Open Inhoud Universiteit Appendix B Wiskunde voor milieuwetenschappen Werken met eenheden Introductie 275 Leerkern 275 1 Grootheden en eenheden 275 2 SI-eenhedenstelsel 275 3 Tekenen en grafieken 276 4 Eenheden omrekenen 276 5 Eenheden in formules 278 274
Appendix B Werken met eenheden Appendix B Werken met eenheden Introductie In de wiskunde wordt vaak gerekend met getallen en variabelen zonder de bijbehorende eenheden te specificeren. In de milieuwetenschappen echter, zijn getallen zonder bijbehorende eenheden vaak betekenisloos. Een snelheid van 100 betekent niets; een snelheid van 100 kilometer per uur wel. Een concentratie zoutzuur van 1,1 is niet interessant, een concentratie van 1,1 mol / liter des te meer. Daarom benoemen we in deze appendix het onderscheid tussen grootheden en eenheden en gaan we in op het werken met eenheden bij berekeningen in de milieuwetenschappen. LEERDOELEN Na bestudering van deze appendix weet u het onderscheid tussen een grootheid en de eenheid waarin deze wordt uitgedrukt kent u de basiseenheden uit het SI-eenhedenstelsel kent u een aantal voorbeelden van afgeleide eenheden en kunt u deze uitdrukken in SI-eenheden weet u dat voor dezelfde grootheid soms verschillende eenheden worden gebruikt en weet u hoe deze in elkaar omgezet kunnen worden. Deze appendix bevat geen opgaven (wel wordt verwezen naar enkele opgaven in de hoofdtekst) en geen samenvatting aan het eind (zie in plaats daarvan de leerdoelen hierboven). LEERKERN 1 Grootheden en eenheden Bij het rekenen met eenheden moeten we om te beginnen onderscheid maken tussen een grootheid en een eenheid. Een grootheid is een kwantificeerbare eigenschap van datgene wat we onderzoeken, bijvoorbeeld de temperatuur. De eenheid is de maat waarin deze grootheid wordt uitdrukt, bijvoorbeeld graden Celsius. 2 SI-eenhedenstelsel Om het gebruik van eenheden consistenter te maken is op 11 oktober 1960 het Internationale Stelsel van Eenheden (SI-stelsel) ingevoerd. Dit stelsel omvat zeven basiseenheden voor lengte (meter), massa (kilogram), tijd (seconden), elektrische stroom (ampère), temperatuur (kelvin), hoeveelheid stof (mol), en lichtsterkte (candela) (zie onderstaande tabel). Zij vormen de basis voor een groot aantal afgeleide eenheden, waaronder die van kracht (newton), energie (joule), vermogen (watt), en druk (pascal). 275
Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen De afgeleide eenheden kunnen altijd in de basiseenheden worden uitgedrukt. Zo geldt bijvoorbeeld: 1 newton = 1 N = 1 kg m s 2 1 joule = 1 J = 1 N m = 1 kg m 2 s 2 1 watt = 1 W = 1 J s 1 = 1 kg m 2 s 3 1 pascal = 1 N m 2 = 1 kg m 1 s 2, enzovoort. Dit geldt ook voor eenheden die zijn afgeleid van een eigennaam, zoals kelvin. Zoals geïllustreerd in bovenstaande voorbeelden worden standaard symbolen gebruikt om de volledige namen van de eenheden af te korten. Zo korten we de kilogram af als kg, de meter als m, de seconde als s, de newton als N, de joule als J, enzovoort. De conventie is dat volledige namen van eenheden met kleine letter worden geschreven; voor de symbolen worden wel hoofdletters gebruikt. Vervolgens is het mogelijk een SI-voorvoegsel te gebruiken om aan te geven dat het om veelvouden of delen van de betreffende eenheden gaat. Zo is hectopascal gelijk aan 100 pascal, en met de term millimeter bedoelen we een duizendste van een meter. Er zijn ook eenheden die niet onder het SI-stelsel vallen, maar toch vaak worden gebruikt. Denk aan minuten, uren en dagen als eenheden van tijd. Het gebruik van deze eenheden is op zich niet fout, maar over het algemeen niet volgens de conventie. Volledige lijsten van SI-eenheden, gebruikte symbolen, SI-voorvoegsels en overige eenheden zijn te vinden in Binas (NVON, 2008). Basisgrootheden in het SI-eenhedenstelsel grootheid lengte massa tijd stroomsterkte temperatuur lichtsterkte hoeveelheid stof eenheid meter kilogram seconde ampère kelvin candela mol afkorting m kg s A K Cd mol 3 Tekenen van grafieken Bij het tekenen van een grafiek verdient de keuze van de eenheden met hun voorvoegsels en de indeling van de assen speciale aandacht. Deze moeten zo gekozen worden dat het domein, het bereik en de gevonden punten duidelijk in beeld gebracht worden. Zie hiervoor bijvoorbeeld opgave 1.22 en 1.23. 4 Eenheden omrekenen Een probleem met het rekenen met eenheden is dat er voor dezelfde grootheden verschillende eenheden bestaan. Zo kunnen we de temperatuur uitdrukken in graden Celsius, maar ook in graden Fahrenheit of in kelvin. Een blik in Binas leert dat er voor de grootheid energie vijf verschillende eenheden in gebruik zijn: de joule, calorie, elektronvolt, erg, en kilowattuur. 276
Appendix B Werken met eenheden Het kan voorkomen dat de waarde van een grootheid in een bepaalde eenheid bekend is, maar dat we die waarde in een andere eenheid willen weten. Als een Amerikaan bijvoorbeeld met zijn eigen auto in Nederland rond rijdt wil hij graag weten wat de maximum snelheid (130 km per uur) is gemeten in zijn eigen eenheden (mijlen per uur), want dat is immers wat de snelheidsmeter op zijn dashboard aangeeft. We moeten de eenheden omrekenen ofwel overgaan op een andere eenheid. Hoe gaat dit in zijn werk? Hieronder enkele veelvoorkomende eenvoudige omrekenfactoren. Van km/uur naar mijl/uur Van joule naar calorie Van graden Celsius naar graden Fahrenheit Van km/uur naar m/s Van J/m naar kwh/100 km We beginnen met genoemde Amerikaan. We weten: 1 mijl 1,6 km. Hieruit volgt: 130 km/uur 130 / 1,6 81 mijl/uur. Omgekeerd geldt: 81 mijl/uur 81* 1,6 130 km/uur. Veelvoorkomend in discussies over voedingswaardes! Een potje pindakaas bevat zo n 2350 kcal. Hoeveel joule is dat? We weten: 1 calorie 4,2 joule, ofwel 1 kcal 4,2 kj. Hieruit volgt: 2350 kcal = 2350 4,2 kj = 9870 kj. Dit voorbeeld komt in de milieuwetenschappen niet veel voor, maar is toch de moeite waard. Om eenheden om te reken moeten we namelijk niet alleen rekening houden met een bepaalde vermenigvuldigingsfactor, maar ook met een verschuiving van het nulpunt. 5 De relatie tussen beide schalen wordt gegeven door: T = ( T 32) C F 9 met T de temperatuur in graden Celsius en T de temperatuur in C F graden Fahrenheit. Een temperatuur van 50 graden Fahrenheit komt dus overeen met 5 (50 32) = 10 graden Celsius. 9 9 Omgekeerd geldt: 5 graden Celsius = 5 + 32 = 23 graden Fahrenheit. Dit is een vaak voorkomende omrekening tussen eenheden van snelheid, waarbij we rekening moeten houden met twee vermenigvuldigingsfactoren. We weten: 1 km = 1000 m èn 1 uur = 3600 s. 1000 m Hieruit volgt: 100 km/uur = 100 27,8 m/s. 3600 s 1 km 3600 1000 1 3600 Omgekeerd geldt: 5 m/s = 5 5 km/u 18 km/u uur = 1000. Tot slot een wat ingewikkelder voorbeeld vanuit een van de behandelde toepassingen. Bij de toepassing energiegebruik voertuigen in leereenheid 3 (boxen 3.1 en 3.3 met bijbehorende opgaven en voorbeelden) bepalen we het energiegebruik van voertuigen in relatie tot hun luchtweerstand. De energie per eenheid afstand die hier mee gemoeid is rekenen we netjes uit in SI-eenheden, namelijk in joule per afgelegde meter (J/m). Dit is echter niet een erg intuïtieve maat. Als we het uiteindelijke resultaat uitdrukken in kilowattuur per 100 km (kwh/100 km) kunnen we ons wellicht makkelijker een voorstelling maken van het energiegebruik, bijvoorbeeld in vergelijking met het elektriciteitsverbruik thuis. 5 277
Open Universiteit Wiskunde voor milieuwetenschappen Hoe gaat dit in zijn werk? We weten: 100 km = 100.000 m. Vervolgens drukken we kwh uit in J: 1 kwh = 1000 WH = 1000 Js 1 h = 1000 3600 Js 1 s = 3.600.000 J. Hieruit volgt: 1 kwh / 100 km = 3.600.000 J / 100.000 m = 36 J/m. En omgekeerd: 1 J/m = 1/36 kwh / 100 km. Wanneer we in figuur 3.5 aflezen dat we bij een snelheid van zo n 28 m/s (ongeveer 100 km/uur) zo n 500 J/m gebruiken om de luchtweerstand te overwinnen, dan staat dat op een traject van 100 km dus gelijk aan 500 14 kwh. Dit is dezelfde hoeveelheid energie die nodig is voor 36 140 uur televisie kijken, uitgaande van een standaardmodel van 100 watt. 5 Eenheden in formules In de milieuwetenschappen worden vaak formules behandeld met verschillende grootheden als variabelen. Zo wordt in de toepassing Energiegebruik voertuigen (box 3.1) de volgende formule gegeven: Elucht 1 ρ A v2 2 =, met E lucht het energieverbruik als gevolg van luchtweerstand per eenheid afstand ρ de luchtdichtheid A de oppervlakte van het vooraanzicht van de auto, en v de snelheid van de auto. Als we met deze formule gaan rekenen, moeten we voor elke variabele een eenheid kiezen. We zijn in principe vrij om die eenheden te kiezen die we handig achten. De eenheden links en rechts van het =-teken moeten echter wel kloppen. Drukken we bijvoorbeeld ρ uit in kg/m 3, A in m 2 en v in m/s (alle SI-eenheden), dan kunnen we dus afleiden in welke eenheid E lucht gegeven wordt. Vullen we de eenheden in de formule in, dan zien we dat E lucht wordt uitgedrukt in: 2 2 2 kg m 3 2 kg m 1 m = = J/m. m s s m Het is dus niet mogelijk E lucht zomaar in een andere eenheid uit te drukken, zoals in cal/m. In dat geval kloppen de eenheden links en rechts van het =-teken niet met elkaar. Veilig is het om standaard SI-eenheden te kiezen, zowel links als rechts van het =-teken. In dat geval worden beide kanten uitgedrukt in dezelfde basiseenheden en kloppen de eenheden dus altijd. Tot slot kijken we naar de rol van coëfficiënten in formules. In de toepassing Energieverlies in huis bijvoorbeeld, wordt de totale warmtestroom Q door een muur van een oppervlakte A gegeven door de DT formule Q = A, met R DT het verschil in buiten- en binnentemperatuur A de oppervlakte van de muur R de totale thermische weerstand van de muur. 278
Appendix B Werken met eenheden De R in deze formule is een coëfficiënt, ze geeft een verband weer tussen de verschillende grootheden warmtestroom, oppervlakte en temperatuurverschil. Ook bij dergelijke coëfficiënten is het nodig de eenheden te vermelden waarin ze worden uitgedrukt. Stel bijvoorbeeld dat we warmtestroom Q uitdrukken in watt, de oppervlakte A in m 2 en het temperatuursverschil in C. Wat is dan de eenheid van R? Ook hier geldt dat we de eenheid van R zo moeten kiezen dat de eenheden links en rechts van het =-teken met elkaar in overeenstemming zijn. Als we bedenken dat we de formule om kunnen schrijven als DT R= A, dan vinden we voor de eenheid van R dus 2 C m. Q W 279