Thermische Fysica 2 - TF2 Statistische Fysica en Sterevolutie

Thermische Fysica 2 - TF2 Statistische Fysica en Sterevolutie Joost van Bruggen 0123226 Universiteit Utrecht - Faculteit Natuur- en Sterrenkunde (2004) 1

2 Samenvatting In deze paper wordt met behulp van de theorie van de statistische fysica een beschrijving gegeven van de evolutie van gewone sterren, zoals de zon, tot witte dwergen en neutronensterren. Besproken zullen worden de totale energie en de stabiliteit van witte dwergen en neutronensterren en relativistische effecten.

1 Sterren 3 1 Sterren In het heelal bevinden zich enorm veel sterren met uiteenlopende temperaturen, formaten en helderheden. Er zijn verschillende systemen bedacht om deze sterren te classificeren. Eén daarvan is het zogenaamde Hertzsprung-Russell-diagram. Dit is een grafiek waarin de luminositeit (uitgestraalde energie per tijdseenheid) van een ster tegen zijn temperatuur wordt uitgezet. Zie figuur 1 voor een voorbeeld. Reuzen Luminositeit Gewone Sterren Witte Dwergen Temperatuur Fig. 1: Hertzsprung-Russell-diagram De meeste sterren zijn gewone sterren, zoals de zon, en ze bevinden zich op de diagonaal van het diagram in figuur 1. Veder zijn er de zogenaamde witte dwergen en reuzen, waaronder rode reuzen en superreuzen, in te vinden. In deze paper zullen gewone sterren en witte dwergen besproken worden. Verder zal er aandacht besteed worden aan neutronensterren, die we niet in een Hertzsprung-Russelldiagram terug zullen vinden vanwege het feit dat ze te weinig energie uitstralen (omdat ze zo klein zijn). 1.1 gewone sterren: de zon Het bekendste voorbeeld van een gewone ster, dat wil zeggen een ster die zich op de diagonaal van het Hertzsprung-Russell-diagram bevindt, is de zon. Voor haar massa en straal geldt: M = 2.0 10 30 kg R = 7.0 10 8 m. Gewone sterren stralen en verliezen daardoor energie. Deze energie wordt echter aangevuld door het fusie proces dat zich in de ster afspeelt. Hierbij wordt vooral waterstof tot helium gefuseerd. De door het fuseren op peil gehouden gasdruk is tegengesteld aan en in evenwicht met de druk ten gevolge van het gewicht van de ster. De ster bevindt zich dus in een evenwicht zolang er waterstof is om te fuseren. Daarna neemt de zwaartekracht

2 Fysische Achtergrond 4 de overhand en zal de ster ineenstorten tot een compacte ster, zoals een witte dwerg of een neutronenster. 1.2 witte dwergen Witte dwergen zijn sterren met een lage luminositeit en zijn dus niet erg helder. Dit komt omdat het zulke kleine sterren zijn; ze hebben afmetingen vergelijkbaar met die van de aarde. Hun massa daarentegen is vergelijkbaar met die van de zon en ze zijn dan ook erg compact. De dichtheid van een witte dwerg is 10 6 keer zo groot als die van bijvoorbeeld de zon. Er blijkt een bovengrens voor de massa van een witte dwerg te bestaan: de Chandrasekhar limiet, genoemd naar de Indiase fysicus Subrahmanyan Chandrasekhar. Sterren met een massa groter dan deze limiet storten inéén tot een neutronenster of een zwart gat. De waarde van de Chandrasekhar limiet is 1.44 M = 2.86 10 30 kg. 1.3 neutronensterren Neutronensterren zijn nog veel compacter dan witte dwergen. De typische neutronenster heeft een massa in de orde van die van de zon (ruwweg tussen de 1.5 en 3 zonsmassa s) terwijl zijn diameter in de orde van 10 km ligt. De typische dichtheid van een neutronenster is daarmee zo n 10 14 keer zo groot als die van de zon. Men denkt dat sterren met een grotere massa dan drie zonsmassa s inéénstorten tot een zwart gat. 2 Fysische Achtergrond In dit hoofdstuk zullen wat begrippen geïntroduceerd worden die later van belang zijn. 2.1 gedegenereerde materie Gedegenereerde materie is een vorm van materie met zo n hoge dichtheid dat de grootste bijdrage aan de druk komt door het uitsluitingsprincipe van Pauli. Er geldt dan dat de interne energie veel kleiner is dan de Fermi energie, 2.2 degeneratie druk k B T ɛ F. De druk die er voor zorgt dat witte dwergen en neutronensterren niet instorten wordt degeneratie druk genoemd. Deze druk is een gevolg van het uitsluitingsprincipe van Pauli. Het uitsluitingsprincipe van Pauli is van toepassing op alle deeltjes met een halftallige spin, de zogenaamde fermionen. Het luidt als volgt: twee identieke fermionen mogen niet dezelfde kwantumtoestand bezetten. Het Pauli principe geldt dus voor onder andere elektronen, neutronen en protonen.

2 Fysische Achtergrond 5 Een kwantumtoestand kan gelabeld worden door bijvoorbeeld de impuls of de plaats. Dit betekent dat bij het instorten van een ster elk deeltje (mits het een fermion is) een steeds kleinere ruimte tot zijn beschikking krijgt, omdat elk deeltje zijn eigen kwantumtoestand moet hebben. Met de onzekerheidsrelatie van Heisenberg resulteert dit in steeds groter wordende impulsen en dus kinetische energieën van de deeltjes en daarmee een toenemende druk in het gas (de ster). Deze druk, de degeneratie druk, zorgt er voor dat witte dwergen en neutronensterren kunnen bestaan. 2.3 Fermi gassen Het zal straks blijken dat we de sterren als gedegenereerde Fermi gassen mogen beschouwen. Voor het gemak nemen we aan dat het gas zich in een doos met zijden ter lengte L en volume V = L 3 bevindt, in plaats van in een bol (de ster) met hetzelfde volume. We weten dat voor de energieniveau s van een deeltje in zo n doos geldt: ɛ n = n2 π 2 2 2mL 2. (1) Voor de Fermi energie hebben we de volgende uitdrukking: ɛ F = n2 F π2 2 2mL 2, met n F de straal van de bol in de faseruimte waarbinnen alleen gevulde en waarbuiten alleen lege energietoestanden liggen. In de doos bevinden zich N deeltjes, waarvan elk een eigen toestand tot zijn beschikking moet hebben. Samen nemen ze in de toestandsruimte een volume in van 1 8 bol, met straal n F : N = (2S + 1) 1 8 4π 3 n3 F. De factor (2S+1) is het gevolg van het feit dat fermionen met spin S per ruimtelijke toestand (2S + 1) spintoestanden mogen bezetten. Voor de deeltjes die wij gaan beschouwen, geldt S = 1 2 : n F = ( ) 1 3N 3. (2) π Hiermee vinden we voor de Fermi energie van een Fermi gas met N spin- 1 2 deeltjes: ɛ F = 2 2m met n de dichtheid van de deeltjes. = 2 2m ( 3π 2 ) 2 N 3 V ( 3π 2 n ) 2 3, (3)

3 Witte Dwergen 6 3 Witte Dwergen Eerst zullen we laten zien dat een witte dwerg goed te beschrijven is door een gedegenereerd elektronen gas. Daarna zullen we een uitdrukking voor de kinetische energie van een witte dwerg afleiden en relativistische effecten behandelen. Als laatste wordt de stabiliteit besproken. 3.1 gedegenereerd elektronen gas als model Door de hoge dichtheid die in een witte dwerg heerst, worden de aanwezige atomen zo dicht op elkaar gedrukt dat de bijbehorende elektronen niet meer bij een bepaalde kern horen en als een gas van vrije elektronen te beschouwen zijn. Beschouwen we nu de witte dwerg als een doos met een vrije elektronen gas erin, dan geldt voor zijn Fermi energie volgens verglijking 3: ɛ F = 2 ( 3π 2 n ) 2/3. 2m Nemen we aan dat in de witte dwerg alleen helium voorkomt, dat 2 elektronen per atoom en atoommassa 4.0 heeft, en dat de dichtheid van de witte dwerg 1.4 10 9 is, dan geldt n = 4.2 10 35 m 3. De elektronmassa luidt 9.1 10 31 kg. Hiermee vinden we: ɛ F = 2.1 10 5 ev = 2.4 10 9 K. Omdat de temperatuur in het binnenste van een witte dwerg in de orde van 10 7 K ligt, wat veel kleiner is dan de Fermi temperatuur van het elektronen gas, kunnen we concluderen dat het gas gedegenereerd is. De reden dat we het gas uit slechts elektronen opgebouwd denken, en daarbij dus de protonen en neutronen buiten beschouwing laten, komt door het feit dat protonen en neutronen veel zwaarder zijn. De Fermi energie is omgekeerd evenredig met de massa en protonen en neutronen zijn ongeveer een factor 1800 zwaarder dan elektronen. De temperatuur van de protonen en neutronen is dus hoger dan de Fermi temperatuur en het ionengas is niet gedegenereerd en levert een verwaarloosbare bijdrage aan de degeneratie druk. 3.2 de energie van een witte dwerg De energie van het elektronengas zorgt voor veruit de grootste bijdrage aan de energie van een witte dwerg. We zullen dus de energie van het elektronengas bepalen, zodat we een goede schatting verkrijgen van de energie van een witte dwerg. Voor de energie van een elektronengas geldt: U 0 = 2 n n F ɛ n, waarbij de 2 komt van het voorkomen van twee spintoestanden per ruimtelijke toestand, die beide dezelfde energie hebben. Er wordt maar tot n F gesommeerd

3 Witte Dwergen 7 zodat we eigenlijk de energie verkrijgen in de limiet van T naar 0. Bij hogere temperaturen is de bijdrage van hogere energieniveau s van kleine orde, zodat de som een goede schatting is. Om deze som uit te rekenen, schrijven we hem om naar een integraal met gebruikmaking van vergelijking 1 voor de energieën van de energieniveau s : U 0 = 2 1 nf 8 4π n 2 ɛ n dn = π3 0 2m ( ) 2 nf n 4 dn. L 0 We schrijven U 0 om er aan te herinneren dat we eigenlijk de energie uitrekenen bij T = 0. Rekenen we de integraal uit en gebruiken we vergelijking 2, dan vinden we: 3.3 relativistische effecten U 0 = 3 5 Nɛ F. (4) Relativistische effecten spelen een rol als de kinetische energie van de elektronen van dezelfde orde van grootte is als de rustenergie. Voor de rustmassa van een elektron geldt ɛ 0 = mc 2 = 5.1 10 5 ev, en dit is van dezelfde orde als de Fermi energie van het elektrongas. We mogen dan ook concluderen dat relativistische effecten een belangrijke rol spelen en dat ze niet de overhand hebben. Hieronder volgt een korte behandeling met gebruikmaking van de uitdrukking van de energie in het relativistische domein: ɛ = (mc 2 ) 2 + (pc) 2. De energieniveau s voor een deeltje in een doos met volume V = L 3, zijn nu: ɛ n = (mc 2 ) 2 + ( ) nπ 2 L c. (5) Gebruiken we deze ɛ n om de totale energie U uit te rekenen, dan zien we al snel dat de integraal moeilijk te berekenen is. Maken we echter de vereenvoudiging nπ~ waarin we de rustenergie verwaarlozen, zodat we voor de energieniveau s ɛ n = L c overhouden, dan vinden we voor de totale energie: met ɛ F,rel = n F π~ U = 3 4 Nɛ F,rel, (6) L c de Fermi energie voor het gas in de relativistische beschouwing. Wanneer we een witte dwerg hebben met een lage dichtheid, dan kan het best gebruik gemaakt worden van uitdrukking 4 voor de energie, afgeleid met de nietrelativistische methode. Als de dichtheid erg hoog is, zodat de elektronen erg grote snelheden hebben en hun rustmassa s te verwaarlozen zijn, dan kan gebruik gemaakt worden van uitdrukking 6 voor de energie, die afgeleid is met gebruikmaking van de relativistisch correcte formule voor de energie. Het beste resultaat verkrijgt men echter door formule 5 in te vullen in de integraal waarmee de energie berekend wordt. In concrete gevallen kan die integraal numeriek worden opgelost.

3 Witte Dwergen 8 3.4 stabiliteit van een witte dwerg Een witte dwerg is stabiel als zijn totale energie minimaal is. Dat wil zeggen als de afgeleide van de som van de energie van het elektronengas en de gravitationele energie gelijk is aan 0. Om een uitdrukking te krijgen voor de gravitationele energie bekijken we de bijdrage van een bolschil op afstand r van het middelpunt. Deze schil heeft dus een massa m(r) = ρ(r) 4πr 2 dr. Nu geldt voor de bijdrage van elke schil: du = G M(r)m(r), r met M(r) de massa van dat deel van de bol (de ster) waarvoor geldt r < r. Maken we nu de aanname dat de dichtheid ρ(r) constant is, dan vinden we: du = G ( 4 3 πr3 ρ)(4πr 2 drρ) r = 16Gπρ2 r 4 dr. 3 Integreren we over r, dan vinden we met gebruikmaking van ρ = M 4 3 πr3 : du = 3 GM 2 5 R. Voor de totale energie geldt nu met gebruikmaking van vergelijkingen 4 en 3: U tot = 3 5 N 2 2m ( 3π 2 N V ) 2/3 3 GM 2 5 R. (7) Nemen we nu de afgeleide naar R en stellen we die 0, dan vinden we voor R: R = ( ) 3 2 3 1/3 2GM 2 m 2 π2 N 5. Dit leidt voor een witte dwerg met een zonsmassa en bestaande uit alleen helium M (N = 2 2m p +2m n ) tot een straal van 7.2 10 3 km. Ook kunnen we aan de uitdrukking zien dat bij toenemende massa de straal afneemt: zwaardere witte dwergen zijn dus kleiner in tegenstelling tot gewone sterren. Als de totale energie kleiner is dan 0 zal de witte dwerg instabiel worden en instorten, omdat dan de naar binnen gerichte gravitatie druk groter is dan de naar buiten gerichte degeneratie druk. We zullen nu in de uitdrukking voor de totale energie de relativistische uitdrukking voor de energie van het gas gebruiken, vergelijking 6, omdat bij het instorten grote dichtheden bereikt zullen worden. Het criterium voor instabiliteit luidt U tot,rel 0, wat leidt tot: ( ) 5 c 9π 1/3 M N 4 G 4 4/3. Vullen we ook hier weer in N = 2 massa: M 2m p+2m n, dan vinden we voor de maximum

4 Neutronensterren 9 M max = 1.2M. Deze massa staat bekend als de Chandrasekhar limiet. Worden nauwkeuriger berekeningen gevolgd, waarin onder andere de dichtheid niet constant genomen wordt en waarin niet van alleen helium wordt uitgegaan, dan vindt men een massa van 1.44M. 4 Neutronensterren Onder de aanname dat een neutronenster goed te beschrijven is door een gedegenereerd neutronengas, dat door invers-bètaverval uit de verzameling van losse elektronen, protonen en neutronen ontstaat, worden de energie afgeleid en de stabiliteit besproken. Een rechtvaardiging voor deze aanname is te vinden in het volgende. Tijdens het instorten krijgen de elektronen een zodanig hoge energie dat het omgekeerde van bètaverval kan plaatsvinden. Een elektron vormt samen met een proton een neutron en een neutrino. De neutronen zullen dus in aantal stijgen en zeker relatief ten opzichte van de protonen en elektronen. 4.1 de energie van een neutronenster We nemen aan dat een neutronenster goed te beschrijven is door een relativistisch gedegenereerd neutronengas. Het berekenen van de energie van een neutronenster komt dan ook neer op het berekenen van de energie van zo n gas. Het resultaat hiervan is natuurlijk hetzelfde als voor elektronen (in het relativistische geval vanwege de hoge dichtheid), vergelijking 6; alleen in de Fermi energie staat m voor de massa van een proton in plaats van die van een elektron. Er geldt dus voor de energie: U = 3 4 Nɛ F,rel. Nu zullen we de massadichtheid en neutronendichtheid bepalen (onder de aannamen M = 2.0M en R = 10 km) om daarmee en met de vergelijking voor ɛ F,rel, die onder vergelijking 6 te vinden is, de Fermi energie te bepalen: ρ = 9.5 10 20 gm 3 n = 5.7 10 44 m 3 ɛ F = 5.1 10 8 ev = 5.9 10 12 K. 4.2 stabiliteit van een neutronenster Gebruiken we relativistisch correcte formules voor U tot om daaruit de straal R te vinden waarvoor de energie een minimum aanneemt, dan zien we dat de R- afhankelijkheid eruit valt. We kunnen met gebruik van deze formules dus geen

4 Neutronensterren 10 waarde voor R vinden waarvoor de energie een minimale waarde aanneemt. Gebruiken we echter de minder geschikte vergelijking 7, dan vinden we voor R: R = 9.8 10 3 m, wat goed overeenkomt met de eerder gebruikte 10 km. Berekenen we verder nog de massa waarvoor de totale energie gelijk wordt aan 0, waarbij we wel gebruik maken van de relativistische formules, dan vinden we: M max = 1.5M. Nauwkeuriger berekeningen, waarbij onder andere weer de dichtheid in de ster niet constant wordt genomen en waarbij niet de aanname wordt gemaakt dat er slechts neutronen in de ster voorkomen, laten zien dat de zogenaamde Oppenheimer- Volkoff-limiet ergens tussen de 2 en 3 zonsmassa s ligt.

4 Neutronensterren 11 Zie http://www.phys.uu.nl/~vbrug/vakken/tf2/paper voor het Mathematica notebook dat gebruikt is bij het berekenen van de verschillende numerieke resultaten. Referenties [1] R. Sexl en H. Sexl (1979), White Dwarfs-Black Holes, (New York: Academic Press). [2] C. Kittel en H. Kroemer (2002), Thermal Physics, (New York: W.H. Freeman and Company). [3] http://www.wikipedia.org, the Online Encyclopedia. [4] E. Weisstein, http://scienceworld.wolfram.com/physics, Eric Weisstein s World of Physics.