Relativiteit. Bijlagen

Relativiteit 1 Referentiestelsels; Galileï-transformatie Postulaten van de speciale relativiteitstheorie 3 Tijdsduurrek 4 Lengtekrimp 5 Minkowskidiagram 6 Lorentztransformatie 7 Ruimtetijdinterval 8 Relativistisch optellen van snelheden Bijlagen

1 Referentiestelsels; Galileïtransformatie Referentiestelsel, inertiaalstelsel In de onderstaande figuur zit Jan op een stoel. Hij heeft een zogenoemd referentiestelsel. Een referentiestelsel is een coördinatenstelsel (assenstelsel) waarmee de plaats van voorwerpen in de driedimensionale ruimte met getallen (coördinaten) aangegeven kan worden. Voor de eenvoud bestaat zijn referentiestelsel uit slechts één as: de x-as. De twee andere assen zijn weggelaten. Jan zit is de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel (x = 0 m). In de figuur bevindt de fietser zich op x = 4 m en de hond op x = 1 m. Een referentiestelsel dat niet versnelt of roteert wordt een inertiaalstelsel genoemd. In de figuur is het referentiestelsel van Jan een inertiaalstelsel als we tenminste afzien van de draaiing van de aarde. In een inertiaalstelsel geldt de eerste wet van Newton. Deze wet zegt dat, als de resulterende (= netto) kracht op een voorwerp nul is, de snelheid van dat voorwerp constant is in grootte en in richting. Vanaf nu beperken we ons tot inertiaalstelsels. Overigens blijven we nog vaak de term referentiestelsel gebruiken. Tijd-plaats-diagram In de bovenstaande figuur rijdt de fietser met een constante snelheid van m/s naar rechts. Op tijdstip t = 0 s passeert hij Jan. De hond verandert niet van plaats (op x = 1 m). We krijgen dan het tijd-plaatsdiagram dat hiernaast is afgebeeld. In deze paragraaf wordt dit diagram 1 genoemd. In tegenstelling tot wat gebruikelijk is in de natuurkunde, wordt de tijdas hier verticaal getekend. Dat heeft geen diepere betekenis en is meer een kwestie van gewoonte bij de relativiteitstheorie. Gebeurtenis en wereldlijn We introduceren nu de volgende twee begrippen die belangrijk zijn in de relativiteitstheorie. Een gebeurtenis is een fysische situatie of voorval op één bepaalde plaats en één bepaald tijdstip. Bijvoorbeeld: je klapt precies hier en precies nu in je handen. In het tijd-plaats-diagram wordt een gebeurtenis als een stip weergegeven. Zo stelt de stip in het diagram (x = 1 m en t = 4 s) een blaf van de hond voor. Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 1

Een wereldlijn is een lijn in het tijd-plaats-diagram die het verband tussen tijd en plaats van een voorwerp (of iets anders) weergeeft. Zie de twee lijnen die horen bij de fietser en de hond in het bovenstaande diagram. Omdat Jan in de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel zit (x = 0 m), is de tijdas de wereldlijn van Jan. Twee waarnemers W en W In het voorgaande voorbeeld was Jan een soort waarnemer die registreerde op welke plaats x de fietser en de hond zich bevonden op elk tijdstip t. We borduren hierop voort en laten de fietser nu ook waarnemer zijn. Jan heeft nog steeds de x-as als referentiestelsel en de fietser heeft de x -as (spreek uit: x-accent-as) als referentiestelsel. De fietser zit in de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel. Zie de volgende figuur waarin ook de x -as getekend is. Jan wordt met W aangeduid en de fietser met W (spreek uit: W-accent). De letter W staat voor waarnemer. Belangrijk is het om te beseffen dat de x-as als het ware vastzit aan W (Jan) en de x - as vastzit aan W (de fietser). Als W dus naar rechts rijdt, neemt hij zijn referentiestelsel mee. Het onderstaande linker tijd-plaats-diagram, aangeduid met diagram, geeft alle gebeurtenissen volgens waarnemer W weer. Langs de horizontale as staat x (dus met accent) en langs de verticale as t (ook met accent). In deze paragraaf is de tijd t voor waarnemer W gelijk aan de tijd t voor waarnemer W maar daar komt in de toekomst verandering in. Merk in het diagram op dat de wereldlijnen van Jan en de hond schuin staan. Voor waarnemer W hebben Jan en de hond een snelheid van (min) m/s. Omdat de fietser in de oorsprong van zijn eigen referentiestelsel zit (x = 0 m), is de t -as de wereldlijn van de fietser. Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu

Diagram wordt omgebouwd tot diagram 3 om redenen die dadelijk duidelijk worden. Diagram 3 volgt uit diagram door de t -as te kantelen zodat hij samenvalt met de wereldlijn van de fietser in diagram 1. De verticale rasterlijnen in diagram worden met dezelfde hoek gekanteld. De wereldlijnen van Jan en de hond komen zodoende verticaal te staan, net als in diagram 1. Merk op dat de x -as niet veranderd wordt. De overgang van diagram naar diagram 3 mag natuurlijk geen invloed hebben op de x - en t -waarden van een gebeurtenis. Dit is dan ook niet zo. Ga bijvoorbeeld na dat in beide diagrammen de hond blaft op x = 4 m en op t = 4 s. Het voordeel van diagram 3 is dat het gecombineerd kan worden met diagram 1 door beide diagrammen over elkaar heen te leggen. We krijgen dan het hiernaast afgebeelde diagram 4. Dit diagram bevat twee tijdassen, namelijk de t- en t -as, en twee plaatsassen, namelijk de x- en x -as. Deze laatste twee assen vallen samen. In diagram 4 zijn links van de t -as de rasterlijnen voor waarnemer W getekend en rechts van de t -as de rasterlijnen voor waarnemer W. Opmerking In volgende paragrafen maken we kennis met minkowskidiagrammen die ook twee tijdassen en twee plaatsassen bevatten. In deze diagrammen vallen noch de tijdassen, noch de plaatsassen samen. Galileï-transformatie De x- en t- waarden van een willekeurige gebeurtenis kunnen eenvoudig in de x - en t -waarden omgerekend worden en andersom. Dit is mogelijk met de zogenoemde Galileï-transformaties. Deze staan hieronder weergegeven. Hierin is v de snelheid van W ten opzichte van W. Neem het blaffen van de hond als voorbeeld. Voor deze gebeurtenis geldt: t = 4 s en x = 1 m. Volgens de galileï-transformatie van W naar W geldt dan: t = t = 4 s en x = x - v t = 1-4 = 4 m. Dat klopt precies met de waarde voor t en x die wij in het tijd-plaats-diagram aflezen. De vergelijking t = t wil zeggen dat de klokken van W en van W op een bepaald tijdstip gelijk zijn gezet en dat beide klokken daarna even snel zijn blijven lopen. Voor hoge snelheden (in de orde van de lichtsnelheid) geldt dit niet meer en moet de galileï-transformatie worden vervangen door de lorentztransformatie die breder toepasbaar is (zie de volgende paragrafen). Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 3

Voorbeeld van een opgave In de onderstaande figuur zit waarnemer W op een stoel naast een weg. Het referentiestelsel van W is de x-as, waarvan hij in de oorsprong (x = 0) zit. Waarnemer W rijdt in zijn auto met een snelheid van 10 m/s naar rechts. Het referentiestelsel van W is de x -as, waarvan hij in de oorsprong (x = 0) zit. Als W W passeert, stellen we de tijd van beiden op nul (t = t = 0). Op dat moment zien W en W op 40 m afstand een fietser met een snelheid van 5 m/s (ten opzichte van de weg) in hun richting fietsen. Na s komt de fietser ten val en blijft liggen. a. Maak een tijd-plaats-diagram vanuit het gezichtspunt van W. Teken de wereldlijnen van W en de fietser in dit diagram. b. Geef in het diagram duidelijk de t -as (behorende bij W ) aan. c. Bepaal uit het diagram op welke afstand van W de fietser ten val komt. Oplossing a. en b. Zie het diagram hiernaast. c. Volgens de stippellijn is de afstand 10 m (aflezen langs de horizontale as). Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 4

Opgaven bij 1 Opgave 1 Wat verstaan we onder een inertiaalstelsel? Opgave Wat verstaan we onder een gebeurtenis? Wat verstaan we onder een wereldlijn? Opgave 3 Geef aan of de volgende beweringen juist of onjuist zijn. a) Met de galileï-transformatie kunnen de coördinaten van een gebeurtenis bij grote snelheden omgerekend worden van het ene inertiaalstelsel in het andere inertiaalstelsel. b) De lorentztransformatie is een veralgemenisering van de galileï-transformatie. c) Een gebeurtenis wordt in een tijd-plaats-diagram als een lijn weergegeven. Opgave 4 In het tijd-plaats-diagram hiernaast staan een aantal wereldlijnen getekend. Geef van elke wereldlijn a t/m d de bijbehorende snelheid. Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 5

Opgave 5 In het onderstaande linker figuur rijdt waarnemer W in zijn kar langs waarnemer W die op de grond staat. Waarnemer W heeft de x-as en waarnemer W de x -as als referentiestelsel. Op het moment dat de oorsprong van beide assen samenvallen, begint de tijd te lopen. Het tijd-plaats-diagram van beide waarnemers is in de rechter figuur weergegeven. a. Bepaal de snelheid van W ten opzichte van W. De dikke stip in het diagram stelt een gebeurtenis voor. b. Bepaal uit het diagram de tijd en plaats van de gebeurtenis voor waarnemer W. Laat met een stippellijn in het diagram zien hoe je aan je antwoord komt. Opgave 6 Een auto rijdt met een constante snelheid van 70 km/h op een rechte weg. Op een bepaald moment rijdt de auto langs huis A. Op dat moment zetten de bewoner van het huis (waarnemer W) en de bestuurder van de auto (waarnemer W ) hun klok op nul en begint voor beiden de tijd te lopen. Na 0 minuten ontploft langs de weg huis B. De afstand tussen huis A en huis B bedraagt 40 km. a. Bereken met de galileï-transformatie hoe ver huis B van de auto verwijderd is op het moment van de ontploffing. Na 35 minuten (vanaf het startmoment van de tijd) ziet de autobestuurder 6 km voor zich een luchtballon opstijgen. b. Bereken met de galileï-transformatie hoever deze gebeurtenis van huis A af ligt. Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 6

Opgave 7 In de onderstaande figuur zit Jan op een stoel. Hij heeft de x-as als referentiestelsel waarvan hijzelf in de oorsprong zit. Piet loopt naar rechts met een snelheid van 1 m/s. Hij heeft de x -as als referentiestelsel waarvan hij zelf in de oorsprong zit. Op het moment dat Piet langs Jan loopt (dus als x = x = 0 m), zetten Jan en Piet hun tijden op 0 s (dus t = t = 0 s). Twee seconden nadat Piet langs Jan loopt (dus als t = t = s), schopt Piet een voetbal met een snelheid van 3 m/s (gerekend ten opzichte van de grond) naar rechts. a. Teken in het t-x-diagram hiernaast de wereldlijn van Piet. Omdat dit de t -as is, kun je langs deze lijn t en (s) zetten. b. Teken in het t-x-diagram hiernaast de wereldlijn van de bal die door Piet wordt weggeschopt. Klaas staat 9 m rechts van Jan (dus op x = 9 m). Op het moment dat Piet Jan passeert, gooit Klaas een schoen met een snelheid van 1 m/s in de richting van Jan en Piet. c. Teken de wereldlijn van deze schoen. d. Bepaal aan de hand van het diagram op welke plaats in Piets referentiestelsel de voetbal en de schoen elkaar passeren (zonder te botsen). Geef je werkwijze met een stippellijn weer. Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 7

Opgave 8 In het tijd-plaats-diagram hiernaast staan de tijdas en plaatsas niet loodrecht op elkaar. In de volgende paragrafen maken we kennis met zulke diagrammen. De coördinaten van een gebeurtenis kunnen worden bepaald met behulp van rasterlijnen die evenwijdig aan de tijdas en plaatsas lopen. Zo zijn de coördinaten van de dikke stip x = m en t = 4 s. Ga dat na. a. Teken in het diagram de wereldlijn van een man waarvoor het volgende geldt. Tussen t = 0 s en t = s staat hij stil op x = m. Tussen t = s en t = 4 s loopt hij met een snelheid van 1 m/s naar rechts (in de positieve richting van de x-as). Tussen t = 4 s en t = 6 s loopt hij met een snelheid van 1 m/s naar links. b. Over welke afstand heeft de man zich tussen t = 0 s en t = 6 s verplaatst? Theorie Relativiteit, Referentiestelsels; Galileï-transformatie, www.roelhendriks.eu 8

Postulaten van de speciale relativiteitstheorie De lichtsnelheid Als we in een kamer het licht aandoen, is meteen de hele kamer verlicht. Wij ervaren de lichtsnelheid als oneindig groot, maar dat is in feite onjuist. Het licht moet namelijk van de lamp naar de muren reizen, terugkaatsen en in je oog terecht komen. Dit kost gewoon tijd. In het verleden is de lichtsnelheid op een aantal verschillende manieren bepaald. In 1849 vond de Franse natuurkundige Fizeau een snelheid van ongeveer 300 duizend kilometer per seconde. Tegenwoordig is de lichtsnelheid exact 99.79.458 meter per seconde, omdat de meter nu gedefinieerd is aan de hand van de lichtsnelheid. In de negentiende eeuw wist men al dat licht zich voortbewoog als een soort golf. Men nam aan dat licht een soort geheimzinnige tussenstof nodig had om zich in voort te planten. Dat was bij alle andere golfverschijnselen namelijk ook het geval. Zo had geluid bijvoorbeeld lucht nodig om zich in voort te planten en zeegolven bijvoorbeeld water. Men noemde deze onbekende tussenstof voor licht de ether. Met experimenten kon men het bestaan van de ether echter niet aantonen en in het begin van de twintigste eeuw werd het voor alle natuurkundigen duidelijk dat licht géén tussenstof nodig heeft en dat de ether niet bestaat. Daardoor is licht als golfverschijnsel zeer bijzonder en vormt de lichtsnelheid de basis voor de relativiteitstheorie. Bepaling van de lichtsnelheid door Fizeau (1849) In 1849 bepaalde Armand Fizeau in Parijs de lichtsnelheid met de opstelling zoals hiernaast is getekend. Hij stond samen met zijn kijker op Montmartre. Bijna 9 km verderop, op de Mont Valérien à Suresnes, stond een spiegel. De figuur hiernaast geeft de schematische voorstelling van de opstelling. Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 9

Het licht van een continue lichtbron viel op een bolle lens en vervolgens op een halfdoorlatende spiegel. Deze reflecteerde de helft van het licht; de andere helft werd doorgelaten. Het doorgelaten licht is niet getekend en doet verder niet ter zake. De gereflecteerde lichtbundel kwam in een punt samen ter plaatse van een tandwiel. Als het tandwiel stilstond, viel het licht tussen twee tanden door. Via twee lenzen kwam de bundel op een spiegel terecht die 8633 m verderop stond. Na terugkaatsing legde het licht de omgekeerde weg af terug naar de halfdoorlatende spiegel. Het doorgelaten deel van de lichtbundel kwam via een lens in het oog van Fizeau. De gereflecteerde helft doet verder niet ter zake. Om de lichtsnelheid te bepalen, liet Fizeau het tandwiel draaien met een steeds groter wordend toerental. Bij een bepaald toerental viel de teruggekaatste lichtbundel, die op de heenweg tussen twee tanden doorgegaan was, op de volgende tand van het tandwiel en zag Fizeau niets meer. Uit dit toerental kon Fizeau de lichtsnelheid berekenen. Postulaten van de speciale relativiteitstheorie De speciale relativiteitstheorie gaat over de manier waarop we gebeurtenissen waarnemen, met name over de manier waarop voorwerpen en gebeurtenissen worden waargenomen vanuit verschillende inertiaalstelsels die een grote snelheid ten opzichte van elkaar hebben. Het gaat bijvoorbeeld over hoe processen in een raket, die met een zeer grote snelheid van de aarde af beweegt, door aardbewoners worden waargenomen. De speciale relativiteitstheorie beperkt zich tot constante snelheden en dus ook tot constante snelheidsverschillen. In dit opzicht verschilt de speciale relativiteitstheorie van de algemene relativiteitstheorie waarin versnellingen centraal staan. De speciale relativiteitstheorie van Einstein heeft twee postulaten (uitgangspunten). Een postulaat is een onbewezen stelling die algemeen wordt geaccepteerd. Deze postulaten zijn de volgende: 1. De wetten van de natuurkunde zijn in elk inertiaalstelsel dezelfde.. De lichtsnelheid in vacuüm is in elk inertiaalstelsel gelijk. Het eerste postulaat wordt ook wel het relativiteitsprincipe genoemd. De natuurkundigen Galileï en Newton waren ook al van dit principe doordrongen. Bijvoorbeeld gelden de drie wetten van Newton en de wet van Snellius in elk inertiaalstelsel. Het eerste postulaat zegt eigenlijk ook dat alle inertiaalstelsels onderling volkomen gelijkwaardig zijn. Daarom kun je van geen enkel inertiaalstelsel zeggen dat het in absolute rust verkeert, want een dergelijk stelsel zou dan een bijzondere status t.o.v. de andere stelsels hebben. Het tweede postulaat was begin 0-ste eeuw echter geheel nieuw. Dat postulaat vloeit voort uit experimenten die omstreeks 1900 met licht zijn uitgevoerd. De lichtsnelheid in vacuüm wordt met c aangeduid en bedraagt (afgerond): 8 c = 3 10 m/s. Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 10

Het tweede postulaat komt niet overeen met onze belevingswereld. Neem de onderstaande figuren. Links is een situatie getekend die wij ons goed kunnen voorstellen. Een fietsende man gooit een bal naar voren met een snelheid van 10 km/h. Als hij met een snelheid van 0 km/h fietst, heeft de bal voor iemand die op de weg staat een snelheid van 30 km/h. Je kunt de snelheid van de fietser en de snelheid van de bal ten opzichte van de fietser gewoon bij elkaar optellen. De rechter tekening geeft de situatie voor licht weer. Een raket vliegt met een enorme snelheid, zeg de halve lichtsnelheid, langs de aarde. De raket zendt een lichtstraal in de bewegingsrichting uit. Voor zowel de aardbewoner als ook voor de astronaut in de raket heeft het licht dan de lichtsnelheid. In tegenstelling tot de bal in de linker situatie heeft licht voor alle waarnemers dezelfde snelheid. Gelijktijdigheid is geen absoluut begrip Het tweede postulaat heeft verstrekkende gevolgen die vaak tegen onze intuïtie ingaan. Een voorbeeld hiervan betreft de gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen. Dat wordt hieronder toegelicht. In de onderstaande figuur staat Jan op de grond en staan Piet en Bram in een trein die met een zeer grote snelheid naar rechts rijdt. Precies in het midden tussen Piet en Bram hangt een lamp aan het plafond. Op een bepaald moment zendt deze lamp een lichtflits in beide richtingen uit. Na korte tijd zullen Piet en Bram deze lichtflitsen ontvangen. Volgens Piet en Bram komen de lichtflitsen gelijktijdig bij hen aan. Vanuit hun gezichtspunt komt het licht met de lichtsnelheid c naar ieder van hen toe. Omdat de lamp precies in het midden hangt, legt het licht naar Piet een even grote afstand af als naar Bram. Echter, volgens Jan komt de lichtflits eerder bij Piet dan bij Bram aan. Jan ziet (net als Piet en Bram) het licht met de lichtsnelheid c naar links en naar rechts gaan. Het licht heeft enige tijd nodig om Piet en Bram te bereiken. In die tijd beweegt Piet naar de lamp toe en beweegt Bram van de lamp af. Kortom, het licht van de lamp hoeft een kortere afstand te overbruggen om Piet te bereiken dan om Bram te bereiken. Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 11

Uit dit gedachte-experiment blijkt dat wat voor de ene waarnemer gelijktijdig is, voor de andere waarnemer helemaal niet gelijktijdig hoeft te zijn. Gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen is dus geen absoluut begrip! We zien nu in dat het gelijkstellen van de tijden t en t, zoals we in de vorige paragraaf nog deden, niet meer voortgezet kan worden. In de volgende paragrafen komt dit uitvoerig aan bod. Als we het in deze en in de volgende paragrafen over gelijktijdigheid van twee gebeurtenissen hebben, wordt rekening gehouden met de tijd, die het licht nodig heeft om van de gebeurtenissen naar (de ogen van) de waarnemer te gaan. Neem bijvoorbeeld de onderstaande figuur. Stel dat de twee lampen L1 en L ieder een lichtflits uitzenden en dat de lichtflits van L1 eerder bij Johanna aankomt dan de lichtflits van L. Dan kan Johanna toch tot de conclusie komen dat L1 en L hun lichtflitsen gelijktijdig uitzonden of zelfs dat L zijn lichtflits eerder uitzond. Je kan het je ook zo voorstellen. Johanna heeft heel veel vrienden die overal in de ruimte staan en ten opzichte van haar in rust zijn. Iedere vriend heeft een eigen klok die gelijk loopt met de klok van Johanna. Als er ergens een gebeurtenis plaatsvindt, zal de vriend, die op die plek staat, de tijd van de gebeurtenis registreren en deze aan Johanna doorgeven. Opmerking In de volgende paragrafen zullen we zien dat een waarnemer, die met een grote snelheid ten opzichte van Johanna beweegt, vindt dat de klokken van Johanna en haar vrienden niet gelijk lopen. Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 1

Opgaven bij Opgave 1 Bereken hoelang het licht erover doet om bij de proef van Fizeau heen en weer te gaan als je uitgaat van een lichtsnelheid van 3,00 10 8 m/s. Neem als afstand tussen beide delen van de opstelling 8633 m. Opgave Fizeau maakte gebruik van een tandwiel met 70 tanden. Fizeau zag net niets meer bij een omloopfrequentie van 1,6 Hz. a. Bereken met deze gegevens de tijd die het licht nodig had om heen en weer te gaan. b. Bereken welke waarde Fizeau voor de lichtsnelheid vond. Neem weer als afstand tussen beide delen van de opstelling 8633 m. Opgave 3 Noem de twee postulaten van de speciale relativiteitstheorie. Opgave 4 Leg met behulp van het tweede postulaat van de relativiteitstheorie uit dat iemand zich nooit met de lichtsnelheid ten opzichte van iemand anders kan verwijderen. Opgave 5 Een lichtseconde (symbool: ls) is gedefinieerd als de afstand die het licht in 1 seconde aflegt. Hoe lang is 1 ls? Op dezelfde manier is een lichtjaar (symbool ly van lightyear ) gedefinieerd. Bereken hoe groot 1 ly is, uitgedrukt is meter. Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 13

Opgave 6 De eerste degelijke meting van de lichtsnelheid werd uitgevoerd door de Deen Ole C. Rømer in 1676, door observaties van de maan Io van Jupiter. Net zoals de drie andere grote manen van Jupiter (die toen reeds bekend waren) beweegt Io op regelmatige tijdstippen door de schaduw van de planeet Jupiter. Zie de figuur hiernaast. Io is dan plotseling niet meer zichtbaar. Rømer zag dat, naarmate de afstand tussen Jupiter en de aarde groter werd, het tijdstip van verdwijning steeds iets later gebeurde dan wat men zou verwachten. Dat kwam omdat het licht van iets verder moest komen. Wanneer de afstand tussen Jupiter en de aarde weer kleiner werd, kwamen de verdwijningen van Io weer naar voren in de tijd. Rømer vond dat de verdwijning van Io bij een maximale afstand tussen Jupiter en de aarde minuten later plaats vond dan bij een minimale afstand tussen Jupiter en de aarde. In die tijd schatte men de afstand aarde-zon op 140 miljoen km. Neem aan dat de afstand van Jupiter tot de zon niet verandert. Bereken met deze gegevens de snelheid van het licht en bereken hoeveel procent deze waarde afwijkt van de correcte lichtsnelheid. Opgave 7 In de onderstaande figuur rijdt Jan in zijn supersnelle trein naar rechts. Links en rechts in de trein hangen de lampen L1 en L. Jan staat op gelijke afstand van L1 en L. Langs de kant staat Sjoerd. Terwijl de trein langs Sjoerd rijdt, zenden L1 en L ieder een lichtflits uit. Het licht komt gelijktijdig bij Jan aan; daar zijn Jan en Sjoerd het over eens en dit is het uitgangspunt van deze opgave. Voor Jan zenden L1 en L hun flitsen gelijktijdig uit en voor Sjoerd zendt L1 zijn flits eerder uit dan L. a. Leg uit dat voor Jan de lichtflitsen gelijktijdig door L1 en L uitgezonden moeten zijn. Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 14

b. Leg uit dat voor Sjoerd L1 zijn lichtflits eerder moet hebben uitgezonden dan L. Opgave 8 In de onderstaande figuur rijdt een trein met grote snelheid naar rechts. In de trein bevindt Piet zich links en een spiegel rechts. Boven Piet hangt een lamp die een lichtflits uitzendt. Het licht wordt door de spiegel teruggekaatst en vervolgens door Piet waargenomen. We onderscheiden de heenreis van het licht (van lamp naar spiegel) en de terugreis van het licht (van spiegel naar Piet). a. Leg uit dat de snelheid v van de trein geen invloed heeft op de door Piet waargenomen tijdsduur van de heenreis en van de terugreis van het licht. Jan staat langs de rails. b. Leg uit dat de snelheid v van de trein wel invloed heeft op de door Jan waargenomen tijdsduur van de heenreis en van de terugreis van het licht. Theorie Relativiteit, Postulaten van de speciale relativiteitstheorie, www.roelhendriks.eu 15

3 Tijdsduurrek Lichtklok Omdat de tijd een zeer belangrijke grootheid in de speciale relativiteitstheorie is, voeren we de zogenoemde lichtklok in. Zie de figuur hiernaast. Een lichtklok bestaat uit twee evenwijdige spiegels en een lichtpuls (foton) die continu tussen twee spiegels op en neer beweegt. De afstand tussen de twee spiegels is met D aangegeven. De klokperiode is de tijd die het licht erover doet om één keer op en neer te gaan. Zoals we hierna zullen zien, is deze klokperiode langer voor een waarnemer die de klok ziet bewegen dan voor een waarnemer die stilstaat ten opzichte van de klok. Tijdsduurrek In de onderstaande figuren is een kar afgebeeld waar een verticaal staande lichtklok ingebouwd is. De kar rijdt met zeer hoge snelheid v op een weg naar rechts. We nemen gemakshalve aan dat de luchtwrijving in dit voorbeeld geen rol speelt, want anders lukt het nooit om met de kar een zeer hoge snelheid te bereiken. Er zijn twee waarnemers W en W. Waarnemer W staat in de kar en ziet het licht verticaal op en neer gaan. Dit is in de linker figuur weergegeven. Voor hem legt het licht in een klokperiode een afstand D af. Waarnemer W staat langs de weg en ziet het licht niet alleen op en neer gaan maar ook opzij gaan. In de rechter figuur is de terugweg van het licht ten behoeve van de inzichtelijkheid gestippeld getekend in het verlengde van de schuin omhoog gaande weg. Voor waarnemer W legt het licht in een klokperiode een afstand S af. Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu 16

Voor de klokperiode Δt 0 voor waarnemer W geldt (met c = lichtsnelheid): D t 0 = c Voor de klokperiode Δt voor waarnemer W geldt: S t = c Omdat afstand S groter is dan afstand D, is de klokperiode Δt voor de waarnemer langs de weg groter is dan de klokperiode Δt 0 voor de waarnemer in de kar. We noemen Δt 0 de eigentijd. Het verschijnsel dat Δt groter is dan Δt 0 heet tijdsduurrek, tijdrek of tijddilatatie. We kunnen het verband tussen Δt en Δt 0 gemakkelijk afleiden. In klokperiode Δt beweegt de kar naar rechts over een afstand v Δt waarbij v de snelheid van de kar ten opzichte van W is. Volgens de wet van Pythagoras geldt dan: ( S) = ( v t) + ( D). Deze vergelijking kan worden herschreven als: ( c t) = ( v t) + ( c t0 ). Hieruit volgt: v t t = t o. c Hieruit volgt: Alle processen verlopen trager in een bewegend systeem In het bovenstaande voorbeeld hebben we gekeken naar de periode van de klok in de kar. Voor waarnemer W langs de weg is deze klokperiode groter dan voor waarnemer W in de kar. Voor waarnemer W loopt de klok in de kar dus langzamer dan voor waarnemer W. Dit heeft betrekking op alle (!) verschijnselen in de kar. Voor waarnemer W verlopen alle verschijnselen in de kar in een soort slow motion film. Neem als voorbeeld een lekkende kraan in de kar die volgens W enkele druppels per minuut laat vallen. W ziet ook druppels vallen, alleen komen de druppels met een trager ritme uit de kraan. Hetzelfde geldt voor een bal die met de kar meebeweegt en daar loodrecht naar beneden valt. W ziet de bal ook vallen, alleen langzamer. Merk op dat vanwege de symmetrie (denk aan het eerste postulaat) we met evenveel recht mogen zeggen dat voor een waarnemer in de kar alle verschijnselen langs de kant van de weg zich als het ware in slow motion afspelen. Samengevat geldt het volgende. Voor een waarnemer verlopen alle processen in een voor hem bewegend systeem langzamer. Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu 17

Rekenvoorbeeld In de kar in het bovenstaande voorbeeld bevindt zich een hoeveelheid polonium-10. Deze isotoop is radioactief met een halveringstijd van 138 dagen. In dit kader is de 138 dagen de eigentijd. Als de kar een snelheid van 70% van de lichtsnelheid heeft, is de halveringstijd voor de waarnemer op straat als volgt te berekenen. to 138 d t = = = 193 d v 1 0,70 1 c Vertrek en aankomst van een reis als gebeurtenissen zien In de onderstaande figuur rijdt een kar, die voorzien is van een lichtklok, met hoge snelheid v op een weg en passeert daarbij eerst vlag A en daarna vlag B. Waarnemer W staat in de kar en voor hem is de tijdsduur tussen het passeren van beide vlaggen Δt 0. Deze tijd wordt weer de eigentijd genoemd. Waarnemer W staat langs de kant van de weg en voor hem is de tijdsduur tussen het passeren van de vlaggen Δt. Tijdsduur Δt is altijd groter dan tijdsduur Δt 0 en zou de uitgerekte tijd kunnen worden genoemd. Stel bijvoorbeeld dat het licht in de lichtklok gedurende de rit tussen vlag A en vlag B 0 keer op en neer is gegaan (0 klokperiodes dus). Voor waarnemer W duurt elke klokperiode langer dan voor waarnemer W, dus duren alle 0 klokperiodes samen voor W ook langer. Het verband tussen Δt en Δt 0 wordt door de onderstaande formule gegeven die wij hiervoor ook reeds tegenkwamen. We kunnen het passeren van vlag A en het passeren van vlag B beschouwen als twee gebeurtenissen. De eigentijd wordt door iemand gemeten die beide gebeurtenissen op dezelfde locatie ziet. In ons voorbeeld passeert waarnemer W (in de kar) vlag A en vlag B op dezelfde plaats ten opzichte van zijn eigen referentiestelsel (dat met hem verbonden is). De uitgerekte tijd wordt door iemand gemeten die de gebeurtenissen op verschillende locaties ziet plaatsvinden. Zoals we hierna bij het behandelen van het ruimtetijdinterval zullen zien, heeft de eigentijd altijd de kleinste waarde. Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu 18

Rekenvoorbeeld Een raket beweegt van ster A naar ster B met de halve lichtsnelheid. De sterren staan stil ten opzichte van elkaar. Voor de bemanning van de raket duurt de reis,0 jaar. Voor een waarnemer die stilstaat ten opzichte van ster A (en ster B) kan de reistijd als volgt berekend worden. v = 0,5 c Dus geldt: to,0 jaar t = = =,3 jaar. v 1 0,5 1 c Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu 19

Opgaven bij 3 Opgave 1 Een ver sterrenstelsel dat met grote snelheid ten opzichte van ons beweegt, zien wij in een vroeg stadium van zijn ontwikkeling. Dit komt onder andere omdat het licht er een tijd over doet om ons te bereiken. Geef een tweede oorzaak hiervan. Opgave Beschouw de lekkende kraan in de bewegende kar. Voor de stilstaande waarnemer vallen er per minuut minder druppels naar beneden. Neem aan dat de druppels vrijwel meteen de stationaire valsnelheid hebben bereikt en dus eenparig vallen. Toch constateert de stilstaande waarnemer dezelfde verticale afstand tussen twee opeenvolgende vallende druppels als de meebewegende waarnemer! Hoe kun je dit beredeneren? Opgave 3 Deze opgave gaat over de zogenoemde tweelingparadox. Jan en Jim zijn tweelingen. Jan heeft een hekel aan reizen en blijft thuis. Jim is astronaut en vliegt in zijn raket met bijvoorbeeld 80% van de lichtsnelheid naar de dichtstbijzijnde ster. Op een gegeven moment komt Jim daar aan. Welke van de onderstaande beweringen is of zijn juist. A. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis langzamer dan hijzelf. B. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis sneller dan hijzelf. C. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis langzamer dan hijzelf. D. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis sneller dan hijzelf. Na korte tijd besluit Jim terug te gaan naar de aarde en doet dat met dezelfde snelheid als op de heenreis. Welke van de onderstaande beweringen is of zijn juist. A. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis langzamer dan hijzelf. B. Vanuit Jans gezichtspunt veroudert Jim gedurende de reis sneller dan hijzelf. C. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis langzamer dan hijzelf. D. Vanuit Jims gezichtspunt veroudert Jan gedurende de reis sneller dan hijzelf. Licht je keuzes kort toe. Bij thuiskomst is Jim nog in de kracht van zijn leven terwijl Jan al een oude man is. Leg uit waarom de speciale relativiteitstheorie wel voor Jan geldt maar niet voor Jim? Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu 0

Opgave 4 Stel je hebt in een stilstaand referentiestelsel identieke klokken op grote afstand van elkaar. Je wilt controleren of beide klokken precies dezelfde tijd aanwijzen. Je twijfelt tussen twee methoden. Bij de eerste methode houd je een draagbare klok eerst bij de ene klok en beweeg je hem daarna met een flinke snelheid naar de andere klok. Als beide klokken gelijk lopen met de draagbare, lopen ze ook onderling precies gelijk. Bij de tweede methode plaats je jezelf precies halverwege beide klokken en lees je (eventueel met een telescoop) beide klokken af. Welke methode heeft jouw voorkeur en waarom? Opgave 5 Jan vliegt met zijn raket van planeet A naar planeet B met een snelheid van 80% van de lichtsnelheid. Jan meet zelf een reistijd van 55 s. Bereken de reistijd volgens de bewoners van planeet A. Opgave 6 Stel dat een instabiele atoomkern een bètadeeltje uitzendt met een snelheid van 99% van de lichtsnelheid en dat het bètadeeltje 50 cm door de lucht gaat. Bereken dan de tijdsduur van de beweging volgens de waarnemer die met het bètadeeltje meereist. Neem aan dat de snelheid gedurende de gehele afstand 99% van de lichtsnelheid is. Opgave 7 Peter rijdt met zijn superauto door een lange tunnel en meet hoeveel tijd hij daarvoor nodig heeft. Paul staat stil ten opzichte van de tunnel en meet ook hoeveel tijd Peter nodig heeft om door de tunnel te gaan. De waargenomen tijd van Paul ligt 30% hoger dan die van Peter zelf. Bereken de snelheid van Peter, uitgedrukt als percentage van de lichtsnelheid. Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu 1

Opgave 8 Muonen zijn elementaire deeltjes met een gemiddelde levensduur van, μs. Deze, μs is de eigen tijd, dus waargenomen door een waarnemer die ten opzichte van de muonen stilstaat. Muonen worden op 10 km hoogte in de dampkring gecreëerd door kosmische straling. a. Toon aan dat muonen in hun eigen referentiestelsel gemiddeld een afstand kunnen afleggen van 660 m als zij met de lichtsnelheid zouden gaan. Zonder kennis van de relativiteitstheorie zou je verwachten dat muonen het aardoppervlak nooit kunnen bereiken. Toch is dat onjuist vanwege het verschijnsel tijdsduurrek. Stel dat een muon de dampkring doorloopt met een snelheid van 99,9% van de lichtsnelheid. b. Bereken dan de levensduur van dit muon gezien vanuit een waarnemer op aarde. c. Toon aan dat het muon de dampkring (zeg 10 km dik) wel kan doorlopen als je vanuit de waarnemer op aarde kijkt. Opgave 9 In de figuur hiernaast beweegt atoom A met grote snelheid v voor de stilstaande waarnemer W langs. W is symbolisch als een oog getekend. Op het moment dat de afstand tussen A en W het kleinst is, zendt A een foton (= lichtdeeltje) uit. In het referentiestelsel van het atoom heeft dit foton frequentie f o. Simpel gezegd zijn er dan f o trillingen per tijdseenheid (seconde) in het foton. Echter, snelheid v is zo hoog, dat alle processen voor W merkbaar langzamer verlopen en dat de door W waargenomen frequentie lager is. Dit effect staat bekend als het transversale dopplereffect. Stel nu dat A met 75% van de lichtsnelheid beweegt en dat de f o gelijk is aan 1,0 10 15 Hz. Bereken dan de frequentie van het foton voor W. Theorie Relativiteit, Tijdsduurrek, www.roelhendriks.eu

4 Lengtekrimp Lengtekrimp In deze paragraaf kijken we naar de lengte van voorwerpen en de afstand tussen twee punten in de ruimte zoals deze worden waargenomen door verschillende waarnemers. In de figuren hiernaast zien we nogmaals de kar met lichtklok uit de vorige paragraaf. Waarnemer W langs de weg ziet de kar naar rechts bewegen met snelheid v. Voor hem is de afstand tussen de vlaggen L o. Dit gezichtspunt is in de bovenste figuur getekend. Voor de waarnemer W in de kar beweegt de weg met vlaggen naar achteren (naar links) met snelheid v. Voor hem is de afstand tussen de vlaggen L. Dit gezichtspunt is in de onderste figuur getekend. Het feit dat zowel W als W de relatieve snelheid v waarnemen, volgt uit het eerste postulaat van de relativiteitstheorie. Volgens dit postulaat hebben de fysische wetten in elk inertiaalstelsel dezelfde vorm. Dit betekent dat alle inertiaalstelsels gelijkwaardig zijn en er symmetrie is voor de waargenomen snelheden. In de vorige paragraaf hebben we gezien dat de reistijd van A naar B voor W korter is dan die voor W. Aangezien de snelheden voor beide waarnemers gelijk zijn (v), is dus ook de afstand tussen de vlaggen voor W kleiner dan die voor W. We noemen dit verschijnsel lengtekrimp of lorentzcontractie. Wat hier de afstand tussen twee vlaggen is, kan in andere situaties de lengte van een voorwerp zijn. Algemeen geldt het volgende. De lengte van een voorwerp (of de afstand tussen twee vaste punten in de ruimte) wordt kleiner, als dit voorwerp een grote snelheid ten opzichte van de waarnemer heeft. De lengtekrimp vindt overigens alleen plaats in de bewegingsrichting (niet loodrecht daarop). Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu 3

Formule voor de lengtekrimp We kijken nogmaals naar het bovenstaande voorbeeld. Voor W (langs de weg) heeft de kar de tijdsduur Δt nodig om van vlag A naar vlag B te gaan. Voor de door hem waargenomen afstand L o geldt dan: L o = v t. Voor W (in de kar) duurt het Δt o om van vlag A naar vlag B te gaan. Voor de door hem waargenomen afstand tussen de vlaggen geldt dan: L = v. t o Het verband tussen Δt en Δt o hebben we in de vorige paragraaf afgeleid en is: to t =. v 1 c Hieruit volgt het volgende verband tussen L en L o. In deze formule is L o de eigenlengte van een voorwerp (of de afstand tussen twee vaste punten in de ruimte). Hij wordt gemeten door een waarnemer die in rust is ten opzichte van het voorwerp. De lengte L van het voorwerp wordt gemeten door een waarnemer die een snelheid v ten opzichte van het voorwerp heeft. De lengtekrimp vindt alleen plaats in de bewegingsrichting. Zo zou een snelvliegend vliegtuig wel korter worden en dus de staart dichter bij de neus komen, maar de spanwijdte blijft gelijk. Ook verandert de hoogte van de cockpit niet. Rekenvoorbeeld Een raket vliegt met een snelheid van 70% van de lichtsnelheid in de richting van een staaf. De staaf heeft een eigenlengte van 140 cm en heeft dezelfde lengterichting als de raket. De door de mensen in de raket waargenomen lengte is: v L = Lo 1 = 140 cm 1 0,70 = 100 cm c Opmerking In deze paragraaf wordt het symbool L voor de afstand gebruikt. In een van de volgende paragrafen wordt het ruimtetijdinterval besproken en daarbij wordt het symbool Δx voor afstand gebruikt. Het verschil zit m in het feit dat L de afstand tussen twee vaste punten in de ruimte is (zoals de uiteinden van een staaf) en Δx de afstand tussen twee gebeurtenissen. Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu 4

Lorentzfactor De factor waarmee de tijdsduur uitrekt en waarmee de lengte van een voorwerp kleiner wordt, wordt de lorentzfactor genoemd en wordt vaak aangeduid met de Griekse letter γ (gamma). Voor de lorentzfactor geldt dus: 1 γ =. v 1 c De formule voor de tijdsduurrek wordt dan: De formule voor de lengtekrimp wordt dan: t = γ t. o L L = o. γ De verhouding van de snelheid v en de lichtsnelheid c wordt vaak met de Griekse letter β (bèta) aangeduid. Hiervoor geldt dus: v β =. c Het verband tussen γ en β is dus: 1 γ = 1 β Het diagram hiernaast toont grafisch hoe γ van β afhangt. Bij β = 0,70 lezen we uit het diagram af: γ = 1,4. Tijdsduurrek en lengtekrimp vinden dan plaats met factor 1,4. Zo is in het voorgaande voorbeeld de staaf met een factor 1,4 korter geworden (van 140 cm naar 100 cm). Merk op dat, als de snelheid v veel kleiner is dan de lichtsnelheid, de waarde van β naar nul nadert en γ dus naar de waarde 1 nadert. Dat betekent dat tijdsduurrek en lengtekrimp dan nauwelijks optreden. We zien heel eenvoudig dat alle in het normale leven optredende snelheden (denk aan treinen, auto s, vliegtuigen, raketten etc.) veel te klein zijn t.o.v. de lichtsnelheid om tot een merkbaar verschil te komen tussen twee waarnemers. Dat verklaart dat in de eeuwen voor de ontdekking van de relativiteitstheorie niemand ooit deze verschillen heeft bemerkt. Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu 5

Opgaven bij 4 Opgave 1 Een piloot vliegt in zijn raket met een snelheid van 40% van de lichtsnelheid. De raket is volgens de piloot 50 m lang. Bereken hoe lang de raket is volgens de waarnemer op de grond. Bereken de snelheid van de raket als deze voor de waarnemer op de grond 40 m lang is. Druk de snelheid uit in de lichtsnelheid. Opgave Muonen zijn elementaire deeltjes die op 10 km hoogte in de dampkring ontstaan en een gemiddelde levensduur van, μs hebben. Hun snelheid ligt dicht bij de lichtsnelheid. Zonder relativiteitstheorie kunnen muonen het aardoppervlak niet bereiken; zelfs niet als zij met de lichtsnelheid zouden gaan. Toch bereiken ze het aardoppervlak wel! Vanuit het oogpunt van de waarnemer op het aardoppervlak kan dat verklaard worden met tijdsduurrek waardoor de gemiddelde levensduur van een muon veel groter wordt. Vanuit het oogpunt van de meereizende waarnemer (ten opzichte waarvan het muon stilstaat) kan dat verklaard worden met lengtekrimp omdat de dampkring veel dunner wordt. Deze opgave bekijkt de dampkring vanuit het oogpunt van de meereizende waarnemer. Stel dat de dampkring 10 km dik is vanuit het oogpunt van de waarnemer op het aardoppervlak. Bereken dan de dikte van de dampkring vanuit het oogpunt van het muon. Ga er daarbij vanuit dat het muon met 99,9% van de lichtsnelheid door de dampkring beweegt. Toon vervolgens aan dat het muon het aardoppervlak wel bereikt. Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu 6

Opgave 3 De Concorde was een zeer snel passagiersvliegtuig dat met twee keer de geluidssnelheid (mach ) tussen onder andere Londen en New York vloog en hier slechts drie en een half uur voor nodig had. De afstand tussen London en New York bedraagt 5576 km. Stel dat het vliegtuig de overtocht maakt met een kruissnelheid van 158 km/h. Bereken dan hoeveel korter de afstand tussen London en New York wordt voor de mensen in het vliegtuig ten gevolge van de lengtekrimp. 1 Gebruik eventueel de benadering 1 β = 1 β die opgaat als β veel kleiner is dan 1. Opgave 4 Deze opgave gaat over de zogenoemde ladderparadox. Stel dat een ladder even lang is als een schuur. Waarnemers W en W doen een experiment. Waarnemer W staat stil naast de schuur. Waarnemer W pakt de ladder op en rent met een enorme snelheid (in de orde van de lichtsnelheid) door de schuur met de ladder onder zijn arm. Zie de onderstaande figuren. Nu doet zich iets interessants voor. Waarnemer W ziet de ladder voorbij vliegen en voor hem is de ladder korter geworden (lengtekrimp). Voor hem past de ladder nu makkelijk in de schuur. Op het moment dat de ladder zich in de schuur bevindt, sluit hij gelijktijdig beide deuren van de schuur heel even. Deze situatie is in de linker figuur getekend. Daarna opent hij de deuren weer. Waarnemer W ziet dat niet de ladder maar juist de schuur korter geworden is. Voor hem is het dus onmogelijk dat beide deuren tegelijkertijd gesloten zijn terwijl hij met de ladder in de schuur zit. Bedenk de oplossing voor deze paradox. Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu 7

Opgave 5 Een kubusvormig blok beton van 1 m bij 1 m bij 1 m wordt op een treinwagon geladen. Bereken het volume van de kubus voor jou als de wagon (met kubus erop) met 90% van de lichtsnelheid langs je rijdt. Opgave 6 Zoals in de tekst besproken is, treedt lengtekrimp alleen op voor afmetingen in dezelfde richting als de snelheid. Met dit in het achterhoofd kijken we naar een wiel dat zeer snel ronddraait. Zie de figuur hiernaast. Bij voldoende grote snelheid verandert de omtrek van de baan wel terwijl de straal gelijk blijft. Wat heeft dit voor gevolgen voor pi (= omtrek gedeeld door diameter)? Opgave 7 In deze opgave tonen we aan dat lengtekrimp alleen optreedt in de bewegingsrichting en dus niet in de twee andere richtingen loodrecht op de bewegingsrichting. We beschouwen daartoe een vrachtwagen die in een tunnel rijdt. In stilstand is de vrachtwagen net zo hoog als de tunnel. Waarnemer W staat stil in de tunnel en waarnemer W rijdt in de vrachtwagen mee. Neem bijvoorbeeld aan dat een bewegend voorwerp lager wordt, als het in horizontale richting beweegt. Kies dan onder die aanname het juiste woord in de volgende zinnen. Voor waarnemer W wordt de vrachtwagen/tunnel lager en ontstaat er dus wel/geen schade. Voor waarnemer W wordt de vrachtwagen/tunnel lager en ontstaat er dus wel/geen schade. Omdat er onmogelijk wel schade voor de ene waarnemer en geen schade voor de andere waarnemer kan zijn, concluderen we hieruit dat een bewegend voorwerp niet lager wordt als het in horizontale richting beweegt. Op dezelfde manier kun je concluderen dat het voorwerp niet hoger, smaller of breder wordt. Theorie Relativiteit, Lengtekrimp, www.roelhendriks.eu 8

5 Minkowskidiagram Vooruitblik op de theorie van deze paragraaf In de onderstaande figuur rijdt waarnemer W met zijn auto langs waarnemer W. Voor de plaatsaanduiding gebruikt W de x-as en W de x -as. W en W zitten ieder in de oorsprong van hun eigen as. Rechts in de figuur (zie het sterretje) vindt op een bepaald moment een gebeurtenis plaats. Een gebeurtenis wordt altijd eenduidig gekenmerkt door een positie en een tijdstip. In paragraaf 1 hebben we kennis gemaakt met het tijd-plaats-diagram. In de onderstaande tijd-plaats-diagrammen kunnen de positie en het tijdstip van een gebeurtenis worden afgelezen voor zowel waarnemer W (linker diagram) als voor waarnemer W (rechter diagram). Kenmerkend hierbij is dat het tijdstip van de gebeurtenis voor beide waarnemers gelijk is; alleen de positie is voor waarnemer W anders dan voor waarnemer W. In de paragrafen, 3, en 4 hebben we gezien dat, als de onderlinge snelheid tussen waarnemers W en W in de buurt komt van de lichtsnelheid, de tijd geen absoluut begrip meer is en dat de bovenstaande diagrammen dus onhoudbaar zijn. We zullen in deze paragraaf zien dat het tijd-plaats-diagram de vorm krijgt, zoals hieronder is afgebeeld. Zo n diagram heet het minkowskidiagram. Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu 9

Een verschil met de voorgaande diagrammen is dat er langs de verticale assen niet meer t en t staat (dus de tijd voor W en voor W ) maar c t en c t (dus de lichtsnelheid keer de tijd voor W en voor W ). Een ander groot verschil is dat de x -as gekanteld is ten opzichte van de x-as. Door deze kanteling wordt het tijdstip van een gebeurtenis een relatief begrip (in plaats van een absoluut begrip). Een gebeurtenis wordt nog steeds als een stip in het diagram weergegeven. In het linker diagram worden de tijd en de plaats voor waarnemer W langs de assen afgelezen en in het rechter diagram die voor waarnemer W. De stippellijnen lopen evenwijdig aan de assen, net als in de oorspronkelijke diagrammen. Minkowskidiagram Hieronder is een minkowskidiagram afgebeeld voor slechts één waarnemer. Langs de verticale as staat de lichtsnelheid keer de tijd, dus c t. Het gevolg is dat zowel langs de verticale als de horizontale as van het diagram de grootheid afstand staat. Langs beide assen wordt dezelfde eenheid gebruikt, bijvoorbeeld de meter, lichtseconde (ls) of lichtjaar (ly). Een lichtseconde is de afstand die het licht in één seconde aflegt en een lichtjaar is de afstand die het licht in een jaar aflegt. Bovendien wordt de afstand tussen opvolgende getallen bij beide assen precies gelijk genomen (de schaalverdeling is langs beide assen dus gelijk). De ene schaal is dus niet uitgerekt ten opzichte van de andere schaal. In het getekende minkowskidiagram is de wereldlijn van twee fotonen getekend. De wereldlijnen van fotonen maken altijd een hoek van 45º met de horizontale en de verticale as. Fotonen bewegen immers met de lichtsnelheid naar links of naar rechts. Na bijvoorbeeld een tijdsduur van 4 s is c t met 4 ls toegenomen en x ook met 4 ls toe- of afgenomen. Voorwerpen en deeltjes bewegen altijd met een kleinere snelheid dan de lichtsnelheid. In het diagram is de wereldlijn van een deeltje getekend dat met ongeveer de halve lichtsnelheid naar rechts beweegt en zich op tijdstip t = 0 in de oorsprong bevond. Voor de hoek α tussen de verticale as en de wereldlijn van een deeltje met snelheid v geldt: v tan(α ) =. c In de figuur is dit zichtbaar want in de gearceerde driehoek is de overstaande rechthoekszijde v t en de aanliggende rechthoekszijde c t. Voor deeltjes met massa (geen fotonen dus) is hoek α altijd kleiner dan 45º. Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu 30

Twee referentiestelsels in het minkowskidiagram In de onderstaande figuur staat waarnemer W op de grond en staat waarnemer W in een trein die met een zeer grote snelheid v naar rechts rijdt. Waarnemer W gebruikt de x-as voor de plaatsaanduiding. Hij bevindt zich in de oorsprong van deze as. Waarnemer W gebruikt zijn eigen (meebewegende) x -as voor de plaatsaanduiding. Ook hij bevindt zich in de oorsprong van de as. De tijd voor W wordt met t aangeduid en de tijd voor W met t. Op het moment dat W en W langs elkaar gaan, zetten zij hun tijd op nul. Dus als x = x = 0 geldt t = t = 0. In de trein staat niet alleen W maar ook zijn hulp. Precies in het midden tussen W en zijn hulp hangt een lamp aan het plafond. Op een bepaald moment zendt deze lamp een lichtflits in beide richtingen uit. Na korte tijd zullen W en zijn hulp deze lichtflitsen ontvangen. In het onderstaande diagram 1 zijn de wereldlijnen van W, zijn hulp en de lamp getekend volgens het referentiestelsel van W. Langs deze drie wereldlijnen geldt dus dat x constant is. Ook zijn de wereldlijnen van de fotonen getekend die van de lamp naar W en zijn hulp gaan. Deze wereldlijnen maken een hoek van 45º met de horizontale en verticale as. In diagram 1 is duidelijk te zien dat volgens waarnemer W de lichtflits eerder bij W aankomt dan bij zijn hulp want bij gebeurtenis A hoort een kortere tijd t (zonder accent!) dan bij gebeurtenis B. We waren dit ook al in paragraaf tegengekomen. De gebeurtenissen A en B vinden echter gelijktijdig plaats volgens waarnemer W. In feite horen alle punten op de stippellijn tussen A en B bij dezelfde tijd t (met accent) voor waarnemer W. In diagram zijn drie stippellijnen getekend. Alle gebeurtenissen op stippellijn AB vinden voor waarnemer W gelijktijdig plaats. Hetzelfde geldt voor alle gebeurtenissen op stippellijn CD en op stippellijn EF. De gebeurtenissen op AB vinden (in de ogen van waarnemer W ) echter het eerst plaats en die op EF het laatst. Theorie Relativiteit, Minkowskidiagram, www.roelhendriks.eu 31