Hoofdstuk 6 Discrete distributies Marnix Van Daele MarnixVanDaele@UGentbe Vakgroep Toegepaste Wiskunde en Informatica Universiteit Gent Discrete distributies p 1/33
Discrete distributies binomiale verdeling Poisson verdeling hypergeometrische verdeling uniforme discrete verdeling Discrete distributies p 2/33
De binomiale verdeling De binomiaal verdeelde toevalsveranderlijke I is het aantal keer dat een verschijnsel A optreedt in een reeks van n enkelvoudige waarnemingen Hierbij moet de kans op het optreden van een verschijnsel A bij een enkelvoudige waarneming de constante waarde θ bedragen : P(A) =θ Voorbeeld : zij I is het aantal keer dat 5 gegooid wordt bij 7 onafhankelijke worpen met een dobbelsteen n =7 I is binomiaal verdeeld met θ I = 1 6 Discrete distributies p 3/33
Distributie P( A A A }{{} i = } θ θ {{ θ} i A} A {{ A} ) n i (1 θ)(1 θ) (1 θ) }{{} n i = θ i (1 θ) n i P(A A A }{{} A A A }{{} ) n i i = (1 θ)(1 θ) (1 θ) }{{}} θ θ {{ θ} = θ i (1 θ) n i n i i ( ) aantal mogelijke sequenties : Cn i n! n = i!(n i)! = i elke sequentie ( ) heeft kans θ i (1 θ) n i n Besluit : ϕ I (i) = θ i (1 θ) n i i =0, 1,, n i Discrete distributies p 4/33
Distributie ϕ I (i) = ( n i ) θ i (1 θ) n i Φ I (w) =P(I w) = i w i =0, 1,, n ( ) n θ i (1 θ) n i i binomium van Newton : (a + b) n = n i=0 ( ) n a i b n i i Φ I (n) = n i=0 ( ) n θ i (1 θ) n i =[θ +(1 θ)] n =1 i Discrete distributies p 5/33
Karakteristieken µ I = n i=0 iϕ I (i) =nθ σ 2 I = n i=0 i 2 ϕ I (i) µ 2 = nθ(1 θ) σ I = nθ(1 θ) θ : parameter van de binomiale distributie Discrete distributies p 6/33
Kansverdeling ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 n =10,θ=01 ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 n =10,θ=05 ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 n =10,θ=09 Discrete distributies p 7/33
Voorbeeld Een familie heeft 6 zes kinderen De kansen bij een geboorte bedroegen 049 voor een jongen en 051 voor een meisje (i) Wat is de kans dat er tenminste 1 meisje is? (ii) Wat is de kans dat er hoogstens 2 jongens zijn? Oplossing : Zij I het aantal meisjes onder de zes kinderen ( ) 6 ϕ I (i) = θ i (1 θ) 6 i θ =051 i (i) P(I 1)= 1 P(I <1)= 1 P(I =0)=1 ϕ I (0) =1 (1 θ) 6 =09826 (ii) P(I 4) = ϕ I (4) + ϕ I (5) + ϕ I (6) ( ) ( ) 6 6 = θ 4 (1 θ) 2 + 4 5 θ 5 (1 θ)+θ 6 =03627 Discrete distributies p 8/33
Toepassing Zij x 1, x 2,,x 10 10 onafhankelijke waarden van de toevalsveranderlijke X met cumulatieve distributiefunctie Φ X (x) Bepaal de kans dat alle meetwaarden vallen in [α, β] Oplossing : P(α X β) =Φ X (β) Φ X (α) Zij I het aantal x-en in [α, β] n =10 Dan is I binomiaal verdeeld met θ I =Φ X (β) Φ X (α) P(I = 10) = θ 10 I =(Φ X (β) Φ X (α)) 10 Discrete distributies p 9/33
Teruglegging Voorbeeld : Een urne bevat n U = 100 (op kleur na identieke) ballen, waaronder k =20zwarte We voeren n =25 achtereenvolgende trekkingen van een bal uit Zij I het aantal getrokken zwarte ballen met teruglegging : de kans op een zwarte bal is voor elke trekking constant, nl k n U I : binomiaal verdeeld met θ I = k n U zonder teruglegging : de kans op een zwarte bal verschilt van trekking tot trekking I : hypergeometrisch verdeeld Discrete distributies p 10/33
Hypergeometrische distributie De hypergeometrisch verdeelde toevalsveranderlijke I is het aantal keer dat een eigenschap A wordt waargenomen in een reeks van n enkelvoudige waarnemingen van telkens verschillende elementen uit een verzameling van n U elementen waarvan k elementen deze eigenschap A bezitten Discrete distributies p 11/33
Distributie - n U : populatiegrootte - n : steekproefgrootte - k : aantal elementen in populatiemet gezochte eigenschap max(0, n+ k n U ) I min(n, k) want I k en als n n U k, dan is I n (n U k) ( )( ) k nu k ϕ I (i) = Ci k C n i n U k i n i Cn n = ( ) nu U n Discrete distributies p 12/33
Karakteristieken - n U : populatiegrootte - n : steekproefgrootte - k : aantal elementen in populatiemet gezochte eigenschap σ 2 I = n k n U n U k n U µ I = n k n U = nθ θ = k n U n = nθ(1 θ) n U 1 n U ( 1 n 1 n U 1 Als n 1 n U 1 n zeer klein is (dzw ongeveer 0), kan de n U hypergeometrische verdeling benaderd worden door een binomiale verdeling met parameter θ = k n U ) Discrete distributies p 13/33
Kansverdeling ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 n U = 100, k=10,n=10 ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 n U =20,k=10,n=10 Discrete distributies p 14/33
Vergelijking Hypergeometrisch Binomiaal ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 05 06 n U = 200, k=10,n=10 0591 0327 0073 0008 ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 05 06 n =10,θ=005 0599 0315 0075 0010 Discrete distributies p 15/33
Voorbeeld In een loterij worden, benevens heel wat troostprijzen, 10 hoofdprijzen uitgedeeld Als er 5000 deelnemende nummers zijn, wat is dan de kans dat een deelnemer met 10 loten minstens 1 hoofdprijs heeft gewonnen Oplossing : I : aantal gewonnen hoofdprijzen met de 10 loten I : hypergeom verdeeld met k =10, n =10en n U = 5000 P(I 1) = 1 P(I =0) ( 10 )( 4990 ) 0 10 = 1 ) = (4990!)2 4980! 5000! =0019839 ( 5000 10 n =0002 = binomiale benadering met θ = k =0002 n U n U P(I 1) = 1 P(I =0) 1 (1 θ) 10 =0019821 Discrete distributies p 16/33
De verdeling van Poisson De Poisson verdeelde veranderlijke I is het aantal keer dat een verschijnsel A optreedt in een totale tijdsduur t Hierbij moet de kans dat het verschijnsel optreedt in een klein tijdsinterval t evenredig zijn met de duur van dit interval : λ t Daarenboven moet het ene optreden van A onafhankelijk zijn van vorige optredens van A, hetgeen betekent dat λ een constante is die niet afhangt van wat voordien voorgevallen is klein betekent : het verschijnsel kan hoogstens 1 keer optreden Discrete distributies p 17/33
Distributie i =0 P i (t) =P(A treedt i keer op in tijdsduur t) P 0 ( t) =1 P 1 ( t) =1 λ t P 0 (t + t) =P 0 (t) P 0 ( t) =P 0 (t)(1 λ t) P 0 (t + t) P 0 (t)+λp 0 (t) t =0 P 0 (t + t) P 0 (t) lim + λp 0 (t) =0 t 0 t = dp 0(t) + λp 0 (t) =0 dt P 0 (0) = 1 P 0 (t) =e λt Discrete distributies p 18/33
Distributie i>0 P i (t) =P(A treedt i keer op in tijdsduur t) P 0 ( t) =1 P 1 ( t) =1 λ t P i (t + t) = P i (t) P 0 ( t)+p i 1 (t) P 1 ( t) i =1, 2, = P i (t)(1 λ t)+p i 1 (t) λ t P i (t + t) P i (t)+λp i (t) t = λp i 1 (t) t P i (t + t) P i (t) lim + λp i (t) =λp i 1 (t) t 0 t = dp i(t) + λp i (t) =λp i 1 (t) dt P i (0) = 0 P i (t) =e λt (λt)i i! Discrete distributies p 19/33
Distributie λt (λt)i ϕ I (i) =P i (t) =e i! i =0, 1, 2, Φ I (w) =P(I w) =e λt j w (λt) j j! e x = + j=0 x j j! Φ I (+ ) =e λt + j=0 (λt) j j! =1 Discrete distributies p 20/33
Karakteristieken µ I = i=0 iϕ I (i) =λt σ 2 I = i=0 i 2 ϕ I (i) µ 2 I = λt µ µi ϕ I (i) =e i! i =0, 1, 2, µ : parameter van de Poisson-distributie Discrete distributies p 21/33
Kansverdeling ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 00 01 02 03 04 05 06 µ =05 0 1 2 3 4 5 6 00 01 02 03 04 05 06 µ =1 ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 00 01 02 03 µ =5 Discrete distributies p 22/33
Momentenfunctie M I (t) = = e it ϕ I (i) i=0 i=0 = e µ e it µ µi e i! i=0 = e µ e µet = e µ (et 1) (e t µ) i i! Discrete distributies p 23/33
Momentenfunctie Som van onafhankelijke Poisson verdeelde toevalsveranderlijken De som K van n onafhankelijke Poisson verdeelde toevalsveranderlijken I j met parameter µ j is Poisson verdeeld n met parameter µ j j=1 M K (t) = n M j (t) = n e µ j (e t 1) = e (e t 1) n j=1 µ j j=1 j=1 Discrete distributies p 24/33
Vergelijking Binomiaal Poisson ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 05 06 n = 100, θ=0005 0606 0304 0076 0012 ϕ I (i) 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 00 01 02 03 04 05 06 µ =05 0607 0303 0076 0013 De Poisson-verdeling levert goede benaderingen voor de binomiale verdeling als n groot is en µ = nθklein Discrete distributies p 25/33
Voorbeeld Een radioactieve bron wordt geobserveerd gedurende vier verschillende tijdsintervallen van 6 seconden elk Per seconde wordt er gemiddeld 05 deeltjes uitgezonden Men neemt aan dat het aantal deeltjes dat uitgezonden wordt in het tijdsinterval [0, t] verdeeld is volgens de Poisson-distributie (i) P(in de vier intervallen 3 deeltjes uitgezonden) (ii) P(in minstens 1 interval 3 deeltjes uitgezonden) Oplossing : I : het aantal uitgezonden deeltjes in [0, t] λt (λt)i ϕ I (i) =e i! i =0, 1, t=6seconden = λt=3 P(I 3) = 1 P(I <3) = 1 e µ ( 1+µ + µ2 2! ) =0577 Discrete distributies p 26/33
Voorbeeld Een radioactieve bron wordt geobserveerd gedurende vier verschillende tijdsintervallen van 6 seconden elk Per seconde wordt er gemiddeld 05 deeltjes uitgezonden Men neemt aan dat het aantal deeltjes dat uitgezonden wordt in het tijdsinterval [0, t] verdeeld is volgens de Poisson-distributie (i) P(in de vier intervallen 3 deeltjes uitgezonden) (ii) P(in minstens 1 interval 3 deeltjes uitgezonden) Oplossing : I : het aantal uitgezonden deeltjes in 6 seconden P(I 3) = 0577 J : aantal intervallen met 3 uitgezonden deeltjes J : binomiaal met θ J =0577 (i) P(J =4)=θ 4 =0111 (ii) P(J 1)= 1 P(J =0)= 1 (1 θ) 4 =0968 Discrete distributies p 27/33
Veralgemeningen De distributie van Poisson kan veralgemeend worden door het constant zijn van λ te laten varen Als voorbeeld kunnen we het aantal slachtoffers van een besmettelijke ziekte gedurende een tijd t beschouwen De besmettingsparameter neemt toe als het aantal nieuwe zieken in eenzelfde tijdsduur toeneemt Daarentegen neemt af als de tijdsduur voor evenveel nieuwe zieken toeneemt Een van de veralgemeningen is de distributie van Polya Discrete distributies p 28/33
Poisson en binomiaal Bepaal ϕ J (j) als J telt hoeveel verschijnselen uit een Poisson proces (met parameter µ) ook voldoen aan een zekere eigenschap (met constante kans θ) µ µi een Poisson proces I : ϕ I (i) =e i =0, 1, i! binomiaal proces met parameter θ ϕ J (j) = P(J = j) =P((J = j) ( (I = i))) j =0, 1, i=0 = P((J = j) (I = i)) = P(I = i)p(j = j I = i) i=0 i=0 = P(I = i)p(j = j I = i) want P (J >I)=0 = i=j i=j µ µi e i! ( ) i θ j (1 θ) i j j Discrete distributies p 29/33
Poisson en binomiaal Bepaal ϕ J (j) als J telt hoeveel verschijnselen uit een Poisson proces (met parameter µ) ook voldoen aan een zekere eigenschap (met constante kans θ) ( ) µ µi i ϕ J (j) = e θ j (1 θ) i j i! j i=j = e µ i=j = e µ (θµ) j j! = e µ (θµ) j j! = e µ (θµ) j j! µ j+(i j) i! i j=0 k=0 1 k! i! (i j)! j! θj (1 θ) i j 1 (i j)! (µ (1 θ))k e µ (1 θ) = e µθ(θµ)j j! (µ (1 θ))i j J : Poisson µ J = µθ Discrete distributies p 30/33
De discrete uniforme verdeling Een uniform verdeelde discrete veranderlijke X is een veranderlijke waarbij de kans op het voorkomen van een enkelvoudige gebeurtenis uit de populatie voor elke enkelvoudige gebeurtenis dezelfde is Discrete distributies p 31/33
Distributie karakteristieken waarden X : x 1 <x 2 <<x m ϕ X (x i )=P(X = x i )= 1 m i =1, 2,, m Φ X (w) =P(X w) = x i w 1 m Φ X (x i )=P(X x i )= i m i =1, 2,, m m µ X = 1 m m i=1 x i σ 2 X = 1 m i=1 x 2 i µ 2 X Discrete distributies p 32/33
Bijzonder geval waarden I : 1 < 2 <<m µ I = m +1 2 σ 2 I = m2 1 12 Discrete distributies p 33/33