Grafieken 2 Een verband tussen x en y wordt gegeven door de volgende grafiek: Als we de functiewaarde voor x = 6 willen bepalen vallen we buiten de grafiek. Wat we wel kunnen doen is de bijbehorende functie bepalen waarna we de waarde voor x kunnen invullen. We schatten in dat we te maken hebben met een parabool dus een tweedegraads functie. Zo n tweede graads functie stellen we voor door de algemene gedaante y = a x 2 + b x + c. We moeten dan nog de constanten a, b en c bepalen met behulp van onze grafiek. Om drie constanten te bepalen hebben we drie punten nodig waar de grafiek doorheen gaat. Voor die drie punten nemen we (-2, 0), (4, 0) en (0, -8). Deze drie punten vullen we in de algemene gedaante in zodat we drie vergelijkingen krijgen met drie onbekenden: Door (-2, 0): 0 = a (-2) 2 + b (-2) + c vgl 1 Door (4, 0): 0 = a (4) 2 + b (4) + c vgl 2 Door (0, -8): -8 = a (0) 2 + b (0) + c vgl 3 Uitgewerkt levert dit de volgende vergelijkingen op: 4 a 2 b + c = 0 vgl 1 16 a + 4 b + c = 0 vgl 2 c = -8 vgl 3 Het resultaat van vgl 3 kunnen we invullen in de vergelijkingen 1 en 2: 4 a 2 b 8 = 0 4 a 2 b = 8 vgl 1 16 a + 4 b 8 = 0 16 a + 4 b = 8 vgl 2 We hebben nu twee vergelijkingen met twee onbekenden. Zo n stelsel lossen we op met de schoorsteenmethode: Blz 1 van 10
4 a 2 b = 8 4 16 a 8 b = 32 16 a + 4 b = 8 1 16 a + 4 b = 8-12 b = 24 b = 24-12 b = -2 a = 1 We vullen de gevonden waarden voor a, b en c in in de algemene gedaante y = a x 2 + b x + c. Daarmee hebben we onze functie gevonden: y = x 2 2 x 8. Voor de functiewaarde voor x = 6 volgt y = (6) 2 2 (6) 8 y = 16. 1 Bepaal met behulp van de volgende parabool de functiewaarde voor x = 5 2 Bepaal met behulp van de volgende parabool de functiewaarde voor x = 5 Blz 2 van 10
3 Bepaal met behulp van de volgende parabool de functiewaarde voor x = 3 4 Bepaal met behulp van de volgende parabool de functiewaarde voor x = 0 Bij opgave 4 zagen we al dat het oplossen van drie vergelijkingen met drie onbekenden veel rekenwerk kan betekenen. Als de grafiek waar we van uit gaan geen tweedegraads functie maar bijvoorbeeld een derdegraads functie is krijgen we al te maken met vier vergelijkingen met vier onbekenden. Zo n stelsel gaan we natuurlijk met DERIVE oplossen Eerst moeten we natuurlijk zelf die vier vergelijkingen opstellen. We gaan dat eens bekijken aan de hand van het volgende voorbeeld. Blz 3 van 10
We willen de bijbehorende derdegraads functie bepalen van de volgende grafiek: De algemene gedaante van een derdegraads functie is: y = a x 3 + b x 2 + c x + d. Voor het bepalen van de vier constanten a, b, c en d hebben we vier punten nodig. We nemen daarvoor bijvoorbeeld (-2, 0), (1, 0), (3, 0) en (0, 6). Door (-2, 0): 0 = a (-2) 3 + b (-2) 2 + c (-2) + d vgl 1 Door (1, 0): 0 = a (1) 3 + b (1) 2 + c (1) + d vgl 2 Door (3, 0): 0 = a (3) 3 + b (3) 2 + c (3) + d vgl 3 Door (0, 6): 6 = a (0) 3 + b (0) 2 + c (0) + d vgl 4 Uitgewerkt levert dit de volgende vergelijkingen op: -8 a + 4b 2 c + d = 0 vgl 1 a + b + c + d = 0 vgl 2 27 a + 9 b + 3 c + d = 0 vgl 3 d = 6 vgl 4 Het resultaat van vgl 4 kunnen we invullen in de vergelijkingen 1, 2 en 3: -8 a + 4b 2 c + 6 = 0 vgl 1 a + b + c + 6 = 0 vgl 2 27 a + 9 b + 3 c + 6 = 0 vgl 3 Er volgt: -8 a + 4b 2 c = -6 vgl 1 a + b + c = -6 vgl 2 27 a + 9 b + 3 c = -6 vgl 3 We hebben nu een stelsel van drie vergelijkingen met drie onbekenden. Dit stelsel gaan we met DERIVE oplossen. Blz 4 van 10
Klik daaroe in de werkbalk van DERIVE op Oplossen / Stelsel en zet Aantal op drie: Klik op OK en typ de eerste vergelijking in het eerste invoervlak. Ga dan met de TAB-toets naar het tweede invoervlak en typ de tweede vergelijking in. Ga met de TAB-toets naar het derde invoervlak voor de derde vergelijking. Met nogmaals TAB gaan we naar het variabele-vlak waar automatisch de te berekenen constanten a, b en c verschijnen. Klik tenslotte op Oplossen om de oplossing van het stelsel te zien: Met a = 1, b = -2, c = -5 en d = 6 volgt voor de functie: y = x 3 2 x 2 5 x + 6. Blz 5 van 10
5 Bepaal met behulp van de volgende grafiek van een derdegraads functie de functiewaarde voor x = 3. 6 Bepaal met behulp van de volgende grafiek van een derdegraads functie de functiewaarde voor x = 4. Blz 6 van 10
7 Bepaal met behulp van de volgende grafiek van een vierdegraads functie de functiewaarde voor x = 3. 8 Bepaal met behulp van de volgende grafiek van een vierdegraads functie de functiewaarde voor x = 3. Blz 7 van 10
In DERIVE kunnen we voor het oplossen van deze vraagstukken ook gebruik maken van de functie POLY_INTERPOLATE. We laten dat zien aan de hand van het volgende voorbeeld waarbij we de grafiekwaarde voor x = 3 willen bepalen voor de getekende derdegraads kromme: Omdat het een derdegraads kromme betreft zoeken we vier punten waar de grafiek doorheen gaat. We zien dat de grafiek onder andere door de punten (-3, 0), (-1, 8), (0, 3) en (1, 0) gaat. Vervolgens typen we op de invoerregel van DERIVE: We typen dus de coördinaten van de vier punten in, gescheiden door punt-komma s. Het getal 3 op het einde is de waarde waarvoor we de grafiekwaarde willen weten. Na klikken op OK en benaderen vinden we: De gevraagde grafiekwaarde voor x = 3 bedraagt dus 24. Wat is het resultaat als we in de poly_interpolate-functie op het einde in plaats van het getal 3 de letter x typen? Blz 8 van 10
9 Bepaal met behulp van de volgende grafiek van een vijfdegraads functie: a) de functie. b) de functiewaarde voor x = 3. Blz 9 van 10
Antwoorden grafieken 2 1-14 2 18 3 2 4-8 5-4 6 0 7-5,3333 8 1,7778 9 a) - 0.6222 x 5 + 0.4444 x 4 + 7.4444 x 3-11.2222 x 2-5.8222 x + 9.7778 b) -22.8889 Blz 10 van 10