WSSESTOOMTHEOE. EENFASGE WSSESTOOMTHEOE. nleiding tot de wisselstrootheorie.. Periode (T).. Frequentie (f)..3 Moentele waarde (u, i)..4 Maxiale en top-top waarde..5 Geiddelde waarde ( ge, ge )..6 Effectieve waarde (, )..7 Verband tussen oentele en axiale waarde 3..8 irkelfrequentie 3..9 De geiddelde waarde van een sinusvorige spanning 4..0 De effectieve waarde van een sinusoidale grootheid 5.. De top- en vorfactor 6.. Verband tussen flux en geinduceerde spanning 7..3 fasegelijkheid 7..4 faseverschuiving 8. Het vector- of wijzerdiagra 8.3 oplexe rekenwijze 0.3. nleiding 0.3. ekenen et coplexe getallen.3.3 De hoek tussen twee coplexe grootheden.3.4 polaire notatie 3.3.5 gonioetrische notatie 3.4 Studie van ketens op wisselspanningsgebied 4.4. nleiding 4.4. Enkelvoudige ketens 4.4.3 Serieketens 9.4.4 Parallelketens 9.4.5 Geengde ketens 37.4.6 Serie- en parallelschakelingen van ondensatoren en Spoelen 40.5 Verogen in wisselspanningskringen 44.5. Actief, eactief en Schijnbaar verogen 44.5. Belang van de cosϕ 47.5.3 voorbeeld : 48.5.4 Verbetering van de cosϕ 49 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
. DEFASGE STOMEN EN SPANNNGEN 5. nleiding 5. Ontstaan van een driefasige spanning 53.3 Basiseigenschappen van een driefasige spanning 54.4 Schakeling van driefasige generatoren 55.4. Sterschakeling 55.4. Driehoekschakeling 56.5 Schakeling van driefasige belastingen (generator in ster) 57.5. Belasting in ster 57.5. Belasting in driehoek 57.6 Verogen in driefasige systeen 58.6. Algeeen 58.6. Syetrische belasting 58.6.3 Meten van actief verogen 60.6.4 Meten van reactief verogen 66.7 Nulpuntsverplaatsing 68.7. nleiding 68.7. Asyetrische belasting in ster et nulgeleider 68.7.3 Nulpuntsverplaatsing als de nulgeleider onderbroken wordt 70.8 oefeningen wisselspanning 73.9 oefeningen driefasige systeen 76 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
. Eenfasige wisselstrootheorie. nleiding tot de wisselstrootheorie Een wisselspanning (of wisselstroo) is een spanning (of stroo) die in functie van de tijd varieert. Meestal spreken we van wisselstroo (spanning) slechts als de variatie zo snel gebeurt dat de optredende verschijnselen niet eer volledig op gelijkspanningsgebied kunnen beschreven worden. Voor traag varierende signalen volstaat een studie op gelijkstroogebied. De in dit hoofdstuk bestudeerde signalen zijn periodieke signalen : het verloop van spanning of stroo in functie van de tijd is periodiek. Dergelijke signalen worden gekarakteriseerd door de volgende begrippen :.. Periode (T) Onder één periode verstaan we de tijdsduur (in seconden) tussen twee opeenvolgende tijdstippen waarop de spanning (of stroo) op dezelfde wijze door nul gaat, of op dezelfde wijze een iniale of axiale waarde bereikt. 0, 5 T 0 t -0,5 - -,5 - -,5 Figuur : de periode van een wisselspanning Bij een periodiek signaal herhaalt het verloop van spanning of stroo in functie van de tijd zich dus in elke periode... Frequentie (f) De frequentie van een periodieke stroo of spanning is het aantal perioden dat per seconde doorlopen wordt. f = [ Hz] T..3 Moentele waarde (u, i) De waarde die een veranderlijke grootheid op een zeker ogenblik heeft, is de oentele of ogenblikkelijke waarde. Als sybool gebruiken we een kleine letter. voorbeeld : u is de spanning op het ogenblik t KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
..4 Maxiale en top-top waarde De axiale waarde of topwaarde van een in de tijd veranderlijke spanning is de uiterste waarde van de spanning. Als sybool gebruiken we ax, of. 0,8 0,6 0,4 pp 0, 0-0, -0,4-0,6-0,8 - Figuur : axiale op topwaarde, top-top waarde pp Als de axiale waarde in positieve en negatieve zin even groot, dan spreken we ook wel van aplitude. Het spanningsverschil tussen de axiale en de iniale waarde noeen we de toptot-top waarde tt of pp. (piek-piek)..5 Geiddelde waarde ( ge, ge ) De geiddelde waarde ge van een willekeurige stroo kan geschreven worden als : i i i i i i i = ge n = + + + + + 3 4 5 6 6 t Figuur 3 : willekeurige wisselstroo -geiddelde berekenen- Als sybool gebruiken we ge, ge of av, av (AVerage)..6 Effectieve waarde (, ) De effectieve waarde van een periodieke stroo of spanning is de waarde die een gelijkstroo of -spanning zou oeten bezitten o in een weerstand hetzelfde verogen te ontwikkelen. Als sybolen gebruiken we eff, eff of kortweg,. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
..7 Verband tussen oentele en axiale waarde it het hoofdstuk agnetise weten we dat in een roterende winding in een agnetisch veld een sinusvorige spanning opgewekt wordt, indien de winding et een constante hoeksnelheid in een hoogeen agnetisch veld roteert. De oentele waarde is dan e = E.sin α. oteert de winding et een hoeksnelheid ω (rad/sec), dan is in t sec de doorlopen hoek α=ω.t e = E. sinωt u =. sinωt e E t..8 irkelfrequentie Figuur 4 : sinusvorige wisselspanning Onder de cirkelfrequentie ven een wisselstroo of -spanning verstaan we het aantal radialen dat per seconde doorlopen wordt. ω = α t n periode T wordt een hoek α= 360 doorlopen. dit kot overeen et π radialen. De tijdsduur t voor het doorlopen van deze hoek is de periode T. ingevuld in de bovenstaande forule geeft dit : π ω = et T = T f ω =. π. f rad/s voorbeeld : Een wisselspanning heeft een axiale waarde van 00V en f=50hz. Bereken : de cirkelfrequentie de doorlopen hoek na /00s in radialen en graden. de spanning op dat tijdstip ω = πf =. π. 50 = 34 rad / s ω α π = α = ω. t = 34rad / s. t 00 s = rad π π. π rad = 360.. 80 = 5 rad = u =.sin ωt = 00.sin 5 = 5, 88V KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 3
..9 De geiddelde waarde van een sinusvorige spanning De geiddelde waarde van een sinusoidale spanning of stroo wordt nooit over de ganse periode berekend, odat die nul is. Voor een halve periode kunnen we ze berekenen. E ge is de geiddelde waarde als de oppervlakte onder E ge in de grafiek E = f(t) even groot is als de oppervlakte onder e=e.sin ωt. (zie figuur 5) e E Ege t Figuur 5 : geiddelde waarde van een sinusoidale grootheid We kunnen dus E ge over een tijd ω.t = π (= 80 ) berekenen uit : E ge π E.sinωt dωt 0 = π E π =.cosωt 0 π E =.( ) π E = E = 0 636 E π.,. ge De bovenstaande vergelijking geldt ook voor andere sinusvorige grootheden, bijvoorbeeld voor de stroo. = = 0 636 π.,. ge KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 4
..0 De effectieve waarde van een sinusoidale grootheid De effectieve waarde van een stroo is die waarde die een gelijkstroo oet hebben o in een weerstand een gelijk verogen te ontwikkelen. eff. = i. Hieruit berekenen we : eff = ( i ) ge Onderstaande figuur geeft het verloop van i = f(t) en i geiddelde waarde van i. = f(t) weer, saen et de t i ge t Figuur 6 : effectieve waarde van een sinusvorige grootheid n deze figuur zien we dat : [ i ] = [ ] ge We kunnen dus schrijven dat : eff = = = 0, 707. De effectieve spanning kunnen we ook berekenen uit : eff = = = 0, 707. De effectieve waarde kunnen we ook berekenen zonder gebruik te aken van bovenstaande figuur : uit de forules i = sinωt eff = ( i ) ge berekenen we : [ ] [ i ] = [( sin ωt) ] = ( sin ωt) ge ge vanuit de gonioetrie weten we bovendien dat :.cosωt cos ωt =.sin ωt sin ωt = ge KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 5
zodat : [ i ] = ge.cosωt. = + ge ge.cosωt ge De tweede ter in deze forule is over periode gezien gelijk aan nul, zodat alleen de volgende forule over blijft : [ i ] = ge eff = [ i ] = = = 0, 707. ge Voorbeeld : gegeven : i = 00.sin 68.t gevraagd : de geiddelde waarde de effectieve waarde de frequentie de oentele waarde na 5 s. oplossing : i=.sin ωt ge = 0,636. = 0,636. 00 A = 63,6 A eff = 0,707. = 0,707. 00 A = 70,7 A = 68 rad/s f = ω/π = 00 Hz i = 00. sin 68.t = 00. sin (68. 0,005) i = 00. sin π = 00. sin 80 = 0 A.. De top- en vorfactor De topfactor f t is de verhouding tussen de axiale en de effectieve waarde van een periodiek veranderlijke grootheid. ax ax f t = voor een sinusvorige spanning geeft dit : f t = = eff eff De vorfactor f v is de verhouding tussen de effectieve en de geiddelde waarde van een periodiek veranderlijke grootheid. eff eff 0; 707. f t = voor een sinusvorige spanning geeft dit : f t = = =, 0, 636. ge ge KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 6
.. Verband tussen flux en geinduceerde spanning it het hoofdstuk agnetise weten we dat : E = B. A. ω = ω. φ Voor de effectieve waarde van de spanning geldt dan : E E = = 0, 707. ω. φ = 0, 707.. π. f. φ Dit geeft : E = 4, 44. f. φ. N voor een spoel et N windingen,die roteert et een frequentie f, en waardoor een axiale flux ϕ gaat...3 fasegelijkheid Als we een toestel op wisselspanning aansluiten, dan zal door dit toestel een wisselstroo vloeien. De tijdstippen waarop de waarden van spanning en stroo nul worden, noet en de nuldoorgangen. Als het verloop van spanning an stroo zodanig is dat de nuldoorgangen saenvallen, en de stroo op dezelfde tijdstippen hun uiterste waarden bereiken, zowel in positieve als in negatieve zin, dan spreken we van fasegelijkheid. We zeggen dan dat stroo en spanning in fase zijn. De volgende stroo en spanning zijn in fase : u=.sin ωt i=.sin ωt u i Figuur 7 : fasegelijkheid KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 7
..4 faseverschuiving Als spanning en stroo niet gelijktijdig hun axiale of nulwaarde bereiken, dan is er sprake van faseverschuiving. Stroo en spanning zijn dan in fase verschoven. Afhankelijk van het feit of de stroo i eerder of later zijn axiu bereikt, zeggen we dat de stroo i voor- of naijlt ten opzichte van de spanning. Voor sinusoidale spanningen en stroen kunnen we deze faseverschuiving uitdrukken in graden (een periode is 360 graden) Als sybool voor faseverschuiving gebruiken we dan ϕ. Voor een stroo die een hoek ϕ naijlt op de spanning schrijven we : i =. sin (ωt - ϕ) indien u =. sinωt n de onderstaande figuur ijlt de stroo 60 na op de spanning. i ϕ Figuur 8 : faseverschuiving (i ijlt na op u, of u ijlt voor op i). Het vector- of wijzerdiagra Een wisselstroogrootheid kan en door een draaiende vector voorstellen. Een vector is een lijnstuk et een lengte, een richting en een zin. Voor de lengte van de vector neen we of. We laten deze vector nu roteren et een hoeksnelheid ω tegen de wijzers van de klok in. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 8
u ω.t ω = ω.t t O duidelijk aan te geven dat stroo en spanning vectorieel oeten beschouwd worden, gebruiken we en. ndien twee vectoren et dezelfde snelheid en dezelfde richting ronddraaien, zullen ze ten opzichte van elkaar niet van stand veranderen. We kunnen ze saen voorstellen in een vectordiagra. ω Optellen of aftrekken van twee sinusvorige grootheden van gelijke frequentie geeft weer een sinusvorige grootheid et dezelfde frequentie. ω.t ϕ t = + ω.t-ϕ Figuur 9 : optellen van vectoren Een verschil van vectoren kan ogevord worden tot een so : t = - ω = 3 = + ( ) - Figuur 0 : aftrekken van vectoren n plaats van axiale waarden in het vectordiagra uit te zetten, gebeurt dit ook et effectieve waarden. De werkwijze blijft identiek : de eigenschappen die gelden voor axiale waarden, gelden ook voor effectieve. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 9
.3 oplexe rekenwijze.3. nleiding Een vector kunnen we ontbinden in een horizontale en een vertikale coponente. Als we deze vector voorstellen in het coplexe vlak, dan noeen we de horizontale coponente reëel, de verticale coponente iaginair. De horizontale as is dan ook de reële, de vertikale is de iaginaire as. n de figuur hiernaast kan de spanning geschreven worden als : i.as = a + j. b ω waarbij b de projectie van de vector op de iaginaire as is, en a de projectie op de reele as. b a e. as De tekens van a en b bepalen in welk kwadrant de vector ligt. Figuur : vector in het coplexe vlak a b kwadrant positief positief eerste negatief positief tweede negatief negatief derde positief negatief vierde De lengte van de vector kan berekend worden uit : = a + b deze waarde wordt de absolute waarde of odulus genoed. De hoek tussen de vector en de positieve reele as kan berekend worden et : ϕ = bgtg b a deze waarde noeen we het arguent. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 0
De verenigvuldiging et de operator j verdraait een vector over een hoek van 90 in tegenwijzerzin (linkso). voorbeeld : een vector = a die we verenigvuldigen et j :. j = a. j aal j i.as a.j aal j Merk op dat j.j = j = - a.j.j=-a a e. as a.j.j = -a aal j -a.j aal j Figuur : verenigvuldigen et j.3. ekenen et coplexe getallen.3.. Optellen en aftrekken De so van twee coplexe getallen wordt bekoen door de reele delen bij elkaar op te tellen en de iaginaire delen et elkaar op te tellen. als = a + j.b en = a + j.b dan is + = (a + a ) + j.(b + b ) Het verschil wordt bekoen door resp. de reele delen en de iaginaire delen van elkaar af te trekken. - = (a - a ) + j.(b - b ).3.. Verenigvuldigen en delen Bij een verenigvuldiging verenigvuldigen we alle teren onderling :. = ( a + j. b ).( a + j. b ) = a. a + j. a. b + j. a. b + j. j. b. b = ( a. a - b. b ) + j. ( a. b + a. b ) Bij de deling kunnen we de coplexe noeer eliineren door te verenigvuldigen et het coplex toegevoegde van de noeer. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
a = a + j. b + j. b ( a + j. b ).( a j. b ) = ( a + j. b ).( a j. b ) ( a. a + b. b ) + j.( a. b a. b ) = ( a + b ) voorbeeld : = 3+ j. 4 = 5+ j. 6 + = 8+ j. 0 = j.. = 5+ j. 0+ j. 8+ j. 4 = 9 + j. 38 ( 3+ j. 4)( 5 j. 6) 5 j. 8+ j. 0 j. 4 39 + j. = = = = 0, 639 + j. 0, 033 5+ 36 6 6.3.3 De hoek tussen twee coplexe grootheden O de faseverschuiving (hoek) tussen twee coplexe grootheden te bepalen, kunnen we de hoek van elk van deze grootheden ten opzichte van de reele as berekenen, en dan deze hoeken van elkaar aftrekken. voorbeeld : voor de eerste grootheid : = 3+ j. 6 ϕ ϕ 6 = bgtg 3 = = 63 6' voor de tweede grootheid : = 4 + j. ϕ ϕ = bgtg 0 5 4 =, = 6 34' De hoek tussen de twee grootheden is dan : ϕ = ϕ ϕ = 63 6' 6 34' = 36 5' i.as a ϕ e. as Figuur 3 : hoek tussen twee grootheden b KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
.3.4 polaire notatie.3.4. nleiding Een wisselspanningsgrootheid kan behalve vectorieel en coplex ook nog et een polaire notatie voorgesteld worden. = odulus arguent waarin de odulus de lengte van een vector is en het arguent de hoek ten opzichte van de (positieve) horizontale as. voorbeeld : = 3 + j.4 kunnen we ook schrijven als = 5 53,3. 4 iers : odulus = ( 3 + 4 ) = 5 en arguent = bgtg = 53, 3 3.3.4. verenigvuldigen en delen Deze polaire voorstellingswijze is bijzonder interessant voor verenigvuldiging en deling van wisselspanningsgrootheden. Bij de verenigvuldiging oeten de uduli verenigvuldigd en de arguenten opgeteld worden. Bij de deling oeten de oduli gedeeld, en de arguenten afgetrokken worden. =. =a.b ϕ +ϕ a = = ϕ -ϕ b.3.5 gonioetrische notatie i.as De gonioetrische notatie sluit nauw aan bij de coplexe notatie. =a+b.j kunnen we schrijven als =.cosϕ + j..sinϕ (zie figuur) a ϕ e. as b Figuur 4 : gonioetrische notatie KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 3
.4 Studie van ketens op wisselspanningsgebied.4. nleiding Met de hierboven aangehaalde basisprincipes en technieken kunnen we het gedrag van enkelvoudige en saengestelde ketens op wisselspanningsgebied berekenen. Voor de berekeningen in de cursus baseren we ons hoofdzakelijk op de coplexe voorstelling en rekenwijze. Een berekening et behulp van andere voorstellingswijzen is natuurlijk even goed ogelijk. Daaro zal regelatig een band gelegd worden et deze andere technieken en voorstellingswijzen..4. Enkelvoudige ketens.4.. De ohse keten Schakelen we een wisselspanningsbron en een ohse weerstand in serie zoals in figuur 5, dan weten we dat op elk ogenblik de bronspanning u b gelijk is aan de spanning over de weerstand u. Deze spanning varieert voortdurend. n de notatie gebruiken we dan ook kleine letters. Voor een gebruikelijke sinusvorige spanning kunnen we schrijven dat : u =.sin( ωt) u i = =.sin( ωt) i =.sin( ωt) b Figuur 5 : Ohse weerstand op wisselspaning Stroo en spanning verlopen dus beiden sinusvorig, en in fase. u B =u i ωt Figuur 6 : spanning en strooverloop in ohse keten KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 4
Stroo en spanning kunnen we ook in het coplexe vlak voorstellen. n principe tekenen we dan vectoren et lengte en. Odat we in wisselspanningssysteen echter eestal et effectieve waarden werken, worden in het vectordiagra deze effectieve waarden getekend. Meestal wordt als referentiepunt het tijdstip t=0 genoen, zodat sinusvorige grootheden horizontaal getekend worden. Dit hoeft echter niet noodzakelijk zo te zijn. =/ b = e. as Figuur 7 : vectordiagra ohse keten Het verogen in dergelijke kring kan steeds berekend worden uit : P=. (effectieve waarden) =..4.. De zuiver inductieve keten it het voorgaande weten we reeds dat : u ( t) u =.sin ω dφ = N = dt di dt b Figuur 8 : zuiver inductieve keten uit cobinatie van deze vergelijkingen vinden we : KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 5
.sin( ωt). dt =. di. sin ( ωt). dωt =. di ω.cos( ωt) =. i ω i =.cos( ωt). ω i = t.sin ω π et = of = ( voor de effectieve waarden). ω ω. Hierin zien we dat de stroo 90 naijlt op de spanning. Dit geeft ons het volgende verloop van stroo en spanning u B =u i π/ π ωt π Figuur 9 : spannings- en strooverloop zuiver inductieve keten n een vectordiagra kunnen we dit op de volgende anier voorstellen : We neen de aangelegde spanning als referentie, en leggen deze referentiespanning op de horizontale (reele) as. De stroo ijlt 90 na. b = e. as ϕ = 90 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 6
Figuur 0 : vectordiagra zuiver inductieve keten n de coplexe notatie voor stroo en spanning kunnen we de faseverschuiving van 90 graden zien als een verenigvuldiging et j. = j. ω.. waarin j. ω. de ipedantie van de spoel ( ) of kortweg inductantie ( X ) genoed wordt. Voor een ideale spoel is de totale ipedantie gelijk aan de inductantie. = X = j. ω. = = = j. ω. X j.. π. f..4..3 De zuiver capacitieve keten it het voorgaande weten we reeds dat : b u =.sin( ωt) q =. u c uit cobinatie van deze vergelijkingen vinden we : q =..sin( ωt) dq i = = c. du = ω.. ( ) M.cos ωt dt dt i = ω.. t +.sin ω π i = +.sin ωt π M et = ω.. M = ω. of = ω.. = ω. ( voor de effectieve waarden) Figuur : zuiver capacitieve keten KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 7
Hierin zien we dat de stroo 90 voor ijlt op de spanning. Dit geeft ons het volgende verloop van stroo en spanning i u b =u c ωt π/ π.π Figuur : spannings- en strooverloop zuiver capacitieve keten n een vectordiagra kunnen we dit op de volgende anier voorstellen : We neen de aangelegde spanning als referentie, en leggen deze referentiespanning op de horizontale (reele) as. De stroo ijlt 90 voor. ϕ = -90 b = e. as Figuur 3 : vectordiagra zuiver capacitieve keten n de coplexe notatie voor stroo en spanning kunnen we de faseverschuiving van 90 graden zien als een verenigvuldiging et j. = j. ω.. =. = j... ω KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 8
waarin de ipedantie van de condensator ( ) of kortweg capacitantie ( X j. ω. c ) genoed wordt. Voor een ideale condensator is de totale ipedantie gelijk aan de capacitantie. j = Xc = = j. ω. ω. =. j. ω. = = X c j. ω..4.3 Serieketens.4.3. De - serieketen Schakelen we et een wisselspanningsbron een ohse weerstand en een spoel in serie zoals in figuur 4, dan weten we dat op elk ogenblik de bronspanning u b gelijk is aan de spanning over de weerstand en de spoel saen. Deze spanning varieert voortdurend. n de notatie gebruiken we dan ook kleine letters. b ub = u + u Figuur 4 : weerstand en spoel in serie Voor een gebruikelijke sinusvorige spanning kunnen we op basis van het voorgaande de spanningen en stroen et een coplexe notatie weergeven. u = i. u = i. X = i. j. ω. u = u + u = i. + i. jω. ( ) =. + j. ω. =. waarin de totale ipedantie van de serieketen is. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 9
n het vectordiagra tekenen we de spanning u b als de so van de spanning over de weerstand en de spoel. De spanning op de weerstand is in fase et de stroo, de spanning op de spoel is 90 voorijlend.. as B ϕ e. as Figuur 5 : vectordiagra - serieketen de stroo kunnen we berekenen uit : = = + j. ω. udulus en arguent berekenen we et : = = + ( ω. ) ω. ϕ = bgtg = bgtg e de ipedantie van de seriekring is de vectoriële so van de ipedanties van de afzonderlijke eleenten: = + X = + j. ω. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 0
Ook deze ipedanties kunnen we uittekenen in het coplexe vlak. Dit resulteert in de zogenaade ipedantiedriehoek.. as X ϕ e. as Figuur 6 : ipedantiedriehoek bij - serieschakeling De grootte van de ipedantie (arguent) kunnen we berekenen. = + ( ω. ) KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
.4.3. De - serieketen Schakelen we et een wisselspanningsbron een ohse weerstand en een condensator in serie zoals in figuur 7, dan weten we dat op elk ogenblik de bronspanning u b gelijk is aan de spanning over de weerstand en de condensator saen. Deze spanning varieert voortdurend. n de notatie gebruiken we dan ook kleine letters. De stroo gaat door beide coponenten. b ub = u + u Figuur 7 : weerstand en spoel in serie Voor een gebruikelijke sinusvorige spanning kunnen we op basis van het voorgaande de spanningen en stroen et een coplexe notatie weergeven. u = i. u = i. X = i. j. ω. u = u + u = i. + i. j. ω. =. + =. j. ω. waarin de totale ipedantie van de serieketen is. n het vectordiagra tekenen we de spanning u b als de so van de spanning over de weerstand en de condensator. De spanning op de weerstand is in fase et de stroo, de spanning op de condensator is 90 naijlend.. as e. as ϕ B KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie
Figuur 8 : vectordiagra - serieketen de stroo kunnen we berekenen uit : = = + j. ω. udulus en arguent berekenen we et : = = + ω. bgtg bgtg ϕ ω. = = e de ipedantie van de seriekring is de so van de ipedanties van de afzonderlijke eleenten: = + Xc = + j. ω. Ook deze ipedanties kunnen we uittekenen in het coplexe vlak. Dit resulteert in de volgende ipedantiedriehoek.. as e. as ϕ X c Figuur 9 : ipedantiedriehoek - serieketen De grootte van de ipedantie (arguent) kunnen we berekenen. = + ω. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 3
.4.3.3 De -- serieketen Schakelen we et een wisselspanningsbron een ohse weerstand et een condensator en een spoel in serie zoals in figuur 30, dan weten we dat op elk ogenblik de bronspanning u b gelijk is aan de spanning over de weerstand en de condensator saen. Deze spanning varieert voortdurend. n de notatie gebruiken we dan ook kleine letters. De stroo gaat door alle coponenten. b ub = u + u + u Voor een gebruikelijke sinusvorige spanning kunnen we op basis van het voorgaande de spanningen en stroen et een coplexe notatie weergeven. u = i. u = i. X = i. j. ω. u = i. X = i. jω. Figuur 30 : -- serieketen u = u u u i i j i j + + =. +. +.. ω.. ω. =. + + j. ω. =. waarin de totale ipedantie van de serieketen is. j. ω. = + + j. ω. j. ω. n het vectordiagra tekenen we de stroo i, die door de drie eleenten vloeit, als referentie op de horizontale as. De spanning op de weerstand is in fase et de stroo, de spanning op de condensator is 90 naijlend, en die op de spoel 90 voorijlend. Er kunnen zich nu drie situaties voordoen, die we achtereenvolgens bespreken. De ipedantie van de spoel is groter dan die van de condensator. De ipedantie van de spoel is kleiner dan die van de condensator beide ipedanties zijn precies even groot (aar tegengesteld gericht in het coplexe vlak!) KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 4
.4.3.3. De ipedantie van de spoel is groter dan die van de condensator it de voorgaande berekeningen zien we dat dan ook de spanning over de spoel groter is dan die over de condensator. n het vectordiagra geeft dit :. as B = + + ϕ e. as + Figuur 3 : vectordiagra - serieketen De spanning (u B ) ijlt dus voor op de stroo. De totale keten reageert inductief. Het resulterend vectordiagra is dat van een - serieketen. Voor = + + j. ω. kunnen we de volgende ipedantiedriehoek tekenen : j. ω. X = j. ω. X = j. ω. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 5
.4.3.3. De ipedantie van de spoel is kleiner dan die van de condensator. as + ϕ e. as B = + + De spanning (u B ) ijlt nu na op de stroo. De totale keten reageert capacitief. Het resulterend vectordiagra is dat van een - serieketen. Voor = + + j. ω. kunnen we de volgende ipedantiedriehoek tekenen : j. ω. X = j. ω. X = j. ω. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 6
.4.3.3.3 De ipedantie van de spoel even groot als die van de condensator. as + ϕ = 0 B = + + e. as Figuur 3 : vectordiagra serieresonantie n deze situatie is de totale ipedantie van de keten gelijk aan die van de weerstand alleen. Bronspanning en stroo zijn bovendien in fase. De ipedantie is in deze situatie iniaal, waardoor de stroo in de keten axiaal is. Dit verschijnsel noeen we resonantie. Aangezien we hier resonantie krijgen in een zuivere serieketen, spreken we van serieresonantie. Voor een willekeurige -- serieketen krijgen we resonantie als de ipedantie van de spoel en de condensator even groot zijn. Voor elke weerstand-spoel cobinatie vinden we één bepaalde frequentie waarbij dit het geval is. ω. = ω. ω = f res. =. π.. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 7
voorbeeld : = f(f) voor serieketen et =0Ω, =0H, =µf f = res Hz 50. π.. = + + j. ω. j. ω. = e + = +. π. f.. π. f. 35 Ω 30 5 0 5 0 5 f 0 0..f res 0..f res 0.5.f res 0.7.f res.f res.5.f res.f res 5.f res 0.f res f<f res : apacitief f=f res : Ohs f>f res : nductief KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 8
.4.4 Parallelketens.4.4. De - parallelketen n een parallelketen staat de bronspanning over elk van de eleenten. Daaro gaan we deze spanning als referentiepunt neen. De totale stroo splitst zich in het knooppunt tussen spoel en weerstand in twee deelstroen. b = B = B = X B j. ω. Figuur 33 : - parallelketen = + = B + B j. ω. =. + =. B j. ω. B tot De deelstroo door de spoel zal 90 naijlen op de bronspanning, de stroo door de weerstand is in fase et de bronspanning.. as ϕ B e. as = + Figuur 34 : vectordiagra - parallelschakeling KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 9
in de vorige forule zien we dat : = + j. ω. analoog als bij de parallelschakelig in gelijkstrootheorie kunnen we dus zeggen dat de totale geleidbaarheid de so van de parallel geschakelde geleidbaarheden is. voor de weerstand : G = = conductantie voor de spoel : B = = = susceptantie X j. ω. voor de parallelschakeling : Y = = adittantie G=/ Deze geleidbaarheden of adittanties kunnen we in een zogenaade adittantiedriehoek tekenen. ϕ Y=/ B=/X =/J.ω. Figuur 35 : adittantiedriehoek - De ipedantie kunnen we berekenen uit : =. X j =.. ω. + X + j. ω. = x + j. y = x + y ϕ = bgtg y x We kunnen ook de odulus (grootte) en het arguent (fase-hoek) van de totale ipedantie berekenen : = e + = ϕ = bgtg = bgtg( ) e ω.. ω. + ( ω. ) KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 30
.4.4. De - parallelketen n een parallelketen staat de bronspanning over elk van de eleenten. Daaro gaan we deze spanning als referentiepunt neen. De totale stroo splitst zich in het knooppunt tussen condensator en weerstand in twee deelstroen. b De deelstroo door de condensator zal 90 voorijlen op de bronspanning, de stroo door de weerstand is in fase et de bronspanning. = = B B X = + = B +. B = + = B j. ω. B j. ω. =. B tot j. ω. Figuur 36 : - parallelketen. as ϕ = + e. as Figuur 37: vectordiagra - parallelschakeling B hierin zien we dat : = + j. ω. Deze geleidbaarheden of adittanties kunnen we in een ϕ Y=/ G=/ B=/X =J.ω. zogenaade adittantiedriehoek tekenen. Figuur 38 : adittantiedriehoek - KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 3
De ipedantie kunnen we dus berekenen uit : =. X + X =. j. ω. + j. ω. = x + j. y = x + y ϕ = bgtg y x We kunnen ook de odulus (grootte) en het arguent (fase-hoek) van de totale ipedantie berekenen : = e + = + ( ω.. ) ϕ = bgtg = bgtg( ω.. ) e KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 3
.4.4.3 De -- parallelketen Ook in deze parallelketen staat de bronspanning over elk van de eleenten. De totale stroo splitst zich in het knooppunt tussen spoel, condensator en weerstand in drie deelstroen. b De deelstroo door de condensator zal 90 voorijlen op de bronspanning, de stroo door de weerstand is in fase et de bronspanning, en die door de spoel zal 90 naijlen. Figuur 39 : -- parallelketen = B = B = X B j. ω. = B = X B j. ω. = + + = B + B + j. ω. B j. ω. B j j = + +.. ω. =.. ω. B tot hierin zien we dat : = + + j. ω. j. ω. Deze geleidbaarheden of adittanties kunnen we in een zogenaade adittantiedriehoek tekenen. Y=/ B = + X X ϕ = + j. ω. j. ω. G=/ = j. + j. ω. ω. Figuur 40 : adittantiedriehoek -- KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 33
Net als bij de serieketen kunnen er zich nu drie situaties voordoen, die we achtereenvolgens bespreken. De ipedantie van de spoel is groter dan die van de condensator. De ipedantie van de spoel is kleiner dan die van de condensator beide ipedanties zijn precies even groot.4.4.3. De ipedantie van de spoel is groter dan die van de condensator Als de ipedantie van de spoel groter is dan die van de condensator, zal <. X X De stroo door de condensator zal dus groter zijn dan die door de spoel. n het vectordiagra zien we dat het geheel capacitief reageert.. as = + + tot ϕ e. as B + Figuur 4 : vectordiagra -- : capacitief KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 34
.4.4.3. De ipedantie van de spoel is kleiner dan die van de condensator Als de ipedantie van de spoel kleiner is dan die van de condensator, zal >. X X De stroo door de condensator zal dus kleiner zijn dan die door de spoel. n het vectordiagra zien we dat het geheel inductief reageert. + ϕ B e. as = + + tot. as.4.4.3.3 De ipedantie van de spoel is even groot als die van de condensator Als de ipedantie van de spoel even groot is als die van de condensator, zal =. X X De stroo door de spoel en de condensator zijn even groot, aar 80 in fase verschoven. Daardoor reageert de keten zuiver ohs. We spreken in dit geval van parallelresonantie. De totale stroo in de keten is hier iniaal. (totale ipedantie is axiaal). KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 35
. as We kunnen de resonantiefrequentie net als bij de serieresonantie berekenen uit de voorwaarde X = X zodat we weer bekoen : f re =. π.. ϕ = 0 = + = = + + tot B voorbeeld : = f(f) voor parallelketen et =0Ω, =0H, =µf f = res Hz 50. π.. = + + j. ω. = + j. ω. j. ω. ω. = = e + +. π. f.. π. f. 0 8 6 4 f 0 0..f res 0..f res 0.5.f res 0.7.f res.f res.5.f res.f res 5.f res 0.f res f<f res : nductief f=f res : Ohs f>f res : apacitief KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 36
.4.5 Geengde ketens Bij geengde ketens kunnen we de totale vervangingsipedantie berekenen door een cobinatie te aken van serie- en parallelschakelingen. We gebruiken hier dus dezelfde oplossingstechnieken als bij geengde ketens op gelijkspannning. Je ag echter niet vergeten de faseverschuivingen ee in rekening te brengen. Dus : een coplexe of polaire rekenwijze is aangewezen. We illustreren deze werkwijze aan de hand van een typische geengde -- schakeling. n de berekeningen bij de vorige schakelingen zien we dat we bij serieschakelingen de ipedanties ogen optellen. Bij parallelschakelingen oeten we de adittanties optellen..4.5. geengde keten Deze schakeling splitst zich in de parallelschakeling van de condensator et de serieschakeling van spoel en weerstand. Voor de serieschakeling kunnen we de ipedanties optellen. b = De bronspanning staat over deze serieschakeling, zodat we de stroo = kunnen berekenen. B = + j. ω.. B = = j. ω.. j. ω. B Figuur 4 : -- parallelketen KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 37
ϕ =90 ϕ. = B j.ω... = B Figuur 43 : vectordiagra deelschakeling =. Figuur 44 : vectordiagra - deelschakeling totaal ϕ =90 B j.ω.. ϕ. Figuur 45 : vectordiagra geengde keten Afhankelijk van de grootte van de verschillende koponenten kan de schakeling inductief, capacitief of in resonantie zijn. (Spanning en stroo in fase) KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 38
.4.5. Voorbeeld gevraagd : A =4Ω =5,5H B =3Ω bereken de totale stroo en de deelspanningen AB, B, D in de hiernaast afgebeelde schakeling. 00V 50Hz b Oplossing : D 3 =Ω =795µF =6,37H. Berekenen van de ipedanties van de spoelen en condensator. 3 X = j. ω. =. π. f. =. π. 50. 5, 50. = j. 8 3 X = j. ω. =. π. f. =. π. 50. 6, 370. = j. X = = j. _ 6 = j. 4 j. ω.. π. 50. 7950.. Berekenen van de ipedanties per deeltak en de totale ipedantie. AB B D = 4 + j. 8 = 3+ j. = j. 4 = + + = 8 + j. 6 AB B D 3. Berekenen van de totale stroo. b 00V = = = 8 + j. 6 00. ( 8 j. 6) ( 8 + j. 6).( 8 j. 6) = e + = 6 + = 5A ϕ = bgtg = bgtg = 37 e 6 600 j. 00 = 64 + 36 = 6 j. 4. Berekenen van de deelspanningen per deeltak. ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =. = 6 j.. 4 + j. 8 = 64 j. 48 + j. 8 j. 96 = 60 + j. 80 AB AB =. = 6 j.. 3 + j. = 49 j. 36 + j. 3 + j. 4 = 7 j. 4 B B =. = 6 j.. j. 4 = 6 j. j. 64 + j. 4 = 3 j. 76 D D 5. Kontrole : = + + = 60 + j. 80 + 7 j. 4 3 j. 76 = 00V b AB B D KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 39
.4.6 Serie- en parallelschakelingen van ondensatoren en Spoelen.4.6. Schakeling van condensatoren.4.6.. Serieschakeling van capaciteiten 3 3 = + + b 3 = + + j. ω. j. ω. j. ω. 3 =. + + =. j. ω j. ω 3 totaal b + + = 3 totaal Serieschakeling : ipedanties optellen.4.6.. Serieschakeling van capaciteiten = = = b 3 3 = = = j. ω. j. ω. j. ω. = + + =. j. ω.( + + ) 3 b 3 3 3 b totaal = + + 3 Parallelschakeling : adittanties optellen KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 40
.4.6. Schakeling van ideale spoelen.4.6.. Serieschakeling van ideale spoelen = + + b 3 = = = 3 =. j. ω. =. j. ω.( + + ) b 3 b totaal = + + 3 3 3 Serieschakeling : ipedanties optellen.4.6.. Parallelschakeling van ideale spoelen b 3 3 = = = b b b = = 3 = j. ω. j. ω. j. ω. = + + b 3 3 b b b = + + j. ω. j. ω. j. ω. 3 b b =. + + =. j. ω j. ω 3 totaal 3 + + = 3 totaal Parallelschakeling : adittanties optellen KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 4
.4.6.3 Serieschakeling van niet ideale spoelen Een niet-ideale spoel kan voorgesteld worden als de serieschakeling van een weerstand en een ideale spoel. Een serieschakeling van niet-ideale spoelen kan dus voorgesteld worden als de serieschakeling van twee weerstand-spoel serieschakelingen. b b Voor eerste spoel apart weten we : = + j. ω. = + ( ω. ) ϕ ω. = bgtg dit geeft het volgende vectordiagra :. as X ϕ e. as KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 4
Voor de tweede spoel apart :. as = + j. ω. = + ( ω. ) ϕ ω. = bgtg X ϕ e. as pedanties in serie kunnen we optellen : tot = ( + j. ω. ) + ( + j. ω. ) = ( + ) + j.( ω. + ω. ) = + j. ω. = + ( ω. ) ω. ϕ = bgtg. as ϕ tot X X ϕ e. as OPGEET : pedanties vectorieel optellen : tot + ϕ ϕ + ϕ KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 43
.5 Verogen in wisselspanningskringen.5. Actief, eactief en Schijnbaar verogen We bestuderen hier eerst een wisselspanningskring waarin de stroo een hoek ϕ naijlt op de spanning. De spanning kan geschrevan worden als : u =.sin(ω.t), de stroo als i =. sin (ω.t - ϕ) We kunnen het verloop van het verogen in functie van de tijd berekenen uit : P = u. i =.sin ω. t. sin ω. t ϕ ( ) ( ( ) ( ) ( ) ( )) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) =. sin ω. t. sin ω. t.cos ϕ cos ω. t.sin ϕ ( ω ϕ ω ω ϕ ) =.. sin. t.cos sin. t.cos. t.sin.cos ( ω. t ) sin (. ω. t ) = ( ) ( ). cos ϕ.sin ϕ.cos ( ω. t) sin (. ω. t) = ( ) ( ).. cos ϕ.sin ϕ. =. cos.cos. sin...sin. ( ( ϕ )( ( ω t )) ( ( ω t) ) ( ϕ )) ( ϕ ) ( ( ω )) ( ϕ ) ( ω ) =..cos..cos. t..sin.sin.. t Deze vergelijking bestaat uit twee gescheiden tijdsafhankelijke delen. n een grafiek zien we duidelijk dat het tweede gedeelte (et de ter sin(.ω.t)) geiddeld nul is. We kunnen ons dus voorstellen dat deze ter het ene ogenblik verogen levert, het volgende ogenblik verogen terug opneet. We noeen deze ter de reactieve verogencoponent. Over eer dan een periode bekeken, is het dus de eerste ter die zorgt voor de verogenoverdracht tussen bron en verbruiker. We noeen deze ter..cos ϕ dan ook de actieve verogencoponent De so van deze twee koponenten is het ogenblikkelijke verogen. KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 44
3, 5, 5 0, 5 cos(phi).(- cos(wt)) sin(phi).sin( wt) P 0-0,5-35 690 3 3 7 7 0 5 3 9 7 3 30 7 34 37 5 40 9 44 3 47 7 5 54 5 57 9 6 3 64 7 68 7 5 -,5 Figuur TT : actief, reactief, schijnbaar verogen ifv tijd We definieren dan ook : P=..cosϕ : Actief verogen eenheid : Watt (W) Q=..sinϕ : eactief verogen eenheid : Volt.Apère eactief(va) S=. Schijnbaar verogen eenheid : Volt.Apère (VA) et op :, zijn effectieve waarden voor spanning en stroo! P = P + P + P tot =..cos ϕ +..cos ϕ +..cosϕ Q =..sin ϕ +..sin ϕ +..sinϕ tot S =.. +. +. tot 3 3 3 3 3 3 3 3 3 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 45
Met S,P en Q kunnen we een (rechthoekige) verogendriehoek saenstellen: iers : S = P + Q. as. as S=..X =Q S=. Q=..sinϕ ϕ. =P e. as ϕ P=..cosϕ e. as n enkelvoudige koponenten geeft dit het volgende resultaat : Weerstand Spoel ondensator ϕ 0 90-90 P P=.=.= / 0 0 Q 0 Q=.=.X = /X Q=-. S S=.=P S=.=Q S=.=-Q KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 46
.5. Belang van de cosϕ.5.. Op gebied van het actief verogen it de forule P=S.cosϕ kunnen we afleiden dat voor eenzelfde Schijnbaar verogen het aktieve (nuttige) verogen stijgt als de cosϕ stijgt. Voor een transforator bijvoorbeeld bepaalt de diensionering het axiale schijnbare verogen (S) dat deze transfo kan leveren. Aan een belasting et grote cosϕ kan et deze transfo dus eer actief verogen geleverd worden. voorbeeld : transfo 0000 VA =500V =0A indien ϕ = 0 cosϕ = P = S.cosϕ P = S = 0000W ϕ = 30 cosϕ = 0,866 P = S.cosϕ P = S.0,866 = 8660W ϕ = 60 cosϕ = 0,5 P = S.cosϕ P = S.0,5 = 5000W bij een constant schijnbaar verogen S (VA) P als ϕ (cosϕ ).5.. Op gebied van stroosterkte De stroo in de geleiders naar een toestel dat een actief verogen P verbruikt kunnen we berekenen uit : S P = =.cosϕ Voor een bepaalde verbruiker zien we dat de stroo in de geleiders groter wordt naarate cosϕ daalt. ndien de stroo in een geleider stijgt, zal - het spanningsverlies in de geleider toeneen - het verogenverlies (in de geleiders) toeneen - de doorsnede van de gebruikte draden groter oeten zijn. We hebben er dus voordeel bij de cosϕ in onze schakeling zo groot ogelijk (dicht bij ) te aken. bij P en E = cte als cosϕ voorbeeld : verbruiker P=0kW =500V indien : ϕ = 0 cosϕ = =0A ϕ = 60 cosϕ = 0,5 =40A KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 47
.5..3 Op gebied van energiekosten Het electriciteitstarief voor industriele verbruikers is afhankelijk van de cosϕ. ers : de electriciteitsproducenten en verdelers hebben er voor hun installaties alle voordeel bij dat de verbruikers een zo groot ogelijke cosϕ hebben. Daaro rekenen zij extra kosten aan indien de cosϕ slechter (kleiner) wordt..5.3 voorbeeld : Bereken verogens P,Q,S en cosϕ voor de keten hiernaast afgebeeld. 3 =9,H 3 =0Ω Oplossing : 00V 50Hz b =8Ω =3Ω =637µF 3 = + X = + j. ω. = 8 + j.( 9, 0... π. 50) = 8 + j. 6 = + X = + = 3+ j j j 6 = 3. 4. ω.. 7950... π. 50 = = 0 3 3 3 = = = = = b b b 3 + 00 = = 8 + j.6 00 = = 3 j.4 00 = = 5A 0 + + e 00. ( 8 j.6) ( 8 + j.6 )(. 8 j.6) 00. ( 3 + j.4) ( 3 + j.4 )(. 3 j.4) 0 ϕ = bgtg = bgtg =,8 e 5 cosϕ = 0,98 P =..cosϕ = 500W Q =..sin ϕ = 000VAr S =. = 690VA 3 = 8 j.6 + + j.6 + 5 = 5 + j.0 = 5 + 0 = 6,9A = 8 j.6 = + j.6 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 48
.5.4 Verbetering van de cosϕ De eeste praktische schakelingen hebben een inductief karakter. De cosϕ verbeteren gebeurt dan ook eestal door condensatoren parallel et de belasting te schakelen. B b Figuur : verbetering cosϕ Figuur VV : vectordiagra zonder. as ϕ ϕ B tot.cos ϕ. tgϕ '.sinϕ.cosϕ KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 49
Figuur WW : vectordiagra verbetering cosϕ n het vectordiagra zien we dat : =.sin ϕ.cos ϕ. tgϕ ' c z z ( ϕ ϕ tgϕ ) =..sin cos. ' z = b. ω. hieruit berekenen we ( ϕ ϕ ϕ ) tg z..sin cos. ' = ω. b waarin ϕ de (gewenste) hoek is na de cosϕ verbetering. Het terugbrengen van deze hoek tot een zeer kleine waarde is econoisch niet rendabel. Er oet dus een coprois gesloten worden tussen stijgende kosten voor verdere verbetering en dalende uitbatingskosten bij verbeterde cosϕ. ndien enkel het verogen en de cosϕ van de verbruiker ( te eten et W en cosϕ eter) en de spanning van het net gekend zijn, kan de te plaatsen condensator ook berekend worden uit : Q=E..sinϕ Q = Q Q' = P. tgϕ P. tgϕ ' Q =. =. ω. ( ϕ ϕ ) P. tg tg ' =. ω b S=E. S =E. P=P =E..cosϕ Q c =E. Q =E..sinϕ KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 50
. Driefasige stroen en spanningen. nleiding Een systee van driefasige spanningen bestaat uit drie sinusvorige wisselspanningen et dezelfde frequentie die onderling 0 in fase verschoven zijn. (V) E E E 3 E 3 ω t (sec) ϕ=0 E E Figuur XX : driefasige spanningen Gonioetrisch kunnen we deze spanningen schrijven als : e = E.sin ωt e = E.sin(ωt-0 ) e 3 = E.sin(ωt-40 ) waarin e de ogenblikkelijke waarde van de wisselspanningsbron voorstelt. Voor de spanningen over een verbruiker gebruiken we, o het onderscheid te aken, het sybool u. E, stellen de axiale waarden van deze spanningen voor. E, zijn de effectieve waarden. Meestal gebruiken we de coplexe notatie voor deze spanningen : = = cos( 0 ) + j. sin( 0 ) = cos( 0 ) + j. sin( 0 ) (indien op de reele as ligt) bijvoorbeeld : voor een driefasige spanning van 3x40V : = 40V = -0V -j.07.8v 3 = -0V+j.07.8V KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 5
Als we op de iaginaire as leggen op het tijdstip t=0, dan verdraait het vertordiagra 90, zodat de coplexe notatie wordt : =.cos 90 + j..sin90 = cos( 30 ) + j. sin( 30 ) = cos( 50 ) + j. sin( 50 ) = j. = cos 30 j. sin 30 = cos 30 j. sin 30 E ω ϕ=0 E 3 E n dit vectordiagra kunnen we ook de stroen voorstellen die door de drie bronnen geleverd worden. We aken hierbij een onderscheid tussen syetrische en asyetrische belastingen. n een syetrische belasting is de belastingsipedantie voor de drie bronnen identiek. Aangezien de drie bronspanningen even groot zijn, en dezelfde frequentie hebben, zullen ook de drie stroen even groot zijn, en ten opzichte van de bijhorende spanning dezelfde faseverschuiving ϕ hebben. Voor een asyetrische belasting zullen de drie stroen verschillend in grootte en faseverschuiving zijn. E 3 3 E 3 3 ϕ 3 E ϕ 3 E ϕ ϕ ϕ ϕ E ω E ω Figuur YY : vectordiagra syetrische belasting vectordiagra asyetrische belasting KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 5
Deze stroen kunnen we in gonioetrische notatie weergeven als : Syetrische belasting Asyetrische belasting i =.sin (ωt-ϕ) i =.sin (ωt-ϕ ) i =.sin(ωt-0 -ϕ) i =.sin(ωt-0 -ϕ ) i 3 =.sin(ωt-40 -ϕ) i 3 =.sin(ωt-40 -ϕ 3 ). Ontstaan van een driefasige spanning ndien drie identieke windingen, onderling 0 verschoven, roteren in een agnetisch veld zullen drie spanningen opgewekt worden die onderling eveneens in fase verschoven zijn. Klassieke uitvoeringen hiervan zijn de buitenpool driefasen generator en de binnenpool driefasen generator. ω S N 0 0 S3 S Figuur : tweepolige buitenpool driefasen generator ω S S3 S Figuur AAA : tweepolige binnenpool driefasige generator KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 53
.3 Basiseigenschappen van een driefasige spanning Voor de beschouwde driefasige spanningen gaan we er van uit dat de drie spanningen evenwichtig zijn : even groot en onderling in 0 in fase verschoven. De so van deze drie spanningen is dan nul. e = E e = E sin 30 j. E cos30 e = E sin 30 + j. E cos30 e = E.cos 0 + j. E.sin 0 e = E.cos( 0 ) + j. E.sin( 0 ) e = E.cos 0 + j. E.sin0 3 e + e + e = E E sin 30 j. E cos30 E sin 30 + j. E cos30 3 = E.( sin30 sin 30 ) = 0 e + e + e3 = 0 r r r E + E + E = 0 3 E 3 ω E 3 ϕ=0 E E E E Figuur BBB : so van spanningen in driefasig systee Bij een syetrische belasting zijn bovendien ook de drie stroen even groot en onderling 0 in fase verschoven, zodat ook de so van de drie stroen nul is. i + i + i3 = 0 r r r + + = 0 3 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 54
.4 Schakeling van driefasige generatoren.4. Sterschakeling De drie spoelen van de generator die de spanningen opwekt kunnen in ster geschakeld worden. n praktijk is dit de eest voorkoende schakeling van generatoren (transforatoren) De drie spoelen krijgen dan een geeenschappelijke kle (nulpunt). Aan de andere uiteinden van de spoelen wordt telkens een lijndraad verbonden, waardoor de stroo naar een verbruiker vloeit. Eventueel kan het nulpunt van de generator et de verbruiker verbonden worden via de nulgeleider. E E E3 0 E 3 T E S E 3 3 E,E, E 3 noeen we de FASESPANNNGEN (per fase van de generator) E, E 3, E 3 noeen we de JNSPANNNGEN (tussen twee lijnen) r r r E = E E r r r E3 = E E3 r r r E3 = E3 E r r r E + E + E = 3 3 0 r E = E =. OM =. E.cos30 =. E = 3. E 3 E -E E3 M -E 30 O E E -E 3 E 3 E = E = E = 3. E 3 3 E 3 ijnspanning = 3.Fasespanning ijnstroo = fasestroo KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 55
.4. Driehoekschakeling E E E E 3 T 3 E 3 S 3 3 E 3 3 E,E, E 3 noeen we de FASESPANNNGEN (per fase van de generator) E, E 3, E 3 noeen we de JNSPANNNGEN (tussen twee lijnen),, 3 noeen we de FASESTOMEN (per fase in de generator), 3, 3 noeen we de JNSTOMEN (in de lijnen) onderscheid in notatie tussen lijn- en fasestroo : fasestroo = f r r r = r r r 3 = 3 r r r 3 = 3 r r r + + = 3 3 0 r = =. OM =..cos30 =. = 3. 3 3 - E 3 3 ϕ - 3 E ϕ ϕ 30 M lijnstroo = - E = = = 3. E 3 3 3 ijnspanning = Fasespanning ijnstroo = 3. fasestroo KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 56
.5 Schakeling van driefasige belastingen (generator in ster).5. Belasting in ster belasting generator E E,ϕ E 3 0 N N E 3 3,ϕ 3 T E S 3 3 E 3 V,ϕ 3 W,, 3 zijn de fasespanningen bij de belasting = fasespanningen E, E,E 3 generator.5. Belasting in driehoek belasting generator E E 3 3 E 3 0 E 3 3,ϕ 3,ϕ,ϕ T E S 3 3 E 3 V W,, 3 zijn de fasespanningen bij de belasting = lijnspanningen E, E 3,E 3 generator KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 57
.6 Verogen in driefasige systeen.6. Algeeen Het totale aktieve verogen dat door de generator aan een belasting geleverd wordt, kan berekend worden uit de so van de aktieve verogens in elk van de takken van de belasting. n elke tak kan het verogen berekend worden uit : P =..cosϕ (, = effectieve waarden) (ϕ = hoek tussen en ) saen geeft dit : Ptot = P + P + P3 =..cos ϕ +..cos ϕ +..cosϕ 3 3 3 f en f zijn fasegrootheden!.6. Syetrische belasting Bij een syetrische belasting zijn de drie eleenten van de belasting identiek. We weten dan dat de spanningen, de stroen en de hoek ϕ tussen spanning en stroo in elke fase van de belasting even groot zijn. De spanning over eleent van de belasting noeen we de fasespanning f. De stroo door een eleent van de belasting is de fasestroo f. Voor een syetrische belasting geldt dus : = = = 3 = = = 3 ϕ = ϕ = ϕ = ϕ 3 f f Vullen we dit in in de forule voor het verogen, dan vinden we : P = P + P + P tot 3 =..cos ϕ +..cos ϕ +..cosϕ 3 3 3 = 3...cosϕ f f KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 58
n praktische schakelingen eten we eestal niet de fasestroen en -spanningen, aar is het veel eenvoudiger o de lijnstroen en lijnspanningen te eten. We hebben voor berekening van het verogen best forules waar niet de fasestroen en spanningen, aar wel de lijnstroen en lijnspanningen kunnen ingevuld worden..6.. Sterschakeling = en = 3. f P = 3...cos ϕ = 3...cosϕ 3 f en zijn lijngrootheden!.6.. Driehoekschakeling = en = 3. f P = 3...cos ϕ = 3...cosϕ 3 f en zijn lijngrootheden! Onafhankelijk of we een ster- of driehoekschakeling hebben, kunnen we het verogen et dezelfde forule uit lijnspanningen en -stroen berekenen. P = 3...cosϕ [ W ] Q = 3...sin [ VA] S = 3.. [ VA] ϕ voor syetrische belastingen! Voor asyetrische belastingen oeten we de verogens in elk van de drie takken berekenen en dan optellen. (zie algeeen) P = P + P + P tot =..cos ϕ +..cos ϕ +..cosϕ Q =..sin ϕ +..sin ϕ +..sinϕ tot S =.. +. +. tot 3 3 3 3 3 3 3 3 3 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 59
.6.3 Meten van actief verogen.6.3. Driefasennet et nulgeleider en syetrische belasting n deze situatie kunnen we het verogen berekenen uit de eting et Watt-eter. W P eter f 3 Peter = f..cos ϕ =..cosϕ 3 P = 3...cos ϕ = 3. P P N = 3. P eter eter.6.3. Driefasennet et nulgeleider en asyetrische belasting één Watt-eter volstaat niet eer : odat het verogen in elke fase verschillend kan zijn, oeten we drie Watt-eters gebruiken. P eter W P eter W P eter3 3 W 3 N P = P + P + P eter eter eter3 iers : P =. f.cos ϕ =..cosϕ 3 eter KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 60
.6.3.3 Driefasennet zonder nulgeleider en syetrische belasting ethode enkel voor Ohse belasting!!! P eter W 3 Belasting in ster ϕ=0 belasting generator E E,ϕ E -E E= E3 T 0 E S N 3 N 3 E3 E 3,ϕ V 3 3,ϕ3 W M 30 O ϕ=0 E3 P = = 3 eter..cos 30.. P = 3...cosϕ E3=3 -E E= -E3 P =. P eter E3 Belasting in driehoek ϕ=0 belasting E -E - 3 = -3 generator E 3 T 0 E E S 3 3 E E 3 E 3 V 3 3,ϕ 3,ϕ 3,ϕ W 3=E3 ϕ=0 30 O =E =E -E3 E3 P = = 3 eter..cos 30.. P = 3...cosϕ P =. P eter -E E3 KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 6
ethode : et kunstatig sterpunt P eter W w 3 3 w = = 3 w = inwendige weerstand van de spanningsspoel van de W-eter. ndien w = = 3, dan voren we een ster-punt, waarvan de ster op nulpotentiaal kot. We creeren dus een kunstatig nulpunt. De spanningsspoel van de W-eter eet nu een fasespanning. Peter = f. =. 3 P = 3.. = 3. P P = 3. P eter eter voordeel ethode : spanningsspoel W-eter eet slechts de fasespanning (=lijnspanning / 3) ethode 3 : et driefasige W-eter P = P eter P eter W KHli dep. WT basiselectriciteit grad. E/EM wisselstrootheorie 6