Module In november 00 legde een stroomstoring een gedeelte van Europa plat. Overal moesten de kaarsen aan. oordat een gedeelte van het elektriciteitsnet uitviel, was er te weinig capaciteit om aan de vraag te voldoen. Om na te gaan of er aan de vraag kan worden voldaan, kun je gebruik maken van het optimaliseren van de grootte van een stroom in een netwerk. Je kijkt dan hoe groot de maximaal mogelijke stroom is in het net. In november kon er te weinig stroom van de ene plaats naar een andere plaats gestuurd worden via het nog werkende gedeelte van het netwerk. Een probleem waarbij je nagaat hoe groot de maximale stroom is die van de ene plaats in een netwerk naar een andere plaats in het netwerk gestuurd kan worden, noemt men: een maximale-stroom probleem. efinitie : ij een maximale-stroomprobleem ga je na hoe groot de maximale stroom is, die je van een beginknoop bron, naar een eindknoop put kan sturen. aarbij kan stroom meer betekenen dan de letterlijke vertaling. Er kan een stroom aan informatie, boodschappen, voertuigen, vloeistof, elektriciteit, enzovoorts worden bedoeld. Vaak wordt daarbij duidelijk op welke plaatsen in het netwerk problemen ontstaan. Een voorbeeld van een netwerk waarbij de maximale stroom bepaald kan worden is gegeven in figuur. E F G Figuur
Module Knoop stelt bijvoorbeeld een olieveld voor en knoop de raffinaderij. Knoop is hier de bron en knoop de put. Er moet zoveel mogelijk olie door het netwerk van pijpleidingen gestuurd worden van naar. Langs de takken in het netwerk staan getallen, die de maximale capaciteit (eenheden olie) aangeven die door een pijpleiding gestuurd kan worden. fspraken: fspraak : In de knopen t/m G kan geen olie worden opgeslagen en daar vindt ook geen productie plaats. et gevolg is dat er evenveel olie moet vertrekken uit de knopen t/m G als er in ieder van die knopen aankomt. fspraak : lleen in de aangegeven richting kan olie door de pijpleidingen gestuurd worden. Oefening edenk zelf een methode om zoveel mogelijk olie van naar te sturen door dit netwerk. et gaat vooral om het vinden van een methode! et gaat er niet om of het de juiste oplossing is. Er bestaan algoritmen (een soort recepten) om tot een maximale stroom te komen. it algoritme gaan we stap voor stap doornemen aan de hand van het voorbeeld in figuur. 7 E = bron E = put Figuur In het netwerk staan bij de takken (verbindingspijlen) van het netwerk getallen. et getal 7 bij de tak tussen en geeft aan dat er maximaal 7 eenheden per tijdseenheid door die leiding kunnen gaan, de capaciteit van deze leiding. et probleem waaraan we gaan werken is om na te gaan op welke manier we zo veel mogelijk olie per tijdseenheid van naar E kunnen transporteren: hoe vind je de maximale stroom? et algoritme om tot een maximale stroom te komen laten we in de volgende stappen zien. Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Module Stap Kies willekeurig een route van naar E door het netwerk: bijvoorbeeld de route --E. e leiding met de kleinste capaciteit van die route is de verbinding tussen en E, namelijk. We kunnen dus over de route --E een hoeveelheid van eenheden per tijdseenheid sturen. Voor de tak van naar blijft dan nog een (rest)capaciteit van = eenheden over. We krijgen dan het volgende plaatje (figuur ). [] 0 [] 7 E = bron E = put Figuur et getal voor knoop geeft aan dat we nu eenheden olie van naar E hebben gestuurd. et getal naast [] geeft aan dat we op de tak tussen en nog een capaciteit van eenheden per tijdseenheid over hebben. Tenslotte geeft het getal 0 naast [] op de tak tussen en E aan dat over de tak tussen en E alle capaciteit is verbruikt. Stap Zoek een route die geen verbindingen bevat, waarop de gehele capaciteit is verbruikt. Zo n route is bijvoorbeeld ---E. e route ---E heeft als verbinding met de laagste capaciteit de tak tussen en. Stuur nu eenheden over de route ---E. at geeft het volgende plaatje (figuur ). [] 0 [] [7] E 0 [] [] = bron E = put Figuur Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Stap Module Er blijven nog routes over waarop nog niet de hele capaciteit gebruikt is. Een ervan is de route --E. e laagste capaciteit op die route is. We sturen dus eenheden over de route --E (figuur ). [] 0 [] 9 [7] E [] 0 [] 0 [] = bron E = put figuur Stap Er zijn nog twee routes te vinden waarop nog capaciteit over is: de routes --E en ---E. Kiezen we de route --E om die te optimaliseren dan krijgen we figuur a en het eindresultaat, weergegeven in figuur b. [] 0 [] 0 [7] 0 [] E [] 0 [] 0 [] = bron E = put figuur a 0 7 E = bron E = put figuur b (eindsituatie) Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Module Maar pas op: de getallen langs de takken geven in de eindsituatie aan hoeveel olie er door iedere leiding stroomt. Oefening We gaan a. Ga nu na terug dat in naar geen het van eerste de knopen probleem, en en bekijken sprake opnieuw is van een het netwerk ophoping van figuur van. olie. b. Waarom kan het getal bij de bron niet worden verhoogd? We In gaan de tekst terug hierboven naar figuur zijn. steeds Wanneer keuzes je voor gemaakt een bepaalde als het ging stroom om routes gekozen hebt, waarop wil de je soms totale daarin capaciteit ook nog veranderingen niet gebruikt kunnen is. aanbrengen. Om dat voor elkaar c. te Kies krijgen nu zelf voeren andere we routes tegengesteld of dezelfde gerichte routes pijlen in een aan andere het netwerk volgorde toe, en die aangeven ga hoeveel na welke stroom eigenschappen door die tak van gestuurd een optimale is. Langs doorstroming de andere er pijl zetten veranderen en welke gelijk blijven. We gaan terug naar figuur. Wanneer je voor een bepaalde stroom gekozen hebt, wil je soms daarin ook veranderingen kunnen aanbrengen. Om dat voor elkaar te krijgen voeren we tegengesteld gerichte pijlen aan het netwerk toe, die aangeven hoeveel stroom door die tak gestuurd is. Langs de andere pijl zetten we dan de resterende hoeveelheid stroom die nog verstuurd kan worden. We sturen een stroom door het netwerk van figuur van naar via en G. at betekent dat we van naar een pijl met waarde tekenen en dat van naar een pijl met waarde ( ) overblijft. Van G naar ook een pijl van en van naar G een pijl en tenslotte van naar G een pijl. Van G naar kan geen stroom meer gestuurd worden (zie figuur 7). In het blauwe vierkantje staat de hoeveelheid stroom die we gestuurd hebben en de tegengesteld gerichte pijlen zijn met rood getekend. E F G Figuur 7 e volgende stap is een stroom van via de weg EF (geen logische keuze). We passen het netwerk weer aan en krijgen figuur 8. Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Module E F G Figuur 8 e volgende stap is een stroom via de weg E. We passen het netwerk weer aan en krijgen figuur 9. E F G Figuur 9 Je ziet dat door het gebruik van tegengesteld gerichte pijlen we de stroom van die we van naar E hadden gestuurd weer hebben teruggedraaid. e laatste stap is een stroom van via de route EF. Na aanpassen van het netwerk krijgen we dan figuur 0. Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Module 8 E F G Figuur 0 Er is nu geen stroom meer mogelijk van naar. it kunnen we onderzoeken door de knopen in het netwerk te labelen. We beginnen in punt en geven de knooppunten die we vanuit kunnen bereiken een *. at is alleen E. an kijk je welke knopen je vanuit E kunt bereiken. at is F en die geef je ook een *. Zo loop je alle knopen af en het resultaat zie je in figuur. Je ziet dat je de punten en niet meer kunt bereiken, dus is er geen extra stroom meer mogelijk. * 8 * * E* F* G* Figuur ij maximale stromen geldt het volgende principe: e waarde van de maximale stroom is gelijk aan de capaciteit van de minimale snede (max flow, min cut). We zullen dit toelichten. We moeten eerst afspreken wat we onder een snede verstaan. We verdelen de knooppunten in twee verzamelingen S en T In verzameling S zit de bron ( in ons probleem) en in verzameling T zit de put ( in ons probleem). e bron en de put kunnen nooit in dezelfde verzameling zitten. lle takken, die van de knooppunten uit de verzameling S naar de knooppunten Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - 7 -
Module in de verzameling T gaan, vormen samen de snede. In figuur zijn snede (zwart) en snede (blauw) twee mogelijkheden van een snede. snede snede E F G minimale snede Figuur In de figuren en hebben we de twee verzamelingen getekend met alle takken die van verzameling S naar verzameling T gaan met de bijbehorende capaciteiten. S T snede capaciteit E. F G. Figuur Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - 8 -
Module S T snede capaciteit. E G. F Figuur Met rood is in figuur ook een minimale snede aangegeven. In dit geval is de snede zodanig gekozen, dat in de verzameling S alle gelabelde knopen zitten en in de verzameling T alle ongelabelde knopen. Zoals je kunt zien is de capaciteit van deze snede inderdaad gelijk aan de maximale stroom van 8 (zie figuur ). S. T minimale snede capaciteit 8. E. F G. Figuur Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - 9 -
Module Opgaven epaal van alle onderstaande netwerken de maximale stroom van de bron naar de put met het beschreven algoritme en controleer je antwoord met de max-flow min-cut theorie. Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - 0 -
Module ls onderdeel van een tijdelijke omleiding moet snelwegverkeer door een stad geleid worden. e snelweg kan 000 auto s per uur aan gedurende piekuren. Er is een verzameling van mogelijke routes door de stad voorgesteld. e straten van het wegennetwerk en de bijbehorende capaciteiten zijn gegeven in de tabel, waarbij E het punt is waar de auto s de stad binnenkomen, J, J, J, J en J de kruisingen zijn van het wegennetwerk. L staat voor het punt waar de auto s de stad weer verlaten. e stroomcapaciteiten zijn gegeven in eenheden van 00 auto s per uur. e meeste straten zijn straten met eenrichtingsverkeer. Is het mogelijk om 000 auto s per uur op te vangen met dit wegennetwerk? Naar E J J J J J L Van E - 7 9 8 * * * J * - * 7 * * J * - 7 * J * * - * 8 * J * * * * - 0 J * * * * * - Er vindt een belangrijk sportevenement plaats in Rome. Om supporters vanuit msterdam naar Rome te vervoeren zijn er vliegverbindingen tussen verschillende steden. Een reisorganisatie wil onderzoeken hoeveel supporters maximaal van msterdam naar Rome vervoerd kunnen worden. e getallen in deze opgave zijn verzonnen. e steden met luchthavens zijn: msterdam (); erlijn (N); Londen (L); russel (L); üsseldorf (); Parijs (P); Geneve (G); Madrid (M) en Rome (R). In onderstaande tabel staat aangegeven hoeveel passagiers van elke plaats naar een andere plaats maximaal vervoerd kunnen worden. Van N L L P G M R Naar - * * * * * * * * N - * * * * * * * L * - * * * * * * L 9 * * - * * * * 8 * * - * * * * P * * * - * * * G * * 7-8 * M * * 9 8 * 7 * - * R 0 * 7 * * 7 - Onderzoek hoeveel supporters maximaal vervoerd kunnen worden van msterdam naar Rome. Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Module ntwoorden e maximale stroom is. e maximale stroom is 9. e maximale stroom is. e maximale stroom is. et is mogelijk, de maximale stroom is, ofwel 00 auto s. Er kunnen maximaal 7 supporters naar Rome vervoerd worden. Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Module estuderen wetenschappelijk materiaal. I. Paragraaf 9. uit Operations Research van illier en Lieberman tot Using Excel (blz. 9). Opdracht. Lees het eerste gedeelte tot n lgorithm op blz. 90 en probeer zoveel mogelijk te begrijpen van de tekst. Ga het gedeelte nu aandachtiger lezen en noteer alle belangrijke Engelse woorden en hun Nederlandse betekenis. Maak nu een samenvatting over dit gedeelte in het Nederlands. Opdracht. Lees het volgende gedeelte tot pplying This lgorithm Lees het gedeelte nu aandachtiger door en noteer weer alle belangrijke Engelse woorden en hun Nederlandse betekenis. Vertel nu in eigen woorden de afspraken en de manier waarop het algoritme werkt. Opdracht. Lees het laatste gedeelte door. Lees het gedeelte nu aandachtiger door en noteer weer alle belangrijke Engelse woorden en hun betekenis. oe dezelfde stappen als in het boek genoemd voor jezelf op een apart papier. Vertel het max-flow-min-cut principe in je eigen woorden. II. Paragraaf. uit Operationele analyse van enk Tijms. (Opm.: gebruik eventueel voor dit gedeelte de powerpointpresentatie) Opdracht. Lees het gedeelte op blz. tot Voordat we de basisgedachten Opdracht. Lees het gedeelte van asisidee van het maximaalstroomalgoritme tot figuur.. Welke afspraken staan in dit gedeelte en welke symbolen worden gebruikt. Wat is het verschil tussen x (0) en x ij (0). Opdracht. Lees verder tot e labelprocedure. Leg het begrip stroomvermeerderende keten in eigen woorden uit. Leg de begrippen Δ f en Δ b uit in eigen woorden. Opdracht. Lees de gedeeltes e labelprocedure en Illustratie. eschrijf de labelprocedure in eigen woorden. oe dezelfde stappen als in Illustratie genoemd voor jezelf op een apart papier. Opdracht. Lees het gedeelte Maximale stroom/ Minimale snede. Noteer voor je zelf welke letters gebruikt worden en wat ze betekenen. Leg het gedeelte uit in je eigen woorden. Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -
Module III. Paragraaf. uit Optimaliseren in netwerken van prof. Roos. Opdracht. Lees het gedeelte tot figuur. Noteer de verzameling V tussen accolades. Noteer de verzameling E tussen accolades. Geef van elke tak aan wat zijn capaciteit is. Wat wordt bedoeld met de balansvergelijkingen () en (). Vertel in eigen woorden wat bedoeld wordt met de waarde van de stroom x. Lees nu het tweede gedeelte tot je onder stelling. (max-flow min cut stelling) vormt hiervan het bewijs tegen komt. Probeer steeds te begrijpen wat er in de verschillende uitdrukkingen en teksten bedoeld wordt Kerngroep elft Wiskunde : Wiskunde in wetenschap - -