EOQ Met Beperkingen Of waarom Lagrange zich er niet mee moet bemoeien Ir. Paul Durlinger Steven Pauly 17 Februari 2016
1 Management Summary Wanneer we voor een SKU (Stock Keeping Unit) een seriegrootte berekenen, gebeurt dat meestal stand-alone, zonder te kijken naar andere SKU s. Maar in veel gevallen kan dat problemen opleveren. De seriegrootte kan voor één SKU wel kloppen maar als we de resultaten voor álle SKU s tezamen bekijken kan het zijn dat we niet genoeg ruimte hebben; of niet genoeg cash om alles in te kopen of hebben we niet genoeg tijd om alle orders te plaatsen of te ontvangen. De aangewezen benadering om de seriegroottes in samenhang te bekijken bij zulke restricties (geld, ruimte etc) is de Lagrange-multiplier-methode. Deze methode berekent seriegroottes, die resulteren in minimale (totale) kosten, gegeven de restrictie. Zoals de naam al suggereert niet de meest eenvoudige methode om in praktijk te gebruiken. Ook de achtergrond en afleiding zal voor de meesten onder ons te hoog gegrepen zijn en daarom wordt deze methode zelden gebruikt in praktijk. In dit paper presenteren wij daarom een andere, eenvoudige en intuitieve methode, die goede resultaten oplevert. Wij tonen aan dat bij deze evenredige correctie methode in de meeste praktijkgevallen, de totale kosten minder dan 5% afwijken van de minimale totale kosten berekend via de optimale Lagrange-methode. In bepaalde gevallen geeft de eenvoudige methode zelfs dezelfde minimale kosten. Wij stellen daarom voor om in eerste instantie deze evenredige correctie te gebruiken en de Lagrange-multiplier te laten voor wat hij is.
2 Meneer Lagrange kan beter van de EOQ afblijven Vaak blijft bij het bepalen van de EOQ voor één SKU de samenhang met andere SKU s buiten beschouwing. Vaak is dit niet correct. Het kan bijvoorbeeld voorkomen, dat wanneer we de EOQ voor een aantal SKU s afzonderlijk uitrekenen, het totaal een ongewenste uitkomst geeft. Het aantal orders dat we plaatsen kan te groot zijn, het kapitaalbeslag kan te groot zijn, het ruimtebeslag kan te groot zijn etc. Voor dit soort beperkingen zijn hulpmiddelen en oplossingen beschikbaar zoals de Lagrange multiplier (Lagrange [1811]). Het nadeel van deze methodieken is dat ze omslachtig zijn en intuïtief niet gemakkelijk. Wij laten zien dat er ook een heel eenvoudige methodiek bestaat voor dit probleem dat heel goede, praktische resultaten geeft waarbij de afwijkingen t.o.v. de minimale kosten minder dan 5% bedragen. 1 De basis We kijken nog eens naar het basisprobleem. Stel u bent een groothandel en u levert een aantal SKU s aan een groot aantal klanten. Of u bent een productie omgeving die op voorraad produceert voor een groot aantal klanten. Eén van deze SKU s is ABC. Laten we eens aannemen dat de totale jaarvraag voor ABC, die we moeten leveren aan onze klanten, gelijk is aan 6000 stuks per jaar. In welke serie moeten we dit product nu bestellen nu bestellen bij onze leverancier (extern/intern)? Er zijn twee extremen; we bestellen deze 6000 stuks in één keer, of we bestellen ze per stuk. De lezer voelt al dat beide extremen niet echt handig zijn. Als we alles in één keer bestellen zijn we in één keer veel geld kwijt en hebben we veel ruimte nodig om alles op te slaan. En per stuk bestellen zal veel tijd (en geld dus) kosten. De meest gebruikte benadering voor dit probleem is de EOQ benadering, uitgevonden door Harris in 1913 [Harris, 1913]. Misschien ten overvloede, maar toch: 2 Waarbij D = Jaarvraag (in stuks) F = Bestel-/Omstelkosten (in per bestelling/omstelling) P = Inkoopprijs per product (in ) h = Voorraadkosten (in %/inkoopprijs per stuk/jaar) Maar wat betekent de uitkomst nu van een dergelijke benadering? Soms krijgen we uitkomsten die een beetje vreemd aandoen. Wij geven twee voorbeelden. Tabel 1 Vreemde EOQ uitkomsten Vraag Prijs F h EOQ VB 1 400 100 1 0,5 4 VB 2 400 0,2 50 0,2 1000 In het eerste voorbeeld krijgen we een Seriegrootte (4 stuks) waarbij we 100 keer per jaar moeten bestellen en dekt de seriegrootte een paar dagen af; in het tweede voorbeeld moeten we meteen voor 2,5 jaar vraag neerleggen. Beide uitkomsten zullen in de praktijk de wenkbrauwen doen fronsen. Dit en nog wat meer beperkingen zijn onderwerp van de volgende paragraaf.
3 2 Vreemde EOQ uitkomsten (1-product benadering) In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de EOQ soms vreemde resultaten oplevert qua verbruik. Over de oorzaken en achtergronden daar van verwijzen we graag naar Durlinger [2015,1]. Maar het laat zien dat het nodig is om de uitkomst van een EOQ te toetsen aan de praktijk. We voeren opnieuw een EOQ berekening waarbij we één element extra mee gaan wegen: ruimte. De ruimte component is niet expliciet in de EOQ-berekening meegenomen; impliciet wel via de ruimtekosten. Voor het onderstaande SKU AB1 geldt dat het ruimtebeslag 1m 2 per stuk is. Naam D F P h Ruimte AB1 5000 50 10 0,20 1 m 2 /stuk Tabel 2 Gegevens voor product AB1. Invullen in de EOQ-formule geeft het volgende resultaat 2 2500050 100,20 500 Voor deze EOQ hebben we 500m 2 nodig. Echter, in het magazijn is maar 400m 2 beschikbaar, dus bestellen in deze seriegrootte levert een probleem op. Een logische oplossing zou zijn om maar in seriegroottes van 400 producten te bestellen. Met als gevolg dat de bijbehorende kosten, C, hoger zullen zijn dan de minimale kosten C*. In Durlinger [2014,2] tonen we aan dat dit verschil tussen C* (minimale totale kosten bij het gebruiken van de EOQ) en C (totale kosten bij het gebruiken bij een seriegrootte van q x EOQ) als volgt berekend kan worden: 1 2 1 1 Stel dat we niet in series van Q* bestellen (in ons voorbeeld 500) maar in series van Q (in ons voorbeeld 400). Met andere woorden, we bestellen maar 80% van de EOQ; in dit geval is q dus gelijk aan 0,8. Dan geldt: 1 2 1 1 2 0,81,25 1,025 M.a.w. de afwijking van 20% in de seriegrootte levert kosten op die 2,5% afwijken van de minimale kosten. Zouden we een afwijking van 5% nog acceptabel vinden levert dit voor q 1,05 1 2 1 2,1 1 1,37 0,73 Dus zolang de gebruikte seriegrootte Q voldoet aan : 0,73 * EOQ < Q < 1,37 x EOQ, blijft de afwijking t.o.v. van de minimale kosten binnen de door ons gestelde perken van 5%.
4 Figuur 1 geeft het verband weer tussen q en de verhouding C/C*. Figuur 1 Ongevoeligheid EOQ Als we maar met één product te maken is het omgaan met beperkingen van welke aard dan ook niet zo n probleem. We passen de EOQ aan met een factor q en we kunnen meteen de consequenties doorrekenen via formule [1]. Deze methode waarbij we de nieuwe Q berekenen via q x EOQ noemen we de evenredige correctie methode. Maar in praktijk hebben we normaliter met meer SKU s te maken. Dat is meteen het onderwerp van de volgende paragraaf 3 EOQ met beperking bij meer dan één SKU. Om de consequenties te laten zien als we te maken hebben met meer dan één SKU gebruiken we een voorbeeld ontleend aan Nahmias [2009]. In onderstaande tabel 3 hebben voor drie SKU s de relevante data gegeven. We hebben per SKU al de EOQ berekend, de totale kosten en het benodigd ruimtebeslag. SKU Vraag Bestel- Prijs Voorraadkosten Ruimte EOQ Totale Totaal Kosten beslag/stuk Kosten Ruimtebeslag P1 1.850 100 50 25% 9m 2 172 2.150 1.548 P2 1.150 150 350 25% 12m 2 63 5.475 756 P3 800 50 85 25% 18m 2 61 1.310 1.098 TOTAAL 8.935 3.402 Tabel 3 Totale kosten zonder beperking Echter het blijkt nu dat de maximale, beschikbare ruimte maar 2.000 m 2 blijkt te zijn. We passen de truc toe uit de vorige paragraaf en passen alle EOQ s aan door ze met 2000/3400 te vermenigvuldigen. De afwijking ten opzichte van de minimale kosten bereken we dan volgens de gevoeligheidsformule uit paragraaf 2. Dit geeft voor q gelijk aan 0,59 (ongeveer 2000/3400): 1 2 0,59 1 0,59 1 2 0,591,67 1,14 De bijbehorende kosten (C) zijn ongeveer 14% hoger dan de minimale kosten (C*). We gaan dit eerst nog even controleren in tabel 4.
5 SKU Ruimte EOQ Totale Totaal EOQ*0.59 Nieuwe Nieuw beslag Kosten Ruimtebeslag kosten Ruimtebeslag P1 9m 2 172 2.150 1.548 101 2.473 909 P2 12m 2 63 5.475 756 37 6.227 446 P3 18m 2 61 1.310 1.098 36 1.478 648 TOTAAL 8.935 3.402 10.178 2.003 Tabel 4 Totale kosten met beperking en evenredige correctie Het nieuwe ruimtebeslag is nu 2003 m 2 en de bijbehorende bestel- en voorraadkosten zijn nu 10.178 en dit is 14% hoger dan de minimale kosten 8.935. Maar nu is de vraag of er geen andere seriegroottes voor de afzonderlijke SKU s bestaan die lagere totale kosten geven? Een methode die antwoord geeft op deze vraag is de Lagrange-multiplier-aanpak [1811], die we kort introduceren in de volgende paragraaf. 4 De Lagrange-methode. De Lagrange methode wordt gebruikt om seriegroottes te berekenen wanneer er sprake is van beperkingen (bijvoorbeeld ruimte, geld, aantal orders etc.). Stel bijvoorbeeld dat ruimte een beperking zou zijn en dat de benodigde ruimte niet groter mag zijn dan M. Als we het ruimtebeslag van een product kennen, kunnen we de totale benodigde ruimtebeslag uitrekenen. Stel dat we, zoals in ons voorbeeld van 3 SKU s (S1, S2, S3) het ruimtebeslag (m1, m2, m3) kennen. Dan is het totale ruimtebeslag EOQ1*m1 + EOQ2*m2+ EOQ3*m3= Vanwege de beperking weten we dus ook dat In ons gebruikte voorbeeld zagen we dat de benodigde ruimte 3.400 m 2 was en de beschikbare ruimte (M) slechts 2000 m 2. Nu gebruiken we de Lagrange-multiplier methode om de nieuwe Q s te berekenen. Deze gaan we niet in detail bespreken; hiervoor verwijzen we naar Nahmias [2009] en Silver e.a [1998]. Wat we wél behandelen is het resultaat. Wanneer we voor een aantal SKU s de optimale seriegrootte Qi* willen uitrekenen in geval van een beperking doen we dit met onderstaande formule: 2 2 2 Wanneer we naar de formule onder het wortelteken kijken zien we dat deze heel veel lijkt op de klassieke EOQ-formule. Alleen het rechterdeel van de noemer is afwijkend. Daar zien we op de eerste plaats een parameter ϴ, de zogenaamde Lagrange-multiplier. Dit is een constante die we later gaan bepalen. De parameter wi heeft te maken met de beperking (bijv. het ruimtebeslag).
6 Eerst moeten we de juiste waarde voor de Lagrange-multiplier ϴ bepalen en dat gaat niet meteen. Maar met een beetje proberen (trial-and-error, maar er zijn ook zeker betere zoekmethodes) ontdekken we dat de beste waarde voor ϴ in dit geval 1,75 is. Als demonstratie gaan we voor de eerste SKU de berekening uitvoeren. De gegevens staan in onderstaande tabel 6. SKU Vraag Order Prijs per Voorraad Ruimte #/ jaar Kosten stuk Kosten beslag S1 1.850 100 50 25% 9m 2 Tabel 6 Voorbeeld data voor SKU S1 Als we deze gegevens invullen in formule [2] (met ϴ=1,75) vinden we: 21850100 500.2521.759 92 Op dezelfde manier kunnen we de overige seriegroottes bepalen. Nu gaan we in tabel 7 de moeilijke Lagrange methode vergelijken met de eenvoudige evenredige methode. SKU EOQ*0.59 Nieuwe Nieuw Q via Nieuwe Nieuw kosten Ruimtebeslag Lagrange kosten Ruimtebeslag P1 101 2.473 909 92 2.591 825 P2 37 6.227 446 52 5.600 619 P3 36 1.478 648 31 1.625 555 TOTAAL 10.178 2.003 9.816 1999 Tabel 7 Vergelijking Lagrange-aanpak en evenredige correctie We zien in tabel 7 dat het nieuwe benodigde ruimtebeslag voor beide methoden gelijk is maar dat de seriegroottes voor de verschillende SKU s flink verschillen. In tabel 8 zetten we alles nog eens op een rijtje. Product EOQ Kosten EOQ*0.59 Kosten Q via Kosten EOQ EOQ*0,59 Lagrange Lagrange P1 172 2.150 101 2.473 92 2.591 P2 63 5.475 37 6.227 52 5.600 P3 61 1.310 36 1.478 31 1.625 TOTAAL 8.935 TOTAAL 10.178 TOTAAL 9.816 Tabel 8 Vergelijking EOQ zonder beperking, met beperking en Lagrange Het verschil tussen de optimale Lagrange en de eenvoudige evenredige methode is amper 4%. ( 10.178/ 9.816). En dat terwijl de seriegroottes, volgens de evenredige correctie, maar 60% zijn van de oorspronkelijke seriegroottes vanwege de beperking. Hoogstwaarschijnlijk zullen de afwijkingen voor beperkingen, die minder groot zijn, ook wel
7 minder zijn. En wat is de rol van het aantal SKU s die meedoen? Bij dit voorbeeld waren er maar drie SKU s. Dus tijd voor meer onderzoek. 5 Rol van de grootte (afwijking) van de beperking Als eerste gaan we kijken wat het effect is van de grootte van de beperking. En we gebruiken weer de ruimtebeperking uit de vorige paragraaf. Stel dat we de benodigde ruimte bij toepassing van de EOQ weer uitrekenen en laten we deze EOQM 2 noemen. Maar we hebben maar M 2 ter beschikking. De procentuele afwijking definiëren we dan als: We laten nu voor een aantal verschillende procentuele afwijkingen de effecten zien op de totale kosten volgens de Lagrange methode en de evenredige correctie methode. We gebruiken opnieuw 3 SKU s. De resultaten zijn te vinden in tabel 9. Afwijking in de beperking 5% 10% 15% 20% 25% 30% 35% 40% 45% 50% < 1% <1% <1% <1% <1% 1% 1,5% 2% 2,5% 3% Afwijking in kosten Lagrange vs. Evenredig bij 3 SKU s Tabel 9 Afwijking in kosten tussen Lagrange en evenredige correctie Uit tabel 9 kunnen we concluderen dat we in veel praktijksituaties kunnen volstaan met de evenredige correctie. Zelfs in situaties waarbij we de seriegroottes moeten halveren(!) is de afwijking t.o.v. de optimale Lagrange-benadering maar 3%!. Bovenstaande berekening vond plaats op basis van 3-SKU s. Maar we vermoeden dat het aantal SKU s ook wel een rol zal spelen. Dat is het onderwerp van de volgende paragraaf. 6. Rol van het aantal SKU s In de vorige paragraaf keken we naar het effect van de afwijking t.o.v. de restrictie op het verschil tussen de evenredige correctie en de Lagrange-multiplier. We zetten de afwijking vast op 25%. In de vorige paragraaf hebben we gezien dat bij 3 SKU s het verschil minder dan één procent was. In onderstaande tabel 10 tonen we het effect van het aantal SKU s. Aantal SKU s 5 10 15 20 30 60 120 200 250 500 < 1% 1% 2,5% 2,5% <2% <2% <2% <2% <2% <2% Afwijking in kosten Lagrange vs. Evenredig bij 25% afwijking Tabel 10 Afwijking in kosten tussen Lagrange en evenredige correctie Opnieuw zien we dat het verschil tussen de eenvoudige evenredige correctie en de Lagrange aanpak te verwaarlozen is. We zien echter een vreemd verschijnsel. In eerste instantie loopt de afwijking op en blijkt een (tot nu toe onverklaarbaar) maximum te bereiken bij 13 SKU s. Het is zo dat de Lagrange techniek een optimum bereikt wanneer we het toepassen op 13 SKU s. Het onderwerp van dit paper is het verschil tussen de eenvoudige methode en de
8 Lagrange beoordelen. Het verklaren van dit optimum wordt dus niet hier besproken, maar wel onderzocht voor latere publicatie. We hebben nu afzonderlijk naar het effect van de afwijking t.o.v. de restrictie en het effect van het aantal SKU s gekeken. Een combinatie van bieden ligt voor de hand en geven we in de volgende paragraaf. 7. Rol van afwijking in de beperking en de rol van het aantal SKU s. In onderstaande tabel 11 geven we de resultaten van simulaties waarbij we zowel afwijking als aantal SKU s laten variëren. Aantal SKU s Procentuele afwijking 5% 10% 15% 20% 25% 30% 40% 50% 5 <1% <1% <1% <1% <1% <2% <2% <3% 10 <1% <1% <1% <1% <1% <2% <3% <5% 15 <1% <1% <1% <2% <3% <4% <7% <10% 20 <1% <1% <1% <2% <3% <4% <7% <10% 30 <1% <1% <1% <2% <2% <3% <5% <8% 60 <1% <1% <1% <2% <2% <3% <5% <7% 120 <1% <1% <1% <1% <2% <3% <4% <7% 200 <1% <1% <1% <1% <2% <3% <4% <7% 250 <1% <1% <1% <1% <2% <3% <4% <7% 500 <1% <1% <1% <1% <2% <3% <4% <7% Tabel 11 Procentuele afwijking tussen Lagrange en evenredige correctie voor verschillende aantallen SKU s en afwijkingen van de beperkingen. Als we de tabel bestuderen zien we dat voor de meeste praktijksituaties het verschil beperkt blijft tot maximaal 5%. Maar er zijn zelfs situatie waarbij beide methoden dezelfde uitkomst geven. Dit behandelen we in de volgende paragraaf. 8 Lagrange en de evenredige methode geven dezelfde uitkomsten. In een aantal specifieke gevallen geven de Lagrange methode en de evenredige correctie methode dezelfde uitkomst. Als het volgende geldt: gelijk voor elk product i dan geeft de evenredige correctie zoals eerder beschreven dezelfde resultaten als Lagrange. Bij de financiële beperking waarbij de totale investering niet groter mag zijn dan een bepaalde waarde geldt dat wi gelijk is aan Pi. In dat geval geldt
9 Als we er van uitgaan dat het % voorraadkosten voor elk product hetzelfde is dan is de evenredige correctie mogelijk. Maar als we praten over een ruimtebeperking (wi = mi) geldt over het algemeen niet dat gelijk voor elk product i Dan is in principe de Lagrange methode op zijn plaats. 9. Conclusie Als we naar de resultaten kijken van de vergelijking tussen de Lagrange-aanpak en de evenredige correctie in geval van beperkingen, dan kunnen we concluderen dat we in de meeste praktijksituaties kunnen volstaan met de eenvoudige correctie-methode. Alleen wanneer er meer dan 50% van de beperking wordt afgeweken (bijv. Beschikbaar 750 m 2, maar meer dan 1500 m 2 nodig én er meer dan 10 SKU s in de vergelijking mee worden genomen) wordt het verschil tussen Lagrange en de evenredige correctie-methode meer dan 5%). In een aantal specifieke gevallen geven Lagrange en de evenredige correctie-methode dezelfde resultaten. 10. Literatuur Durlinger P.P.J., [2015] Een EOQ waar je dríe jaar mee doet?? White-paper : www.durlinger.nl Durlinger P.P.J. [2014] Productie en Voorraadbeheer H2 : Voorraadbeheer White paper : www.durlinger.nl Harris, F.W. [1913] How many parts to make at once? Uit : Factory, The magazine of Management, 10 (1913) Lagrange, J. L., J.P.M. Binet, J.G. Garnier [1811] Mécanique analytique Paris Nahmias S. [2009] Production and Operations Analysis McGraw Hill Silver E., D.F. Pyke, R. Peterson [1998] Inventory Management and Production Planning and Scheduling John Wiley & Sons
10