Katholieke Universiteit Leuven September 2011 Module 11 Minimum-Maimumproblemen (versie 22 augustus 2011)
Inhoudsopgave 1 Theoretische achtergrond 1 2 Oefeningen 7 2.1 Basis (A- en B-programma)........................ 7 2.2 Uitbreiding (B-programma)........................ 9 3 Oplossingen 11
11-1 Inleiding In heel wat vraagstukken gaan we op zoek naar het maimum of het minimum van een zekere grootheid. Deze grootheid kan van wiskundige, fysische, economische of andere aard zijn. Bijvoorbeeld een maimale of minimale inhoud, oppervlakte of afstand, minimale kosten of maimale winst. Deze module is bedoeld om te oefenen in het oplossen van dit soort minimum-maimumproblemen, ook wel optimalisatieproblemen genoemd. Maar eerst herhalen we de theoretische achtergrond. 1 Theoretische achtergrond We definiëren de begrippen absoluut en relatief maimum, absoluut en relatief minimum voor een functie f gedefinieerd op een interval A R. Definitie 1.1 f bereikt een absoluut maimum in een punt c van A indien voor elke in A geldt dat f(c) f(). Definitie 1.2 f bereikt een absoluut minimum in een punt c van A indien voor elke in A geldt dat f(c) f(). Definitie 1.3 f bereikt een relatief of lokaal maimum in een punt c van A indien er een open interval I rond c bestaat zodat voor elke in I A geldt dat f(c) f(). Definitie 1.4 f bereikt een relatief of lokaal minimum in een punt c van A indien er een open interval I rond c bestaat zodat voor elke in I A geldt dat f(c) f(). Volgens deze definities is een absoluut maimum dus ook een relatief maimum en een absoluut minimum is ook een relatief mimimum. f a b c
11-2 In bovenstaande figuur zien we de grafiek van een functie f gedefinieerd op het interval [a,c]. f bereikt een absoluut maimum in a, een absoluut minimum in b en een relatief maimum in c. Een maimum of een minimum noemen we ook een etremum. In oefeningen en toepassingen zijn we meestal niet op zoek naar de relatieve etrema, maar naar de absolute. Om de absolute etrema te vinden bereken je de functiewaarden in de relatieve etrema, zodat je deze kan vergelijken. Bij het zoeken naar de etrema van een functie f speelt de afgeleide f een belangrijke rol. Eigenschap 1.5 Stel f is continu op [a,b] en afleidbaar op ]a,b[. Dan geldt: Als f () > 0 voor elke ]a,b[, dan is f strikt stijgend in [a,b], d.w.z. als,y [a,b] en < y, dan is f() < f(y). Als f () < 0 voor elke ]a,b[, dan is f strikt dalend in [a,b], d.w.z. als,y [a,b] en < y, dan is f() > f(y). Als in een punt c geldt dat f (c) = 0 dan is de raaklijn aan de grafiek van f in het punt (c,f(c)) horizontaal. Het punt c wordt dan een kritiek punt van f genoemd. De eerste afgeleide f geeft ons dus heel wat informatie over het verloop van f. Voorbeeld 1.6 Gegeven f() = 2 5 + 6. Welke informatie halen we uit f? f () = 2 5 f () = 0 = 5 2 We maken een tabel met op de eerste lijn de -waarden met aanduiding van de kritieke punten. Op de tweede lijn komt het tekenverloop van f en op de derde lijn hetgeen we hieruit kunnen besluiten over het verloop van f. 5 2 f () - 0 + f() ց min ր
11-3 Eigenschap 1.7 Zij f gedefinieerd op [a,b], c ]a,b[ en f afleidbaar in c, dan geldt: Als f een relatief etremum bereikt in c dan is f (c) = 0 Wat kunnen we besluiten uit deze eigenschap? De uitspraak is van de vorm Als A dan B, en dit betekent niet hetzelfde als Als B dan A. Nochtans gaan we om de relatieve etrema van f op te sporen eerst de kritieke punten van f zoeken. Als A dan B betekent wel hetzelfde als Als niet(b) dan niet(a). We kunnen de eigenschap als volgt herformuleren: Zij f gedefinieerd op [a,b], c ]a,b[ en f afleidbaar in c, dan geldt: Als f (c) 0 dan bereikt f geen relatief etremum in c. Onder de punten van het interval ]a,b[ waar de functie f een afgeleide heeft zijn de kritieke punten de enige kandidaat-etrema. Maar niet alle kritieke punten zijn relatieve minima of maima, het kunnen ook buigpunten zijn. f (c) = 0 f (c) = 0 f (c) = 0 maimum minimum We moeten dus meer informatie hebben over deze kritieke punten. buigpunt Deze informatie kunnen we halen uit het tekenverloop van f. Er zijn een aantal mogelijkheden: c c f () + 0 - f() ր rel ma ց f () - 0 + f() ց rel min ր c c f () + 0 + f() ր geen etremum ր f () - 0 - f() ց geen etremum ց
11-4 Een andere methode is met behulp van het teken van de tweede afgeleide van f. In deze module gaan we hier niet op in. Etrema kunnen ook voorkomen in punten die geen kritieke punten zijn. Volgens de eigenschap zou dit namelijk kunnen in randpunten van het interval of in punten waar de functie niet afleidbaar is. Op de figuur zien we dat de functie f, gedefinieerd op het interval [a, d], een absoluut minimum bereikt in a, een relatief minimum in c, een relatief maimum in 0 en b, en een absoluut maimum in d. f 0 a b c d De etrema in 0, a en d zullen we niet vinden door enkel te kijken naar de kritieke punten. Immers, a is geen kritiek punt want de functie is niet afleidbaar in a. Dit soort etrema laten we verder buiten beschouwing in deze module. De etrema in de randpunten van het interval waarop de functie f gedefinieerd is zijn ook geen kritieke punten. In oefeningen waar je het absolute minimum of maimum zoekt van een functie gedefinieerd op een gesloten interval moeten deze randpunten zeker bekeken worden. We illustreren de werkwijze voor het vinden van etrema aan de hand van twee voorbeelden: Voorbeeld 1.8 Toon aan dat onder alle rechthoeken met oppervlakte S 0 het vierkant de kleinste omtrek heeft. Oplossing Kies de verandelijken: we noteren de lengte van de zijden van een rechthoek met oppervlakte S met en y. Omdat en y lengtes voorstellen en S 0 weten we ook dat > 0 en y > 0. Zoek de functie die minimaal moet zijn: We zoeken het minimum van de omtrek = 2 + 2y.
11-5 Uit het gegeven halen we dat S =.y dus y = S. Dit geeft het verband tussen de 2 variabelen. We schrijven deze omtrek als een functie van 1 variabele O(), door het verband tussen beide variabelen te gebruiken: O() = 2 + 2 S = 2( + S ) met > 0 Zoek het minimum van O: * O () = 2(1 S 2) * O () = 0 = ± S * Vermits > 0 onderzoeken we verder alleen S. Met behulp van het tekenverloop gaan we na welk soort kritiek punt dit is. S O () - 0 + O() ց rel min ր Uit het tekenverloop kunnen we besluiten dat de omtrek O een relatief minimum bereikt in = S. Aangezien dit het enige minimum is voor > 0 is dit ook het gezochte absolute minimum. Besluit: Als = S dan is y = S en is de rechthoek een vierkant. Voorbeeld 1.9 Een draad van 4 meter wordt in 2 stukken geknipt die gebruikt worden om een vierkant en een cirkel te vormen. Hoeveel gebruik je best voor elke figuur als je de ingesloten oppervlakte maimaal wil maken? Oplossing Kies de veranderlijke: Stel = omtrek cirkel, dan is 4- = omtrek vierkant. Uit de opgave weten we ook dat [0, 4]. Zoek de functie die maimaal moet zijn: oppervlakte vierkant = zijde 2 en omtrek vierkant = 4.zijde, (4 )2 (4 )2 dus oppervlakte vierkant = = 4 2 16 oppervlakte cirkel = π. straal 2 en omtrek cirkel = 2 π.straal, dus oppervlakte cirkel = 2 4π
11-6 We zoeken dus het maimum van f() = Zoek het maimum van f: (4 )2 16 + 2 4π met [0, 4] * f 2(4 ) () = + 2 16 4π = 1 2 + (1 8 + 1 2π ) * f () = 0 = 4π π + 4 * Hieruit mogen we niet meteen besluiten dat = 4π het gezochte maimum is. Met behulp van het tekenverloop gaan we na welk soort kritiek π + 4 punt dit is. 4π π+4 f () - 0 + f() ց rel min ր Dus bereikt f een relatief minimum in = het punt dat we zoeken. 4π, en dit is bijgevolg niet π + 4 * Volgens het tekenverloop hierboven zullen we de maima van f vinden in de randpunten van het domein [0, 4]. We berekenen de functiewaarden in deze randpunten om te weten waar het absolute maimum zich bevindt. 0 4π π+4 4 f () - 0 + f() 1 ց rel min ր 4 π Antwoord: We vinden het maimum van f in 4. De omtrek van de cirkel moet dus 4 meter zijn, deze van het vierkant 0. De volledige draad moet voor de cirkel gebruikt worden om de ingesloten oppervlakte maimaal te maken.
11-7 2 Oefeningen 2.1 Basis (A- en B-programma) Oefening 1 Veronderstel dat je een touw hebt van lengte L > 0. Hoe moet je het touw leggen om er een rechthoek mee te vormen die een zo groot mogelijke oppervlakte heeft? Oefening 2 De som van twee positieve getallen is 100. Zoek deze getallen als (a) hun product maimaal moet zijn (b) de som van hun kwadraten minimaal moet zijn (c) de som van hun kwadraten maimaal moet zijn (d) het product van het kwadraat van een getal met de derde macht van het andere getal maimaal moet zijn Oefening 3 Op een kampeerterrein in de Ardennen krijgt elke vakantieganger bij aankomst 4 vlaggetjes en 30 m touw om zijn kampeerplaats af te bakenen in de vorm van een rechthoek. In het laagseizoen wordt toegestaan dat ook de omheining gebruikt wordt zodat je een groter gebied kan afbakenen. (a) Wat is de maimale oppervlakte die je kan afspannen in laagseizoen? omheining kampeerterrein (b) Als er langs de omheining geen plaats meer is, maar je spreekt met je buurman af om het stuk touw in het midden gemeenschappelijk te gebruiken, wat is dan de maimale oppervlakte voor jou en je buurman tesamen?
11-8 Oefening 4 Bakker Jansens heeft thuis een groot aantal kartonnen liggen van 44 cm op 80 cm en besluit hieruit zijn taartendozen zelf te maken. Door 6 vierkantjes met zijde weg te knippen komen de zijflappen vrij. 80 44 (a) Stel een formule op voor het volume van de taartendozen. (b) Bij welke waarde van is dit volume maimaal? (c) Wat is dan dat maimaal volume? Oefening 5 Een atletiekpiste heeft volgende vorm : 1m b l de omloop (stippellijn) die zich op 1 m. van het binnenplein bevindt, moet 400 m lang zijn. Wat zijn de afmetingen van het rechthoekig deel van het binnenplein, als de oppervlakte van de rechthoek maimaal moet zijn?
11-9 Oefening 6 Conservenblikken, verfblikken e.d. hebben gemeen dat ze allemaal dezelfde vorm hebben, maar de afmetingen kunnen behoorlijk variëren. We onderzoeken welke afmetingen economisch het meest verantwoord zijn. We doen dit voor blikken van 1 liter. We willen een minimum aan blik gebruiken voor de productie van blikken van 1 liter. (a) Noem de straal (in dm) van de bodem van zo n blik r en de hoogte (in dm) h. Welke betrekking bestaat er tussen r en h (schrijf h in functie van r)? (b) Stel dat deksel en bodem van zo n blik uit vierkanten worden geponst en beschouw het restant als afval. Bij welke afmetingen is de benodigde hoeveelheid blik minimaal? (Gebruik hierbij de betrekking die je in (a) hebt gevonden!) (c) Het zou beter zijn deksel en bodem uit zeshoeken te ponsen. Welke afmetingen geven nu een minimale hoeveelheid blik? (d) Tot nu toe is het blik enkel beschikbaar als vierkant en zeshoek. Stel nu dat het blik ook in cirkelvorm aanwezig is. Voor welke waarde van r is de benodigde hoeveelheid blik nu minimaal? (e) Stel verder in het ideale geval dat het blik dat gebruikt wordt om bodem en deksel te maken 0.75 euro per vierkante meter kost, en dat voor de zijwand 0.50 euro per vierkante meter. Voor welke waarde van r is de constructiekost minimaal? Oefening 7 Een poster moet een oppervlakte hebben van 0.18 m 2. Er wordt niet geprint op een afstand kleiner dan 3 cm van de boven- en onderzijde, en op 2 cm van de linker- en rechterzijde. Welke afmetingen moet de poster hebben opdat de printbare oppervlakte maimaal zou zijn. 2.2 Uitbreiding (B-programma) Oefening 8 Een man kan twee keer zo snel lopen als hij kan zwemmen. Hij staat op een punt A aan de rand van een cirkelvormig zwembad met diameter 40 m en hij wenst een punt B te bereiken dat zich recht aan de overkant bevindt. Hiervoor loopt hij langs de rand van het zwembad tot een punt C, om dan in rechte lijn van het punt C naar het punt B te zwemmen. Waar moet het punt C liggen om zo snel mogelijk het punt B te bereiken?
11-10 Oefening 9 Vind de vergelijking van de rechte door het punt (3,4) die in het eerste kwadrant een driehoek afsnijdt met minimale oppervlakte. Oefening 10 Wat is de minimale afstand van het punt (4,2) tot de parabool y 2 = 8? Oefening 11 In welk punt in het eerste kwadrant van de parabool y = 4 2 bepaalt de raaklijn samen met de coördinaatassen een driehoek met minimale oppervlakte. Oefening 12 Schip A bevindt zich 65 km ten weste van schip B. Om 9 uur s morgens begint schip A naar het zuiden te varen aan 15 km/u, en begint schip B naar het westen te varen aan 10 km/u. Op welk tijdstip zijn beide schepen het dichts bij elkaar, en welke afstand is er dan tussen hen? Oefening 13 Een basketbalspeler neemt een vrijworp. Wanneer we het assenstelsel gebruiken dat in de figuur is aangeduid, is de parametervergelijking van de baan gegeven door: { = v0 (cosα)t y = v 0 (sin α)t 5t 2, met v 0 de grootte van de snelheid waarmee de bal uit de hand vertrekt en α de hoek van de baan met de horizontale in het vertrekpunt. Volgende maten zijn gegeven : de diameter van de bal d = 240 mm de binnendiameter van de ring D = 435 mm de hoogte ten opzichte van de vloer waar de bal de werphand verlaat H 1 = 2.1 m de hoogte van de ring ten opzichte van de werphand H = 0.95 m de hoogte van het plafond ten opzichte van de vloer H 2 = 10 m de horizontale afstand tussen de werphand en het centrum van de ring L = 4.2m (a) De grootte van de beginsnelheid v 0 die de bal moet krijgen om door het centrum van de ring te gaan, hangt af van de hoek α met de horizontale. Bepaal v 0 (α).
11-11 (b) Men kan aantonen dat de bal de buitenkant van de ring niet zal raken bij een vertrekhoek α > α min = 48.1. De bal mag ook het plafond niet raken, hieruit vinden we een maimale vertrekhoek van α ma = 82.1. Bepaal binnen deze grenzen de hoek α waarbij de beginsnelheid v 0 een minimale, respectievelijk maimale waarde bereikt. 3 Oplossingen 1 als een vierkant 2 (a) 50 en 50 (b) 50 en 50 (c) 0 en 100 (d) 40 en 60 3 (a) 112.5 m 2 (b) 150 m 2 4 (a) V () = 1760 146 2 + 3 3 (b) = 8 (c) 6272 cm 2 5 b = 200 π π en l = 200 π 2 6 (a) h(r) = 1 πr 2 (b) r = 0.5 dm en h = 1.27 dm (c) r = 0.525 dm en h = 1.15 dm (d) r = 0.54 dm en h = 1.08 dm (e) r = 0.47 dm en h = 1.42 dm 7 boven- en onderzijde = 20 3, linker- en rechterzijde = 30 3 8 B = C, de man loopt best het ganse parcour.
11-12 9 4 + 3y 24 = 0 10 8 11 ( 2 3, 8 3 ) 12 Om 11 uur zijn de schepen het dichts bij elkaar, op een afstand van 54 km. 13 (a) v 0 = L cos α 5 Ltan α H (b) minimale snelheid v 0 = 7.25 m/s hoort bij een vertrekhoek α = 51.4, maimale snelheid v 0 = 12.6 m/s hoort bij een vertrekhoek α = α ma = 82.1.