TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica. Tentamen Statistiek I voor B (2S410) op , uur.

Transcriptie

1 TECHNISCHE UNIVERSITEIT EINDHOVEN Faculteit Wiskunde en Informatica Tentamen Statistiek I voor B (S40) op 0-0-0, uur. Bij het tentamen mag gebruik worden gemaakt van een zakrekenmachine, een éénzijdig beschreven A4 met aantekeningen, en van een onbeschreven Statistisch Compendium. De antwoorden dienen gemotiveerd, duidelijk geformuleerd en overzichtelijk opgeschreven te worden. Indien niet anders gespecificeerd geldt: toets met een onbetrouwbaarheid van 5%. Betrouwbaarheidsintervallen 95%. Er zijn 6 vraagstukken met in totaal onderdelen. Elk onderdeel wordt gewaardeerd met punten. Het eindcijfer wordt berekend door het totaal door 4.4 te delen.. Pokeren is een spel dat meestal wordt gespeeld met speelkaarten. Het kan echter ook met dobbelstenen. Een eenvoudige variant van het spel bestaat uit het eenmalig werpen van 5 dobbelstenen. a. Lucratief daarbij is de zogenaamde Five of a Kind. Dit is de gebeurtenis waarbij de combinatie vijfmaal een gelijk aantal ogen optreedt. Bereken de kans op een Five of a Kind. b. Ook lucratief is de Full House. Dit is de gebeurtenis waarbij de combinatie driemaal een gelijk aantal ogen met tweemaal een (ander) gelijk aantal ogen optreedt Bereken de kans op een Full House. c. Het spel wordt 0 maal gespeeld. Bereken de kans op minstens 3 maal een Full House. Neem 0.0 voor de kans op de gebeurtenis uit onderdeel b, indien u dit onderdeel niet heeft beantwoord.. Een frisdrankenfabrikant beschikt over een machine om sinaasappels te persen. De hoeveelheid sap die uit een sinaasappel geperst kan worden is bij benadering normaal verdeeld met een gemiddelde van 35 ml en een standaarddeviatie van.5 ml. a. Bereken de kans dat een willekeurig gekozen sinaasappel tussen 33 en 4 ml sap bevat. b. Bereken de kans dat twee willekeurig gekozen sinaasappels ieder tussen 33 en 4 ml sap bevatten. c. Bereken de kans dat twee willekeurig gekozen sinaasappels samen tussen 66 en 84 ml sap bevatten. d. Hoeveel sinaasappels zijn er naar verwachting nodig voor liter jus d orange?

2 3. Dezelfde fabrikant koopt een partij sinaasappels nieuwe oogst in van een leverancier die beweert dat het sapvolume voldoet aan de specificaties zoals genoemd in opgave. Om de juistheid van de bewering van de leverancier te toetsen besluit de fabrikant om een steekproef van 000 sinaasappels uit de bewuste partij te persen met de gegevens in bijlage als resultaat. a. Bereken op grond van de gegevens in de bijlage de variantie, standard error, range, mediaan en interquartile range van de gemeten sapvolumes. b. Geef puntschattingen voor de populatieverwachting en populatievariantie van het sapvolume in de partij. Geef uitgaande van een normale verdeling een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de populatieverwachting van het sapvolume per sinaasappel in de partij. c. Is de veronderstelling dat het sapvolume afkomstig is uit een normale verdeling redelijk of niet? Is de kwaliteit van het betrouwbaarheidsinterval in het vorige onderdeel afhankelijk van de normaliteit van de verdeling van het sapvolume? d. Hoeveel sinaasappels moeten er worden geperst om met 95% zekerheid het verwachte sapvolume van een sinaasappel tot op 0.5 ml nauwkeurig te kunnen schatten, e. De sapfabrikant betwijfelt de bewering van de leverancier en besluit tot het uitvoeren van een toets. Tot welke alternatieve hypothese zal de fabrikant besluiten? Voer de toets uit en vermeld uw conclusie. Geef ook de overschrijdingskans van de toets. 4. De stochastische variabele X heeft de volgende kansdichtheid:, voor x 3 x f( x) 0, elders a. Bepaal de cumulatieve verdelingsfunctie van X. b. Bereken de verwachting en de variantie van X. c. De mediaan van X is gedefineerd als het getal m waarvoor geldt PX ( m) PX ( m) Bepaal de mediaan van X. d. Bereken de verwachting en de variantie van de stochastische variabele X

3 5. Volgens de norm moeten PVC rioolbuizen bestand zijn tegen een druk van 350 psi (psi=6895 N/m ). Met een aselecte steekproef van 0 stuks wil men nagaan of een bepaald type buis geschikt is. De buizen werden toenemend onder druk gezet totdat er breuk optrad. De hierbij gemeten druk waarop breuk werd geregistreerd met als resultaat: 40, 359, 383, 47, 44, 45, 389, 463, 394 en 48 psi. a. Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie van de drukmetingen in de steekproef. b. Als het vorige onderdeel niet is gelukt neem dan 408 psi voor het (steekproef)gemiddelde en 9 psi voor de (steekproef)standaarddeviatie. Ga door toetsing na of dit type buis geschikt is. Vermeld de nodige voorwaarden waaronder de toets mag worden uitgevoerd en ga er bij toetsing van uit dat hieraan is voldaan. 6. De consumentenbond doet onderzoek naar de dienstverleningskwaliteit van helpdesks van soft- en hardware leveranciers. Bij telefonische helpdesks wordt een wachttijd van maximaal één minuut als redelijk geacht. Als één van de bereikbaarheidsnormen hanteert de consumentenbond dat hoogstens één op de 0 willekeurige telefoontjes leidt tot een wachttijd van meer dan één minuut (Dit wordt de één-minuutsnorm genoemd). Tijdens het onderzoek wordt de helpdesk van "Microhard" op 5 willekeurige momenten gebeld en geteld wordt in hoeveel van de 5 gevallen langer dan één minuut gewacht moest worden. Zij ˆp de fractie overschrijdingen van de één-minuut-wachttijd in de steekproef van de telefoontjes. a. Geef de kansverdeling van de steekproeffractie ˆp met verwachtingswaarde en standaardafwijking, als nog juist aan de één-minuutsnorm voldaan wordt. b. Bepaal een 95%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie overschrijdingen van de éénminuutsnorm indien bij 40 van de 5 gevallen de één-minuutwachttijd overschreden wordt. c. Kunnen we op basis van het in b. bepaalde interval stellen dat aangetoond is dat niet voldaan is aan de één-minuutsnorm? Motiveer uw antwoord. d. Indien de foutmarge van een 98%-betrouwbaarheidsinterval voor de fractie overschrijdingen van de één-minuut-wachttijd maximaal 0.03 mag zijn, wat dient dan de minimale omvang van de steekproef te zijn? - 3 -

4 Bijlage Explore Case Processing Summary Cases Valid Missing Total N Percent N Percent N Percent % 0.0% % Descriptives Mean 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound Statistic Std. Error 3.4 5% Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis Percentiles Weighted Average(Definition ) Tukey's Hinges Percentiles Tests of Normality Kolmogorov-Smirnov a Shapiro-Wilk Statistic df Sig. Statistic df Sig a. Lilliefors Significance Correction - 4 -

5 00 Histogram Frequency Std. Dev = 9.4 Mean = 3. N = Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf & & & Stem width: 0 Each leaf: case(s) & denotes fractional leaves

6 4 Normal Q-Q Plot of 3 0 Expected Normal Observed Value N =

7 Uitwerkingen tentamen Statistiek I (S40) Opgave. a. b. P("Five of a Kind") 6* 0, P("Full House") 6*5* * 30*0* 0, , c. Zij X het aantal malen in 0 worpen. Dan geldt: X ~ Bin (0, ). 5 PX ( 3) PX ( ) ( PX ( 0) PX ( ) PX ( )) * * * Opgave a. Zij X de hoeveelheid sap van een willekeurige sinaasappel dan X ~ N(33,.5 ). X 35 P(33 X 4)= P( )= P( 0.74 Z 0.609)=.5 PZ ( 0.609) PZ ( 0.74)= = 0.3 b. Zij X resp X de hoeveelheid sap van de ene resp. de andere sinaasappel dan X i ~ N(33,.5 ) en X i onderling onafhankelijk. P(33 X 4 en 33 X 4)= P(33 X 4)* P(33 X 4) =(0.3) 0.09 c. X X N(70,64.5) dus P(66 X X 84)= P( Z )= P( 0.46 Z 0.86)= P( 0.46 Z0.86) PZ ( 0.86) PZ ( 0.46) d. E(X)=35 dus verwachte aantal is 000/35=7.4

8 Opgave 3 a. Descriptives Mean 95% Confidence Interval for Mean Lower Bound Upper Bound Statistic Std. Error % Trimmed Mean Median Variance Std. Deviation Minimum Maximum Range Interquartile Range Skewness Kurtosis b. ˆ x 3.4 en ˆ s Vanwege de grote steekproefomvang geldt s 95% betr. interval voor is x z0.05 M.a.w n * oftewel oftewel <3.66, 3.8>. 000 c. In het histogram en in het stem & leaf plot is een duidelijk tweetoppige structuur te zien. De normal probability plot geeft aan dat de staarten van de verdeling te dik zijn. Symmetrisch lijkt de verdeling volgens de Boxplot wel te zijn. Beide normaliteitstoetsen verwerpen de nulhypothese van normaliteit. Al met al lijkt het dat we hier duidelijk niet te maken hebben met een normale verdeling. Gezien de grootte van de steekproefomvang is dat geen probleem voor het betrouwbaarheidsinterval, immers, volgens de Centrale Limietstelling is het gemiddelde hoe dan ook (bij benadering) normaal verdeeld. d. De foutmarge is gegeven door B z0.05 met B = 0.5 dus n 9.43 n( z0.05 ) (.96* ) 365 B 0.5 e. H0 : 35 H : 35 Toetsingsgrootheid: Z X 35 onder H0 : Z N(0,) Beslissingscriterium: verwerp H 0 als z < z dus H 0 wordt (met kracht) verworpen P-value = P(Z < -9.6) n

9 Opgave 4 a. Er geldt F '( x) f( x) 3 Dus F( x) x xcvoor zekere c, x. 6 3 Omdat F() = moet gelden c Zodat 3 6 x, voor 3 x x F( x) 0, voor x, voor x b EX ( ) xf( xdx ) x( x ) dx ( x xdx ) x x E( X ) x f( x) dx x ( x ) dx ( x x ) dx x x VX ( ) EX ( ) EX ( ) c. PX ( m) PX ( m) 3 PX ( m) Fm ( ) 6m 3m 3 3 Zodat 6m 3m 6m 3m0 3m( m) 0 m0 m De waarde m vervalt, zodat m 0. d. E(X 5) E( X) 5 5 en V(X 5) 4 E( X) 4* Opgave 5 a. Descriptive Statistics DRUK Valid N (listwise) N Mean Std. Deviation Variance b. De t-toets kan hier worden gebruikt mits aan de voorwaarde is voldaan. van een normaal verdeelde populatie. Dit is na te gaan met normal probality plot, een Boxplot, histogram, stem and leafplot. Formeel kan op normaliteit getoets worden met de toetsen van Shapiro-Wilk en Kolmogorov-Smirnov. H0 : 350 H : 350 X 350 Toetsingsgrootheid: T0 S n onder H0 : T0 t9 Beslissingscriterium: verwerp H 0 als t 0 < -.833

10 t dus H 0 wordt (overtuigend) niet verworpen Opgave 6 a. Bij benadering geldt Dus ˆ ( ) 0. E p en ˆ 0.* 0.9 pˆ ~ N (0., ) 5 0.* 0.9 p b. Zij p de werkelijke fractie overschrijdingen van de norm. Het 95%-betrouwbaarheidsinterval voor p is gegeven door pˆ( pˆ) 40 pˆ z0.05 met pˆ Invullen geeft: ( 0.778) (0.8, 0.8) c. Het interval uit b. geeft aan dat 0. geen plausibele waarde is voor p. Aangezien 0. links ligt van het interval lijkt het aannemelijk dat er niet wordt voldaan aan de norm. d. Zij n de benodigde steekproefomvang. Het 98%-betrouwbaarheidsinterval voor p is gegeven door p( p) pˆ z0.0 n Er moet dus gelden z0.0 p( p) 0.03 voor alle p. n Een nodige voorwaarde is z n Oftewel: z n n n 509