WELKE WISKUNDE MOET IK KIEZEN VOOR HET EXAMEN- PROGRAMMA 2015? Folder voor leerlingen in klas 3 vwo

WELKE WISKUNDE MOET IK KIEZEN VOOR HET EXAMEN- PROGRAMMA 2015? Folder voor leerlingen in klas 3 vwo

WELKE WISKUNDE MOET IK KIEZEN? Dit jaar moet je kiezen welke wiskunde je wilt gaan volgen in de bovenbouw. Hieronder kun je lezen wat wiskunde A, B, C en D inhouden. Wiskunde is een verplicht vak in de bovenbouw vwo en is altijd één van je vier profielvakken. Er zijn vier soorten wiskunde, waarvan er drie als verplicht profielvak in aanmerking komen. In de onderstaande tabel is te zien welke mogelijkheden er zijn: PROFIEL CM C, A* of B* EM A of B* NG A of B* NT WELKE WISKUNDE? *Informeer of deze keuze ook wordt aangeboden. De school is niet verplicht om deze keuzes aan te bieden. B onderdeel meetkunde zit niet in wiskunde A. Als je verder wilt studeren in de richting van Gedrag en Maatschappij of Economie is wiskunde A onmisbaar. Let op: bij sommige economische studies op de universiteit moet je wiskunde B hebben. Als wiskunde je goed af gaat en je wilt economie studeren op de universiteit, dan heeft wiskunde B de voorkeur boven wiskunde A. Wiskunde C is alleen bestemd voor WELK PROFIEL EN WELKE WISKUNDE KIES JIJ? Bij wiskunde A gaat het om onderwerpen die je later misschien weer nodig hebt bij een vervolgopleiding. Bij studies zoals psychologie en pedagogiek krijg je veel te maken met statistiek. In wiskunde A zit daarom een flink stuk statistiek en kansrekening. Ook moet je met functies en grafieken kunnen werken. Bij economische studies is wiskunde ook belangrijk. Bij die studie krijg je ook differentiëren. Je moet dan kunnen bepalen hoe steil een grafiek loopt. Het leerlingen met het profiel CM. Die gaan over het algemeen geen sterk wiskundige studies doen. Wiskunde C komt deels overeen met wiskunde A. Er zit wel statistiek en kansrekening in en ook functies en grafieken. Logisch redeneren speelt een grote rol, maar ook een deel van ruimtemeetkunde zit in wiskunde C. Met wiskunde C in je bagage kun je dus de kant van Gedrag en Maatschappij op. Voor de richting Economie kun je beter wiskunde A of B kiezen. Bij sommige studies komt op het eerste gezicht geen wiskunde aan de orde. Denk maar aan rechten, daar gebruik je het onderdeel logisch redeneren

weer. Maar bij een aantal onderdelen die op economisch of fiscaal terrein (belastingwetten) terrein liggen, is inzicht in getallen en grafieken toch wel erg handig. Daarom krijgen ook CM-leerlingen op het vwo verplicht wiskunde. Bij wiskunde B krijg je onderwerpen die belangrijk zijn voor opleidingen in de exacte hoek, bijvoorbeeld aan een technische universiteit. Ook voor universitaire studies zoals natuur kunde en scheikunde is wiskunde B verplicht. Daar zitten onderwerpen in zoals functies, differentiëren en integreren, dat heb je nodig als je oppervlaktes wilt uitrekenen. Maar ook meetkunde en goniometrische functies, daar krijg je te maken met de termen sinus, cosinus en tangens. Deze komen van pas als je moet rekenen aan golven en trillingen. Wiskunde B is abstracter dan wiskunde A en de meeste leerlingen vinden wiskunde B moeilijker dan wiskunde A. Een school mag zelf beslissen of ze Wiskunde D aanbieden. Ga dus eerst na of dat op jouw school het geval is. Je mag wiskunde D als profielvak (alleen bij NT!) of als vak in het vrije deel kiezen als je ook wiskunde B hebt gekozen. Je volgt dan dus twee wiskundevakken, namelijk B en D. Wiskunde D biedt vooral een verbreding van wiskunde B. Hierdoor krijg je te maken met onderwerpen als kansrekening, statistiek, analytische meetkunde, dynamische modellen, lineaire algebra en complexe getallen. Wiskunde D is over het algemeen niet moeilijker dan wiskunde B. Bij veel vervolgstudies aan universiteiten en hogescholen krijg je te maken met onderwerpen uit wiskunde D. Als je kiest voor wiskunde D is het belangrijk dat je wiskunde leuk vindt en dat je er veel tijd in wilt stoppen. De studielast voor wiskunde B is 600 uur en voor wiskunde D 440 uur. Als je kiest voor wiskunde D krijg je in totaal meer dan 1000 uur wiskunde in vwo 4, 5 en 6. Vraag je wiskundeleraar om advies bij je keuze.

NU IN 3 VWO, STRAKS IN DE BOVENBOUW Om je een idee te geven van de verschillen tussen wiskunde A en wiskunde B staat hier een overzicht. Er staan onderwerpen uit je derde klas boek die typisch bij wiskunde A/C horen, of juist bij wiskunde B. OVERZICHT 9 E EDITIE WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 1 blz 22, 24 De opgaven 36 en 41. blz 112 Tweedegraadsvergelijkingen mag je bij wiskunde A/C vaak oplossen met de grafische rekenmachine. Bij wiskunde B moet je ze handmatig oplossen. hoofdstuk 4 Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan op procenten en diagrammen. WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 2 hoofdstuk 9 Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan op statistiek en krijg je met allerlei telproblemen te maken. WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 1 blz 30 De opgaven 59, 60 en 61. blz 50 t/m 62 Meetkundige figuren kom je alleen bij wiskunde B tegen. blz 109,110 De opgaven 47 tot en met 52. blz 112 Tweedegraadsvergelijkingen moet je bij wiskunde B handmatig oplossen. hoofdstuk 5 Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op algebraïsche vaardigheden. WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 2 blz 60 Het omgaan met parameters komt bij wiskunde B regelmatig terug. blz 70, 71 De opgaven 61 t/m 67. hoofdstuk 6 Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op sinus, cosinus en tangens en zullen ook functies met sinus of cosinus onderzocht worden.

10 E EDITIE WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 1 blz 16, 17 De opgaven 18 en 20. hoofdstuk 4 Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan op procenten en diagrammen. blz 190 t/m 193 Kwadratische vergelijkingen mag je bij wiskunde A/C vaak met de grafische rekenmachine oplossen. Bij wiskunde B moet je ze handmatig kunnen oplossen. blz 204, 206 De opgaven 47 en 53. WISKUNDE A/C IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 2 blz 67, 75 De opgaven 32 en 55. blz 100 t/m 109 Het onderwerp groei is een belangrijk onderwerp bij wiskunde A. blz 120 De opgave 46. hoofdstuk 9 Bij wiskunde A/C wordt dieper ingegaan op statistiek en krijg je met allerlei telproblemen te maken. WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 1 blz 22 De opgaven 38 t/m 40. blz 50 t/m 79 Meetkundige figuren kom je alleen bij wiskunde B tegen. blz 186 t/m 189 Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op algebraïsche vaardigheden. blz 190 t/m 193 Kwadratische vergelijkingen moet je bij wiskunde B handmatig kunnen oplossen. blz 196 De opgaven 26 en 27. blz 209 De opgaven 59 t/m 61. WISKUNDE B IN GETAL & RUIMTE DEEL 3 VWO 2 hoofdstuk 6 Bij wiskunde B wordt dieper ingegaan op sinus, cosinus en tangens en zullen ook functies met sinus of cosinus onderzocht worden. blz 76 t/m 80 Het omgaan met parameters komt bij wiskunde B regelmatig terug. blz 121 De opgaven 50 t/m 52.

VOORBEELDOPGAVE VWO A/C 2 58 a In China zijn er per 12 vrouwen 13 mannen. Het totaal aantal inwoners is 1,36 miljard. Hoeveel mannen telt China meer dan vrouwen? b In Qatar wonen 24 vrouwen per 100 mannen. Qatar heeft een 77 In populatie figuur 2.20 van zie 2,05 je een miljoen gedeelte inwoners. van de plattegrond Hoeveel mannen van een wonen badplaats. er in Qatar? Op hoeveel manieren kun je zonder omwegen A 59 Een a van rivier S naar splitst T lopen zich in drie takken, zie figuur 1.2. b Bij van een S aanvoer naar U lopen van minder dan 2400 m 3 /s verhouden de c afvoeren van S naar in de het takken strand I, lopen II III zich als 3 : 4 : 5. d a van Bereken S via de Y naar afvoeren het strand in I, II lopen? III als er 2340 m 3 /s wordt aangevoerd. De afvoer in tak II mag niet meer zijn dan 800 m 3 /s. Als deze afvoer meer dreigt te worden, dan zorgt de stuw in figuur 2.20 78 Bij II ervoor agility, dat een de hondensport afvoer daar 800 die afkomstig m 3 /s is. De is afvoeren uit Engeland, in I gaat en III het verhouden om behendigheid zich dan als van 3 : de 5. honden en de b samenwerking Bereken de afvoeren met het baasje. in I, II Wedstrijdleider en III als er 3000 Boom m 3 /szet een parkoers wordt aangevoerd. uit dat bestaat uit drie verschillende hoogtetoestellen, vier c Bereken verschillende aanvoer raakvlaktoestellen, als de afvoer via twee tak verschillende III 1500 m 3 /s is. doorgangen en één slalomtoestel. Met nummers geeft hij aan Informatief in welke volgorde Stuw de toestellen in rivier moeten worden afgewerkt. a Hoeveel parkoersen kan Boom uitzetten? Stuwen b Hoeveel worden parkoersen in rivieren zijn aangelegd mogelijk om als waterstromen de vier te sturen. raakvlaktoestellen Er zijn vaste stuwen direct en achter zijn elkaar regelbare staan? stuwen. Ze c Hoeveel worden gebruikt parkoersen om het zijn water mogelijk in hoger als het gelegen parkoers begint gebieden met het vast slalomtoestel te houden of en juist de rest om te per voorkomen soort bij elkaar dat staat? lager gelegen gebieden overstromen. Verder wordt met 79 stuwen Tijdens gegarandeerd een ckv-les kleuren dat de scheepvaart de leerlingen een de minimale waterstand vlakverdeling heeft. hiernaast. In Nederland Van de worden tien rechthoeken stuwen ook moeten gebruikt er vier gekleurd om water worden uit Rijn met via rood, de IJssel geel, blauw naar het en paars. IJsselmeer Elke kleur te moet voeren. één keer gebruikt worden. De andere rechthoeken blijven wit. Zo ontstaat een Mondriaancompositie. A 60 In Hoeveel een land composities heeft het parlement zijn mogelijk? 150 zetels. Er zijn 5 politieke partijen, die we van groot naar klein A, B, C, D en E noemen. 80 Bij Smartphones verkiezingen en tablets voor het kunnen parlement vergrendeld stemmen worden mensen in de verhouding tegen oneigenlijk a : b : gebruik c : d : e door op deze derden. partijen. Daarvoor zijn a verschillende Neem aan dat methoden. verhouding Eva beveiligt 5 : 4 : 3 haar : 2 : smartphone 1 is. met Licht een 4-cijferige toe dat dan pincode. twee mogelijkheden zijn om een a meerderheid Hoeveel mogelijke te vormen pincodes met twee zijn er? partijen. Welke mogelijkheden zijn dat en hoeveel zetels heeft zo n Eva coalitie? ontgrendelt vaak haar smartphone en zet hem direct b daarna Laat weer zien dat op stand-by. er geen meerderheid Op foto hiernaast van twee zie partijen de te vormen telefoon is als de van verhouding Eva waarop 10 zij : 9 net : 8 haar : 7 : pincode 6 is. heeft c ingevoerd. Onderzoek Er zijn wat de duidelijk verhouding vier vingerafdrukken a : b : c : d : e is als er steeds zichtbaar. 5 zetels zitten tussen twee in grootte opeenvolgende partijen. d b Bedenk Hoeveel een pincodes verhouding zijn er a mogelijk? : b : c : d : e zo, dat de partijen A en c E Volgens samen Luuk wel een is het meerderheid voor Eva beter hebben om maar slechts de partijen drie B, C en verschillende D niet. cijfers te gebruiken in haar pincode, want bij drie vingerafdrukken zijn er meer pincodes mogelijk. Laat met een berekening zien dat Luuk gelijk heeft. figuur 1.2 Noordhoff Uitgevers bv Getallen en variabelen 43 1 01_G&R_256133_H01.indd 43 92 Hoofdstuk 2 9/24/14 6:40 PM Noordhoff Uitgevers bv

VOORBEELDOPGAVE VWO B 1 2 3 4 4 19 Voorbeeld In figuur 4.28 is het punt A het gemeenschappelijke raakpunt van de cirkels met middelpunt Gegeven zijn de functies f p (x) = 1 4 x 2 M en + px 5. middelpunt N. De gemeenschappelijke raaklijn is l. Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken Bewijs dat MN l. van f p liggen. Uitwerking x top = b 2a = p 2? 1 = p 1 = 2p, dus p = 1 2 x top 20 Vanuit het punt A zijn de raaklijnen k en l aan de. cirkel 4 2 met middelpunt y top = 1 4 x top 2 M getekend. De raakpunten zijn P en Q. + px top 5 Zie figuur 4.29. p = 1 2 x f y top = 1 4 x top 2 + 1 2 x top? x top 5 Gebruik top de stelling van Pythagoras y top = 1 4 x om top 2 te 1 2 x bewijzen top 2 5 dat AP = AQ. y top = 1 4 x top 2 5 Dus de formule van de kromme is y = 1 4 x 2 5. M figuur 4.28 A figuur 4.29 A Q P l N l M k 5 6 7 8 9 61 21 Stel Op de cirkel formule met op middelpunt van de kromme M, straal waarop 3 en alle middellijn toppen van de grafieken AB liggen van de punten f p liggen. C en D zo, dat AC = 3 en AD = 4. Zie figuur 4.30. f p (x) = 1 8 x 2 + px 6 c f p (x) = p 2 x 2 2px +3 a Bereken BC en BD. A b Onderzoek f p (x) = px 2 met +6x een + p berekening of het punt B op d de f p (x) = px 2 px +1 cirkel ligt waarvan CD middellijn is. A 62 Gegeven zijn de functies f p (x) = x 2 + px + 2p. Stel de formule op van de kromme waarop alle toppen van de grafieken van f p liggen. A 22 6 Gegeven is de cirkel c 1 met middelpunt M en straal 3 en de cirkel c Informatief 2 met middelpunt N en straal 5. Parameters met GeoGebra De lijn k raakt c 1 in A en c 2 in B. Het De gemeenschappelijke tekening hiernaast raakpunt is gemaakt van met c 1 het en c 2 is P en de programma gemeenschappelijke GeoGebra. raaklijn In het digitale in P is boek l. c 2 staat De lijnen een link k en naar l snijden een filmpje elkaar waarin Q. Zie je kunt figuur 4.31. zien Bereken hoe dat PQ. is gedaan. 3 C 4 M D figuur 4.30 c 1 N P 3 M B A Q B l 10 k figuur 4.31 11 12 D 23 Luuk maakt van drie halve boomstammen een bankje als in figuur 4.32. De diameter van de boomstammen aan de onderkant is 2 dm, de diameter van de bovenste stam is 4 dm. Bereken de hoogte van het bankje in mm nauwkeurig. figuur 4.32 36 Hoofdstuk 1 150 Hoofdstuk 4 Noordhoff Uitgevers bv Noordhoff Uitgevers bv 01_G&R_255669_H01.indd 36 Book 1.indb 150 8/12/14 4:22 PM 8/12/14 4:17 PM

4 A 78 Peter laat een bal vallen van 135 cm hoogte. De bal komt bij het stuiteren telkens terug tot 70% van de vorige hoogte. Hoeveel cm heeft de bal in totaal afgelegd als hij is uitgestuiterd? A 79 Bungeejumpen is een sport voor waaghalzen. Je springt van een brug af aan een lang elastiek. Juist voordat je het wateroppervlak bereikt, is het elastiek maximaal uitgerekt, waarna je weer terugveert. Vervolgens val je weer naar beneden, enzovoort. VOORBEELDOPGAVE VWO D Ga ervan uit dat het elastiek bij de eerste val 40 meter uitrekt. Neem verder aan dat je bij het terugveren telkens een afstand van 40% van de vorige val overbrugt en dat je bij het opnieuw vallen 75% van de zojuist teruggeveerde afstand overbrugt. Bereken hoeveel meter de bungeejumper in totaal aflegt. A 80 Gegeven is de stapel van 8 kubussen in figuur 2.8. De ribbe van de onderste kubus is 6 cm. Vier hoekpunten van de tweede kubus vallen samen met de middens van de onderste kubus. Enzovoort. De ribben van de opeenvolgende kubussen vormen een 39 Onderzoek meetkundige of rij. de matrices rij-equivalent zijn. a Bereken 1 in 3mm 4 nauwkeurig 1de hoogte 3 4 van de stapel in de a figuur. A = 2 0 5 en B = 0 2 1 Hoe ver je 3 ook 1 doorgaat 6 met stapelen, 0 4 3de hoogte van de gehele stapel komt niet boven een grenswaarde. 1 3 4 1 0 3 b Bereken deze grenswaarde in mm nauwkeurig. c b De C = totale 2 inhoud 0 6 van en de D = stapel 0 kubussen 1 3 heeft ook een grenswaarde. 3 1 6 0 3 1 Bereken deze grenswaarde in mm 3 nauwkeurig. x 1 x 2 +2x 3 = p A 40 Gegeven het stelsel 2x 1 +3x 2 +4x 3 = 10 3x 1 2x 2 +4x 3 = 15 A 41 86 Hoofdstuk 2 02_G&R_255658_H02.indd 86 Druk de oplossing van het stelsel uit in p. In figuur 4.11 zie je een aantal stangen waaraan de gewichten G 1, G 2, G 3, G 4 en G 5 hangen. De massa s van de gewichten zijn zo gekozen dat het systeem in evenwicht is. Volgens de hefboomwet van Archimedes geldt voor elk draaipunt dat het product van de lengte van de arm en het gewicht dat aan die arm hangt links en rechts gelijk moet zijn. Hieruit volgt bijvoorbeeld 6(G 1 + G 2 ) = 10(G 3 + G 4 + G 5 ). a Licht toe dat er oneindig veel waarden voor G 1, G 2, G 3, G 4 en G 5 zijn. b Bereken G 1, G 2, G 3, G 4 en G 5 als de gewichten samen 800 gram wegen. figuur 4.11 6 10 2 8 2 G1 G2 G3 6 cm figuur 2.8 8 Noordhoff Uitgevers bv 3 2 G4 1 4 9/23/14 G5 12:32 PM Geschiedenis Carl Friedrich Gauss Carl Friedrich Gauss werd in 1777 geboren in Braunschweig, in het huidige Niedersachsen. Zijn eerste baanbrekende wiskundige ontdekkingen deed hij al toen hij nog een tiener was. Zo was zijn constructie van een regelmatige zeventienhoek met passer en liniaal de eerste wezenlijke vooruitgang in de klassieke meetkunde sinds de tijd van de oude Grieken. Zijn hoofdwerk, de Disquisitiones Arithmeticae, voltooide Gauss op 21-jarige leeftijd. Dit werk was van fundamenteel belang voor de getaltheorie. In diverse andere gebieden binnen de exacte wetenschappen zorgde zijn werk voor belangrijke nieuwe inzichten, bijvoorbeeld in de statistiek, de analyse, de astronomie, de mechanica en de optica. Gauss wordt algemeen erkend als een van de briljantste wiskundigen uit de geschiedenis. Om deze reden wordt hij soms de koning van de wiskunde genoemd. Hij overleed in 1855 in Göttingen. Noordhoff Uitgevers bv Matrices 173

WWW.GETALENRUIMTE.NOORDHOFF.NL