ALTR, die de mate van altruïsme kwantificeert. Iedere student kreeg in deze schaal de score laag, gemiddeld of hoog. De ondervraagde studenten werden op aselecte wijze gekozen uit de ongeveer 30000 ingeschreven studenten van een grote universiteit. De vraag is of er een samenhang bestaat tussen de mate van altruïsme en de studierichting. De gegevens staan in onderstaande tabel. Een deel van de met SPSS uitgevoerde analyses is opgenomen in bijlage, onderdeel a. Studierichting Score ALTR Gemiddeld Letteren 7 77 29 Pedagogiek 32 54 Medicijnen 2 62 64 Bedrijfskunde 3 44 28 Landbouwwetenschappen 5 27 35 Technische wetenschappen 2 29 94 Natuurwetenschappen 7 29 24 a. Formuleer de te toetsen hypothesen. Geef de verdeling van de toetsingsgrootheid en geef de realisatie van de toetsingsgrootheid. U hoeft de waarde van de toetsingsgrootheid niet te berekenen. Is aan de voorwaarden voor de toets voldaan? Wat is uw conclusie? Geef door berekening aan wat de bijdrage is aan de realisatie van de toetsingsgrootheid in de cel met studenten technische wetenschappen met een hoge score voor ALTR. - -
b. Verifieer de waarde van het aangepaste residu (adjusted residual) in de cel met studenten technische wetenschappen met een hoge score voor ALTR en geef voor alle aangepaste residuen met een opvallende waarde een interpretatie. c. Geef in eigen woorden weer wat het verschil is tussen de significantie van het verband tussen studierichting en ALTR-score en de kracht van de associatie van het verband. Welke van de in de output genoemde associatiematen zijn hier van toepassing? Interpreteer de waarden ervan. Om na te gaan of studenten in de harde studierichtingen in mindere mate betrokken zijn bij het welbevinden van de medemens dan studenten van andere studierichtingen, worden de studenten landbouwwetenschappen, technische wetenschappen en natuurwetenschappen in één groep genaamd Beta samengevoegd, de overige studenten worden samengevoegd in een andere groep genaamd Anders. De hierdoor ontstane variabele GROEP, met als mogelijke waarden Beta en Anders, is op te vatten als een ordinale variabele. De variabele ALTR kan ook worden beschouwd als een ordinale variabele. Een deel van de met SPSS uitgevoerde analyses is opgenomen in bijlage, onderdeel b. d. Geef aan of er een significant verband bestaat tussen de variabelen GROEP en ALTR. Verifieer de waarde van de associatiemaat Gamma en geef een interpretatie van de waarde. 2. Elektronische kopieerapparaten maken kopieën door het fixeren van zwart inktpoeder op papier, daarbij gebruikmakend van statische elektriciteit. Het verwarmen van het papier en vervolgens fixeren van de inkt vormen de twee laatste fasen van het kopieerproces. De fixatie van de inkt in de laatste fase bepaalt in hoge mate de kwaliteit van het kopieerproces. Vermoedelijk zijn de temperatuur, de hardheid van het oppervlakte van de roller en de druk die de roller uitoefent op het papier daarbij doorslaggevende factoren. Om een beeld te krijgen van de invloed van deze factoren op de printkwaliteit zijn een aantal experimenten uitgevoerd met combinaties van diverse instellingen van de drie factoren. De gevonden meetgegevens zijn opgenomen in de tabel in bijlage 2. Deze bevat de gemeten waarden van de fixatiekwaliteit van de inkt bij diverse instellingen van de factoren temperatuur (TEMP), druk (DRUK) en hardheid (OPP). In eerste instantie is men geïnteresseerd in de fixatiekwaliteit als functie van de temperatuur. Vooralsnog worden de factoren OPP en DRUK dus genegeerd. Een deel van de bij de analyse behorende output is weergegeven in bijlage 2, onderdeel b. a. Geef het bijbehorende one-way variantieanalysemodel en vermeld de voorwaarden. Geef aan of aan de genoemde voorwaarden al dan niet is voldaan voor zover deze informatie uit de weergegeven output is te halen. - 2 -
Noem de ontbrekende output voor de modelverificatie en geef aan waarop hierin gelet dient te worden. Ga er verder van uit dat is voldaan aan de modelvoorwaarden. b. Maak de ANOVA-tabel in bijlage 2, onderdeel b compleet. Voor de significatie van de modeltoets volstaat een benaderende waarde. Wat is uw conclusie? Ga er verder van uit dat de temperatuur een significante invloed heeft op de fixatie en dat is voldaan aan de modelvoorwaarden. c. Geef aan welke temperatuurinstellingen significant verschillen op grond van Fisher s LSD methode en Tukey s HSD methode. Welke van beide methoden resulteert in het algemeen in de meeste significante verschillen? Motiveer uw antwoord. d. Bereken een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor het verschil in fixatie tussen lage en hoge temperatuurinstelling. De factoren druk en rolleroppervlak worden nu ook in de analyse meegenomen. Er zijn een drietal modellen doorgerekend. De bijbehorende ANOVA-tabellen zijn opgenomen in bijlage 2, onderdeel c. e. Aan welk model geeft u de voorkeur? Waarom? Is het door u geselecteerde model een verbetering in vergelijking met het model uit onderdeel a. Zou u als medewerker van de R&D-afdeling van de producent van het kopieerapparaat gelukkig zijn met het geselecteerde model? Motiveer uw antwoord. In bijlage 2, onderdeel d zijn de interactieplots opgenomen behorend bij model 3. f. Geef interpretaties van de in model 3 voorkomende interacties. 3. Het is niet eenvoudig om de bloeddoorstroming in menselijke hersenen te meten. Eenvoudiger is het bepalen van de zuurstofdruk in de halsslagader. Bij een medisch onderzoek is men geïnteresseerd in de vraag of de bloeddoorstroming in menselijke hersenen kan worden voorspeld uit de zuurstofdruk. Om dit na te gaan werden van 5 aselect gekozen patiënten beide kentallen bepaald en opgenomen in een SPSS-dataset met als variabelen FLOW (bloeddoorstroming) en O2DRUK (slagaderlijke zuurstofdruk, uitgedrukt in millimeters kwik). De metingen staan in onderstaande tabel FLOW 84.33 87.80 82.20 78.7 78.44 80.0 83.53 79.46 O2DRUK 603.40 582.50 556.20 594.60 558.90 575.20 580.0 45.20 FLOW 75.22 76.58 77.90 78.80 80.67 86.60 78.20 O2DRUK 404.00 484.00 452.40 448.40 334.80 320.30 350.30-3 -
a. Geef het enkelvoudige lineaire regressiemodel met de voorwaarden. De output van de variantieanalyse is weergeven in bijlage 3, onderdeel a. Vul de ontbrekende waarden in deze output aan. Toets de significantie van het model. Formuleer hierbij de te toetsen hypothesen, geef de verdeling van de toetsingsgrootheid, geef de realisatie van de toetsingsgrootheid en benader de significantie van de toets. Wat is uw conclusie? Op grond van de scatterplot in de bijlage lijkt toevoegen aan het model van een kwadratische term O2DRUK 2 gerechtvaardigd. De output van de variantieanalyse is weergeven in bijlage 3, onderdeel b. b. Geef het meervoudig lineaire regressiemodel met de voorwaarden en vermeld uw conclusie. c. Ga op grond van de residuanalyse in bijlage 3, onderdeel c na of aan de modelvoorwaarden van het kwadratisch model redelijkerwijs is voldaan. d. Zou het uitbreiden van het model met een een kubische term O2DRUK 3 zin hebben? Zou het zin hebben om te zoeken naar andere variabelen die mede de responsvariabele verklaren? 4. De consumentenbond vergeleek oplaadbare MP3-spelers van de merken Xoney, Aiwat en Piliphs met elkaar, o.a. met betrekking tot de speelduur. Van ieder van de drie merken werd één apparaat aangeschaft voor het onderzoek. Hierbij werd de speelduur van ieder apparaat meerdere malen bepaald. Bij iedere duurtest werden de batterijen van de speler vooraf helemaal opgeladen. Vervolgens werd het apparaat ingeschakeld en werd de tijd geregistreerd tot het moment dat de speler stopte. Onderstaande tabel bevat de gemeten tijden uitgedrukt in uren. Merk Speelduur (uren) Xoney 4.9 6. 4.3 4.6 5.3 Aiwat 5.5 5.4 6.2 5.8 5.5 5.2 4.8 Piliphs 6.4 6.8 5.6 6.5 6.3 6.6 De data zijn niet afkomstig uit normale verdelingen maar het is redelijk om aan te nemen dat de onderliggende verdelingen wel symmetrisch zijn. Ga na of de verwachte waarden voor de speelduur van de drie merken significant van elkaar verschillen. Vermeld hierbij alle onderdelen van de toets. - 4 -
Bijlage - Altruïsme onder studenten Onderdeel a. Crosstabs Case Processing Summary Studierichting * Altruïsme Cases Valid Missing Total N Percent N Percent N Percent 865 00.0% 0.0% 865 00.0% Studierichting * Altruïsme Crosstabulation Studierichting Total Letteren Pedagogiek Medicijnen Bedrijfskunde Landbouwwetenschap pen Technische wetenschappen Natuurwetenschappen Altruïsme laag gemiddeld hoog Total 7 77 29 23 9. 98.5 05.4 23.0 -.8-3.4 3.7 32 54 87 3.7 40.2 43.0 87.0 -.5 -.9 2.5 2 62 64 28 5.5 59.2 63.3 28.0 -.6.5. 3 44 28 75 3.2 34.7 37. 75.0 -. 2.3-2.2 5 27 35 67 2.9 3.0 33.2 67.0.3 -.0.5 2 29 94 235 0. 08.7 6.3 235.0.7 3. -3.4 7 29 24 60 2.6 27.7 29.7 60.0 2.9.3 -.5 37 400 428 865 37.0 400.0 428.0 865.0 Chi-Square Tests Pearson Chi-Square Likelihood Ratio Linear-by-Linear Association N of Valid Cases Asymp. Sig. Value df (2-sided) 43.487 a *** *** 42.47 *** *** 27.26 *** *** 865 a. 4 cells (9.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 2.57. Nominal by Nominal Ordinal by Ordinal N of Valid Cases Phi Cramer's V Gamma a. Not assuming the null hypothesis. Symmetric Measures Asymp. Value Std. Error a Approx. T b Approx. Sig..224.000.59.000 -.230.043-5.22.000 865 b. Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis. - 5 -
Onderdeel b. Crosstabs Case Processing Summary GROEP * Altruïsme Cases Valid Missing Total N Percent N Percent N Percent 865 00.0% 0.0% 865 00.0% GROEP * Altruïsme Crosstabulation GROEP Total niet beta beta Altruïsme laag gemiddeld hoog Total 3 25 275 503 2.5 232.6 248.9 503.0-2.9-2.4 3.6 24 85 53 362 5.5 67.4 79. 362.0 2.9 2.4-3.6 37 400 428 865 37.0 400.0 428.0 865.0 Chi-Square Tests Value df Asymp. Sig. (2-sided) Pearson Chi-Square 7.785 a 2.000 Likelihood Ratio 7.748 2.000 Linear-by-Linear Association 7.078.000 N of Valid Cases 865 a. 0 cells (.0%) have expected count less than 5. The minimum expected count is 5.48. Nominal by Nominal Ordinal by Ordinal N of Valid Cases Phi Cramer's V Gamma a. Not assuming the null hypothesis. Symmetric Measures Asymp. Value Std. Error a Approx. T b Approx. Sig..43.000.43.000 -.254.062-3.982.000 865 b. Using the asymptotic standard error assuming the null hypothesis. - 6 -
Bijlage 2 - Elektronische kopieerapparaten. Onderdeel a. - de data Temperatuur Oppervlak Druk roller (hrc) roller 20 40 60 Zacht 0.52 0.54 0.60 0.44 0.52 0.55 0.57 0.65 0.78 0.53 0.56 0.68 0.64 0.79 0.49 0.59 0.73 0.48 0.58 0.79 0.74 0.64 0.78 0.50 Hard 0.67 0.58 0.55 0.77 0.68 0.65 0.74 0.57 0.57 0.65 0.59 0.58 Zacht 0.46 0.3 0.56 0.40 0.49 0.42 0.58 0.48 0.49 0.37 0.66 0.49 0.60 0.66 0.64 0.43 0.57 0.54 0.62 0.72 0.74 0.6 0.56 0.56 Hard 0.53 0.53 0.56 0.65 0.45 0.66 0.66 0.59 0.7 0.56 0.47 0.67 Zacht 0.52 0.54 0.65 0.44 0.52 0.49 0.57 0.65 0.65 0.53 0.56 0.52 0.53 0.53 0.49 0.65 0.45 0.48 0.66 0.59 0.74 0.56 0.47 0.50 Hard 0.43 0.48 0.55 0.43 0.3 0.65 0.47 0.43 0.57 0.44 0.27 0.58 Onderdeel b. Oneway Descriptive Statistics TEMP FIXATIE Valid N (listwise) FIXATIE Valid N (listwise) FIXATIE Valid N (listwise) N Minimum Maximum Mean Std. Deviation 36.44.79.692.09729 36 36.3.74.5556.0277 36 36.27.74.5250.09694 36-7 -
Test of Homogeneity of Variances FIXATIE Levene Statistic df df2 Sig..29 2 05.748 FIXATIE Between Groups Within Groups Total ANOVA a Sum of Squares df Mean Square F Sig..66 *** *** *** ***.030 *** ***.96 *** a. R Squared =.39 (Adjusted R Squared =.23) Post Hoc Tests Dependent Variable: FIXATIE Multiple Comparisons Tukey HSD LSD Bonferroni (I) TEMP (J) TEMP *. The mean difference is significant at the.05 level. Mean Difference (I-J) Std. Error Sig..0636*.02334.020.0942*.02334.000 -.0636*.02334.020.0306.02334.393 -.0942*.02334.000 -.0306.02334.393.0636*.02334.008.0942*.02334.000 -.0636*.02334.008.0306.02334.93 -.0942*.02334.000 -.0306.02334.93.0636*.02334.023.0942*.02334.000 -.0636*.02334.023.0306.02334.580 -.0942*.02334.000 -.0306.02334.580 Homogeneous Subsets FIXATIE Subset for alpha =.05 TEMP N 2 Tukey HSD a 36.5250 36.5556 36.692 Sig..393.000 Means for groups in homogeneous subsets are displayed. a. Uses Harmonic Mean Sample Size = 36.000. - 8 -
Residuanalyse.3.2. -.0 -. -.2 -.3 0.0.0 2.0 3.0 4.0 TEMP TEMP Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig..46 36.052.948 36.089.0 36.200*.98 36.774.08 36.200*.965 36.297 *. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction 2 Normal Q-Q Plot of TEMP= 2 Normal Q-Q Plot of TEMP= 0 0 Expected Normal - -2 -.2 -. 0.0..2 Expected Normal - -2 -.3 -.2 -. -.0..2.3 Observed Value Observed Value Normal Q-Q Plot of 2 TEMP=.3.2 03. 0 -.0 Expected Normal - -2 -.3 -.2 -. -.0..2.3 -. -.2 -.3 N = 36 36 94 96 36 Observed Value TEMP - 9 -
Onderdeel c. drie modellen Univariate Analysis of Variance - model Tests of Between-Subjects Effects a Dependent Variable: FIXATIE Type III Sum Source of Squares df Mean Square F Sig. TEMP.66 2.083 9.002.000 DRUK.09 2.00.055.352 OPP.078 2.039 4.239.07 Error.932 0.009 Total.96 07 a. R Squared =.22 (Adjusted R Squared =.74) Univariate Analysis of Variance - model 2 Dependent Variable: FIXATIE Source TEMP DRUK OPP TEMP * OPP OPP * DRUK TEMP * DRUK Error Total Tests of Between-Subjects Effects a Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig..66 2.083 2.034.000.09 2.00.40.250.078 2.039 5.667.005.28 4.032 4.65.002.26 4.032 4.578.002.063 4.06 2.274.067.64 89.007.96 07 a. R Squared =.486 (Adjusted R Squared =.382) Univariate Analysis of Variance - model 3 Dependent Variable: FIXATIE Source TEMP DRUK OPP TEMP * OPP OPP * DRUK Error Total Tests of Between-Subjects Effects a Type III Sum of Squares df Mean Square F Sig..66 2.083.409.000.09 2.00.337.268.078 2.039 5.373.006.28 4.032 4.40.003.26 4.032 4.34.003.677 93.007.96 07 a. R Squared =.434 (Adjusted R Squared =.349) - 0 -
Onderdeel d. interactieplots bij model 3.7 Estimated Marginal Means of FIXATIE.6 Estimated Marginal Means.5.4 OPP Zacht Hard TEMP.7 Estimated Marginal Means of FIXATIE.6 Estimated Marginal Means.5.4 Zacht DRUK 20 40 60 Hard OPP - -
Bijlage 3 - Hersenonderzoek Onderdeel a. Het enkelvoudige model Graph 88 86 84 82 80 78 FLOW 76 74 300 400 500 600 700 O2DRUK Regression Model Model Summary Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estimate.2 a.044 -.029 3.67940 a. Predictors: (Constant), O2DRUK Model Regression Residual Total a. Predictors: (Constant), O2DRUK b. Dependent Variable: FLOW ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 8.69 *** *** *** *** a 75.994 *** *** 84.63 *** Model (Constant) O2DRUK a. Dependent Variable: FLOW Unstandardized Coefficients Coefficients a Standardized Coefficients B Std. Error Beta t Sig. 76.863 4.857 5.824.000.008.00.2 *** *** - 2 -
Onderdeel b. Het kwadratisch model Regression Model Model Summary Adjusted Std. Error of R R Square R Square the Estimate.669 a.448.356 2.903 a. Predictors: (Constant), O2DRUK2, O2DRUK Model Regression Residual Total ANOVA b Sum of Squares df Mean Square F Sig. 82.537 2 4.268 4.873.028 a 0.626 2 8.469 84.63 4 a. Predictors: (Constant), O2DRUK2, O2DRUK b. Dependent Variable: FLOW Model (Constant) O2DRUK O2DRUK2 a. Dependent Variable: FLOW Unstandardized Coefficients Coefficients a Standardized Coefficients B Std. Error Beta t Sig. 42.334 22.425 6.347.000 -.285.099-7.903-2.878.04.0003.000 8.39 2.963.02-3 -
Onderdeel c. - Residuanalyse van het kwadratisch model Residual 6 4 2 0-2 -4-6 77 78 79 80 8 82 83 84 85 predicted Explore Case Processing Summary Cases Valid Missing Total N Percent N Percent N Percent 5 00.0% 0.0% 5 00.0% Descriptives Mean 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound Statistic Std. Error.000000.695657 -.492024.492024 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis -.0426.63000 7.259 2.6942474-4.6658 5.4328 0.0986 3.932600.263.580 -.227.2-4 -
Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig..0 5.200*.983 5.987 *. This is a lower bound of the true significance. a. Lilliefors Significance Correction 6 Histogram 5 4 3 2 Frequency 0-4.0-2.0 0.0 2.0 4.0 6.0 Std. Dev = 2.69 Mean = 0.0 N = 5.00 Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 7.00-0. 02224 7.00 0. 0023.00 0. 5 Stem width: 0.0000 Each leaf: case(s) - 5 -
2.0 Normal Q-Q Plot of.5.0.5 0.0 Expected Normal -.5 -.0 -.5-2.0-6 -4-2 0 2 4 6 Observed Value 8 6 4 2 0-2 -4-6 N = 5-6 -