Antwoorden bij - De normale verdeling vwo A/C (aug 0) Opg. a Aflezen bij de 5,3 o C grafiek:,3% en bij de,9 o C grafiek: 33,3% b Het tweede percentage is 33,3 /,3 = 5, maal zo groot. c Bij de 5,3 o C grafiek is de gemiddelde temp. 5,3 o C de stand.afw. is 5,3, = 0,9 o C d Bij de 5,3 o C grafiek ligt tussen, o C en, o C 8% van de waarnemingen Opg. 7,3 5,3 = σ = 0,9 en / 0,9, Je zou kunnen zeggen dat een afwijking van meer dan σ extreem is. Opg. 3 - Opg. verdeling uniform van 9 t/m en aantal getallen per keer is 3 Opg. 5 verdeling uniform van t/m 8 en aantal getallen per keer is 0 Opg. Steeds heeft de waarneming die ongeveer in het midden ligt de hoogste frequentie, het histogram is ongeveer symmetrisch en hoe verder uit het midden, hoe lager de frequentie Opg. 7 verdeling gehele getallen met terugleggen, van t/m aantal getallen per keer 50 7a t/m is gemiddeld 3,5 voorspelling is dus ongeveer 50 x 3,5 = 75 7bc - Opg. 8 verdeling gehele getallen met teruglegging, van 0 t/m aantal getallen per keer 00 8a de helft, dus 50 keer. 8bcd - Opg. 9 00 9bcd - Opg. 0 Opg. a b c Opg. Opg. 3a 3b Opg. het aantal is maal groot geworden, maar de stand.afw. is ongeveer maal zo groot, de kans op 0% afwijking is veel groter geworden. Een grafiek met de horizontale-as van 300 t/m 0, dicht bij 300 en dicht bij 0 heel laag. In het midden hoger. dichtbij 300 is heel extreem, 780 is normaal. 500 is twijfelachtig. niet waarschijnlijk is bij de linker grafiek de grote daling aan de zijkanten, bij de rechter grafiek de scherpe punt in het midden. redelijk is bijvoorbeeld 50 80 0 5 7 0 0 30 (minuten) 0,95,05 (kilo) 30 50 70 (gekeken bij mijn antwoorden van opg. 8) gewicht 8-jarige meisjes. salarissen. (links van het hoogste punt sneller omhoog, naar rechts een lange uitloop) e niet: symmetrisch e niet: hoe groter de afwijking hoe kleiner de kans 3 e voldoet wel aan de 3 kenmerken van blz. 7 maar heeft niet het model bovenaan de blz. (dit geldt voor elk van de grafieken) e niet: hoe groter de afwijking hoe kleiner de kans 5 e niet: hoe groter de afwijking hoe kleiner de kans, door horizontaal stukje links van midden e niet: grote afwijkingen komen teveel voor Opg. 5a 30% 5b tussen 8% en 3% 5c CDA het grootst (brede grafiek) VVD het kleinst (smalle grafiek) 5d De oppervlakte moet onder elke grafiek 00% (of ) zijn. 5e ongeveer 5%
Opg. a 7% b 30% Opg. 7a 0% 7b 0% (de antwoorden a en b moeten samen 50% zijn) Opg. 8a - 8b gem. = 3,09 3,0 en σ =,9700.. 5,0 8c Iemand van 5 jaar heeft een leeftijd van 5 tot 5,999999..jaar, dat is gemiddeld 5,5 jaar. 8d x 3 x + σ 3 x - σ klopt dus 8e ouder dan x de freq. van 3 t/m 9 opgeteld, 5,% ouder dan x + σ de freq. van 3 t/m 9 opgeteld, 9,% ouder dan x + σ de freq. van t/m 9 opgeteld,,33% Opg. 9 Tussen de kleinste en de grootste waarde ligt ongeveer 99,8% van de waarnemingen. Dat is vrijwel alles. Neem dus het verschil tussen de grootste en de kleinste waarde die je bedacht hebt en deel dit door. Dat is een mooie schatting voor de standaardafwijking. Opg. 0a 97,5% 0b 8% + 3,5% = 8,5% Opg. a b,5% van 35 = 7,8.. 8 dagen % van miljoen = 0 000 koeien Opg. a 7,5-3σ = 0 fouten dus hoogste cijfer is 8 7,5 + 3σ = 5 fouten dus laagste cijfer is 5 b 5,5 hoort bij 0 fout. Dus 0 fout of meer. µ + σ = 0 Dus % Opg. 3a Alle leeftijden worden 0 jaar meer, dus weer normaal verdeeld. 3b Gemiddelde is dan,3 + 0 7, jaar. Standaardafwijking blijft 0,8 jaar. gemiddelde is,3 x = 95, maanden standaardafw. is 0,8 x = 9, maanden Opg. a gem. lengte = 78 / 30,8 5,8 sd lengte = 7 / 30,8 0,3 b gem. gewicht = 78 /,35,8 sd gewicht = /,35,73 Opg. 5 gem. =,8 x 7, + 3 = 3,3 sd =,8 x,5 + 3 = 3,7 Opg. ab NormCD(90, 0 99, µ=8.8, σ=7) 0,07 0,07 x 03 370 78 cd 8,8 90 - NormCD(0, 00, µ=8.8, σ=7) 0,00558 0,00558 x 03 370 577 e f 0 8,8 00 InvNormCD(0.99, µ=8.8, σ=7) 98, cm InvNormCD(0.05, µ=8.8, σ=7) 70,3 cm Opg. 7a S NormCD(-0 99, 53, µ=3, σ=) 0,00 = 0,% M NormCD(53,, µ=3, σ=) 0,30 = 30,% L NormCD(, 73, µ=3, σ=) 0,85 = 8,5% XL NormCD(73, 0 99, µ=3, σ=) 0,00 = 0,%
7b InvNormCD(0.5, µ=3, σ=) 0 InvNormCD(0.5, µ=3, σ=) 3 InvNormCD(0.75, µ=3, σ=) S gewicht t/m 0 gram M gewicht van 0 t/m 3 gram L gewicht van 3 t/m gram XL gewicht groter dan gram Opg. 8 NormCD(000, 0 99, µ=50, σ=00) 0, NormCD(000, 0 99, µ=00, σ=50) 0,5 Dus merk B heeft een lichte voorkeur Opg. 9a A NormCD(-0 99, 70, µ=90, σ=5) = 0,79.. 73% B NormCD(70, 00, µ=90, σ=5) 0,0980 0% C NormCD(00, 0 99, µ=90, σ=5) 0,7 7% 9b 0,79.. x 0000 37 en 37 x 0,0 = 8753, 0,0980 x 0000 588 en 588 x 0,5 = 7,38 0,7 x 0000 038 en 038 x 0,30 = 30,8 samen is dit 339,0 3330 Opg. 30a in verband met automaten. 30b x NormCD(-0 99, 785, µ=7500, σ=) 0,0 =,% 30c 00% -,% = 98,7% en dit is 5 miljoen. Dus 5 x 00 / 98,7 5,3 miljoen Opg. 3a 970 000 inh. In ml 3b,5% ( e vuistregel) met NormCD,3% 3c gewicht is maal inhoud, dus sd(gewicht) = 0,03 NormCD(-0 99,.98, µ=, σ=0.03) = 0,39.. 3,9% Opg. 3a - 3b Als de oppervlakte even groot blijft, moet steeds de breedte maal de hoogte gelijk zijn. Opg. 33 30 naar rechts, 3 keer zo breed. Opg. 3a 500 naar rechts en 50 maal zo breed 3b 5S heeft als gem.5000 en sd 50, 5S 3500 heeft als gem. 500 en sd blijft 50 Ingevuld moet worden 50 en 3500 3c 5 L heeft als gem.300 en sd 0, 5 L + 700 heeft als gem. 000 en sd blijft 0 Opg. 35abc - Dus S = 5 L + 700 Opg. 3a 3b 3c Opg. 37 80,8 x 7 0 cm 80 + x 7 = 87 cm 80 + 0 x 7 = 80 cm (9 7) / 7,8 en (8 8) / = 3 het meisje is de grootste uitschieter. Opg. 38a (035 000) / 5 =, 38b Y > (a 000) / 5 Opg. 39a kans op - < Z < is ongeveer 8% kans op - < Z < is ongeveer 95% 39b NormCD(-,, µ=0, σ=) = 0,8.. 8% NormCD(-,, µ=0, σ=) = 0,95.. 95% 39c NormCD(-3, 3, µ=0, σ=) = 0,9973.. 99,7% (vaak wordt 99,8% gebruikt, 0,% links en 0,% rechts van dit gebied) Opg. 0 x = 9 en + x = 50 dus tussen 9 en 50 euro 3
Opg. InvNormCD(0., µ=0, σ=) -0,8 InvNormCD(0.75, µ=0, σ=) 0,7 InvNormCD(0.8, µ=0, σ=) 0,8 InvNormCD(0.35, µ=0, σ=) -0,39 Opg. a 00% - 0% = 0% en 0% / = 30% InvNormCD(0.3, µ=0, σ=) -0,5 Dus Z = -0,5 en Z = 0,5 b het 0% gebied kun je naar links en naar rechts schuiven, de grenzen staan dus niet vast. Opg. 3a InvNormCD( 3, µ=0, σ=) -0,3 dus -0,3 en 0,3 3b InvNormCD(, µ=0, σ=) -0,7 dus -0,7 en 0 en 0,7 InvNormCD( 5, µ=0, σ=) -0,8 InvNormCD( 5, µ=0, σ=) -0,5 dus -0,8 en -0,5 en 0 en 0,5 en 0,8 Opg. a NormCD(-0 99, 985, µ=000, σ=0) = 0,08.. 7% b InvNormCD(0.0, µ=0, σ=) -,0537.. dus 985 = µ -,053.. x 0 dus µ = 985 0,53.. 9 gram OF NormCD(-0 99, 985, µ=x, σ=0) = 0,0 oplossen met tabel of grafiek. Opg. 5a z = InvNormCD(0.8, µ=0, σ=) -0,588.. 5b 5 = 0,588.. σ dus σ = 8 / 0,588.. 3,7 OF NormCD(-0 99, 5, µ=, σ=x) = 0,8 oplossen met tabel of grafiek 5c InvNormCD(0.8, µ=, σ=3,7) = 73,5, dus 7 punten of meer. Opg. a P(X ) = BinCD(X = 3, n = 0, p = 3 ) 0,0005 b E(X ) = np = 0 x 3 3,3 sd(x) = np( p),98 c InvNormCD(0.99, µ=0, σ=),33 d E(X ) = np = 3 n sd(x) = np( p) n d X µ 0,n 3 n 5 n Z = = = = 0, 557 σ n n 9 9 e 0,557 n =, 33 dus n =, dus n,9 minimaal Dus n = 7 f n = 7, minstens 0% is minstens P(X ) = BinCD(X = 0, n = 7, p = 3 ) 0,008 en dat is minder dan %. n =, minstens 0% is minstens 0 P(X 0) = BinCD(X = 9, n =, p = 3 ) 0,05 en dat is meer dan %. Opg. 7a NormCD(0, 0 99, µ=9, σ=5) = 0,0055.. 0,3% 7b InvNormCD(0., µ=0, σ=) -0,8 77 = 80 0,8..σ dus σ = 3 / 0,8.. 3,5 OF NormCD(-0 99, 77, µ=80, σ=x) = 0, via tabel of grafiek 7c 8 op de 000 is 0,8% InvNormCD(0.99, µ=0, σ=),08,08.. = (05 - µ) / dus µ = 05 x,08.. 95, OF NormCD(05, 0 99, µ=x, σ=) = 0,008 via tabel of grafiek Opg. 8a vrouwen 9 n mannen
8b Opg. 9a In beide gevallen is de afstand tussen het gemiddelde en de grens van het getekende gebied (90 - µ) / 7 = a standaard deviaties. Bij vrouwen Z = -a Bij mannen Z = a Door de symmetrie zijn de kansen dus even groot. Tussen 5 en 0 procent is de gewichtstoename ongeveer kilo, tussen 90 en 95 procent ruim 8 kilo. 9b Bijvoorbeeld: tussen 0 en 50 procent neemt de lengte toe met 5 cm. InvNormCD(0., µ=0, σ=) -,8 dus,8..σ = 5 dus σ = 5 /,8.. 3,9 cm Opg. 50a m j 50 00 50 50b Het is duidelijk dat er meer jongens dan meisjes zijn met een IQ boven de 0. Met een hoger IQ zal de kans op een prijs groot zijn. 50c jongens NormCD(8, 0 99, µ=00, σ=) = 0,000.. 500 x 0,000.. 0 meisjes NormCD(8, 0 99, µ=00, σ=) = 0,07.. 500 x 0,07.. 50d samen 0 van de 33 is 0 / 33 % Opg. 5a 0,00000 ( op de miljoen) 5b 5000 / 000000 = 0,5 5c 0,,,, 8 dus 5 mogelijkheden per plaats, 5 / 000000 = 0,055 5d 0, Opg. 5a 0 5b 0,7 5c b a Opg, 53a S uniform verdeeld op [0,0> (tenminste als de secondewijzer draait en niet verspringt). 53b (b a) / 0 53c urenwijzer op een klok Opg. 5a 0 t/m 5,99999 (met stappen van 0,00000) 5b,, 3,, 5, 5c + INT( X) neemt de waarden t/m aan, elk met kans /, precies wat een dobbelsteen ook doet. 5d INT(X) geeft 0 en bijvoorbeeld 0 = munt en = kruis Opg. 55a 0, x 0,5 = 0, 55b 0, x 0-, = 0,0 55c 0,37 x0,8 = 0,77 5 0
55d Door het grijze vierkant hiernaast 55e kans is 0,5 0 55f kans = (0,8 x 0,8 / ) x = 0,3 = Opg. 55a P(allebei tussen 0.5 en 0.30) = ( ) 5b 0 P(allebei tussen 0.00 en 0.5) + P(allebei tussen 0.5 en 0.30) + P(allebei tussen 0.30 en = 3 + + =.00) = ( ) ( ) ( ) 8 5c 5 kans = ( 5 / ) = 3 0 5d = 3 ( / ) 0 Opg. 57a Exact gelijk aankomen heeft kans 0 en verschil 0 minuten gebeurt altijd. Dat klopt dus. 57b 3 dat klopt dus 57c De hoogte bij 0 min is 30 Teken een verticale lijn bij 0 minuten. 50 5 Oppervlakte rechts van die lijn is 50 0 30 / = 80 5 Oppervlakte links van die lijn is 80 = 3 Dat klopt dus ook. Opg. 58a tweede: normale verdeling derde: uniforme verdeling vijfde: binomiale verdeling
58b,, 3,, 5, Ongeveer tussen 50 en 0 cm Tussen 0 en uur 0,, t/m het aantal aanwezigen 0,,, 3,, 5, Opg. 59 een staafdiagram Opg. 0a 0b NormCD(700, 800, µ=80, σ=5) 0,39 0c BinPD(X =, n = 3, p = 0,39) 0,30 0d b is continu, c is discreet Opg. a b c discreet leeftijd wordt altijd naar beneden afgerond we nemen de helft van de jarigen en de helft van de jarigen Dus (9 / + 085 / ) / 9888 = 0,8.. 8% Opg. a NormCD(79.5, 80.5, µ=80, σ=7) 0,057 b Die kans is 0. c Even groot, allebei 0 d Even groot. Het verschil is P(L = 80) en die kans is 0 e P(X=80) is het grootst, want de verdelingskromme is het hoogst bij het gemiddelde. f P(X 80) is het grootst. Het verschil met P(X<80) is P(X=80). Opg. 3a m j 3b 3c 3d 3e 50 00 lengte in cm de gestippelde lijn is de verdelingskromme van L, het gemiddelde van de m en j krommen. Gemiddelde om de oppervlakte op te houden. Als je geen heel precieze tekening hebt, zou je kunnen denken aan een normale verdeling met gemiddelde 75 NormCD(-0 99, 75, µ=80, σ=7) = 0,375 NormCD(-0 99, 75, µ=70, σ=) = 0,797.. P(L < 75) = (0,375.. + 0,797) / 0,58 Het is dus geen normale verdeling met gemiddelde 75, de grafiek was trouwens ook al niet symmetrisch. L is dus niet normaal verdeeld. Opg. a (85 x 0 + 0 x 80) / 00 = 5 b NormCD(-0 99, 5, µ=85, σ=) = 0,0009.. NormCD(-0 99, 5, µ=0, σ=) = 0,797.. (0,0009 x 0 + 0,797.. x 80) / 00 = 0,3.. dus ruim 0% c Bij een normale verdeling is de kans op een lengte kleiner dan het gemiddelde 50% en dat is hier ruim 0%. Dus is de lengte niet normaal verdeeld. Opg. 5a Bij X en U geldt: µ = n.p = 9 x 0,5 =,5 en σ = np( p) = 9 0,5( 0,5) =,5 5b BinPD(X = 3, n = 9, p = 0,5) 0, 7
5c NormCD(.5, 3.5, µ=.5, σ=.5) 0, 5d P(X = 5) P(,5 U 5,5) en P( X 7) P(3,5 U 7,5) 5e - Opg. a µ = n.p = 8 x = 3 σ = np( p) = 8 ( ) =, 5 b P(Y = ) = BinPD(X =, n = 8, p = ) 0,30 NormCD(.5,.5, µ=3, σ=, 5 ) 0,05 ze wijken nogal af van elkaar. c µ = n.p = 80 x = 30 σ = np( p) = 80 ( ) = 5 P(Y = 0) = BinPD(X = 0, n = 80, p = ) 0,003 NormCD(9.5, 0.5, µ=30, σ=5) 0,009 ze wijken weinig af van elkaar. Opg. 7a 7b Als je alle waarden van X met a vermeerderd, verschuift de verdelingskromme a naar rechts en wordt de verwachtingswaarde ook a groter. Dan veranderen de onderlinge verschillen van de verdeling niet, dus de variantie blijft gelijk. De sd vind je door de wortel te trekken. Dus sd(x) = sd(x). Opg. 8a E(X) = 00, E(Y) = 00, E(X+Y) = 300 8b Var(X) = 0 ( 5 + (-5) ) = 500, Var(Y) = 0 ( 0 + (-0) ) = 000, Opg. 9a Var(x+y) = 500 9b E(T) = -0, en sd(t) = 0, Opg. 70a L is de som van X en Y en zo n som is ook normaal verdeeld. 70b E(L) = 80 + -70 = 0 en Var(L) = 7 + = 85 en sd(l) = 85 9, Opg. 7a Als we twee spelers uit een basketbalteam kiezen. 7b Nee, zie antwoord c 7c µ D = x 80 = 30 µ S = 80 + 80 = 30 σ D = x 7 = σ S = 7 + 7 = 9,899.. 9,9 7d µ G = 30 / = 80 σ G = 9,899.. / =,99..,9 7e µ G = 80 σ G = 7 + 7 +... + 7 / 9 =,333..,3 Opg. 7a Een lekkerbekje weegt dus ongeveer 00 gram. Als het gewicht 80 gram is, kun je niet dichter bij 500 gram komen door een extra lekkerbekje erbij te doen. Bij suiker kun je wel vrij precies op 500 gram komen. 7b Dus gewicht onder de 50 of boven de 550 NormCD(-0 99, 50, µ=500, σ=5) + NormCD(550,0 99, µ=500, σ=5) 0,0009 7c Dus gewicht onder de 350 of boven de 50 NormCD(-0 99, 350, µ=500, σ=5 3 ) + NormCD(50,0 99, µ=500, σ=5 3 ) = 0,0000000077 0 8
7d Opg. 73a Bij 70b zoek je meer dan 3,33σ vanaf het gemiddelde, bij 70c zoek je wel meer dan 5,77σ vanaf het gemiddelde. X - - 0 kans 5 5 5 5 5 73b 73c E(X) = 0 Var(X) = (sd(x)) =, = Dat elke waarde van X even vaak voorkomt. Op grond van de centrale limietstelling 73d E(T) = 00 x 0 = 0 Var(T) = 00 x = 00 sd(t) = 00 = 0 NormCD(50.5,0 99, µ=0, σ=0) 0,00 73e,5% links en,5% rechts InvNormCD(0.05, µ=0, σ=0) -39,99.. Dus tussen - 0 en 0 cent Opg. 7a alleen links NormCD(-0 99, 00, µ=500, σ=50) = 0,87 Links en rechts heeft dus de kans 0,87 0,035 7b µ V = µ R - µ L = 0 σ V = R σ L σ + = 50 3, 7c NormCD(-0, 0, µ=0, σ=3.) 0,05 Opg. 75a BinCD(X =, n = 5, p = 0,05) 0,05 75b BinCD(X =, n = 5, p = X) = 0, met grafieken of tabel geeft p 0,03 75c Noem de gemiddelde pleegduur Y µ Y =,5 en σ y =,8 = 0,8 00 NormCD(5, 0 99, µ=.5, σ=0.8) 0,007 Opg. 7a Normaal verdeeld 7b M B < 0 7c µ M B = µ M - µ B =,5,0 = 0,5 σ M - B = NormCD(-0 99, 0, µ=0.5, σ=0, ) 0,38 Opg. 77 V = Tijd lijn 9 Tijd lijn5 is normaal verdeeld µ V = 5 min σ V = + 3 = 5 Anne mist de aansluiting als V < 0 NormCD(-0 99, 0, µ=5, σ=5) 0,59 M σ B σ + = 0, Opg. 78 T = T + T + T 3 + T is normaal verdeeld met µ T =-, + 3 x 0,8 =,8 0 3 0 3 8 en σ T =, +, =, 3 8 NormCD(-0 99,, µ=,8, σ=, ) 0,7 9
Begrepen blz. Bij benadering normaal verdeeld, maar toch wel aardig asymmetrisch 70 mm Hg InvNormCD(0.5, µ=85, σ=3) 7, dus tussen 7 en 9 (gebruik symmetrie) Begrepen blz. Dat kan niet bij opg. 50a, maar zolang je één normale verdeling hebt kun je alles in die ene curve aangeven. De z-waarde bij onder % is negatief, die van boven de % is positief, maar verder net zo groot. Het verschil van de gemiddeldes is 0 De sd bij gemiddeld 50 is twee maal zo groot als die bij gemiddeld 70 Begrepen blz. 33 Continue variabele. NormCD(-0 99, 50, µ=85, σ=3) 0,00 NormCD(50, 0, µ=85, σ=3) 0,0 NormCD(0, 70, µ=85, σ=3) 0,097 NormCD(70, 80, µ=85, σ=3) 0, NormCD(80, 90, µ=85, σ=3) 0,99 NormCD(90, 00, µ=85, σ=3) 0, NormCD(00, 0, µ=85, σ=3) 0,097 NormCD(0, 0, 50, µ=85, σ=3) 0,0 NormCD(0, 0 99, 50, µ=85, σ=3) 0,00 50 0 NormCD(8.5, 85.5, µ=85, σ=3) 0,03 dus 3% Gemiddelde = (,7 + 8,7 +, + 0,0) = 9,5 ; sd = 8, + + + 0, 0