Technische Universiteit Eindhoven Tentamen: Golven en Optica (3BB40) Datum: 24 november 2006 N.B.: Dit tentamen bestaat uit 4 vraagstukken en 5 pagina s met formules (LET OP, formulebladen zijn gewijzigd!!). Het is toegestaan 2 kantjes met eigen aantekeningen te gebruiken (A4, handgeschreven, geen opgaven met uitwerkingen, geen gepriegel ). Lijsten met door de correctoren toegekende punten per onderdeel, evenals de juiste antwoorden en het nominaal aantal punten per onderdeel, worden z.s.m. op de website van het vak: (http://www.phys.tue.nl/aqt, ga naar Courses 3BB40 of via OWInfo) geplaatst. Wijkt uw eigen schatting aanmerkelijk af van het door de correctoren bepaalde resultaat, dan kunt u tot uiterlijk een week na het bekend maken van de resultaten een E-mail sturen naar k.a.h.v.leeuwen@tue.nl en u aanmelden voor een individueel onderhoud met de docent. Ligt het door u behaalde ruwe cijfer c ruw in het interval 5.0 c ruw < 5.5, dan komt u in aanmerking voor een verlengd tentamen en dient u in ieder geval contact op te nemen. U krijgt dan per E-mail bericht wanneer en waar u verwacht wordt. Vraagstuk 1 Een zee-aquarium heeft (gebogen) ronde vensters (diameter 50 cm) waardoor de bezoekers de vissen kunnen bekijken. Een haai die 8 m lang is zwemt op een afstand van 24 m voor één van de vensters. Er wordt door het venster een reëel beeld gevormd op 6 m afstand van het venster. U mag aannemen dat de brekingsindex van het glas en het water beiden gelijk aan 1.5 zijn. 1.1 Bereken de grootte van het beeld. Staat het beeld rechtop of ondersteboven? Licht uw antwoord toe. 1.2 Wat is de kromtestraal van het venster? Is het venster als gezien door de bezoeker uitpuilend of ingedeukt? Licht uw antwoord toe. 1.3 Maak een tekening van de situatie op schaal, inclusief een stralenconstructie die de vergroting van het beeld laat zien. 1.4 De zeer bijzondere haai heeft kleine, felgekleurde rode en blauwe stippen. De brekingsindex van het water en het glas wordt nu gegeven door n(λ) = 1.5 + 2 10 4 (nm) 1 (λ 600 nm). De golflengte van het rode licht is 600 nm, van het blauwe licht 400 nm. Wat is het effect van de golflengteafhankelijkheid van de brekingsindex op het beeld? Hoe scherp kunnen we (ongeveer) op zijn best de stippen tegelijk krijgen (u hoeft geen diffractie etc. in uw beschouwing te betrekken)? 1
Vraagstuk 2 n m n n r 1 r Behalve de bekende convexe en concave lenzen wordt in de optica ook een volledig ander soort lenzen gebruikt, die bekend staan als GRIN-lenzen (GRadientINdex-lenzen). Deze bestaan uit kleine glazen cylinders, waarvan de brekingsindex radiëel variëert: op de hartlijn van de cylinder is de brekingsindex hoog, naar de randen toe wordt de brekingsindex lager. De figuur hierboven laat zien hoe zo n lens (in dit geval een zgn. quarter-pitch lens) een parallelle lichtbundel focusseert. Tevens wordt de grafiek getoond die de brekingsindex als functie van de afstand tot de hartlijn laat zien: n m is daarbij de brekingsindex op de hartlijn, n r de brekingsindex aan de rand. 2.1 Leg uit, waarom de lichtstralen in de GRIN-lens er (kwalitatief) uitzien zoals getekend. 2.2 Hoe kunnen we een GRIN-lens maken die een punt op het linkervlak afbeeldt op een punt op het rechtervlak? Wat kunnen we in zo n lens zeggen over de optische weglengtes van de lichtstralen van het voorwerppunt links naar het beeldpunt rechts? 20 mm 4 mm 2.3 In de figuur hierboven wordt een afbeeldingssysteem getekend met een dunne GRIN-lens. De GRIN-lens heeft een diameter van D = 4 mm, een dikte d = 2 mm, en een brandpuntsafstand f = 20 mm. Bereken het benodigde verschil in brekingsindex n m n r tussen het centrum en de rand van de GRIN-lens om te zorgen dat de buitenste lichtstraal en de centrale straal door het focuspunt gaan. 2.4 Bewijs dat het juiste brekingsindexprofiel (de brekingsindex als functie van de afstand tot de hartlijn) voor de dunne GRIN-lens (in goede benadering) een geïnverteerde parabool is. 2
Vraagstuk 3 x I 0 I eind z P 1 A P 2 We beschouwen de opstelling zoals geschetst in de figuur hierboven. De y-richting is uit het vlak van tekening. Ongepolariseerd licht met intensiteit I 0 valt op een tweetal lineaire polarisatoren P 1 en P 2. P 1 staat met doorlaat-as (polarisatierichting) in de x-richting en P 2 met doorlaat-as in de y-richting. Tussen de twee lineaire polarisatoren plaatsen we een derde optisch element A. Hiervoor kunnen we kiezen uit een lineaire polarisator, een 1 4 -lambda plaat of een 1 -lambda plaat. 2 3.1 We kiezen voor A de lineaire polarisator. We plaatsen de polarisator zo dat zijn doorlaat-as een hoek van +30 met de x-as maakt (De doorlaat as bevindt zich dus in het eerste en derde kwadrant van het x-y vlak.) Geef de Jones vector van het licht na ieder van de drie optische elementen (P 1, A en P 2 ) en bepaal I eind als functie van I 0. 3.2 We willen I eind zo groot mogelijk maken. Welke van de drie elementen (lineaire polarisator, 1 4 -lambda of 1 -lambda plaat) moeten we bij A gebruiken en hoe moet dat element staan. 2 We zetten nu de doorlaat-richting van P 1 onder een hoek van +45 met de x-as. Op de positie van element A plaatsen we een Wollaston-prisma (zie tekening). De brekingsindex langs de optische as van het Wollaston prisma is iets groter dan loodrecht erop. De doorlaat richting van P 2 blijft langs de y-as gericht. x I 0 I 1 z A P 1 (45 0 ) P 2 (90 0 ) I 2 3.3 Bepaal I 1 en I 2 als functie van I 0 (neem aan dat alle reflecties verwaarloosbaar zijn). We onderzoeken nu het gereflekteerde licht aan een glas oppervlak (n = 1.5) m.b.v. de volgende opstelling. 3
x x z z I 0 Ieind P 1 (45 0 ) θ θ P 2 (α) Het ongepolariseerde licht (intensiteit I 0 ) valt door polarisator P 1 (doorlaat-as +45 met x-as) op een glasplaat onder een hoek θ = 45 met de normaal. Het gereflecteerde licht gaat door een tweede polarisator P 2, waarvan de doorlaat richting een hoek met de x -as maakt. 3.4 Bepaal de maximale waarde van I eind /I 0. Geef aan voor welke waarde van deze bereikt worden. 4
Vraagstuk 4 4.1 In een Michelson interferometer komt een laserbundel binnen, die we opvatten als een vlakke, monochromatische golf met golflengte λ. In de interferometer wordt de golf opgesplitst in twee gelijke delen (d.w.z., twee bundels met ieder 50% van de irradiantie van de binnenkomende golf). Na de opsplitsing vallen deze golven op de spiegels S 1 en S 2 op afstand l 1 respectievelijk l 2, worden teruggekaatst, op de deelspiegel weer samengevoegd en belichten dan scherm Q. De brekingsindex van de lucht mag u op 1 stellen: alle fase-vertragingen bij reflectie en transmissie mag u op nul stellen. Voor welke waarden van l 2 l 1 treedt op het scherm Q uitdoving, dan wel maximale intensiteit op? 4.2 Gegeven is nu dat de golflengte λ = 633 10 9 m. We verplaatsen spiegel S 2 nu over een afstand van x = 10 3 m (zie tekening bij onderdeel 1 van dit vraagstuk). Hoeveel minima en hoeveel maxima zien we op het scherm (afgerond) passeren? 4.3 We hebben nu twee identieke Michelson interferometers, die één spiegel delen (zie tekening). In de bovenste interferometer valt laserlicht met golflengte λ a = 633 10 9 m (als hiervoor). In de onderste interferometer valt laserlicht met een onbekende golflengte λ b. We verplaatsen nu langzaam de gemeenschappelijke spiegel S 2 over een afstand x. Op beide schermen (Q a en Q b ) zien we maxima en minima verschijnen. Bij de verplaatsing zien we in totaal op scherm Q a 527 maxima verschijnen en op scherm Q b 633 maxima. Bereken x en λ b. 5
Technische Universiteit Eindhoven Tentamen: Golven en Optica (3BB40) Datum: 24 november 2006 Antwoorden Vraagstuk 1 1.1 De vergroting: m = s n 1 sn 2 = 9 m 24 m = 3 8. De grootte van het beeld is dus 8 m 3 8 = 3 m. De vergroting is negatief en het beeld staat dus ondersteboven. 1.2 De kromtestraal van het venster R is te bepalen uit n 1 s + n 2 s = n 2 n 1 R met n 1 = 1.5, n 2 = 1, s = 24 m en s = 6 m. Resultaat R = 2.18 m. Teken is negatief, dus hol vanuit het voorwerp gezien, dus uitpuilend voor de toeschouwers. 1.3 N.B. door de overgang van glas/water naar lucht worden de stralen van de normaal af gebroken! 8 m 3 m 24 m 6 m 1
1.4 Voor het 600 nm rode licht is de brekingsindex 1.50 en de beeldafstand 6 m (als hiervoor), voor het blauwe licht is de brekings index 1.46 en de beeldafstand 6.67 m. De tekening laat zien, dat de rode en blauwe stippen niet gelijk scherp gezien kunnen worden. Door halverwege te gaan zitten (groene lijn in figuur), kunnen ze beiden even scherp (of onscherp) gezien worden. Simpele geometrische constructie laat zien, dat de grootte van rode en blauwe stippen dan beide ongeveer 2.5 cm zijn. Vraagstuk 2 2.1 Principe van Fermat: de gebogen lichtstralen vertegenwoordigen de snelste paden omdat zij zoveel mogelijk aan de buitenkant lopen, waar de brekingsindex het laagste is en het licht dus het snelste loopt. 2.2 Door de GRIN-lens twee keer zo lang te maken. Zoals altijd in een punt-op-punt afbeelding, zegt het principe van Fermat dat de optische weglengtes langs alle stralen even lang zijn. B 20 mm 4 mm A F 2.3 Het optische pad dat via A naar F loopt moet dezelfde optische weglengte hebben als het pad via B naar F, dus: AF + n m d = B F + n r d. De lengte van BF is gegeven door B F = AF 2 + ( ) D 2 2 AF + 1 D 2 8 AF, zodat moet gelden: (n m n r ) = 1 D 2 8d AF = 0.05. 2.4 Dezelfde berekening als hiervoor, maar nu met r (de afstand tot het midden van de lens) als variabele i.p.v. de vaste afstand AB + D/2 en f = AF voor de brandpuntsafstand van de lens levert: (n m n(r)) = 1 r 2 2d f n(r) = n m 1 2d f r 2. 2
Vraagstuk 3 3.1 Genormaliseerde Jones-vectoren: (1, 0), (cos 30, sin 30 ), (0, 1); Irradiantie: I eind = 1 2 cos2 30 cos 2 60 I 0 0.0938I 0 3.2 1 2 λ, onder een hoek van 45, I eind = 1 2 I 0 3.3 Polarisatie I 1 langs y-as, I 2 langs x-as. Dus I 1 = 1 2 I 0, I 2 = 0. 3.4 Aan glas oppervlak r T E = 0.3; r T M = 0.092 I max = (0.3 2 + 0.092 2 )I 0 0.098I 0 ; maximale doorlaathoek = arctan (r T E /r T M ) = 107 (of 73 ). Vraagstuk 4 4.1 Maxima als 2(l 2 l 1 ) = 0, ±λ, ±2λ, (m λ met m geheel) Uitdoving als 2(l 2 l 1 ) = ± 1 2 λ, ± 3 2 λ, ((m + 1 2 ) λ met m geheel) 4.2 Het aantal minima (of maxima) dat we zien verschijnen en verdwijnen is gelijk aan 2 l 2 /λ = 2 10 3 m/633 10 9 m = 3160. 4.3 De verandering in optische weglengte is gelijk aan het aantal maxima in de bovenste interferometer maal de golflengte λ a : 2 l 2 = 527 633 10 9 m = 3,336 10 4 m l 2 = 1,668 10 4 m Voor de laserbundel met golflengte λ b in de onderste interferometer geldt nu, dat 633 λ b = 2 l 2 ( l 2 is natuurlijk gelijk voor beide interferometers), dus: λ b = 2 l 2 633 = 527 633 10 9 m 633 = 527 10 9 m 3