CABRI 3D VOORAF De laatste jaren zijn enkele programma s voor ruimtemeetkunde op de softwaremarkt verschenen. Ook Cabri, waarvan het programma voor vlakke meetkunde al bestaat uit het DOS-tijdperk van de PC, heeft nu een krachtige 3D versie. Het programma is nog niet in een definitieve vorm (voor zover programma s dat ooit kunnen zijn ). Er ontbreken nog enkele belangrijke mogelijkheden: macro s, meten, coördinaten en vergelijkingen weergeven en gebruiken. Toekomstige versies zullen deze leemtes ongetwijfeld opvullen. Toch is het programma nu al bijzonder sterk. Op een heel intuïtieve manier kunnen ruimtelijke figuren getekend worden. De weergave van de figuren is daarbij heel kleurrijk met een goed gevoel voor dieptezicht. Wie Cabri II voor vlakke meetkunde kent, zal heel vlug vertrouwd zijn met Cabri 3D. De manier van werken in Cabri 3D is gebaseerd op dezelfde intuïtieve aanpak als in Cabri II. Ook de menu s zijn op dezelfde manier opgebouwd. Het programma is iets meer dan een jaar oud. We zijn nu aan versie 1.1, en in vergelijking met versie 1.0 zijn al heel wat sterke verbeteringen en aanvullingen aangebracht. Sedert versie 1.1 zijn de menu s ook in het Nederlands mogelijk. Je kan dit meteen bij het installeren vastleggen, of nadien bij de Voorkeuren van het programma. Op de website www.cabri.com is een evaluatieversie gratis te downloaden. Deze demoversie werkt als een volledige versie, gedurende 30 dagen. Nadien blijft het pakket maar werken in sessies van 15 minuten, en bovendien zijn dan enkele mogelijkheden (bewaren, afdrukken) uitgeschakeld. Een volledige versie is aan te kopen via www.rhombus.be Deze tekst is bedoeld als eerste kennismaking. We geven in de eerste bladzijden wat algemene uitleg, om nadien over te gaan tot het maken van enkele oefeningen. Er is verder een redelijk uitgebreide handleiding te vinden in het programma zelf, via het menu Help Handleiding (tekst in pdf formaat)., 19 november 2005 paul.decuypere@vvkso.vsko.be
1 De knoppenbalk Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-2-
2 Het scherm na opstarten Zoals je ziet, wordt een blad papier geopend, met daarin een 3D-venster. In dat 3D-venster wordt een vlak getekend (het xy-vlak) en een xyz-assenkruis (de drie basisvectoren in een verschillende kleur). Standaard wordt een centraal natuurlijk perspectief genomen. In de rechterrand van het scherm verschijnen vensters met onder andere help aanduidingen en mogelijkheden om de opmaak te veranderen. De afmetingen van het 3D venster zijn te veranderen op de gekende Windows manier (klik één keer op de rand van het venster, en versleep de blokjes). Door één keer te klikken op de rand van een 3D venster, kan je het venster ook verslepen op het blad. Wijs je de rand van een 3D venster aan zonder te klikken met de muis, dan wordt de rand in het rood getekend. Klik je nu met de rechter muisknop, dan verschijnt een menu waarmee je de achtergrondkleur van het venster kan wijzigen, het venster kan kopiëren (naar een Word document bijvoorbeeld). De eerste keuze Aan Zicht Aanpassen zorgt er voor dat het 3D venster zo groot mogelijk op het scherm weergegeven wordt. Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-3-
Er is ook een mogelijkheid om het venster automatisch te laten roteren op verschillende snelheden. Al die instellingen kunnen ook in de menu s of in de rechterrand van het scherm gevonden worden. Het roteren of de achtergrondkleur instellen kunnen bijvoorbeeld met het venster Actief Zicht in de rechterrand. Het venster manueel roteren is ook heel eenvoudig: sleep met de rechter muisknop ergens op het venster. Er kunnen ook meerdere pagina s geopend worden (kies Document Pagina Toevoegen). Met het menu Beeld kan er voor gekozen worden om die pagina s onder elkaar of naast elkaar te plaatsen. Met het menu onderdeel Document Zicht toevoegen kan op eenzelfde blad nog een ander 3D venster toegevoegd worden. Daarbij kan een perspectief gekozen worden uit een heel gamma: In plaats van een 3D venster, is het ook mogelijk om een tekstvak op een pagina te plaatsen. Dat kan nuttig zijn om bijvoorbeeld de stappen van een constructie te vermelden of de opgave van een oefening te typen. Kies dan voor Document Tekstveld toevoegen Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-4-
3 Een punt tekenen in de ruimte Klik natuurlijk eerst op de knop voor het tekenen van punten. Als je nu met de muis beweegt over het 3D venster, dan verschijnen twee mogelijke pop up venstertjes: Wanneer je een punt tekent op een lege plaats van het werkblad, dan is dit een vrij punt, een punt dat nadien ook kan versleept worden naar een andere willekeurige positie in de ruimte. Nochtans is in eerste instantie dat willekeurige punt toch een punt van het xy-vlak. Je kan dat zien aan het feit dat het punt in een raster ligt. Dat raster is het verlengde van het xy-vlak. Slepen met de muis betekent dus: verslepen in het xy-vlak (of, als het punt niet meer in het xy-vlak zou liggen: verslepen in een vlak evenwijdig met het xy-vlak). Om de z-coördinaat van het punt te wijzigen, moet je tijdens het verslepen met de muis de SHIFT-toets ingedrukt houden. Een punt in de ruimte kan nadien op dezelfde manier versleept worden. Beweeg je vóór het tekenen van het punt over een bestaand object, dan zal Cabri (zowel in versie II als in versie 3D) veronderstellen dat je een punt OP DAT OBJECT wil tekenen. Klik je, dan krijg je een gebonden punt (beweeg je bijvoorbeeld de muis bovenop een eerder getekende rechte, dan staat er een nieuw punt (op rechte) ). Beweeg je de muis dus over het xy-vlak, dan staat er volgens dezelfde logica een nieuw punt (in vlak). Een punt dat op die manier getekend is in het xy-vlak, kan nadien niet meer een willekeurig punt in de ruimte worden. Het blijft een punt gebonden aan dat vlak, het kan dus wel versleept worden in dat vlak. In Cabri 3D is er nu wel de mogelijkheid om het binden van een punt aan een vlak te omzeilen door de SHIFT-toets één keer aan te klikken vooraleer je dat punt definieert. In dat geval wordt het punt meteen een vrij punt in de ruimte. Je kan dat alleen doen tijdens het vastleggen van het punt, niet meer nadien. Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-5-
4 Namen toekennen aan punten (of andere objecten) Dit gebeurt lichtjes anders dan in Cabri II. De methode hier is eigenlijk nog eenvoudiger: klik eerst op de pijlknop (manipulatie), klik dan het punt (of ander object) aan, en typ de naam. Typ je na de naam nog een cijfer, dan wordt dit cijfer automatisch als subscript genoteerd. Klik je nadien op de naam, dan wordt de naam in een vakje getoond, en kun je via een verbinding volgen waarvan dit de naam is. Dit vakje verdwijnt weer als een andere actie ondernomen wordt. Om namen nadien te verbeteren, kun je dubbel klikken op de naam zelf. Om de opmaak van de naam te wijzigen, kun je met de rechter muisknop klikken op de naam, en in het menu de gepaste opmaak instellen. Je kan ook het venster Stijlen in de rechterrand gebruiken om die opmaak te wijzigen. 5 Een greep uit de mogelijke objecten die kunnen getekend worden. We overlopen hier niet alle mogelijke objecten die kunnen getekend worden. Deels omdat dit veel te lang zou duren, deels omdat dit ook voor niet veel problemen zorgt. Het is belangrijk om de help aanduidingen te volgen in het venster Tool help van de rechterrand. Hier krijg je belangrijke uitleg, want één knop uit de knoppenbalk kan meestal op verschillende manieren gebruikt worden. We geven een paar voorbeelden. 5.1 Tekenen van een cirkel: de knop Er zijn liefst 5 manieren om met deze knop een cirkel te tekenen. Cirkel in een Vlak, met Middelpunt en door een Punt (eerst een vlak aanduiden, dan het middelpunt en dan een ander punt van de cirkel). Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-6-
Cirkel in een Vlak, met Middelpunt en lijnstuk als Straal (Passer): duid ook hier eerst het vlak aan, dan het middelpunt, en tenslotte een (al getekend) lijnstuk als straal. Cirkel met As en door een Punt: hier wordt een cirkel getekend in een vlak loodrecht op een rechte (as); duid de rechte aan en een willekeurig punt waar de cirkel door moet. De volgorde van aanklikken van deze twee objecten is niet van belang. Cirkel door drie Punten: duid drie punten aan in eenzelfde vlak; de cirkel door die drie punten wordt meteen getekend. Cirkel als Doorsnede (bol/bol, bol/vlak): hier moeten eerst bijvoorbeeld een bol en een vlak getekend worden; met deze knop kan dan de doorsnede getekend worden. Bemerk dat ook het tekenen van een bol op verschillende manieren kan. Het tekenen van de doorsnede kan met deze knop, maar kan ook met de keuze Kromme als doorsnede (onder dezelfde knop van de knoppenbalk waar ook Cirkel te vinden is). Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-7-
5.2 Kubus tekenen Een kubus (een van de 5 regelmatige veelvlakken of Platonische lichamen: meest rechtse knop op de knoppenbalk) kan op twee manieren getekend worden. Datzelfde geldt ook voor de andere regelmatige veelvlakken. Eerste manier: Kubus op een Vlak met Middelpunt en Hoekpunt van dat Zijvlak Duid eerst een vlak aan (waarin het grondvlak van de kubus moet gelegen zijn), vervolgens het middelpunt van het grondvlak, en tenslotte één van de hoekpunten. De laatste twee punten bepalen dus de straal van de omgeschreven cirkel van het grondvlak. De kubus wordt getekend aan één kant van het vlak waarin het grondvlak komt. Wil je de kubus aan de andere kant, hou dan de CTRL toets ingedrukt tijdens het tekenen ervan. Is de kubus getekend, dan kun je met het venster Stijlen in de rechterrand heel wat opmaak van de kubus wijzigen. Je kan dit ook doen door (eerst de pijlknop indrukken) met de rechter muisknop te klikken op de kubus. Standaard worden dergelijke lichamen in een grijsblauwe kleur getekend. Wil je de onzichtbare ribben toch lichtjes zichtbaar maken, zet dan een vinkje in het vakje Onzichtbare onderdelen tonen. De laatste keuze kun je als standaard instellen voor alle lichamen via het hoofdmenu Bewerken Voorkeuren Standaard zichtbare stijlen. Tweede manier: Kubus op een Vierkant Teken hier eerst een vierkant in een vlak. Met de knop Kubus kun je dan meteen een kubus laten tekenen waarvan het getekende vierkant een zijvlak is (CTRL toets gebruiken om het vierkant aan de andere kant te krijgen). Deze manier is bijzonder handig om heel vlug een stapel kubussen te tekenen: op elk vierkant (dus ook op elk zijvlak van een al bestaande kubus) kan zo meteen een nieuwe kubus getekend worden. Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-8-
5.3 Een regelmatige zeszijdige piramide tekenen Een piramide wordt getekend door een grondvlak aan te wijzen (dus vooraf tekenen, via de zevende knop regelmatige veelhoek, of via de vierde knop een willekeurige veelhoek) en daarna een punt (de top) aan te wijzen. Teken eerst een regelmatige zeshoek in het xy-vlak, met middelpunt bijvoorbeeld in de oorsprong van het assenstelsel. Teken een loodlijn op het xy-vlak in dat middelpunt. De top T komt op deze rechte. T mag vooraf getekend worden, maar het hoeft niet. Maak de menukeuze voor het tekenen van een piramide. Klik eerst het grondvlak aan, en vervolgens de top T. De piramide wordt getekend. Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-9-
6 Enkele toepassingen 6.1 De doorsnede van een balk met een willekeurig vlak We tekenen eerst een willekeurige balk. Kies daarvoor XYZ-box in de voorlaatste knop van de knoppenbalk. We moeten hier maar twee punten aanduiden, die een lichaamsdiagonaal van de balk vormen. Er wordt dan een balk getekend waarvan de zijvlakken evenwijdig zijn met de coördinaatvlakken. Let er dus op dat die twee punten niet allebei in het xy-vlak gelegen zijn, want dit vormt dan een balk zonder hoogte. Bemerk dat zo n XYZ box achteraf op zijn geheel kan versleept worden. Teken een willekeurig (snij)vlak voor die balk (teken bijvoorbeeld een vlak door drie punten). Je kan zelf de doorsnede van de balk en het vlak construeren (zie volgende toepassing), maar je kan ook gebruik maken van de mogelijkheden van Cabri 3D. Er is namelijk voorzien om de doorsnede van een lichaam en een vlak te tekenen via Veelvlak (afknotting). Hierbij wordt een doorsnede getekend van het oorspronkelijke veelvlak met een halfruimte bepaald door het snijvlak als grensvlak. Er zijn hierbij twee halfruimten. Cabri 3D kiest zelf één van die halfruimten, maar om de andere halfruimte te nemen: gebruik de toets CTRL. Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-10-
6.2 Doorsnede van een kubus en een vlak: doorsnede zelf bepalen Opgave: zoek de doorsnede van de kubus met het vlak gevormd door de punten P, Q en R. In tegenstelling tot de vorige oefening, maken we hier zelf de constructie die leidt tot de oplossing. In de figuur hiernaast is de opgave getekend. Daarbij is de kubus voorgesteld als een draadmodel (kies bij Stijl attributen van oppervlakten voor leeg). Dit is belangrijk om achteraf de doorsnede te kunnen zien (die zit natuurlijk binnenin de kubus). Eventueel kan onder de tekening een opgave geformuleerd worden. Hiernaast dan de oplossing. Het zou voor de leerlingen ook kunnen om de verschillende stappen van de constructie in het tekstvenster weer te geven en uit te leggen. Het is (voorlopig?) in Cabri 3D niet mogelijk om de constructie stap voor stap te laten herhalen zoals het kan in Cabri II. Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-11-
6.3 Gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten Het gekende vraagstuk: teken de gemeenschappelijke loodlijn van twee kruisende rechten AB en CD. Het is hier wel even zoeken hoe we de twee kruisende rechten kunnen aanbrengen zodat de constructie overzichtelijk en duidelijk blijft voor de leerlingen. De situatie hiernaast leidt alvast tot een goede tekening. De oplossing, met onder het venster van de oplossing een tekstvenster waar de verschillende stappen van de constructie vermeld worden. Gebruik voldoende kleur in de tekening, zodat de Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-12-
6.4 Construeer de raakvlakken door een rechte aan een bol Teken een bol, en een willekeurige rechte buiten de bol. Construeer de twee raakvlakken aan die bol, door die gegeven rechte. teken eerst een loodvlak vanuit het middelpunt van de bol op de gegeven rechte teken de doorsnede (cirkel) van de bol en dat loodvlak, en het snijpunt van de rechte met dat loodvlak teken het midden van het lijnstuk dat dit laatste punt met het middelpunt van de bol verbindt teken een cirkel met middelpunt dit laatst getekende punt, en door het middelpunt van de bol teken de snijpunten van de twee getekende cirkels (bemerk: Cabri 3D tekent de 2 snijpunten in één keer) de raakvlakken zijn de vlakken door de gegeven rechte en elk van deze laatst getekende snijpunten Dag van de wiskunde 2e/3e graad zaterdag 19 november 2005-13-