INFORMATIEMAPPEN REKENEN GROEP 7-8 ONDERSTEUNINGSARRANGEMENT REKENEN Schooljaar 2015-2016 Laura van de Pol Saskia Tjikoeri-Engelbregt Jeroen van der Jagt Coördinator: J. van der Jagt e-mail: j.vanderjagt@ec-rotonde.nl
Inhoudsopgave Hoofdstuk 1: Introductie. Pagina 2 Hoofdstuk 2: Rekenonderdelen.. Pagina 3 Hoofdstuk 3: De referentieniveaus. Pagina 6 Hoofdstuk 4: Het Drieslagmodel Pagina 8 Hoofdstuk 5: Het Handelingsmodel... Pagina 13 Hoofdstuk 6: De Vertaalcirkel Pagina 16 Hoofdstuk 7: Tips/Werkbladen Reken Pagina 19 Hoofdstuk 8: Rekenspelletjes. Pagina 21 Hoofdstuk 9: Handige Websites. Pagina 22 Bijlagen Vanaf Pagina 24 1
Hoofdstuk 1: Introductie Deze map is gemaakt als steuntje in de rug voor leerkrachten wanneer zij te maken krijgen met moeilijkheden in het rekenonderwijs. Het idee komt voort uit het landelijk protocol Ernstige Reken Wiskundeproblemen en Dyscalculie (ERWD), ontwikkeld voor de integrale aanpak van ernstige reken wiskunde problemen en Dyscalculie. Doelgroep Het protocol ERWD richt zich op rekenwiskunde-onderwijs aan alle leerlingen in de leeftijd van 4 tot 12 jaar in het basisonderwijs (BO), het speciaal basisonderwijs (SBO) en het speciaal onderwijs (SO). Deze map is specifiek gericht op rekenonderwijs aan groep 7 en 8, en binnen deze map zijn verschillende handige modellen, uitwerkingen en hulpmiddelen gebundeld om de leerkracht te kunnen assisteren in het bieden passend rekenwiskundeonderwijs. Definitie Rekenwiskunde-onderwijs is functionele gecijferdheid, afgestemd op de mogelijkheden van idere individuele leerling. Hierbij gaat het om adequaat kunnen handelen in functionele, dagelijkse situaties. Het protocol ERWD geeft aanwijzingen om dit doel langs een aantal stappen te bereiken, met name wanneer de rekenwiskundige ontwikkeling van een leerling niet optimaal verloopt. Daarom zal het protocol ERWD een grote hoofdlijn zijn in deze map, met aanvulling van verschillende bronnen, modellen en theorieën om een zo compleet mogelijk hulpaanbod te kunnen bieden. Rekenen in groep 7-8 In groep 7 en 8 doet het rekenen steeds meer een beroep op de formele rekenkennis en rekenvaardigheden van de leerlingen. Dit is nodig om goed te kunnen participeren in het voortgezet onderwijs. De koppeling met het concrete, informele handelen blijft echter onmisbaar om bruikbare kennis en vaardigheden te ontwikkelen voor het dagelijks leven. In de bovenbouw wordt het domein informatieverwerking toegevoegd, ofwel het leren zien en begrijpen van verbanden. De leerlingen leren informatie lezen, begrijpen, interpreteren en zelf opstellen met behulp van tekst, afbeeldingen, tabellen en grafieken. Ze kunnen daardoor ook steeds complexere opdrachten uitvoeren. Samenwerken wordt een steeds belangrijker aspect. Vanaf groep 6 zullen zwakkere leerlingen steeds duidelijker zichtbaar worden en sneller afhaken. Ook kunnen zij problemen hebben met het verwerken van de hoeveelheid nieuwe leerstof. Belangrijk is om in de bovenbouw te kijken welke kennis en vaardigheden ook de zwakke leerlingen minimaal nodig hebben om te kunnen functioneren in de maatschappij. 2
Hoofdstuk 2: Rekenonderdelen groep 7-8 Getallen en Bewerkingen Van de gemiddelde en betere leerlingen wordt verondersteld dat zij de basisvaardigheden vlot gebruiken. Zij kunnen hoofdrekenen met mooie getallen tot 1000000. Zij kunnen berekeningen uitvoeren op papier en daarbij gebruik maken van algoritmes en de rekenmachine. Zij kunnen schattend rekenen met lastige getallen en afronden op mooie getallen. Juist in deze fase blijft het belangrijk dat de leraar de rekenwiskundige vaardigheden blijft koppelen aan opdrachten uit de dagelijkse leefwereld. Opdrachten moeten wel uitdagend zijn, zodat de leerlingen ook echt moeten nadenken, redeneren en rekenen. Met name opdrachten die een beroep doen op logisch redeneren en op kennis van eigenschappen van getallen en bewerkingen bevorderen niet alleen vaardigheid, maar ook het inzicht. De leerlingen kunnen schattend het antwoord benaderen, bijvoorbeeld bij 54x251. Zij kunnen de bewerking uitvoeren met het algoritme en met de rekenmachine, maar ook met een kruistabel. Doordat leerlingen meerdere procedures tot hun beschikking hebben, kunnen zij hun oplossingsprocedures kiezen en afstemmen op hun eigen sterkste manier van rekenen. De kruistabel is bijvoorbeeld een goed alternatief voor leerlingen die problemen hebben met cijferen en kolomsgewijs rekenen. Verhoudingen Binnen het domein Verhoudingen wordt gerekend met verhoudingen, breuken, decimale getallen en met procenten. Ook schaalberekeningen zijn onderdeel van dit domein. Breuken en decimale getallen vormen een belangrijk onderdeel van het rekenen in de bovenbouw. De leerlingen leren redeneren met verhoudingentaal en breukentaal, ontwikkelen inzicht in breuken en leren bewerkingen uitvoeren met breuken. Bij bewerkingen lopen we tegen de vraag aan wat voor leerlingen haalbaar is. Eenvoudige bewerkingen met stambreuken en de meest voorkomende breuken als ¾, 2/3 en 4/5 zijn voor de meeste leerlingen uitvoerbaar, doordat ze ook op heel concreet niveau kunnen worden gevisualiseerd. Bij een opdracht als 7/16+3/7 is dat veel moeilijker. Voor de rekenzwakke leerlingen is het voldoende als zij de basisbewerkingen met de meest voorkomende breuken kunnen uitvoeren en daarbij in staat zijn om breuken om te zetten naar decimale getallen. De rekenmachine is hierbij een goed hulpmiddel. Rekenen met decimalen, zonder en met de rekenmachine, is een essentiële vaardigheid. Daarbij is beheersing van breukentaal en verhoudingentaal wel essentieel om ermee te kunnen rekenen, bijvoorbeeld het verschil weten tussen 1 op 4 en 1 van de 4 en dit bij berekeningen 3
kunnen omzetten in breuken, procenten of een decimaal getal. Van leerlingen wordt verwacht dat zij kunnen rekenen met mooie percentages als 10% en 25%. De betere rekenaars kunnen alle bewerkingen met procenten uitvoeren. Inzicht in het begrip schaal, zoals bijvoorbeeld 1:100 op een bouwtekening en het kunnen uitvoeren van eenvoudige berekeningen daarmee, zijn ook onderdeel van het domein Verhoudingen. Leerlingen kunnen de maten in de tekening of de afstanden op de plattegrond omrekenen naar de maten en afstanden in de werkelijkheid en andersom. Meten en Meetkunde In het subdomein Meten leren de leerlingen werken met standaardmaten en met bijbehorende afleidingen binnen het metriek stelsel. Het kunnen rekenen met decimale getallen is hierbij een vereiste. Bij het meten gaat het om praktisch kunnen gebruiken van maateenheden en het uitvoeren van berekeningen in allerlei dagelijkse meetsituaties. Een goede beheersing van het metriek stelsel is een basisvoorwaarde om te kunnen functioneren in veel beroepen. Het betekent dat de leerlingen de onderlinge relaties binnen het stelsel niet alleen kennen maar ook begrijpen en kunnen toepassen. Inzicht in de onderlinge relaties van maten binnen het metriek stelsel is voorwaarde om goed te kunnen rekenen met maateenheden. Leerlingen weten bijvoorbeeld dat het volume van een vak van 1m 3 gelijk is aan 1000 dm 3 en dat daar 1000 liter water in kan. Bij het rekenen met geld leren leerlingen ook werken met andere vormen van betalen. Veel leerlingen zullen al een eigen bankrekening hebben en zijn soms al gewend aan het betalen met een bankpas. Ook kunnen zij al ervaring hebben met het betalen via internet. Bij het onderdeel tijd gaat het erom dat leerlingen vlot kunnen rekenen met uren, minuten, seconden, dagen, maanden en jaren. Zij kunnen een eigen werkschema maken en een weekschema met tijden invullen. Ze kunnen reistijd berekenen waarbij het gaat om het verband tussen tijd, afstand en snelheid. Zij kunnen bijvoorbeeld met behulp van een reis of route planner bepalen hoe laat ze van huis moeten vertrekken om op tijd op een afspraak te zijn. Informatieverwerking Een functionele toepassing van rekenwiskundige kennis en vaardigheden is het begrijpen en interpreteren van informatie die ons dagelijks via de media bereikt. Dat kan via tekst, beelden of ii n de vorm van tabellen en grafieken. Daarnaast leren de leerlingen om zelf informatie op allerlei manieren weer te geven. Actief zelf ervaring opdoen met het weergeven van informatie vormt de basis voor het begrijpen van wat er in de wereld om ons heen gebeurt. Daardoor is informatieverwerking te beschouwen als onderdeel van functionele gecijferdheid. Bij het domein Informatieverwerking worden rekenwiskundige kennis en vaardigheden uit de overige domeinen geïntegreerd toegepast. 4
Aansluiting op het voortgezet onderwijs Leerlingen van groep 8 stromen op zeer uiteenlopende niveaus uit naar het voortgezet (speciaal) onderwijs. De school draagt het onderwijskundig rapport over aan de school voor voortgezet (speciaal) onderwijs waar de leerling naartoe gaat. Hierin staat de basisschoolcarrière van de leerling beschreven. De school beschrijft tot op welk niveau de leerling is gekomen op de vier domeinen van referentieniveau 1F en 1S (zie Referentieniveaus ). Dit wordt onderbouwd met toetsresultaten. Dit geldt voor alle leerlingen. Om een goede aansluiting te bevorderen is intensieve samenwerking tussen scholen voor basisonderwijs en voortgezet onderwijs van belang. TIP: Begin de les met een warming-up! Om de leerlingen een goede warming-up te geven voor de rekenles en om zelf goed in te schatten in hoeverre bepaalde vaardigheden al goed beheerst worden (en door wie!) geeft de volgende kwaliteitskaart handige tips om een warming-up van 5 à 10 minuten te doen aan het begin van de (reken)les. Het kan in de vorm van een spelletje, een wedstrijdje, of gewoon een klassikale test. Bijlage 1: Kwaliteitskaart Warming-Up 5
Hoofdstuk 3: De Referentieniveaus, tips & overzicht Bijlage 2: Wat zijn de referentieniveaus? Een kwaliteitskaart over referentieniveaus, met handige websites voor meer informatie. Wanneer heb werk je met het goede referentieniveau? Welk niveau moet mijn leerling beheersen? Bijlage 3: Wegwijzer van passende perspectieven Blz 7-11 Voor wie zijn de referentieniveaus bedoeld? En hoe wordt de uitstroom naar het voortgezet onderwijs bepaald? Tip!: Durf te kiezen in doelen voor zwakke rekenaars! Bijlage 4: 19 tips voor het omgaan met doelen voor zwakke rekenaars in de klas Referentieniveaus, hoe verder? Passende perspectieven! 1S is het streefniveau voor alle leerlingen. Wanneer het allemaal wat lastiger gaat, kies je voor 1F (Zie bijlage 2). Wanneer leerlingen ook 1F niet lijken te kunnen halen, kun je overstappen op een leerroute. Er zijn twee groepen leerlingen ingedeeld: De ene groep leerlingen heeft (boven)gemiddelde cognitieve capaciteiten, maar heeft rekenproblemendoor een specifieke beperking of stoornis. De andere groep heeft rekenproblemen vanwege lage(re) cognitieve capaciteiten. De twee groepen leiden tot drie leerroutes: Groep 1, leidend tot leerroute 1: Deze leerlingen kunne principe na het primair onderwijs uitstromen naar hogere vormen van voortgezet (speciaal) onderwijs: Gemengde (gl) of theoretische leerweg (tl) in het vmbo, havo of vwo. In leerroute 1 blijven alle in het referentiekader genoemde doelen van toepassing. Voor leerlingen die deze leerroute krijgen aangeboden, is belangrijk dat hen voldoende hulpmiddelen ter beschikking staan en dat bij toetsing rekening gehouden wordt met hun beperking. 6
Groep 2a: Leidend tot leerroute 2 Bij deze groep leerlingen is er sprake van een cognitieve beperking, en wellicht daarnaast nog van een gedragsstoornis en een fysieke of zintuiglijke beperking. Het gaat om leerlingen met specifieke onderwijsbehoeften die na het primair onderwijs doorgaans doorstromen naar vmbo-b/k al dan niet met leerwegondersteuning. Vaak halen zij 1F op 14-jarige leeftijd. Tevens is er een fundament gelegd voor het halen van 2F op 16-jarige leeftijd. Voor deze leerlingen is leerroute 2 ontwikkeld. Hier zijn sommige doelen lichtblauw gekleurd; de bij deze doelen behorende lesstof kan wel aangeboden worden, maar er hoeft in het primair onderwijs geen nadruk op te liggen. Groep 2b: Leidend tot leerroute 3 De leerlinge uit deze groep hebben lage cognitieve capaciteiten. Het zijn de leerlingen met een specifieke onderwijsbehoefte die doorstromen naar het praktijkonderwijs of vso arbeid. Voor leerlingen uit deze groep is het van belang in het primair onderwijs zoveel mogelijk functioneel met rekenen bezig te zijn. Ook in het vervolgonderwijs werkenzij aan het alsnog behalen van referentieniveau 1F. Voor deze leerlingen is leerroute 3 ontwikkeld. Voor heb zijn keuzes in doelen gemaakt met name met betrekking tot de functionaliteit van de doelen, de mate van formalisering en de eisen die worden gesteld aan automatisering/memorisering. Bijlage 5: Doelenkaarten Passende Perspectieven Voor de specifieke leerdoelen per leerroute, zie de doelenkaarten van Passende Perspectieven 7
Hoofdstuk 4: Rekenen met het drieslagmodel Afbeelding 1: Het drieslagmodel Het drieslagmodel wordt gebruikt voor het analyseren van probleemoplossend handelen van de leerling en het biedt aanknopingspunten voor het didactisch handelen van de leerkracht. Rekenen in het dagelijks leven is altijd ingebed in authentieke en functionele situaties. Zo n situatie is vaak een complex, samenhangend geheel van tekst en beeld soms in combinatie met geluid waaruit informatie moet worden afgeleid (bijvoorbeeld reclamefolder, reclame op televisie, handleiding). Op basis daarvan neemt iemand een beslissing, geeft een reactie of voert een handeling uit. Om dat te kunnen doen moet iemand, in dit geval de leerling, de situatie eerst identificeren en begrijpen, de getalsmatige informatie eruit filteren en deze betekenis geven. Dat de leerling zelf deel uitmaakt van de situatie en er soms emotioneel bij betrokken is, maakt de analyse extra ingewikkeld. Vervolgens bepaalt de leerling wat hij of zij met de informatie gaat doen. In veel situaties zal hij of zij daarbij iets moeten uitrekenen. Op grond van de uitkomst gaat de leerling al dan niet tot actie over. Daarna kan hij of zij beoordelen of zijn actie juist of verstandig is geweest. Zoals al opvalt in deze situatie doorloopt iedereen altijd drie vaste stappen: Plannen (op basis van identificatie van de situatie), uitvoeren (iets doen, bijvoorbeeld uitrekenen), en reflecteren (nagaan of het resultaat van deze actie klopt en past bij de situatie). Het eigenlijke rekenen is slechts een onderdeel van het probleemoplossend handelen, maar meestal wel essentieel voor het resultaat. Dit proces wordt, zoals te zien in afbeelding 1, gevitaliseerd in het 8
Drieslagmodel. Voorbeeld 1, onderbouw: Het spelletje wat Mila graag wil hebben, kost 10 euro. Op dit moment heeft zij al 7 euro gespaard. Dit is nog niet genoeg, maar gelukkig is ze bijna jarig. Hoeveel euro moet ze nog krijgen zodat ze het spelletje zelf kan kopen? (Zie afbeelding 2) Afbeelding 2: Som Drieslagmodel onderbouw De context in deze som representeert hier de dagelijkse situatie. Mila wil een spelletje kopen, maar het is voor haar te duur. Ze heeft dus nog te weinig geld gespaard. De leerling moet zich de context voorstellen en hem begrijpen voor hij verder kan. Dit verloopt via een planning (STAP 1). Tijdens het plannen bestudeert de leerling de informatie uit de context, bijvoorbeeld het plaatje wat erbij staat. De leerling haalt de rekenwiskundige informatie uit de context, analyseert deze informatie en beoordeelt de informatie op relevantie. Doordat de leerling het zich kan voorstellen, kan het teruggrijpen op eerdere ervaringen en gebruik maken van verworven kennis. Hierdoor krijgt het probleem betekenis. Waarschijnlijk kan de leerling zichzelf ook een moment herinneren waarin hij of zij hetzelfde probleem had. Hierdoor kan de leerling bepalen wat hij met de informatie gaat doen. Vragen die de leerling zichzelf kan stellen zijn: Wat is het probleem? Welke gegevens heb ik nodig? Wat ga ik uitrekenen? Welke berekening past daarbij? Belangrijk!: In de context/planning worden de meeste fouten gemaakt door de leerlingen. Maarliefst 80% van de fouten worden gemaakt in dit gebied, hier moet dus veel aandacht aan worden besteed! 9
Aan de hand van de vragen die de leerling zichzelf heeft gesteld en beantwoord, maakt de leerling de stap van context naar bewerking. Hierbij wordt de informatie uit de context omgezet in een rekenwiskundige bewerking of actie. De leerling kan zich hier bedenken dat, om er achter te komen hoeveel geld zij nog moet sparen, bijvoorbeeld de som 10-7 of 7+ = 10 gebruikt kan worden. (Bij voorkeur het eerste, gezien de grotere getallen die de leerling in de hogere klassen kan verwachten en niet meer tellend kan uitrekenen). Het uitvoeren van de werkelijke berekening is STAP 2. De leerling voert hierbij de bewerking uit en komt tot een oplossing. Hierbij gebruikt de leerling zijn eigen kennis en vaardigheden. Hoe verder de leerling is, hoe efficiënter zijn procedures en hoe sneller hij tot zijn oplossing komt. Vragen die de leerkracht zichzelf moet stellen bij het beoordelen van de som zijn: Welke oplossingsprocedure gebruikt de leerling? Begrijpt hij die procedure? Voert hij de berekening goed uit? Belangrijk hierbij is om niet alleen te kijken naar het goede of foute antwoord, maar ook naar de procedure die de leerling heeft gebruikt. Bij de som uit afbeelding 2 kan de leerling die de procedure 10-7 gebruikt al verder ontwikkeld zijn dan de leerling die 7+ = 10 gebruikt. Na het berekenen van de som komt de leerling tot een antwoord, in dit geval hopelijk op 3 (euro). Dan is het belangrijk dat de leerling STAP 3 uitvoert, namelijk het reflecteren. Hierbij koppelt de leerling de oplossing weer terug naar het oorspronkelijke probleem binnen de oorspronkelijke context. Begrijp ik wat het antwoord betekent? Is een vraag die een leerling zich hierbij kan stellen. Leerkracht kan dit in deze som goed zien door te bekijken of de leerling als antwoord 3 geeft, of 3 euro. Mocht de leerling er achter komen dat zijn antwoord niet kan kloppen, dan gaat de leerling na wat er fout is gegaan tijdens de oplossingsprocedure en voert de berekening opnieuw uit. Hierbij zakt hij dus terug naar STAP 2. Tijdens de fase van reflectie kan er een werkelijk leermoment optreden voor de leerling. Hij ervaart hier namelijk wat er wel of niet goed is gegaan tijdens deze hele procedure en kan op basis daarvan in een volgende vergelijkbare situatie sneller en efficiënter handelen. 10
In de bovenstaande som (afbeelding 2) zou de leerkracht de leerling kunnen laten reflecteren door de oplossing in het plaatje te tekenen (Zie afbeelding 3) Afbeelding 3: Som onderbouw uitwerking en reflectie De leerling kan zichzelf nu afvragen: klopt mijn antwoord wel? Heb ik er ook euro achter gezet? Heeft Mila nu wel echt 10 euro in haar portemonnee? Aan de hand van het bovenstaande voorbeeld is te zien hoe een leerling in de onderbouw de oplossingsprocedure doorloopt. De leerling gaat stapsgewijs van context naar een bewerking (plannen), vandaar naar een oplossing (uitvoeren van de bewerking) en van de oplossing terug naar het oorspronkelijke probleem (reflecteren). Voor een leerkracht is het belangrijk om de leerlingen te laten werken met dit model, en hen steeds onderzoekend te bevragen en laten expliciteren hoe ze tot een oplossing zijn gekomen (bijvoorbeeld vertellen, uitbeelden, tekenen). Daardoor kan hij nagaan in welke stap het goed of juist niet goed gaat. Hij kan zijn didactisch handelen daarop afstemmen. Groenestijn, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Ernstige rekenwiskunde-problemen en Dyscalculie. Assen: Koninklijke Van Gorcum BV. Borghouts. C. (2015). Lezing: Studiemiddag rekenen. Borghouts Rekenadvies. 11
Observeren a.d.h.v. het drieslagmodel Ceciel Burghouts heeft een handig observatiemodel samengesteld om in de klas te kunnen observeren op verschillende domeingebieden en vaardigheden. Hierdoor kunnen moeilijkheden bij een kind op tijd worden opgemerkt en aangepakt. Bijlage 6: Observeren a.d.h.v. het drieslagmodel Bijlage 6a: Observeren a.d.h.v. het drieslagmodel 12
Hoofdstuk 5: (Observeren met) het Handelingsmodel Het handelingsmodel is een schematische weergave van de rekenwiskundige ontwikkeling, zoals die geldt voor alle leerlingen (Groenestijn, Borghouts & Janssen, 2011). Aan de hand van dit model kan de leraar gericht observeren en signaleren hoe de rekenwiskundige ontwikkeling van de leerling verloopt. Daardoor biedt het model ook aanknopingspunten voor het afstemmen van het rekenwiskunde-onderwijs op de ontwikkeling van kinderen. Een weergave van het handelingsmodel is te zien in afbeelding 4. Afbeelding 4: Handelingsmodel Opvallend in het handelingsmodel zijn de vier lagen die boven elkaar staan in het schema. De vier lagen representeren van beneden naar boven de vier ontwikkelingsfasen die een leerling doormaakt wanneer het leert rekenen, ofwel de vier niveaus van de rekenwiskundige ontwikkeling. 1: Op het eerste niveau (onderaan) leert een kind via informeel handelen. Dit kan bijvoorbeeld door samen iets te ondernemen, door te spelen maar ook tijdens de rekenles. 2: Op het tweede niveau leren kinderen door met elkaar over een concrete situatie te praten en zich hierbij een voorstelling te maken door middel van afbeeldingen van werkelijke objecten of situaties. 3: Op het derde niveau leren zij op een meer abstract niveau te redeneren aan de hand van schematische voorstellingen van de werkelijkheid (denkmodellen, schematiseren). 4: Het hoogste, vierde niveau leert de kinderen om te redeneren op basis van tekst, getallen of een combinatie van beide (formeel handelen, berekeningen uitvoeren, symboliseren). Het hele proces is een wisselwerking tussen het mentaal handelen en het werkelijke handelen. Zo stuurt het mentaal handelen het werkelijke handelen aan, maar het werkelijke handelen ontwikkelt ook zelf tijdens het doorlopen van de 4 niveaus. 13
Observatie en begeleiding Een goede ontwikkeling op de twee laagste niveaus is een voorwaarde voor het handelen en functioneren op de twee hoogste niveaus. Er kunnen al snel processen ontstaan waarbij leerlingen van het ene niveau kunnen teruggaan of verdergaan naar een ander niveau, maar ook combinaties waarbij een leerling tijdens het uitvoeren van bewerkingen op het hoogste niveau gebruik maakt van denkmodellen, concrete voorstellingen of activiteiten op onderliggende niveaus. Wanneer je als leerkracht te maken krijgt met verschillende rekenniveaus in de klas, kan het lastig zijn om te observeren in welk proces het bij welke kinderen misgaat. Zoals in hoofdstuk 3 kun je hierop ingaan via het Drieslagmodel, maar wanneer je niet weet op welk niveau een kind leert en zijn procedures toepast, is het nog lastig om het onderwijs op het goede niveau aan te passen. Bovendien kan een leerkracht per niveau apart observeren hoe een leerling functioneert. Niveau 1, Informeel handelen: De leerkracht observeert hoe een leerling omgaat met getallen en rekenwiskundige begrippen in informele, speelse situaties. Kan de leerling vertellen wat hij doet? Hoe gebruikt hij de rekentaal? Voorbeeld: Gebruikt een leerling bij het spelen termen als meer of minder, groot of klein, veel of weinig? Weet het kind hoe het moet delen, wat delen is? Klopt zijn gebruik van deze termen? In de les is het dan belangrijk om te kijken of een leerling deze termen ook kan begrijpen in de rekentaal. Kan een kind aangeven dat 21 meer is dan 12? En kan het 8 snoepjes eerlijk verdelen over 4 kinderen? Oefenen: Wanneer er met het kind geoefend moet worden op niveau 1 moet de focus vooral liggen op het spelenderwijs leren. Voorbeelden hiervan zijn het in en uitstappen in de bus (erbij/eraf), groepjes maken in de klas (erbij/eraf), dobbelstenen gebruiken, etc. Niveau 2, Voorstellen concreet: Kan een leerling op een foto, filmpje of tekening de werkelijkheid herkennen en benoemen? Kan de leerling bijvoorbeeld ook tekenen hoe het 8 snoepjes verdeelt over 4 kinderen? En kan het op een plaatje aanwijzen waar hij meer appels ziet, links of rechts? Oefenen: Wanneer er met een kind geoefend moet worden op niveau 2 is het belangrijk dat het kind de bewerkingen die hij of zij uitvoert ook kan tekenen. Het in en uitstappen van de bus kan dan worden getekend, waardoor kinderen de link leggen tussen de werkelijkheid en de som op papier. Ook het aanvullen van de muntstukken op afbeelding 3 in hoofdstuk 3 is hiervan een voorbeeld. 14
Niveau 3, Voorstellen abstract: Dit niveau is al lastiger te beschrijven voor leerlingen van groep 3 en 4, maar is bijvoorbeeld te zien wanneer een kind in staat is de werkelijkheid te vertalen naar een model of schematische tekening, bijvoorbeeld een verdubbeling uit een verhaaltje omzetten in een verhoudingstabel. Kan een kind dit al, of is het nog erg gebaat bij gebruik van concrete materialen en afbeeldingen? Oefenen: Wanneer er met kinderen geoefend moet worden op dit niveau, kun je laten zien dat je, in plaats van bijvoorbeeld een bus te tekenen of muntstukken in de portemonnee te tekenen, sommen ook kunt tekenen op een schematische manier. Wanneer je een bus of het geld in een portemonnee vervangt door een figuur met een + of teken, blijft de som hetzelfde. Langzaamaan kan het kind op deze manier denkschema s ontwikkelen die het nodig heeft om bewerkingen uit te voeren op niveau 4. Niveau 4, Formeel handelen: Wanneer een kind kan functioneren op het vierde niveau kan het alle modellen voor werkelijkheid en modellen voor structureren van bewerkingen loslaten en iets uit te rekenen door een passende redenering te gebruiken of een juiste procedure te volgen. Voor de wat eenvoudigere sommen zou je kunnen nagaan of een leerling de deelsom 8 delen door 4 kan verwoorden, opschrijven en berekenen. Het kind kan hierbij aanvankelijk nog denkschema s gebruiken, maar zal dit later meer automatiseren. Leerlingen kunnen in deze fase zonder hulpmiddelen de som 6+3= Oplossen. Oefenen: Kinderen leren op niveau 4 vooral door het vertellen en uitleggen van hun berekeningen en getekende schema s. Door uit te leggen wat zij hebben gedaan krijgt een leerkracht zicht op de procedures die een kind doorloopt, maar ook op de plaatsen waar eventueel de moeilijkheden van een kind liggen. Het is dan ook van belang om bij voorbeeldsommen op het bord te vertellen welke stappen er worden genomen en waarom. De leerkracht is de cruciale schakel in het proces van leren rekenen. Hij of zij is degene die met de leerlingen de relatie tussen de handelingsniveaus bespreekt en opdrachten laat uitvoeren op verschillende handelingsniveaus (Groenestijn, Borghouts & Janssen, 2011). Doordat de leraar voortdurend de leerlingen uitdaagt linken te leggen tussen de niveaus ervaren de leerlingen dat sommen maken altijd gerelateerd is aan iets dat in de werkelijkheid kan voorkomen (zie hoofdstuk 3, Drieslagmodel). Wanneer er bij zwakke rekenaars geobserveerd wordt dat er in één van de basisniveaus wat misgaat, zal daar eerst op gefocust moeten worden om de hoogste niveaus uiteindelijk te kunnen behalen. Literatuur hoofdstuk 4: Groenestijn, M., Borghouts, C., & Janssen, C. (2011). Ernstige rekenwiskunde-problemen en Dyscalculie. Assen: Koninklijke Van Gorcum BV. 15
Hoofdstuk 6: De Vertaalcirkel Het lijkt er soms op dat rekenen alleen goed gevolgd kan worden wanneer het begrijpend lezen onder controle is. Kinderen moeten zich een voorstelling kunnen maken van een som en de juiste strategie kiezen. Deze betekenisverlening levert vaak problemen op: er is een kloof tussen formele rekentaal en contextsommen. De Vertaalcirkel is in het leven geroepen door Jos van Erp en Ceciel Burghouts om leerkrachten handvatten te bieden om hun leerlingen te leren grip te krijgen op formeel rekenen en het begrijpen van contexten. Dit begrip komt namelijk voor uit diverse vertalingen. Wat er steeds gebeurt is het volgende: - Omzetten van een praktisch probleem (contextopgave) naar een bewerking - Het uitvoeren van de bewerking(en) - Terugkoppeling van het resultaat van de bewerking(en) naar het oorspronkelijke probleem Je kunt een situatie op verschillende manieren representeren: je kunt de situatie concreet uitspelen je kunt de situatie weergegeven in een verhaal (in dit geval was dat de start: een contextopgave) je kunt de handeling uitvoeren met blokken / fiches je kunt de situatie tekenen/schetsen je kunt de situatie weergeven op de getallenlijn je kunt de situatie weergeven in een som (bewerking) Met elke taal kun je op een heel andere manier precies hetzelfde zeggen. Je kunt een probleem van de ene vorm naar de andere vertalen. De bedoeling van het vertalen is het opbouwen van een scherp beeld van de situatie. Pas op grond van zo n beeld is het verantwoord om het gebeuren in een bewerking (som) weer te geven, waarin niet alleen de gegevens en het gevraagde, maar ook de uitkomst een duidelijke plaats hebben. Het vertalen kan starten met een contextopgave, maar ook met een kale som (bewerking). De leerlingen moeten in dat geval vanuit de bewerking de diverse vertalingen maken: eerst een verhaal bedenken bij de som, want alle andere vertalingen hangen af van het verhaal dit verhaal letterlijk uitspelen dit verhaal weergeven door een schets/tekening: in die tekening is zowel het begingetal te zien, er is te zien wat er gebeurt (er komt iets bij of gaat iets af etc.) en het antwoord is te zien. Er zijn geen bewerkingstekens te zien in de tekening. het verhaal/de som weergeven met materiaal (blokken, fiches, rekenrek) voor zover dit materiaal past binnen de leerlijn! Het verhaal/de som weergeven op de getallenlijn 16
Dit vertalen is geen apart hoofdstuk binnen het rekenonderwijs waarmee je op een zeker moment klaar bent. Het is meer een werkwijze die leerlingen zich langzaam maar zeker eigen gaan maken en bij elk nieuw stuk leerstof weer toepassen. Er zijn hierbij een paar belangrijke aandachtspunten: 1. Meerdere (zoveel mogelijk) vertalingen maken bij één probleem Bij het werken met de vertaalcirkel gaat het niet om een óf-óf, maar om een én-én benadering. Het gaat erom om zoveel mogelijk vertalingen te maken bij één probleem. Dus als u start vanuit een context dan is het de bedoeling om zowel de situatie te laten uitspelen als het probleem te laten weergeven met blokken/fiches, het probleem te laten tekenen/schetsen, het probleem te laten weergeven op de getallenlijn en ten slotte de bewerking erbij te laten bedenken en die te laten uitrekenen. Alle vertalingen dus. Natuurlijk zijn er uitzonderingen. Leerlingen in groep 3 en de eerste helft van groep 4 tekenen nog niet zelf op een getallenlijn, dus die vertaling vervalt dan. Ook is het letterlijk uitspelen van de situatie niet altijd mogelijk. Maar het idee is dus niet om vandaag de ene vertaling bij deze som te laten maken en morgen een andere vertaling bij een andere som. Vandaag alle vertalingen bij één som en over een paar dagen weer eens alle vertalingen bij een andere som. Dat is het idee. 2. De kinderen maken de vertalingen Belangrijk is dat de leerlingen het werk doen. Zíj maken de vertalingen. Niet de leerkracht. Ze kunnen dat in groepjes doen of alleen. U kunt er voor kiezen om alle leerlingen alle vertalingen te laten maken of om de verschillende groepjes verschillende vertalingen te laten maken. 3. In de nabespreking koppeling leggen tussen de verschillende vertalingen Als de leerlingen de vertalingen hebben gemaakt dan kan de nabespreking beginnen. Het is van belang dat in de nabespreking alle vertalingen helder en duidelijk naar voren komen, dus met goede voorbeelden. De leerkracht moet er bovendien voor zorgen dat er een koppeling wordt gelegd tussen de verschillende vertalingen. De vertaalcirkel kan gekoppeld worden aan het Drieslagmodel (Zie hoofdstuk 3). Bij de vertaalcirkel wordt er namelijk ingezoomd op het gedeelte betekenis verlenen, een belangrijk onderdeel aan de begin van de rekencyclus (Zie afbeelding 5). 17
Afbeelding 5: Het Drieslagmodel Literatuur: Borghouts, C. (2011). De Vertaalcirkel: Werken aan begrip en inzicht bij (zwakke) rekenaars. Volgens Bartjens, Jaargang 31, nr 2. Bijlage 7: Praktijkvoorbeeld Vertaalcirkel als diagnostisch hulpmiddel groep 8 In deze bijlage zijn een aantal praktijkvoorbeelden van de toepassing van de vertaalcirkel uitgewerkt voor groep 8. Belangrijk! Voor meer belangrijke informatie rondom werken met de vertaalcirkel, zie het boek van Ceciel Burghouts: TIB tools: Voorkom (ernstige) rekenproblemen; 7 aanraders. (ISBN: 978 94 91725 50 0) 18
Hoofdstuk 7: Tips/Werkbladen rekenen groep 3-4 Getallen en bewerkingen Bijlage 8a t/m 8 e zijn voorbeelden van werkbladen waar de leerkracht de map zelf mee kan blijven aanvullen. Bijlage 8a: Optelsommen t/m 500 Oefenblad met optelsommen t/m 500 (en iets eroverheen). Bijlage 8b: Uitdaging: Meesterproef optellen Een leuke uitdaging voor aan het eind van een drukke ochtend: Masterproef optellen. Bijlage 8c: Uitdaging: Meesterproef aftrekken Een leuke uitdaging voor aan het eind van een drukke ochtend: Masterproef aftrekken. Bijlage 8d: Vermenigvuldigen van grote getallen Een werkblad voor het oefenen van keersommen met grote getallen met nullen (30x100). Bijlage 10: Werkboekje tafels 1 t/m 10 Een werkboekje met werkbladen voor het oefenen van alle tafels t/m 10. Toevoeging: Voor boekjes van alle tafels los: http://www.schoolbordportaal.nl/tafelwerkboekjes-en-tafelliedjes.html Meten en Meetkunde Bijlage 9: Zwakke rekenaars: Omgaan met geld Kwaliteitskaart over het opbouwen van inzicht in de lesstof met betrekking tot geld. Bijlage 10a: Zwakke rekenaars: Omgaan met tijd Kwaliteitskaart over het opbouwen van inzicht in de lesstof met betrekking tot tijd en klokkijken. Bijlage 10b, 11 a t/m 11d, 12b en 13b zijn voorbeelden van werkbladen waar de leerkracht de map zelf mee kan blijven aanvullen. Bijlage 10b: Hulpblad omgaan met tijd Een handig hulpblad met uitleg over seconden, uren, dagen, weken, maanden, jaren, etc. 19
Bijlage 11a: Hulpblad lengtematen Een handig hulpblad met referentiematen van alle lengtematen. Bijlage 11b: Hulpblad het metrieke stelsel Een handig hulpblad met uitleg en tabellen over het metrieke stelsel. Bijlage 11c: Hulpblad gewichten Een handig hulpblad met referentiematen van alle gewichteenheden. Bijlage 11d: Hulpblad Oppervlakte Een handig hulpblad met referentiematen van oppervlaktematen en tips voor het berekenen van oppervlakten. Verhoudingen Bijlage 12a: Kwaliteitskaart procenten Kwaliteitskaart over het opbouwen van inzicht in de lesstof met betrekking tot procenten. Bijlage 12b: Werkblad breuken vereenvoudigen Oefenen van het vereenvoudigen van de eerste breuken (eventueel ook voor zwakke rekenaars) Bijlage 13a: Kwaliteitskaart kommagetallen Kwaliteitskaart over het opbouwen van inzicht in de lesstof met betrekking tot kommagetallen Bijlage 13b: Werkblad kommagetallen afronden Een handig werkblad voor het oefenen van het afronden van kommagetallen. Bijlage 13c: Werkblad kommagetallen en procenten Een handig werkblad voor het oefenen van het verband tussen procenten en kommagetallen. 20
Hoofdstuk 8: Rekenspelletjes Bijlage 14: Tussendoortjes Rekenen Een lijst van makkelijk uit te voeren rekenspelletjes met weinig benodigdheden. Materialen zijn vaak al aanwezig op school, zoals dobbelstenen en papier. Leuk voor tussen lessen door, in pauzes, aan het eind van de woensdagochtend, maar ook voor mee naar huis! Bijlage 15: Rekenspellen voor groep 1 t/m 8 In deze bijlage staan 58 voorbeelden van rekenspellen die gekocht, besteld of gedownload kunnen worden. Bij elk spel staat aangegeven op welk rekendomein het van toepassing is (Getallen/Bewerkingen/Meetkunde/Logisch denken), uit welke groep er leerstof behandeld wordt, hoeveel spelers er mee kunnen doen, hoe lang het spel duurt, waar het te krijgen is en, wanneer er kosten aan verbonden zijn, hoeveel het spel kost. Kijk goed welke spellen gebruikt kunnen worden voor groep 1 t/m 4! TIP: Wanneer spellen al aanwezig zijn op school, of wanneer spellen gebruikt gaan worden, geef op het doosje, op de werkbladen of in de naam van het bestand aan voor welk domein het ingezet kan worden! 21
Hoofdstuk 9: Handige websites 1. Rekenblobs, autmatiseren Online rekenen automatiseren door middel van een spelletje: http://www.lespakketportaal.nl/rekenblobs.html Inhoud Rekenblobs is een adaptief oefenprogramma waarbij essentiële rekensommen worden geautomatiseerd door het spelen van leuke rekenspelletjes. Het programma richt zich op de automatisering van het optellen en aftrekken tot 20 en de keer- en deeltafels tot 10. Het programma wordt in de meeste gevallen ingezet in groep 3 t/m 6 (optellen/aftrekken/tafels) maar kan natuurlijk ook in groep 7 en 8 worden gebruikt (herhaling en oefenen van de deeltafels). 2. Zelf sommenbladen maken Inhoud Heeft een leerling moeite met specifiek optellen/aftrekken of vermenigvuldigen/delen? Op de website kun je zelf sommenbladen maken over specifieke onderwerpen. http://www.sommenmaker.nl/sitemanager.asp http://www.studiewijs.nl/index.php?p=werkbladen 3. Rekenspelletjes op de computer Inhoud: Verschillende kindvriendelijke spelletjes voor het oefenen van rekenvaardigheden. http://www.arcademics.com/ 4. Rekenspelletjes op het digibord Inhoud: Verschillende downloadbare spellen voor op het digibord. Kunnen alleen, met klasgenootjes of klassikaal gespeeld worden. Goed kijken naar spelletjes met oefenfuncties voor rekenen. www.schoolbordportaal.nl 5. Breuken vereenvoudigen Inhoud: Online oefening breuken vereenvoudigen http://www.rekenhulp-basisschool-pabo.nl/lvdp/breuken/theorie/vereenvoudigen1.html 22
Handige websites zelf nog toe te voegen: 23