De p-adische completeringen

De p-adische completeringen Jaco Ruit 13 september 2017

1. Completeringen van lichamen Definitie 1.1. Zij K een lichaam. : K [0, [ zodanig dat: A1. x K, x = 0 x = 0. A2. x, y K, xy = x y. A3. x, y K, x + y x + y. Een absolute waarde op K is een afbeelding Een lichaam met een absolute waarde, (K, ), noemen we een genormeerd lichaam. De absolute waarde op een lichaam K induceert een metriek d : K K [0, [ : (x, y) x y. Dit maakt K tot een metrische ruimte met een geïnduceerde topologie. Opmerking 1.2. Elk lichaam K kan een genormeerd lichaam worden door het uit te rusten met triviale absolute waarde : K [0, [ gegeven door { 1 als x K \ {0} x := 0 als x = 0. Definitie 1.3. Zij K, L genormeerde lichamen. Een isometrie φ : K L is een afbeelding zodanig dat voor alle x, y K, φ(x) φ(y) = x y. Als φ tevens een homomorfisme van ringen is, dan noemen we φ een homomorfisme van genormeerde lichamen. Als φ tevens surjectief is, dan noemen φ een isomorfisme van genormeerde lichamen. Herinner dat elk homomorfisme van ringen tussen een lichaam en een ring, injectief is. Dus een homomorfisme van genormeerde lichamen is injectief (dit kan ook gezien worden door de isometrische eigenschap en axioma A1 te gebruiken). Het volgende resultaat kan makkelijk aangetoond worden. Propositie 1.4. Zij K, L genormeerde lichamen en φ : K L een homomorfisme van genormeerde lichamen. Dan is φ : K φ(k) een isomorfisme van genormeerde lichamen. Verder is φ een topologische inbedding, i.e. φ en φ 1 zijn continu. Definitie 1.5. Zij K een genormeerd lichaam. Een completering K van K is een genormeerd lichaam zodanig dat: 1. Elke Cauchy-rij in K convergeert (i.e. K is volledig). 2. Er bestaat een homomorfisme (van genormeerde lichamen) φ : K K zodanig dat het beeld φ(k) dicht ligt in K. We zullen aantonen dat completeringen in zekere zin uniek zijn. We hebben eerst het volgende, bekende resultaat nodig. Voor een bewijs zie [vdb, p. 94, Stelling 4.57]. Lemma 1.6. Zij X een metrische ruimte en Y een volledige metrische ruimte. Een uniform continue functie f : A Y op een deelverzameling A X kan uniek voortgezet worden tot een continue functie g : A Y zodanig dat g A = f. 1

Propositie 1.7. Zij K een genormeerd lichaam. Zij K, K twee completeringen van K met homomorfismen φ : K K en ψ : K K. Dan bestaat er een uniek isomorfisme π : K K zodanig dat onderstaande diagram commuteert. Bewijs. Beschouw de afbeelding K φ ψ π := φ ψ 1 : ψ(k) φ(k). Dit is wegens Propositie 1.4 een compositie van isomorfismen, die op zijn beurt weer een isomorfisme is. Merk op dat isometriën uniform continu zijn. Omdat ψ(k) = K, volgt derhalve uit Lemma 1.6 dat we een unieke uitbreiding π : K K hebben van π. Merk op dat π ψ = φ. We tonen aan dat π weer een isomorfisme is. Zij x K en (x n ) ψ(k) een rijtje zodanig dat x n x. Merk op dat lim n π(x n ) = lim n π(x n ) = π(x). Uit de limietovergangen van de ongelijkheden x x x n + x n = x x n + π(x n ) x x n + π(x) π(x n ) + π(x), π(x) π(x) π(x n ) + π(x n ) π(x) π(x n ) + x x n + x, volgt nu dat π(x) = x. Dus π is een isometrie. Op een zelfde manier kan gezien worden dat π weer een homomorfisme van ringen is. Neem x, y K met rijtjes (x n ), (y n ) ψ(k) die, respectievelijk, convergeren naar x, y. Omdat ψ(k) een lichaam is, volgt π(x + y) = lim n π(x n + y n ) en π(xy) = lim n π(x n y n ). Het volgt nu direct uit de ringhomomorfisme-eigenschappen van π dat π ook een homomorfisme van ringen is. Het rest ons om aan te tonen dat π surjectief is. Zij y K. Dan bestaat er een rijtje rijtje (y n ) φ(k) zodanig dat y n y. Merk op dat ( π 1 (y n )) geheel gelegen is in ψ(k) en Cauchy (uniforme continue functies bewaren Cauchy-rijen), dus convergent in K naar een element x K. Dus π(x) = lim n π( π 1 (y n )) = lim n y n = y. Merk op dat π noodzakelijk uniek is. Dit volgt uit de observatie dat π ψ = φ en dus π ψ(k) = φ ψ 1, en het feit dat een continue functie wordt vastgelegd door de waardes op een verzameling die dicht ligt in het domein. We zullen nu het bestaan van completeringen aantonen. Definitie 1.8. Zij K een genormeerd lichaam. De ring van Cauchy-rijen is de verzameling met de commutatieve operaties C := {(x n ) n N K (x n ) is Cauchy}, (x + y) n := x n + y n en (xy) n := x n y n, x = (x n ), y = (y n ) C, n N met 0 = (0, 0,... ) en 1 = (1, 1,... ). In het vervolg zullen we gebruiken, dat voor elke Cauchy-rij (x n ) in een genormeerd lichaam, geldt dat dat ( x n ) convergeert (t.o.v. de gebruikelijke absolute waarde op R); dit volgt uit eigenschap A3 en volledigheid van R. K K π 2

Lemma 1.9. Zij K een genormeerd lichaam. Dan is M := {(x n ) n N K lim n x n = 0} C een maximaal ideaal van de ring van Cauchy-rijen C en het quotiënt C/M een genormeerd lichaam met de absolute waarde : C/M [0, [ : (x n ) + M lim n x n. Bewijs. Het is duidelijk dat 0 M. Zij x = (x n ), y = (y n ) M. Dan geldt duidelijk x + y M. Zij z = (z n ) C. Omdat z een Cauchy-rij is, is z begrensd, derhalve x n z n 0, i.e. xz M. Dus M is een ideaal. Tenslotte tonen we aan dat M maximaal is, door aan te tonen dat C/M een lichaam is. Zij (x n ) + M C/M ongelijk aan 0, i.e. (x n ) / M. Omdat lim n x n 0, geldt lim n x n > 0. Merk op dat er een N N bestaat zodanig dat x n > 0 voor alle n N. Immers als dit niet is, dan kunnen we een deelrij van (x n ) construeren die constant 0 is, en dan volgt uit de Cauchy-eigenschap dat de rij convergeert naar 0: een tegenstrijdigheid. Beschouw derhalve de rij y = (y n ) K gegeven door y n := 0 voor n < N en y n := x 1 n voor n N. Omdat lim n x n > 0, volgt dat y Cauchy is, i.e. y C. Merk op dat lim n (x n y n 1) = 0, dus xy 1 M, dus x + M is inverteerbaar, met inverse y + M. Dus C/M is een lichaam. Merk op dat welgedefinieerd is, immers, zij x = (x n ), y = (y n ) C zodanig dat x y M. Dan lim n x n y n = 0. Uit de observatie dat x n y n + x n y n en y n x n + x n y n volgt dat lim n x n = lim n y n. Tevens volgt eigenschap A1 uit de definitie van M en volgen A2, A3 uit limieteigenschappen en corresponderende eigenschappen van de oorspronkelijke absolute waarde op K. Ter voorbereiding herhalen we volgend feit. Lemma 1.10. Zij X een metrische ruimte en A X zodanig dat A dicht ligt in X. Als elke Cauchy-rij in A convergeert in X, dan is X volledig. Bewijs. Zij (x n ) n N X een Cauchy-rij in X. We construeren een rijtje (y n ) A door voor elke n N een punt y n B(x n ; 1/(n + 1)) A te kiezen. We claimen dat dit rijtje (y n ) ook Cauchy is. Immers, zij ε > 0, dan bestaat er N 0 zodanig dat d(x n, x m ) < ε/2 voor alle n, m N 0. Dan voor alle n, m N := max{n 0, 4/ε }, d(y n, y m ) d(y n, x n ) + d(x n, x m ) + d(x m, y m ) < 2 N + 1 + ε 2 ε. Derhalve bestaat er een ξ X zodanig dat y n ξ als n. Omdat d(x n, ξ) d(x n, y n ) + d(y n, ξ) volgt dat ook x n ξ als n. Stelling 1.11. Zij K een genormeerd lichaam. Dan is het genormeerde lichaam C/M uit Lemma 1.9 een completering van K. Bewijs. Beschouw de inclusie φ : K C/M : x (x, x,... ) + M. Het is duidelijk dat φ(x) φ(y) = lim n x y = x y voor alle x, y K. Dus φ is een isometrie. Zij (x n ) + M C/M. We construeren een rijtje (ỹ k ) k N φ(k) zodanig dat ỹ k (x n ) + M als k. Omdat (x n ) Cauchy is, bestaat er voor alle 3

k N een N k N zodanig dat voor alle n N k geldt x n x Nk < 1/(k + 1). We definiëren ỹ k := φ(x Nk ). Merk op dat ỹ k ((x n ) + M) = lim n x n (ỹ k ) n 1/(k + 1). Het volgt dat lim k ỹ k ((x n ) + M) = 0. Dus (x n ) + M φ(k). Tenslotte laten we zien dat elke Cauchy-rij in φ(k) convergeert. Zij ( x n ) φ(k) een Cauchy-rij. Voor alle n N bestaat er een x n in K zodanig dat x n = φ(x n ). Merk op dat (x n ) C, omdat φ een isometrie is. Beschouw ξ := (x n ) + M. Voor alle ε > 0 bestaat er een N 0 zodanig dat voor alle n, m N 0, x n x m < ε/2. Dus volgt dat voor n N 0, x n ξ = lim m x n x m ε/2 < ε. Dus x n ξ als n. Uit Lemma 1.10 volgt dat C/M volledig is. 2. De p-adische norm In het vervolg is p een priemgetal. Merk op dat, ten gevolge van de hoofdstelling van de rekenkunde, elk rationaal getal a/b Q uniek te schrijven is in de vorm p n (a /b ), zodanig dat p a en p b en n, a, b Z. Het getal n noemen we een valuatie van a/b. Definitie 2.1. De p-adische valuatie ν p : Q R { } is gedefinieerd voor a/b Q door ν p (a/b) := n, waar n het unieke getal is dat hierboven beschreven is. We definiëren verder ν p (0) :=. Opmerking 2.2. Omdat ν p uitsluitend waardes aanneemt in Z { }, noemen we ν p een discrete valuatie. Definitie 2.3. De p-adische norm p : Q [0, [ wordt gegeven door { 0 als q = 0 q p := p νp(q) anders. Het kan makkelijk nagegaan worden dat de p-adische norm inderdaad een absolute waarde op Q is. De p-adische norm is in zekere zin niet arbitrair; dit volgt uit de stelling van Ostrowski. Voor een bewijs zie [Gou, p. 46, Theorem 3.1.3]. Definitie 2.4. Zij K een lichaam. Twee absolute waarden 1, 2 op K heten equivalent als er een c > 0 bestaat zodanig dat x 1 = x c 2 voor alle x K. Stelling 2.5 (Stelling van Ostrowski). Zij een niet-triviale absolute waarde op Q. Dan is equivalent met de gebruikelijke absolute waarde of de p-adische norm. Propositie 2.6. Voor twee getallen q, r Q geldt ν p (q + r) min{ν p (q), ν p (r)}. Bewijs. De ongelijkheid klopt als een van de twee getallen gelijk aan 0 is, of de som gelijk aan 0 is. Neem derhalve aan dat q, r 0 en q + r 0. Schrijf q = p n a/b, r = p m c/d zodanig dat p a, b, c, d. Neem aan dat n m. Dan q + r = p m ( p n m a b + c d ) = p m ( p n m ad + bc bd Merk op dat p bd. De teller heeft mogelijk p als deler, dus ν p (q + r) m. ). 4

De eigenschap uit de vorige propositie heeft een aantal consequenties voor de topologie geïnduceerd door de p-adische norm. We gegeven hier een korte beschrijving van. Definitie 2.7. Zij X een metrische ruimte. Als voor alle x, y, z X geldt d(x, y) max{d(x, z), d(y, z)}, dan heet X een niet-archimedische ruimte. Merk op dat de metriek geïnduceerd door de p-adische norm inderdaad hieraan voldoet ten gevolge van Propositie 2.6. Propositie 2.8. Een niet-archimedische ruimte X heeft de volgende eigenschappen: 1. Zij s r > 0, x, y X. Als B(x; r) B(y; s), dan B(x; r) B(y; s). 2. Zij s r > 0, x, y X. Als B(x; r) B(y; s), dan B(x; r) B(y; s). 3. Bollen zijn open en gesloten. 4. Gesloten bollen zijn open en gesloten. 5. Elke niet-lege samenhangende deelverzameling bestaat uit één punt (i.e. X is totaal onsamenhangend). Bewijs. Zij s r > 0 en x, y X zodat dat B(x; r) B(y; s). Zij z B(x; r) B(y; s). Dan geldt voor alle ξ B(x; r), d(y, ξ) max{d(y, z), d(z, ξ)}. Merk op dat d(y, z) < s en d(z, ξ) max{d(z, x), d(x, ξ)} < r s. Dus ξ B(y; s). Het bewijs van (2) gaat op dezelfde manier. Voor de derde en vierde uitspraak, zij r > 0 en x X. Zij y B(x; r). Dan B(y; r) B(x; r), dus volgt uit (1) dat y B(y; r) B(x; r). Dus B(x; r) is gesloten. Zij nu y B(x; r). Dan B(y; r) B(x; r), dus volgt uit (2) dat B(y; r) B(y; r) B(x; r). Dus B(x; r) is open. We tonen (5) aan. Zij Γ X een niet-lege samenhangende deelverzameling. Kies x Γ. Voor r > 0 geldt B(x; r) Γ open en gesloten in Γ, derhalve Γ B(x; r). Dit geldt voor alle r > 0, dus Γ = {x}. We willen nu de completering van Q t.o.v. de absolute waarde p construeren: de p-adische getallen. Dit kunnen we op de manier beschreven in Stelling 1.11 doen, door de nulrijtjes uit de ring van Cauchy-rijen te delen. Dit zullen we in deze tekst echter niet doen. 3. De p-adische gehele getallen We zullen de p-adische gehele getallen realiseren als de projectieve limiet van ringen zoals in [Ser]. 3.1. Projectieve systemen Definitie 3.1. Zij (I, ) een gerichte verzameling en {R i } i I een collectie van ringen met homorfismen φ ji : R i R j voor alle j i I zodanig dat 1. i I, φ ii = id. 5

2. k j i I, φ ki = φ kj φ ji. Dan noemen we het paar (I, {R i } i I, {φ ji } j i I ) een projectief systeem van ringen. De projectieve limiet van dit systeem is de deelring { } van R i. lim R i := i I (x i ) i I i I R i φ ji (x i ) = x j voor alle j i I Het is makkelijk na te gaan worden dat de projectieve limiet inderdaad een deelring is. Dit volgt uit de eigenschappen van de homomorfismen. Door de ringen in het syteem uit te rusten met een topologie, krijgen we een topologie op de projectieve limiet: de restrictie van de product-topologie op de ringen. Propositie 3.2. Zij (I, {R i }, {φ ji }) een projectief systeem van compacte Hausdorff ringen zodanig dat de homomorfismen {φ ji } continu zijn. Dan is de projectieve limiet compact. Bewijs. Uit de stelling van Tychonoff volgt dat R := R i compact is. Het product van Hausdorff ruimten is weer Hausdorff, dus R en de projectieve limiet zijn Hausdorff. Zij j i I. Beschouw de afbeelding ψ ji : R R j R j : (x k ) k I (φ ji (x i ), x j ) Deze afbeelding is continu, want de projecties naar beiden componenten zijn continu. Verder definiëren we de diagonaal j := {(x, x) R j R j x R j }. Dit is een gesloten verzameling, want R j is Hausdorff. Merk op dat (x k ) lim R i j i I, φ ji (x i ) = x j i I j i I, ψ ji ((x k )) j (x k ) ψji 1 ( j). i I j i Dus de projectieve limiet is gelijk aan de doorsnede aan de rechterkant. Uit continuïteit van de afbeeldingen {ψ ji } en geslotenheid van de diagonalen volgt dat lim R i gesloten is binnen een compacte ruimte, dus compact. Propositie 3.3. Zij (I, {R i }, {φ ji }) een projectief systeem van ringen uitgerust met een topologie. Voor i I, noteer π i : lim R i R i voor de natuurlijke projectie. Dan zijn deze projecties continu en de collectie verzamelingen πi 1 (U), (i I, U R i open) vormt een subbasis van de topologie van lim R i. Bewijs. Herinner dat de topologie op R i een subbasis gegeven door verzamelingen π 1 i (U) met i I, U R i open en π i : R i R i de natuurlijke projectie, heeft. Derhalve volgt dat de collectie {πi 1 (U)} i I,U Ri open een subbasis is voor de topologie op lim R i. In het bijzonder is elke natuurlijke projectie continu. Propositie 3.4. Zij (I, {R i }, {φ ji }) een projectief systeem van discrete ringen (i.e. voor elke i I heeft R i de discrete topologie) met natuurlijke projecties {π i }. Dan vormt de collectie van nevenklassen gegeven door x + ker(π i ), (x lim R i, i I) 6

een basis van de topologie van lim R i. Bewijs. We tonen aan dat de nevenklassen open zijn. Zij i I en x ker(π i ). Merk op dat geldt y x + ker(π i ) π i (x) = π i (y) y πi 1 (π i (x)). Dus x + ker(π i ) = πi 1 (π i (x)). Omdat R i de discrete topologie heeft, volgt dat x + ker(π i ) inderdaad open is. Om aan te tonen dat elke open verzameling in de projectieve limiet een vereniging van nevenklassen is, volstaat het om aan te tonen dat elke verzameling van de subbasis in Propositie 3.3 een vereniging van nevenklassen is. Inderdaad, zij i I en U R i open en x πi 1 (U) dan πi 1 (π i (x)) = x + ker(π i ) πi 1 (U). Gevolg 3.5. Zij (I, {R i }, {φ ji }) een projectief systeem van discrete ringen met natuurlijke projecties {π i }. Zij x lim R i. Dan vormen de nevenklassen x + ker(π i ), (i I) een basis van omgevingen voor x. Bewijs. Zij U lim R i open. Wegens Propositie 3.4 bestaat er een i I, y R i zodanig dat x y +ker(π i ) U. Dus x y ker(π i ), derhalve x+ker(π i ) = y +ker(π i ) U. 3.2. Constructie van de p-adische getallen Zij p een priemgetal. We bekijken de collectie ringen Z/p n Z, n N >0. We rusten deze ringen uit met de discrete topologie, waarmee de ringen compact Hausdorff worden. We maken hiervan een projectief systeem door de homomorfismen φ mn : Z/p n Z Z/p m Z : x + Z/p n Z x + Z/p m Z, (m n N >0 ) Merk op dat deze projecties welgedefinieerd zijn omdat steeds m n en er geldt ker(φ mn ) = p m (Z/p n Z). We definiëren nu de p-adische gehele getallen als de projectieve limiet: Z p := lim n N >0 Z/p n Z. Uit Propositie 3.2 volgt dat dit een compacte Hausdorff ring is. We noteren weer π n : Z p Z/p n Z voor de (continue) natuurlijke projectie. We beschouwen Z Z p door de inclusie Z Z p die wordt verkregen door Z 1 1 Z p uit te breiden tot een homomorfisme. Propositie 3.6. Er geldt ker(π n ) = p n Z p en Z p /p n Z p Z/p n Z. Bewijs. Merk op dat het tweede resultaat direct uit het eerste resultaat en de eerste isomorfismestelling volgt. Het is duidelijk dat p n Z p ker(π n ). Omgekeerd, zij (x m ) ker(π n ). We construeren een rijtje (y m ) Z p zodanig dat p n (y m ) = (x m ). Zij m > n. Er geldt dat x n = φ nm (x m ) = 0, dus x m p n (Z/p m Z). Dus er bestaat een z m Z/p m Z zodanig dat x m = p n z m. Definieer y m n := φ m n,m (z m ). We schrijven z m = z m + p m Z voor zekere z m Z. Merk op dat (y m ) Z p. Inderdaad, voor alle m > n zijn p n z m+1 en p n z m respectievelijk representanten van x m+1 en x m. Omdat er geldt φ m,m+1 (x m+1 ) = x m, volgt dat p n z m+1 p n z m = p m k voor een k Z. Derhalve geldt z m+1 z m = p m n k. Merk op dat z m+1 en z m (respectievelijk) representanten zijn van y m n+1 en y m n, dus φ m n,m n+1 (y m n+1 ) = y m n. Dus volgt 7

dat (y m ) Z p. Verder hebben we dat voor alle m > 0 geldt p n y m = p n φ m,m+n (z m+n ) = φ m,m+n (x m+n ) = x m. Dus (x m ) = p n (y m ). Propositie 3.7. Er geldt u = (u n ) Z p dan en slechts dan als p u Bewijs. De uitspraak is triviaal. Immers, als p u, dan π 1 (u) = u 1 = 0 / (Z/pZ), dus u / Z p. We tonen aan. Merk op dat als voor alle n N >0 geldt dat u n inverteerbaar is, dat u inverteerbaar is met inverse w := (u 1 n ) Z p. Immers, uw = 1 en voor alle m n, φ mn (u n w n ) = u m φ nm (w n ) = 1, dus φ nm (w n ) = u 1 m = w m. Dus ook w Z p. We tonen aan dat alle n, u 1 n (Z/p n Z). Merk op dat u 1 = φ 1n (u n ) 0. Want als dit wel zo was dan u n ker(φ 1n ) voor alle n N, dus p u. Dus u 1 is inverteerbaar. Schrijf u 1 1 = w 1 + pz voor een w 1 Z. Zij n N en schrijf u n = ũ n + p n Z voor een ũ n Z. Omdat φ 1n (u n ) = u 1, volgt dat ũ n een representant is van u 1, dus ũ n w 1 = 1 pz voor een z Z. Definieer w n := w n 1 1 (pz)k. Dan n 1 ũ n w n = ũ n w 1 (pz) k = (1 pz) 1 (pz)n = 1 p n z n. 1 pz Dus u n is inverteerbaar met u 1 n = w n + p n Z. Propositie 3.8. Elk element x Z p \ {0} is uniek te schrijven als x = p n u met u Z p en n N >0. Tevens is Z p een domein. Bewijs. Als x Z p dan zijn we klaar en hebben we duidelijk uniciteit. Neem derhalve aan dat p x. Dan bestaat er een grootste n N >0 zodanig dat x n = π n (x) = 0, dus x ker(π n ). Derhalve x = p n u voor een u Z p. Merk op dat p u, anders zou gelden dat x n+1 = 0. Dus u Z p. Omdat elk element ongelijk aan nul te ontbinden is in deze vorm, is Z p een domein. We bewijzen uniciteit van de ontbinding. Zij x = p m v een tweede decompositie van deze vorm, met m N >0, v Z p. Dan π m (x) = 0, dus m n. Dus p m (p n m u v) = 0. Omdat p m 0, p n m u = v Z p. Dus moet gelden dat n = m. 3.3. De p-adische norm op Z p Uit Propositie 3.8 volgt dat we op een zelfde manier als vorig hoofdstuk een p-adische valuatie µ p : Z p R { } op Z p kunnen definiëren. Dit doen we door elke p n u Z p \{0},u Z p het unieke getal µ p (x) = n toe te kennen. We definiëren weer µ p (0) :=. Deze valuatie induceert weer een niet-archimedische norm p met een geïnduceerde metriek d p : (x, y) x y p op Z p. We zullen aantonen dat de topologie Z p (zoals beschreven in Paragraaf 3.1) overeenkomt met de topologie geïnduceerd door de p-adische norm op Z p. Propositie 3.9. Voor elke ε > 0 en x Z p bestaat er een n N >0 B(x; ε) = x + p n Z p. Bewijs. Zij n het kleinste getal is zodanig dat p n < ε. Zij y B(x; ε). Dan bestaat er een u Z p en m N zodanig dat y x = p m u en p m = y x p < ε. Dus m n, derhalve y = x + p n (p m n u). Dus y x + p n Z p. Omgekeerd, zij y x + p n Z p. Dan 8

x y = p n v voor een v Z p. Het volgt dat x y p = p n p v p p n < ε. Dus y B(x; ε). Gevolg 3.10. De topologie op Z p komt overeen met de topologie geïnduceerd door de p-adische norm op Z p. Dus Z p is een niet-archimedische ruimte. Bewijs. Dit volgt direct uit voorgaande propositie en Propositie 3.4. 3.4. p-adische ontwikkelingen Propositie 3.11. Zij x Z p, dan bestaat er een uniek rijtje (a n ) n N>0 {0,..., p 1} van getallen zodanig dat x = a k p k. n=0 Bewijs. We definiëren (a n ) inductief zodanig dat voor alle n N >0 geldt π n ( n 1 a kp k ) = π n (x) = x n Z/p n Z. Kies voor a 0 de representant van x 1 zodanig dat 0 a 0 p 1. Stel dat {a 0,..., a n 1 } bepaald zijn. Dan is n 1 a kp k een representant van x n. Schrijf x n+1 = x n+1 + p n+1 Z voor een x n+1 Z. Omdat φ n,n+1 (x n+1 ) = x n volgt dat n 1 x n+1 a k p k = p n m voor een m Z. We schrijven m = pq + r voor een q Z, 0 r p 1. Definieer a n := r. Dan inderdaad, ( n ) ( ) n x n+1 π n+1 a k p k = x n+1 a k p k + p n+1 Z = (p n m p n r) + p n+1 Z = 0. Merk tevens op dat π m ( n a kp k ) = x m voor alle 1 m < n + 1. Uit de constructie van (a n ) volgt inderdaad n a kp k x als n. Immers, beschouw de omgeving x + p m Z p van x voor een m > 0. Dan hebben we voor alle n m 1, π m ( n a kp k ) = π m ( m 1 a kp k ) = x m. Dus n a kp k x + ker(π m ) = x + p m Z p. Tenslotte tonen we uniciteit aan. Zij (b n ) n N>0 {0,..., p 1} een tweede rijtje zodanig dat b kp k = x. Zij n N. Wegens continuïteit van π n geldt dat ( ) ( ) ( ) π n b k p k a k p k = π n b k p k π n a k p k ( n 1 ) ( n 1 ) = π n b k p k π n a k p k = 0. We bewijzen per inductie dat a n = b n voor alle n. Voor n = 0, volgt direct uit bovenstaande dat a 0 b 0 ker(π 1 ), dus a 0 = b 0 + pk voor een k Z p. Omdat Z Z p een deelring is, k Z. Omdat p < a 0 b 0 < p, volgt dat a 0 = b 0. Zij n 1 en stel dat a 0 b 0 = = a n 1 b n 1 = 0. Dan met hetzelfde argument als bovenstaand, volgt n a kp k n b kp k = p n+1 k voor een k Z. Uit de inductie hypothese volgt dat p n (a n b n ) = p n+1 k voor een k Z. Omdat p < a n b n < p, volgt weer a n = b n. Gevolg 3.12. Z ligt dicht in Z p. 9

4. De p-adische getallen Herinner dat Z p een domein vormt (Propositie 3.8). We kunnen derhalve het breukenlichaam Quot(Z p ) van Z p construeren. We definiëren de p-adische getallen: Q p := Quot(Z p ). We beschouwen Z p als een deelring van Q p door de inclusie Z p Q p : x x/1. Merk op dat elk element x Q p weer op unieke wijze te schrijven is als p n u, met n Z en u Z p. We breiden derhalve µ p, p en d p uit naar Q p door µ p (x) gelijk aan het unieke getal n te kiezen. Dit maakt Q p tot een niet-archimedische ruimte. Propositie 4.1. De deelring Z p is compact in Q p. Tevens geldt Z p = B(0; 1) in Q p. Bewijs. Beschouw de inclusie ι : Z p Q p : x x/1. Duidelijk, ι is een ringhomomorfisme, dus het beeld ι(z p ) is een ring. Verder, voor alle x Z p geldt ι(x) p = x p. Dus ι is een isometrie en dus continu. Dus het beeld van Z p in Q p onder ι is compact en een ring. Merk op dat voor alle x Z p geldt dat x p = p n 1, dus x B(0; 1). Omgekeerd zij y = p m v Q p, met m Z, v Z p zodanig dat p m = y p 1. Dan geldt m 0. Dus het volgt dat y Z p. Dus B(0; 1) = Z p. Propositie 4.2. Elk p-adisch getal x Q p heeft een p-adische ontwikkeling. I.e., er bestaat een uniek rijtje (a n ) n N>0 {0,..., p 1} en m Z zodanig dat x = p m a k p k = a k m p k. Bewijs. Beschouw de unieke ontbinding x = p m u met m Z en u Z p. Uit Propositie 3.11 volgt dat er een uniek rijtje (a n ) {0,..., p 1} bestaat zodanig dat u = a kp k. Dus we verkrijgen een unieke ontwikkeling x = p m a kp k. Propositie 4.3. Het lichaam Q p is een completering van Q ten opzichte van p. Bewijs. Zij (x n ) Q p een Cauchy-rijtje. Dan bestaat er een N zodanig dat x n B(x N ; 1) voor alle n N. We hebben een translatie k=m f : B(0; 1) B(x N ; 1) : x x + x N. Deze translatie is duidelijk surjectief en continu. Dus B(x N ; 1) is compact. Dus de staart van (x n+n ) n N B(x N ) van (x n ) heeft een convergerende deelrij binnen B(x N ; 1). Het kan gemakkelijk gezien worden dat (x n ) convergeert naar dezelfde limiet door de Cauchyeigenschap te gebruiken. Herinner dat Z Z p Q p = Quot(Z p ) door 1 Z te sturen naar 1 Z p en vervolgens de afbeelding uit te breiden naar een ringhomomorfisme. Dus Q Q p door het homorfisme φ : Q Q p : a b (a + pn Z p ) n N>0 (b + p n Z p ) n N>0. Zij a/b Q. Zij n Z zodanig dat a/b p = p n en schrijf p n (a /b ) = a/b zodat p a, b. Dan volgt dat φ(a/b) = p n φ(a /b ). Merk op dat φ(a /b ) Z p omdat p a, b. Dus φ(a/b) p = p n = a/b p. Dus φ is een homorfisme van genormeerde lichamen. Merk op 10

dat het beeld van Q dicht ligt in Q p omdat elk p-adisch getal een p-adische ontwikkeling heeft. Opmerking 4.4. Hieruit volgt dat een constructie van de p-adische getallen als in Stelling 1.11 isomorf is met onze constructie van Q p. Een constructie op de eerste manier wordt gedaan in [Gou, Chapter 3]. Er kan op een directe manier een isomorfisme tussen de twee constructies aangewezen worden m.b.v. [Gou, p.60, Proposition 3.3.4]. 5. De duale groep van (Z p, +) 5.1. Topologische groepen In het vervolg schrijven we S 1 voor de eenheidscirkel in C, i.e. S 1 := {z C z = 1}. We rusten S 1 uit met de restrictie-topologie. Verder zullen we S 1 als een groep beschouwen met de vermenigvuldiging, S 1 wordt ook wel de cirkelgroep genoemd. Verder is S 1 een zogenaamde topologische groep, dat begrip zullen we nu definiëren. Definitie 5.1. Een topologische groep is een groep G uitgerust met een topologie zodanig dat de afbeeldingen G G G : (x, y) xy, G G : x x 1 continu zijn (we rusten G G uit met de product-topologie). Merk op dat S 1 inderdaad een topologische groep is. In het algemeen hebben we dat K, met vermenigvuldiging, een topologische groep is, voor elk genormeerd lichaam K. De cirkelgroep is een ondergroep van C en elke ondergroep van een topologische groep is weer een topologische groep. Definitie 5.2. Zij G, H twee topologische groepen en φ : G H een afbeelding. Als φ een homeomorfisme en isomorfisme van groepen is, dan noemen we φ een isomorfisme van topologische groepen. Propositie 5.3. Zij G een een topologische groep en g G. Dan zijn de translaties L g : G G : x gx, R g : G G : x xg homeomorfismen. Bewijs. We tonen de bewering alleen aan voor L g. Het bewijs voor R g gaat op dezelfde manier. Merk op dat L g inverteerbaar is met inverse L g 1. Het voldoet derhalve om aan te tonen dat L g continu is. Inderdaad, merk op dat ψ g : G G G : x (g, x) continu is. Noteer m : G G G : (y, z) yz voor de vermenigvuldingsafbeelding. Dan L g = m ψ g. Omdat ook m continu is, volgt het resultaat. Gevolg 5.4. Zij U G open en S G. US = {us u U, s S} open. Dan zijn SU = {su u U, s S} en Bewijs. Merk op dat SU = s S su = s S L s(u) en US = s S Us = s S R s(u). Dus volgt uit vorige propositie dat US en SU open zijn. 11

Propositie 5.5. Zij G een topologische groep en H G. Dan is G/H, uitgerust met de quotiënt topologie, een topologische groep. Verder is de natuurlijke projectie π : G G/H een continue, open afbeelding. Bewijs. Voor de tweede bewering, merk op dat π continu is wegens de definitie van de quotiënt-topologie. Verder, zij U G open. Dan π 1 (π(u)) = π 1 ({uh u U}) = U H, dus open wegens Gevolg 5.4. Dus volgt uit de definitie van de quotiënt-topologie dat π(u) weer open is. We tonen aan dat de vermenigvuldiging continu is. Zij x, y G. Zij U G/H een open omgeving van xh yh = xyh. Dan is π 1 (U) een open omgeving van xy. Dus er bestaan open omgevingen V x en V y in G van respectievelijk x, y zodanig dat V x V y π 1 (U). Definieer U x := π(v x ), U y := π(v y ). Merk op dat U x, U y open zijn, omdat π open is. Verder hebben we xh U x, yh U y. Merk op dat U x U y = π(v x V y ) U omdat π een homomorfisme is. Dus de vermenigvuldiging is continu. Tenslotte tonen we continuïteit van de inversie aan. Zij x G en U een open omgeving van x 1 H. Dan π 1 (U) is een open omgeving van x 1. Dus er bestaat een open omgeving V G van x zodanig dat V 1 = {v 1 v V } π 1 (U). Definieer Ũ := π(v ). Dan is Ũ een open omgeving van xh. Verder hebben we Ũ 1 = π(v ) 1 = π(v 1 ) U, waar de tweede gelijkheid volgt uit de homomorfisme eigenschap. Propositie 5.6. Zij G een topologische groep en H G. Dan geldt dat G/H discreet is dan en slechts dan als H open in G is. Bewijs. Stel dat G/H discreet is. Dan volgt dat {H} open in G/H is. Dus π 1 ({H}) = H is open. Omgekeerd, stel dat H open is. Dan voor alle g G, π 1 ({gh}) = gh, dus open wegens Gevolg 5.4. Dus {gh} is open. 5.2. Duale groepen Herinner dat de irreducibele karakters van abelse, eindige groepen waardes aannemen in C GL(1, C) en dat deze waardes eenheidswortels zijn, dus op de cirkel S 1 liggen. We breiden de notie van karakters uit naar oneindige groepen. Definitie 5.7. Zij G een lokaal compacte, abelse (LCA) groep. Een homomorfisme van G naar S 1 noemen we een karakter. De duale groep Ĝ van G is de verzameling van continue karakters met de vermenigvuldiging (χψ)(g) := χ(g)ψ(g). (χ, ψ Ĝ, g G) In het vervolg rusten we Ĝ uit met de restrictie van de compact-open topologie. Dit zullen we nu definiëren. In het vervolg schrijven we C(X, Y ) voor de verzameling van continue functies van een topologische ruimte X naar een topologische ruimte Y. Definitie 5.8. Zij X, Y twee topologische ruimten. Dan wordt de compact-open topologie op C(X, Y ) gegenereerd door de subbasis gegeven door de deelverzamelingen met V X compact en U Y open. U (V, U) := {f C(X, Y ) V f 1 (U)}, Als Y een metrische ruimte is, dan komt de compact-open topologie overeen met de topologie van compacte convergentie. We herhalen eerst de definitie van deze topologie. 12

Definitie 5.9. Zij X een topologische en Y een metrische ruimte. Dan wordt de topologie van compacte convergentie gegenereerd door de collectie deelverzamelingen B V (f, ε) := {g C(X, Y ) d V (f, g) = sup{d(f(x), g(x)) x V } < ε}, met V X compact, f C(X, Y ) en ε > 0. Propositie 5.10. Zij X een topologische en Y een metrische ruimte. Dan komt de compact-open topologie overeen met de topologie van compacte convergentie. Bewijs. Zij V X compact, ε > 0 en f C(X, Y ). Zij g B V (f; ε). Definieer δ := (ε/2 d V (f, g))/3 > 0. Voor alle x V definiëren we V x := g 1 (B(g(x); δ)). Merk op dat {V x } x X een open overdekking van V is, dus wegens compactheid van V bestaan er x 1,..., x n V zodanig dat V n i=1 V x i. Definieer n U := U (V xi V, B(g(x i ); 2δ)). i=1 Merk op dat U open is in de compact-open topologie. Daarnaast hebben we voor alle 1 i n, g(v xi ) g(v xi ) B(g(x i ); δ) B(g(x i ); 2δ). Dus g U. Zij h U en x V. Dan bestaat er een 1 i n zodanig dat x V xi. Merk op dat d(h(x), f(x)) d(h(x), g(x i )) + d(g(x i ), g(x)) + d(g(x), f(x)). Omdat h(v xi V ) B(g(x i ); 2δ), volgt d(h(x), f(x)) < 3δ + d(g(x), f(x)) < 3δ + d V (f, g) = ε/2. Dit geldt voor alle x V, dus d V (h, f) ε/2 < ε. We concluderen dat g U B V (f; ε). Dus B V (f; ε) is open in de compact-open topologie. Omgekeerd, zij V X compact en U Y open. Zij f U (V, U). Voor alle x V hebben we f(x) U, derhalve bestaat er een ε x zodanig dat B(f(x); ε x ) U. Definieer V x := f 1 (B(f(x); ε x /2)). Merk op dat {V x } x V een open overdekking van V is, dus er bestaan x 1,..., x n V zodanig dat V n i=1 V x i. Definieer ε := min{ε x i 1 i n} > 0. 2 Duidelijk f B V (f; ε). Zij g B V (f; ε) en x V. Dan bestaat er 1 i n zodanig dat x V xi. Merk op dat d(g(x), f(x i )) d(g(x), f(x)) + d(f(x i ), f(x)) < ε + ε x i 2 ε x i. Dus g(x) B(f(x i ); ε xi ) U. Dit geldt voor alle x V en g B V (f; ε), derhalve f B V (f; ε) U (V, U). Dit geldt voor willekeurige f U (V, U) dus U (V, U) is open in de topologie van compacte convergentie. De duale groep heeft dus de topologie van compacte convergentie. stelling zullen we hier niet bewijzen. De volgende Stelling 5.11. De duale groep van een LCA groep is lokaal compact. 13

Het kan met deze stelling gemakkelijk aangetoond worden dat duale groepen weer LCA zijn. In het vervolg hebben we het volgende resultaat nodig Propositie 5.12. Zij G een LCA Hausdorff groep en H < G een ondergroep. Dan is G/H LCA. Bewijs. Dit volgt uit het feit dat elk punt in G een basis van compacte omgevingen heeft, en de natuurlijke projectie open en continu is (zie Propositie 5.5). 5.3. De duale groep van Z p We zullen nu de duale groep van de p-adische gehele getallen berekenen. Definitie 5.13. Zij G een topologische groep. Dan zeggen we dat G geen kleine ondergroepen heeft als er een omgeving U G van 1 bestaat, dat geen niet-triviale ondergroepen bevat. Lemma 5.14. De cirkelgroep heeft geen kleine ondergroepen. Bewijs. Beschouw S+ 1 := {e i2πϑ S 1 ϑ ] 1/4, 1/4[}. Merk op dat dit een open verzameling is (het is het teruggehaalde beeld van ]0, [ van de projectie op het reële deel) en 1 S+. 1 Zij Γ S+ 1 een ondergroep van S 1 en stel dat Γ een element g bevat ongelijk aan de identiteit. Dan, zonder verlies van algemeenheid g = e i2πϑ voor een ϑ ]0, 1/4[. Zij n het kleinste gehele getal zodanig dat 1/(4ϑ) < n. Merk op dat n 1/(2ϑ), want anders hebben we n 1 > 1/(2ϑ) 1 = (1 2ϑ)/(2ϑ) > 1/(4ϑ) omdat 1 2ϑ > 1/2. Dit is onmogelijk wegens minimaliteit van n. Derhalve hebben we 1/4 < nϑ 1/2. Merk op dat g n Γ, echter g n = e i2πnϑ / S+. 1 Dit is een tegenspraak, dus S+ 1 bevat geen niet-triviale ondergroepen. Definitie 5.15. We definiëren de Prüfer-p-groep als de verzameling uitgerust met vermenigvuldiging. Z(p ) := {e i2πm/pn n N >0, m Z} S 1 Het kan makkelijk nagegaan worden dat Z(p ) inderdaad een groep vormt. Lemma 5.16. Er is een groepsisomorfisme φ : Ẑp Z(p ) gegeven door φ(χ) := χ(1). Bewijs. We tonen eerst aan dat φ welgedefinieerd is. Zij χ Ẑp. Omdat S 1 geen kleine ondergroepen heeft, bestaat er een omgeving U S 1 van 1 zodanig dat U geen niettriviale ondergroepen bevat. Wegens continuïteit van χ, is χ 1 (U) een omgeving van 0. Dus er bestaat een n N zodanig dat p n Z p χ 1 (U). Dit is een ideaal, dus een additieve ondergroep van Z p. Dus χ(p n Z p ) U is een ondergroep van S 1 omdat χ een homomorfisme is. Dus χ(p n Z p ) = {1}. Het volgt dat χ(p n ) = χ(1) pn = 1. Dus χ(1) Z(p ). We tonen injectiviteit aan. Zij χ, ψ Ẑp en stel dat χ(1) = ψ(1). Dan volgt dat χ(x) = ψ(x) voor alle x Z. Omdat Z dicht ligt (zie 3.12) in Z p, volgt dat χ = ψ. We tonen nu surjectiviteit aan. Zij n > 0, 0 m p n 1 en beschouw de eenheidswortel ϕ := e i2πm/pn Z(p ). Beschouw het homomorfisme χ : Z S 1 zodanig dat 14

χ(1) = ϕ. We claimen dat χ uniform continu is (we beschouwen Z als deelruimte van de metrische ruimte Z p ). Inderdaad, zij ε > 0 willekeurig. Dan voor alle x, y Z zodanig dat x y p < p n hebben we x y p k Z p Z voor een k > n. Dus y = x+p k z voor een z Z. Derhalve χ(x) χ(y) = χ(1) x χ(1) y = ϕ x 1 ϕ pk z = ϕ x 1 1 z = 0 < ε. Het volgt uit Lemma 1.6 dat χ (uniek) uitgebreid kan worden tot een continue afbeelding χ : Z p S 1. Het kan gemakkelijk nagegaan worden dat χ weer een homomorfisme is (op dezelfde manier als in Propositie 1.7). Dus χ Ẑp en φ(χ) = χ(1) = χ(1) = ϕ. Merk op dat φ inderdaad een homomorfisme is. Het resultaat volgt. Lemma 5.17. We hebben een groepsisomorfisme ψ : Q p /Z p Z(p ) : a k p k + Z p e i2π 1 k= m a kp k. Bewijs. Beschouw de afbeelding ψ : Q p S 1 : k= m k= m a k p k e i2π 1 k= m a kp k. Het is duidelijk dat ψ een homomorfisme is met ker( ψ) = Z p. Merk op dat Z(p ) im( ψ). Zij x = k= m a kp k Q p. Dan ψ(x) = e i2π 1 k= m a kp k = e i2πp m m 1 =a kp k Z(p ). Dus Z(p ) = im( ψ). Uit de eerste isomorfismestelling volgt dat Q p /Z p Z(p ) met isomorfisme ψ. Lemma 5.18. De duale groep Ẑp is discreet. Bewijs. Zij χ Ẑp. Omdat S 1 geen kleine ondergroepen heeft, bestaat er een omgeving U S 1 van 1 zodanig dat U geen niet-triviale ondergroepen bevat. Kies een open omgeving p n Z p χ 1 (U) van 0. Dan zien we weer, net als in het bewijs van 5.16, dat χ(1) pn = 1. Kies nu 0 < ε < min{ z w z w S 1, z pn = w pn = 1}. Met de notatie van Hoofdstuk 3, herinner dat p n Z p = πn 1 (0) (zie Propositie 3.6). Dus p n Z p is gesloten, dus compact. Beschouw derhalve de open omgeving van χ, V := U (p n Z p, U) B Zp (χ; ε) Ẑp Ẑp. Zij χ V. Dan χ(p n Z p ) U, dus ook χ(1) pn = 1. Omdat χ B Zp (χ; ε) geldt χ(1) χ(1) < ε. Dus uit de keuze van ε volgt nu χ(1) = χ(1). Uit Lemma 5.16 volgt dat χ = χ. Stelling 5.19. Zij φ, ψ zoals in Lemmata 5.16, 5.17. Er geldt Ẑp Q p /Z p door het isomorfisme (van topologische groepen) Φ : Q p /Z p Ẑp : x (φ 1 ψ)(x). Bewijs. Omdat φ, ψ groepsisomorfismen zijn, volgt dat Φ een groepsisomorfisme is. Herinner dat Z p = B(0, 1) Q p. Dus wegens Propositie 2.8 is Z p open in Q p. Dus volgt uit Propositie 5.6 dat Q p /Z p discreet is, dus Φ is continu. Evenzo, omdat Ẑp discreet is wegens Lemma 5.18, volgt dat Φ 1 continu is. 15

Referenties [vdb] E.P. van den Ban. Dictaat Inleiding Analyse. Universiteit Utrecht, 2013. [Ser] J-P. Serre. A Course in Arithmetic. Springer, 1973. [Gou] F.Q. Gouvêa. p-adic Numbers: An introduction, 2nd edition. Springer, 1997. [Cra] M. Crainic. Dictaat Inleiding Topologie. Universiteit Utrecht, 2015. [Oss] B. Osserman. Inverse limits and profinite groups. University of California, Davis, 2008. https://www.math.ucdavis.edu/~osserman/classes/250c/notes/ profinite.pdf. [Dik] D. Dikranjan. Introduction to Topological Groups. University of Udine, 2013. https://users.dimi.uniud.it/~dikran.dikranjan/itg.pdf. [Wik] Pontryagin duality. https://en.wikipedia.org/wiki/pontryagin_duality (bezocht op 12/06/2017). 16