Theorie windmodellen 15.1 15 THEORIE WINDMODELLEN 15.1 Inleiding Doordat er drukverschillen zijn in de atmosfeer waait er wind. Tengevolge van horizontale drukverschillen zal een luchtbeweging willen ontstaan naar de lage druk toe. Naarmate de drukgradiënt (dp/dn) groter is, is ook de windsnelheid groter. Een grotere drukgradiënt komt op een weerkaart tot uiting in het dichter bij elkaar liggen van de isobaren. De drukgradiënt die op een deeltje A werkt, veroorzaakt een kracht op A (zie Figuur 15.1). Deze kracht is de gradiëntkracht en is, wanneer die op V m 3 lucht werkt, gelijk aan: (15.1) Het is duidelijk dat de gradiëntkracht loodrecht op de isobaren staat. Voor berekeningen op drukvlakken heeft dp geen betekenis en moet dz (verschil in hoogte) gebruikt worden. Met hydrostatisch evenwicht is dan af te leiden dat: (15.2) Figuur 15.1 Richting van de luchtdrukgradiëntkracht. Figuur 15.2 Effect van de Corioliskracht. Zodra de lucht beweegt, treedt door draaiing van de aarde een z.g. Corioliskracht op. In Figuur 15.2 is te zien hoe die kracht werkt. Een schijf draait, van boven gezien, linksom. Vrij van de schrijf beweegt een lichaam met massa m en snelheid v langs de stippellijn, d.w.z. doorloopt in werkelijkheid een rechte lijn. T.o.v. de schijf beschrijft het lichaam echter een gekromde baan, omdat in de tijd dat het lichaam zich verplaatst de schijf er onderdoor draait. Voor een waarnemer op de schijf moet er een kracht zijn die deze kromming veroorzaakt.
Deze Corioliskracht F C ligt in het vlak van de rotatie en hangt af van de rotatiesnelheid v. De grootte van de kracht is: 15.2 (15.3) met de hoeksnelheidsvector, die loodrecht op het vlak van draaiing staat en waarvan de richting met de kurketrekkerregel bepaald wordt. Voor de aarde is gelijk aan: (15.4) waarbij de geografische breedte, en = 7,292 * 10-5 rad s -1, de hoeksnelheid van de aarde is. Hierdoor wordt (15.3): (15.5) In Figuur 15.3 is een situatie geschetst met evenwijdige isobaren in het horizontale vlak. Door de gradiëntkracht zal een volume lucht een snelheid v krijgen. Tegelijk gaat dan de Corioliskracht F c werken, loodrecht op v, zodat op het noordelijk halfrond een afwijking naar rechts ontstaat. Dit gaat zo door tot de krachten elkaar opheffen. Dit betekent dat de snelheid dan evenwijdig aan de richting van de isobaren is. De windsnelheid die zo ontstaat wordt de geostrofische wind genoemd. Deze volgt dus uit F c =F g. Figuur 15.3 evenwicht. Ontstaan van geostrofisch Voor gekromde isobaren moet rekening gehouden worden met de centrifugale of middelpuntvliedende kracht F M. De windsnelheid die nu optreedt wordt de gradiëntwind genoemd. Als een cirkelvormige baan wordt doorlopen dan geldt F g =F c + F M. In Figuur 15.4 is de situatie geschetst voor een hoge en een lage drukgebied. Figuur 15.4 De gradiëntwind voor een hogedrukgebied (links) en lagedrukgebied (rechts).
Theorie windmodellen 15.3 15.2 Windrelaties Er worden verschillende theoretische windrelaties gebruikt om de waargenomen wind te beschrijven. Het ene model is grof, maar eenvoudig in het gebruik, een ander model is verfijnder maar moeilijker in de praktijk te gebruiken. Alle modellen zijn echter slechts benaderingen van de werkelijkheid. Om het windveld af te leiden, gaan we uit van de bewegingsvergelijkingen, waarbij u de component in x-richting is en v in y-richting: (15.6) Om de zaak eenvoudig te houden werken we alleen op het 500-mbar vlak, zodat we de wrijvingstermen (F x,y ) steeds kunnen verwaarlozen. We kunnen (15.6) nu voluit schrijven: (15.7) met Z de hoogte van het drukvlak. We onderscheiden de volgende termen: I : lokale verandering in de tijd, II : horizontale advectie- of krommingstermen, III : verticale advectieterm, IV : Corioliskracht, V : gradiëntkracht. De volgende windtypen zijn nu af te leiden: 15.2.1 Geostrofische wind Aannamen: - stationaire situatie (geen tijdsveranderingen) - rechte isohypsen (geen krommingstermen) - geen verticale advectie De gradiëntkracht is gelijk aan de Corioliskracht (F C =F G ), dus worden de bewegingsvergelijkingen :
15.4 (15.8) Er is in dit geval een evenwicht tussen de Corioliskracht en de gradiëntkracht. Voor een drukvlak geldt dus de volgende formule: (15.9) waarbij g de valversnelling is (9.8 ms -2 ) en Z (m) het hoogteverschil is tussen twee opeenvolgende hoogtelijnen (isohypsen) die op een afstand n (m) van elkaar liggen. De geostrofische wind wordt als volgt uit een grondkaart berekend: (15.10) hierbij is p het drukverschil (Pa) tussen twee naast elkaar gelegen isobaren. Bij het berekenen van afstanden wordt ervan uitgegaan dat de afstand tussen opeenvolgende breedtegraden (van 10 ) 1110 km bedraagt. 15.2.2 Gradiëntwind Aannamen: - stationaire situatie - geen wrijving - parallel aan isohypsen (wel kromming) - geen verticale advectie Nemen we een natuurlijk coördinatenstelsel aan, met eenheidsvector s evenwijdig en in de richting van de stroming en een eenheidsvector n loodrecht op de stroming, dan worden de bewegingsvergelijkingen in dit stelsel (F G =F C -F M en F M is de middelpuntvliedende kracht, vanwege de kromming): (15.11) Hierin is R de kromtestraal van de trajectoriën, d.w.z. de denkbeeldige straal (m) van de cirkel die het luchtdeeltje beschrijft. De stroming is evenwijdig aan de isohypsen, dus in de eerste formule van de twee zijn de termen gelijk nul, zodat U (de snelheid evenwijdig aan de gekromde isohypsen) constant is. Uit de tweede formule blijkt dat de voor het doorlopen van
Theorie windmodellen 15.5 een cirkelbaan benodigde centripetale kracht ontstaat uit de (vector)som van de corioliskracht en de gradiëntkracht. We kunnen de windsnelheid U hieruit oplossen, dit levert de gradiëntwind: (15.12) Op een weerkaart zijn er uitsluitend positieve afstanden dus kunnen voor berekeningen van de gradiëntwind de volgende vergelijkingen gebruikt worden. Voor een hogedrukgebied: Voor een lagedrukgebied geldt: (15.13) (15.14) Voor berekeningen op de grondkaart moeten deze twee formules met behulp van hydrostatisch evenwicht worden omgerekend. Dit levert respectievelijk: voor een hogedrukgebied: Voor een lagedrukgebied: (15.15) (15.16) Hierbij is de dichtheid van de lucht ter plekke. De dichtheid is te berekenen uit de met gaswet indien luchtdruk en temperatuur bekend zijn (neem R = 287,05 J kg -1 K -1 ): (15.17)
15.6 15.2.3 Ageostrofische componenten Gaan we weer uit van de volledige bewegingsvergelijkingen, zonder wrijving en benaderen we in het rechterlid van de eerste vergelijking u door de geowind u g en in het rechterlid van de tweede vergelijking v door de geowind v g, dan krijgen we: (15.18) Hierin staan de verschillende termen voor: U g : geostrofische wind U i : isallobarische wind(correctie) U k : krommingscorrectie U D : diffluentieterm U v : verticale advectieterm De isallobarische wind is gerelateerd aan een isallobarische gradiënt in x- en y-richting: (15.19) De isallobarische wind waait altijd van een gebied met stijgende een luchtdruktendens naar een gebied met een dalende luchtdruktendens en veroorzaakt zo een stroming van gebieden met toenemende geopotentiaal naar gebieden met afnemende geopotentiaal. Aan de grond is de isallobarische wind regelmatig zo'n 5 tot 10 m/s. In de buurt van fronten veroorzaakt de isallobarische windcomponent een meer gekrompen en zwakkere wind vóór het front en een sterkere en meer geruimde wind achter het front. We kunnen de isallobarische wind berekenen uit de gradient van de isallobaren. De andere ageostrofische windcomponenten zullen we in dit practicum niet bepalen.