Verdieping - e Lijn van Wallace ladzijde 4 ac - d Nee, want als ijvooreeld en samenvallen dan geldt = op en = op, dus = = maar dan moet ook S met samenvallen, dus ligt S niet uiten de driehoek en dat is in tegenspraak met het gegeven dat S uiten de driehoek ligt. e Neem aan dat met samenvalt en met. an ligt S op de loodlijn in op en op de loodlijn in op. S is het snijpunt van deze twee loodlijnen. f In het geval van opdracht e liggen, en op één lijn. Maar ook wanneer, en niet samenvallen met een hoekpunt is het met wat proeren mogelijk een punt S te vinden zodat, en op één lijn liggen. Zoals in de tekening hiernaast. S = S = - Neem ijvooreeld tussen en, dan liggen de drie punten op één lijn als = 80. - Wanneer l een willekeurige lijn is met, en aan dezelfde kant van l dan l, l,. liggen, en op één lijn als ( ) = ( ) ladzijde 5 3a In de figuur zitten de volgende koordenvierhoeken: S (want S ligt op de omtrek van de omgeschreven cirkel van ), S ( + = 80 ), S en S ( S = S = 90 ). () S = S omdat S een koordenvierhoek is. Wanneer je de omgeschreven cirkel erij tekent is S = S = oog S. () S is koordenvierhoek, dus S + S = 80 geeft S = 80 S is koordenvierhoek dus S + S = 80 geeft S = 80 S Samen geeft dit S = S. (3), en op één lijn dus S + S = 80 c (3) S + S = 80 en () S = S en () S = S () en () in (3) invullen geeft S + S = 80. us liggen de punten, en op één lijn. 33
Verdieping - e Lijn van Wallace 4a Wanneer = 80 dan vormen en een gestrekte hoek en dus liggen, en op één lijn. Wanneer en gelijke hoeken maken met lijn l dan zijn het overstaande hoeken en liggen, en op één lijn. c ij een ewijs vanuit het ongerijmde ga je ervan uit dat niet op de lijn door en ligt, of dat 80. 5a N M Q P P = 90 omtrekshoek op middellijn in cirkel c. Q = 90 omtrekshoek op middellijn in cirkel c. PQ = P + Q = 90 + 90 = 80 dus P, en Q liggen op één lijn. c e manier van opdracht 4a is geruikt. 6 S is een koordenvierhoek dus S = = oog (). S is een koordenvierhoek dus S = = oog (). S is een koordenvierhoek dus S + S = 80 geeft S + S = 80 (3) en S + S = 80 (4). (3) en (4) geeft S = S Uit S = S = 90 en S = S volgt dat S = S (5). (), () en (5) geven = dus, en liggen op één lijn. 7a - is hoogtepunt in driehoek. - is hoogtepunt van driehoek, want = is hoogtelijn op, = is hoogtelijn op en = is hoogtelijn op. eze hoogtelijnen snijden elkaar in. - Op dezelfde wijze kun je aantonen dat hoogtepunt is van driehoek en dat hoogtepunt is van driehoek. 34
Verdieping - e Lijn van Wallace et verlengde van snijdt de omgeschreven cirkel van in punt K. = 90 = 90 K = K = oog K oog K ( ) en( ) geeft = K = K = 90 = = ( ) K = K = ( Op analoge wijze is te ewijzen dat K 4 (3) en (4) geeft K. e omgeschreven cirkel van heeft dus dezelfde straal als de omgeschreven cirkel van K en dit is de omgeschreven cirkel van. Op analoge wijze kan dit voor de andere driehoeken ewezen worden, dus de omgeschreven cirkels van de driehoeken,, en heen elk dezelfde straal. c = = 90 dus is een koordenvierhoek wat geeft = oog = ( ) = = 90 dus is een koordenvierhoek wat geeft oog = = ( ) K( ZZ) ( 3) = (overstaande hoeken) wat geeft = 90 = 90 = ( 3) (), () en (3) geeft = dus is deellijn in driehoek. Op analoge wijze kun je ewijzen dat en deellijnen zijn in driehoek. ) ( ) K 35
IT - Kegelsneden tekenen adzijde 8 a Voor ieder punt op de paraool als conflictlijn geldt: de afstand van tot het randpunt is gelijk aan de afstand van tot de richtlijn. e afstand tot het randpunt is en tot de richtlijn V, dus = V. et touwtje heeft lengte + K = V + K = VK. Punt K ligt aan het eind van de liniaal, dus VK = de lengte van de liniaal = constant. Met = V uit opdracht a volgt VK = constant K + V = constant K + = constant. ladzijde 9 a Lat s hoort ij de richtlijn en punt is het randpunt. e loodlijn is de lijn loodrecht op de richtingslijn, dus lat l. e middelloodlijn hoort ij de punten en G, dus de lat. c e diagonalen van een ruit delen elkaar middendoor en staan loodrecht op elkaar. e diagonalen van de ruit G zijn G en, dus is een middelloodlijn op G. d is middelloodlijn op G, dus met op vormt G een gelijkenige driehoek. e zijden en G hiervan vormen de enen en zijn even groot. Omdat ook op lat l ligt is G de afstand van tot de richtlijn. Punt is dus een meetkundige plaats met als eigenschap dat de afstand tot en lijn s gelijk zijn, en hoort dus ij een paraool als conflictlijn. e Voer de gegeven stappen uit in GeoGera. 3a Latje G draait om en heeft de rol van de straal van de richtcirkel. Om in GeoGera een ellipsograaf te construeren, voer je de volgende constructiestappen uit: Teken twee punten en I op een lijn. Teken een cirkel c met middelpunt en straal groter dan I. 3 Teken G op c. Teken G. 4 Teken lijnstuk GI. 5 Teken de ruit met ehulp van twee even grote cirkels om G en I. 6 Teken in de ruit de diagonaal loodrecht op GI. 7 Kies Snijpunt van (twee) ojecten en selecteer de middelloodlijn en G om snijpunt te tekenen. Zet het spoor van aan. 8 Sleep G de cirkel rond. et spoor van is de ellips. ls de ellips niet volledig wordt getekend is de ruit te klein. e zijden van de ruit moeten groter zijn dan ( r + I ). c G I 36
IT - Kegelsneden tekenen ladzijde 30 4a c d e punt en zijn de randpunten. et deel van de lat die vastzit aan heeft de rol van de straal van de richtcirkel. e diagonalen van een ruit delen elkaar middendoor en staan loodrecht op elkaar. In ruit LM is diagonaal LM dus een middelloodlijn op. e middelloodlijn is de conflictlijn van de en, dus is de afstand van ieder punt op LM tot en gelijk en geldt =. Om in GeoGera een hyperolograaf te construeren, voer M je de volgende constructiestappen uit: Teken twee punten en op een lijn. c Teken een cirkel c met middelpunt en straal kleiner dan. 3 Teken op c. 4 Teken de halfrechte vanuit door. 5 Teken de ruit met ehulp van twee even grote cirkels om en. L 6 Teken in de ruit de diagonaal LM. 7 Kies Snijpunt van (twee) ojecten en selecteer de diagonaal en de halfrechte om snijpunt te tekenen. Zet het spoor van aan. 8 Sleep de cirkel rond. et spoor van is de hyperool. 5a Twee driehoeken zijn congruent als hun overeenkomstige zijden even lang zijn. Voor en geldt: = = ( ZZZ) = In vierhoek zijn en gelijk vanwege. Met = volgt dat vierhoek symmetrisch is zodat =. e som van de hoeken voor elke vierhoek is 360, dus + + + = 360 + + + = ( + ) = 360 + = 360 : = 80. oek en zijn overstaande hoeken in de vierhoek en samen 80. e vierhoek is dan een koordenvierhoek volgens de omgekeerde koordenvierhoekstelling. c Uit volgt =. us geldt: e = P = P ( Z ) P P P = P en P = P. = us: P + P = P + P = = lengte van lat = constant Omdat de som van de afstanden van P tot en constant is ligt P op een ellips. e randpunten zijn en. 37
IT - Kegelsneden tekenen f g Om de ellipsograaf in GeoGera te simuleren a voer je de volgende constructiestappen uit: Teken cirkel a met middelpunt en straal 4. Teken op de cirkel. Teken lijnstuk. a Teken cirkel a met middelpunt en straal 6. P Teken op de cirkel. Teken lijnstuk. 3 Teken cirkel met middelpunt en straal 6. 4 Teken cirkel d met middelpunt en straal 4. 5 Kies Snijpunt van (twee) ojecten en selecteer de cirkels en d. Noem het snijpunt. 6 Teken lijnstuk en. 7 Kies Snijpunt van (twee) ojecten en selecteer de lijnstukken en. Noem het snijpunt P. Zet het spoor van P aan. 8 Sleep rond cirkel a. et spoor van P is de (halve) ellips. Om een volledige ellips te krijgen moet je na het tekenen van de ovenste helft de lat tussen en 80 draaien om de onderste helft te tekenen. d ladzijde 3 6a randpunt is het middelpunt van de richtcirkel. en punt op de top van de ellips ij randpunt ligt even ver van als van de richtcirkel op een afstand ( r ). eze afstand heeft de ellips ook tot ij de andere top. e richtcirkel afstand tussen de toppen is dus ( r ) + + ( r ) = + ( r ) = r. richtcirkel richtcirkel richtcirkel richtcirkel Voor de hoofdcirkel is dit de middellijn, dus r = r r = r. hoofdcirkel richtcirkel hoofdcirkel richtcirkel Uit opdracht a volgt V : QM = :. ls QM evenwijdig is met V, dan volgt uit de gelijkvormigheid van V en QM dat V : Q = :, oftewel Q is het midden van V. c e loodlijn is de conflictlijn van de punten en V, dus RV = R. Voor R geldt R + R = R + RV = V = r = constant. e som van de afstanden van richtcirkel R tot en zijn dus constant, dus R is punt op de ellips. d Voer de gegeven stappen uit in GeoGera. 7a et punt op de top van de paraool ligt even ver van als van de richtlijn. e richtlijn is evenwijdig met lijn l en ligt dus in de richting van l twee keer zover van. P lijn waarover G loopt G richtlijn 38
IT - Kegelsneden tekenen c d In de analysefiguur zie je de constructie van P op de paraool met de paraool als conflictlijn van en de richtlijn. e lijnstukken P en P tot de richtlijn zijn even lang en vormen de enen van een gelijkenige driehoek. et midden G is het hoekpunt van de rechte hoek dat over de lijn loopt. e middelloodlijn gaat door P en raakt de paraool op één plaats. e middelloodlijn door G valt samen met het andere een van de rechte hoek. e middelloodlijn is raaklijn aan de paraool in P, dus het andere een van de rechte hoek is een raaklijn. Teken punt oven de x-as. Teken punt G op de x-as. 3 Teken lijnstuk G. 4 Teken een loodlijn op G door G. Zet het spoor aan van de loodlijn. 5 Sleep G over de x-as. ladzijde 3 8a Voer de gegeven stappen op papier uit. e lange as wordt ( 5 + ) =. e korte as wordt ( 5 ) = 8. c y 6 4 x 0 8 6 4 O 4 6 8 0 4 6 d e ellips wordt alleen in het e en 3e kwadrant getekend. e cirkels rond en snijden elkaar op twee plaatsen. GeoGera springt over naar het andere snijpunt als de plaats van passeert. Je kunt de rest van de ellips krijgen door ijvooreeld te spiegelen in de x-as met de knop Lijnspiegeling en ook het spoor van ' te laten tekenen. e x = a sin t x = a sin t x = sin t a y y = cos t y = cos t = cos t Met de gelijkheid sin t + cos t = volgt x y + = sin t + cos t =. a f Teken een loodlijn op de x-as door. Noem N het snijpunt met de x-as. e x-coördinaat x van punt is ON. Uit cosϕ = ON O x = 5 volgt x =5 cosϕ. 39
IT - Kegelsneden tekenen g = dus is gelijkenig = ϕ = 80 ϕ = 80 = 80 ( 80 ϕ) = ϕ = dus is gelijkenig = = ( 80 ) = ( 80 ϕ) = 90 ϕ ieruit volgt voor : = 80 = 80 ϕ ( 90 ϕ) = 80 ϕ 90 + ϕ = 90, dus de lijn door en staat loodrecht op. h Punt : x = 5 cosϕ en y = 5 sin ϕ. Punt : x = x = 5 cos ϕ = 0 cos ϕ en y = 0. Met = 5 = 4 en = ϕ volgt x = x 4 cos ϕ = 0 cos ϕ 4 cos ϕ = 6 cos ϕ en y = 4 sin ϕ. Werk deze vorm om voor de parametervoorstelling. Met ϕ = π t volgt x = 6 = 6 cos ϕ cos( π t) = 6 sin t en y = 4 = 4 sin ϕ sin( π t) = 4 cos t. e coördinaten van voldoen aan de parametervoorstelling van een ellips met a = 6 en = 4. ladzijde 33 9a igenschap is zinvol want PG is gelijkenig en de gelijke lengte van de enen sluit aan ij de definitie van de hyperool als conflictlijn. en paar overeenkomsten met de ellipsograaf zijn: je het weer vier hulpcirkels nodig, de figuren ontstaan als spoor ij het slepen van een punt om een cirkel rond een van de randpunten, eide constructies geven slechts de helft van de complete figuur (de complete ellips en eide takken van de hyperool). c G = G volgt uit de congruentie van G en G op dezelfde manier als ij de ellipsograaf in opdracht 5a. d In vierhoek G zijn en G gelijk vanwege G G. Met G = volgt dat vierhoek G symmetrisch is zodat =. e som van de hoeken voor elke vierhoek is 360, dus + + + G = 360 + + + = ( + ) = 360 + = 360 : = 80. oek en zijn overstaande hoeken in de vierhoek en samen 80. e vierhoek is dan een koordenvierhoek volgens de omgekeerde koordenvierhoekstelling. e P = P volgt uit de congruentie van PG en P : Uit G G volgt voor PG en P dat G = G. Verder heen PG en P hoek P gemeen en zijn en G even lang. Uit de Z-eigenschap voor congruente driehoeken volgt PG P. Omdat de driehoeken congruent zijn volgt uit de ZZZ-eigenschap voor congruente driehoeken dat alle overeenkomstige zijden even lang zijn, dus P = P. f P P = P P = = vaste latlengte = constant g e pen kan tot lijn tekenen en loopt dan vast tegen de gedraaide lat G. lleen de helft van een hyperooltak wordt dus getekend. 40