Analyse rekenalgebraïsche vaardigheden in de onderbouw van het havo/vwo. ReAL Leerlijnen van rekenen naar algebra SLO nationaal expertisecentrum voor leerplanontwikkeling Wiskunde in de onderbouw van het havo vwo
Analyse rekenalgebraïsche vaardigheden in de onderbouw van het havo/vwo ReAL Leerlijnen van rekenen naar algebra Wiskunde in de onderbouw van het havo vwo
Analyse reken- algebraïsche vaardigheden in de onderbouw van het havo/vwo. Vooraf. In dit stuk worden de randvoorwaarden voor de producten en activiteiten in het ReAL-project beschreven op basis van informatie over ontwikkelingen en opvattingen met betrekking tot het reken- en algebraonderwijs. Daarbij maken we een splitsing in drie stromen: te weten havo/vwo, vmbo kgt en vmbo b. Deze splitsing wordt vooral ingegeven door het verschil in het beroep dat wordt gedaan op de reken- en algebraïsche vaardigheden binnen de doorlopende leerlijnen van deze drie stromen. De analyse voor havo/vwo wordt in dit stuk zo volledig mogelijk uitgewerkt. Voor vmbo kgt wordt later in het project (juni 2007) de analyse uitgewerkt. Typering van de rol van het onderwijs in rekenen en algebra havo vwo Hier gaat het om een begripsmatige lijn van rekenvaardigheden naar algebraïsche vaardigheden met als doel algebra als een zelfstandig functionerend systeem te kunnen hanteren. vmbo kgt Ook hier gaat het om een begripsmatige lijn van rekenvaardigheden naar algebraïsche vaardigheden met als doel de algebra te kunnen hanteren in de context van verbanden. vmbo b Hier gaat het om het onderhouden en uitbouwen van rekenvaardigheden (gebaseerd op begrip), met als doel redzaamheid in maatschappij en beroep in allerlei situaties waarin hoeveelheden, getallen, patronen en verbanden een rol spelen. Deze rollen zijn niet precies afgebakend langs de grenzen van iedere stroom. Het onderscheid maken we om aan te geven waar in iedere stroom de focus ligt. In ieder van de drie stromen zal onderhouden en uitbouwen van rekenvaardigheden onderdeel van het onderwijs moeten zijn. Stand van zaken in het havo vwo Middels een aantal constateringen beschrijven wij de voor het project relevante uitgangspunten en randvoorwaarden met betrekking tot het onderwijs in rekenen en algebra. Constatering 1 In de bovenbouw van havo en vwo is een duidelijke behoefte aan parate algebraïsche vaardigheden. Regelmatig wordt gehoord dat leerlingen de benodigde algebraïsche vaardigheden niet paraat hebben op het moment dat deze worden verwacht. Wel wordt in de onderbouw in de grote
methodes voor wiskunde een aanzienlijke hoeveelheid algebraïsche vaardigheden aangeboden. Hieruit is het ontbreken van deze vaardigheden in de 2e fase niet te verklaren. Mogelijk ontbreekt het wiskundedocenten in de onderbouw aan kaders om te bepalen wat de relevante kern is van de algebraïsche vaardigheden en wat er moet blijven hangen. Mogelijk worden de vaardigheden te veel losstaand van elkaar en zonder een achterliggend begrippenkader geoefend, wat het beklijven belemmert. Mogelijk ontbreekt het wiskundedocenten in de 2e fase aan middelen (didactisch repertoire) om de relevante kern bij de leerlingen te activeren. Constatering 2 In het vervolgonderwijs cq de bovenbouw van havo/vwo, wordt een aantal tekorten gesignaleerd op het gebied van reken en algebraïsche vaardigheden. De tekorten lijken vooral neer te komen op het volgende: Het niet kunnen herkennen en waarschijnlijk niet paraat hebben van een wiskundige kern (e.g. exponentieel verband) in een toegepaste situatie. De structuur van een algebraïsche expressie niet kunnen analyseren. Een algebraïsche expressie dan wel formule niet grafisch kunnen interpreteren. Het niet paraat hebben of op grond van de betekenis oproepen van een rekenregel. Constatering 3 Het algebraonderwijs zoals dat in de wiskundemethoden vorm heeft gekregen, lijkt nogal op de syntax gericht. Het lijkt vooral te gaan om het leren en beheersen van een aantal regels en die regelmatig en vaak separaat te oefenen. De taal, semantiek van de algebra blijft onderbelicht. Beschouwing over Getal en Ruimte Deel 2vwo 1 hoofdstuk 1. 'Rekenen met letters : Het overgrote deel van de opgaven betreft volgens de syntax oefenen van het uitvoeren van de regels van het letterrekenen. (Herleiden betekent eenvoudiger schrijven. Haakjes werk je weg.) Oppervlakte en omtrek komen voor in de rol van context en één keer in een uitleg (bij opdr. 25). Oppervlakte en omtrek zijn daarmee een illustratie en vervullen geen rol als model dat ondersteuning biedt bij het denken. In paragraaf 1 zijn enkele opgaven opgenomen met mogelijkheden voor eigen constructies (12 en 13). De aangeboden vaardigheidstraining in Getal en Ruimte lijkt een op zichzelf staand systeem van apart te trainen formele vaardigheden te zijn. Er wordt niet duidelijk gemaakt (voor de gebruiker) wat het doel ervan is, zo staat bijvoorbeeld nergens dat het om ontwikkeling van een wiskundetaal zou kunnen gaan. In Moderne wiskunde is er wat meer koppeling van algebraïsche vaardigheden aan denkmodellen (oppervlaktemodel, tabel) en aan opdrachten vanuit de verbandensfeer. Het repertoire aan manipulaties met algebraïsche expressies wordt beperkt tot enkele specifieke vaardigheden als korter schrijven (herleiden), haakjes wegwerken en specifieke
procedures voor het oplossen van vergelijkingen. Een vraag als schrijf deze expressie nu eens in een complexere vorm of in een aantal verschillende vormen, komt nauwelijks voor. In beide methoden komt bij een expressie een vraag als: Wat staat hier nu eigenlijk? nauwelijks aan de orde. Voorbeeld (van wat mist): 10 a 2 5 Uit deze rechthoek is het grijze stuk weggeknipt. Enkele mogelijke vragen: - Geef een formule voor de oppervlakte van het overgebleven deel. - Een aantal mogelijke antwoorden is: 50-2a; 2(10 - a) + 30; 3a + 5(10 - a) Hoe is iedere expressie tot stand gekomen? Laat zien door algebraïsche bewerkingen dat alle expressies equivalent zijn. (Equivalent betekent hier: wat je ook voor a invult, je krijgt steeds de zelfde uitkomst.) Constatering 4 Voor docenten wiskunde in de onderbouw lijkt het doel van het leren van algebra niet altijd duidelijk. Vragen die daarbij spelen zijn: Gaat het bij algebra om een aantal feiten en regels die je gewoon moet weten en kunnen toepassen? Gaat het om een taal om verbanden in te beschrijven? Gaat het om de algebra als een op zichzelf staand structuur? Wanneer het doel niet duidelijk is, zal voor de docenten moeilijk te bepalen zijn welke kernen er zijn, wat de leerlingen ervan over moeten houden, welke betekenis moet blijven hangen en welke routines van belang zijn. Noch de kerndoelen (oud en nieuw), noch de wiskundemethoden bieden de docenten onderbouw hiervoor voldoende expliciet houvast. Constatering 5 De overgang van rekenen naar algebra lijkt in de gangbare wiskundemethoden weinig tot geen aandacht te krijgen. : Bij analyse van de wiskundemethoden Getal en Ruimte en Moderne Wiskunde valt het volgende op: Werken met algebraïsche expressies wordt niet tot nauwelijks in verband gebracht met het gebruik van rekenkundige regels. Algebraïsche expressies komen zelden voort uit de veralgemenisering van systematiek van rekenexpressies In het algemeen is er weinig aandacht voor onderhoud of gebruiken van rekenvaardigheden.
Het gebruik van ondersteunende modellen bij het rekenen (bijvoorbeeld het oppervlaktemodel) wordt nauwelijks doorgetrokken naar de algebra. Het denken in equivalente formules (niet het begrip, maar: welke formule levert hetzelfde resultaat, beschrijft hetzelfde verband) krijgt nauwelijks aandacht.
Waar liggen onze kansen in het reken- algebraonderwijs in het havo vwo? Een eerste bestudering van de methoden Getal en Ruimte en Moderne Wiskunde levert het volgende op: - Bij de overgang PO-VO houdt het rekenen, in het bijzonder met breuken, (bijna) op en wordt gestart met algebra, dan wel formules. Daarbij wordt weinig tot niet voortgebouwd op het rekenen en de reeds aanwezige kennis, vaardigheden en strategieën: kortom er is geen aandacht voor algebraisering van het rekenen. - In de methoden weinig tot nauwelijks gebruik gemaakt van ondersteunende (denk)modellen (getalspatronen, meetkundige situaties, oppervlaktemodel) bij het aanbieden en oefenen van algebraïsche vaardigheden - De aangeboden oefening is steeds sterk gericht op het herhalen van één vaardigheid. Op nadenken over en doordenken van de structuur en de betekenis van de gepresenteerde algebraïsche expressies wordt mondjesmaat een beroep gedaan. - De algebraïsche vaardigheden worden niet in een zichtbare opbouw geplaatst. Ook worden de kernen die moeten blijven hangen en waarop later zal worden voortgebouwd niet benoemd. - In de formulelijn wordt wel gewerkt met formules, maar het redeneren over en het zelf aanpassen, herleiden en construeren van formules komt weinig voor. Daarmee blijft de relatie tussen algebraïsche vaardigheden en vaardigheden rond het gebruik van formules onderbelicht.