Wat is wiskunde? college door Jan Hogendijk, 12 september 2016 Wiskunde is een wetenschap waarin precies geredeneerd wordt over getallen, figuren in de ruimte, of formele structuren in het algemeen. In dit college gebruiken we de geschiedenis als kapstok voor een paar eigenschappen van wiskunde. Daarna komen we op filosofische vragen.
Begin van de wiskunde Yantra (India, v.c.?)
Begin van de wiskunde Yantra (India, v.c.?) Babylonisch kleitablet (2000 v. Chr) Redenering nodig om dit te tekenen
1. Griekse oudheid: wiskunde is iets niet-materieels Stelling van Pythagoras: In een rechthoekige driehoek zijn de vierkanten van de rechthoekszijden samen even groot als het vierkant van de schuine zijde.
Bewijs door Euclides van de stelling van Pythagoras t z k a H g m b h l d
Bewijs van de stelling van Pythagoras: Stap 2 t z k a H g m b h l d
Vier belangrijke begrippen in de wiskunde sinds de Griekse oudheid 1. Stelling (theorem), 2. Bewijs 3. Axioma (Onbewezen grondaanname). Door elke twee punten gaat precies één rechte lijn 4. Definitie [uitleg van een nieuw begrip in al bekende begrippen]. Vierkant: Een figuur met vier gelijke zijden en vier rechte hoeken heet een vierkant.
Wiskundige kennis overstijgt culturen en is niet tijdgebonden. Voorbeeld: verhouding tussen omtrek en middellijn in Samarkand (1430) en Delft (1596)
2. Moderne wiskundige notatie (sinds Descartes, 1637)
2. Moderne wiskundige notatie (Descartes, 1637)
Wiskundige notatie is universeel
Wiskunde is internationaal Belangrijkste gebieden voor de wiskunde Irak 2000 v C - 600 v C Griekenland (incl. zuid-italie en west-turkije) 600 v.c. - 250 India 250-800 Irak/Iran/Uzb 800-1430 Italië: 1430-1470 Duitsland 1470-1585 Nederland 1585-1660 Engeland / Duitsland / Frankrijk / St. Petersburg 1660-1880 Duitsland 1880-1940 Na 1900: wiskunde werd iets van de hele wereld. USA 1940-2025?? China 2025 -
3. Formele structuren (sinds Riemann, 1855) Voorbeeld: de vierdimensionale ruimte. We kunnen ons dit niet goed voorstellen maar het is wel intrigerend poging tot een plaatje van een vierdimensionale kubus
Salvador Dali, Corpus Hypercubicus (1954)
Als je een probleem niet kan oplossen, ga dan terug naar een eenvoudiger probleem. In het vlak kiezen we twee assen. We kunnen nu elk punt aangeven met twee getallen y as 3 (2,3) 2 1 0 1 1 2 3 1 x as
Twee dimensies: het vlak. Twee assen kiezen, elk punt aangeven met twee getallen y as ( 4, 2) 3 2 (2,3) 4 2 x as
Twee dimensies: het vlak. Twee assen kiezen, elk punt aangeven met twee getallen y as ( 4, 2) 3 2 (2,3) 4 1 2 x as ( 1, 3) 3
Wat is het vlak? Je kunt zeggen: het vlak bestaat uit alle punten die erin liggen.
Wat is het vlak? Je kunt zeggen: het vlak bestaat uit alle punten die erin liggen. Maar elk punt kun je weergeven door een paar getallen. Je zou ook kunnen zeggen: het vlak bestaat uit alle paren getallen (-5, 4), (2, -2), (-1,1), (0.3, -1.8), (π, 2), enz. De afstand tussen twee punten (x 1, x 2 ) en (y 1, y 2 ) is (y1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 (stelling van Pythagoras)
Vraag aan jullie: hoe maak je de vierdimensionale ruimte (een formele structuur)? Kun je afstanden meten in de vierdimensionale ruimte? Hoe maak je een vierdimensionale kubus?
Vierdimensionale ruimte De vierdimensionale ruimte bestaat uit alle rijtjes (x 1, x 2, x 3, x 4 ) waarbij x 1 tot en met x 4 reële getallen zijn. (Dus bijvoorbeeld (1,0,1,-1), (2, -3.5, π, 2). enz. ) De afstand tussen twee punten A=(x 1, x 2, x 3, x 4 ) en B= (y 1, y 2, y 3, y 4 ) is (y1 x 1 ) 2 + (y 2 x 2 ) 2 + (y 3 x 3 ) 2 + (y 4 x 4 ) 2 kun je nu ook hoeken meten? Vierdimensionale kubus b.v. (±1, ±1, ±1, ±1)
4 Filosofische vragen en problemen Bestaat wiskunde al voordat je haar bedenkt, ontdekt of bewijst? B.v. Zijn er oneindig veel priemtweelingen (3, 5), (11,13), (17,19),...? Of: is het aantal priemtweelingen tussen 2 en x is ongeveer gelijk aan x 1 2c 2 (log t) 2 dt waarbij c = 0.6601618... het product is van alle factoren (1 1 ) voor priemgetallen p groter dan 2. (p 1) 2 (P.S. Bestaan de reële getallen, de natuurlijke getallen? π?)
Filosofische vragen en problemen Wat zijn de grenzen van de wiskunde? Zijn er wiskundige stellingen die niet bewezen kunnen worden? Er zijn processen in de natuur die niet door (ons bekende) wiskunde gemodelleerd kunnen worden, b.v. weersverwachting verder in de toekomst dan 14 dagen.
Filosofische vragen en problemen Belangrijkste thema volgens mij: unreasonable effectiveness of mathematics 1679 Newton: Gravitatiewet [wiskundige formule] verklaart bewegingen van planeten (in ellipsbaan) en beweging op aarde (paraboolbanen), wat dat betreft geen verschil tussen hemel en aarde. Eind 19e eeuw: electromagnetische veld kan wiskundig beschreven worden, en vervolgens zijn we dit sinds 1900 gaan gebruiken, b.v voor het aanleggen van een electriciteitsnet, en in smartphones. De maatschappelijke effecten zijn enorm! En wij hebben onze banen hieraan te danken. Moeten we deze wonderbaarlijke toepassingen accepteren als fact of life? Of moeten we hier vragen over blijven stellen? ook als we misschien nooit antwoorden zullen krijgen?