Inhoud Introductie tot de cursus 1 Uitgangspunten, plaats en globale doelstelling van de cursus 5 2 Inhoud van de cursus 5 3 De structuur van het schriftelijk materiaal 6 4 Het bestuderen van de cursus 6 5 Het tentamen 8 6 Ten slotte 8 4
Introductie tot de cursus Introductie tot de cursus 1 Uitgangspunten, plaats en globale doelstelling van de cursus In deze cursus Capita selecta wiskunde worden enkele wiskundige onderwerpen behandeld om belangrijke informaticaproblemen aan te kunnen pakken. De wiskundeonderwerpen die worden behandeld zijn Lineaire algebra en Getaltheorie. Lineair algebra wordt toegepast bij beeldverwerking, getaltheorie bij beveiliging. Om goede informaticaoplossingen te ontwikkelen, is voldoende achtergrond noodzakelijk in de achterliggende wiskundige theorie. In deze cursus wordt de relatie gelegd tussen het informaticaprobleem en de wiskunde. Daarna wordt de wiskundige theorie bestudeerd. Vervolgens moet bij het uitwerken van een opdracht de opgedane kennis worden toegepast. De cursus Capita selecta wiskunde is een onderdeel van de bacheloropleiding Informatica. Studenten die deze opleiding volgen, kunnen zich inschrijven voor deze cursus. Zie voor de precieze details met betrekking tot de inschrijfvoorwaarden de studiegids, of kijk op www.ou.nl. Uitgangspunt voor deze cursus is dat informatici voldoende wiskundige kennis moeten hebben, of zich wiskundige kennis eigen moeten kunnen maken, om relevante informaticavraagstukken, op afdoende wijze te kunnen aanpakken. Doelstelling van deze cursus is dat u de vaardigheid ontwikkelt om zelfstandig wiskunde te bestuderen en toe te passen. Dat gebeurt aan de hand van de onderwerpen Lineaire algebra en Getaltheorie. Maar het is de globale doelstelling van deze cursus dat u na het bestuderen ervan ook andere wiskundeonderwerpen zelfstandig kunt bestuderen. Voorkennis Als u met de bestudering van deze cursus start, wordt ervan uitgegaan dat u de cursussen Discrete wiskunde A, Discrete wiskunde B en Continue wiskunde heeft afgerond, of daarvoor een vrijstelling heeft ontvangen. Tevens wordt uitgegaan van basiskennis informatica. Deze is noodzakelijk om de relatie te kunnen leggen tussen de wiskunde en de informaticaproblemen, die in deze cursus worden behandeld. Informaticakennis overeenkomend met de cursus Inleiding informatica is daarvoor voldoende. 2 Inhoud van de cursus In deze cursus worden twee wiskunde onderwerpen behandeld, gerelateerd aan een informaticaprobleem: Lineaire algebra in relatie tot Computer graphics en Getaltheorie in relatie tot Cryptografie. OUN 5
Capita selecta wiskunde Lineaire algebra en computer graphics In graphics en animaties die in allerlei applicaties en games voorkomen, moeten razendsnel beelden opgebouwd worden, die kunnen worden gepresenteerd op een beeldscherm. Als bekend is waar objecten zich in de driedimensionale ruimte bevinden, en als bekend is waar vandaan het blikveld is, en als bovendien nog de lichtinval is gegeven, dan moet een tweedimensionale afbeelding worden gemaakt, waarop alles op de correcte wijze wordt getoond. Om dat beeld te construeren, wordt gebruikgemaakt van allerlei lineaire afbeeldingen en transformaties. De wiskundige basis voor die bewerkingen is een deelgebied van de wiskunde: de Lineaire algebra. Getaltheorie en cryptografie Om gegevens veilig te kunnen versturen, zonder dat niet-geautoriseerde personen of instanties er kennis van kunnen nemen, moeten de gegevens versleuteld worden. Omdat er meer en meer informatie wordt verstuurd, ook zeer vertrouwelijk informatie, moet er zekerheid bestaan over de mate waarin dat veilig kan. Enkele eeuwen terug formuleerde de wiskundige Leonhard Euler een stelling binnen de getaltheorie, die nu de basis vormt van een van de belangrijkste beveiligingsmethoden binnen de cryptografie. Wiskundig valt te bewijzen dat die methode ook werkelijk veilig is, en dat is nu precies waar in de beveiliging behoefte aan is. In deze cursus wordt het verband gelegd tussen informaticaproblemen en wiskundige theorieën. Vervolgens wordt de wiskundige theorie bestudeerd, waarna een concreet probleem met de ontwikkelde kennis opgelost moet worden. Over de oplossing moet een kort werkstuk worden geschreven. 3 De structuur van het schriftelijk materiaal Deze introductie is onderdeel van het schriftelijk materiaal van de cursus. Naast het schriftelijk materiaal wordt er aanvullend materiaal beschikbaar gesteld via de elektronische leeromgeving Studienet (studienet.ou.nl) van de Open Universiteit Nederland. Bezoekt u de cursus op Studienet om de aanvullende materialen op te halen. Het schriftelijk materiaal dat u ontvangt bij inschrijving voor de cursus bestaat uit drie onderdelen: dit boekwerk dat u nu leest, met daarin deze introductie op de cursus en een Inleiding computer graphics het boek Vectoren en matrices van Jan van de Craats, met een inleiding in de Lineaire algebra het boek Elementaire getaltheorie en asymmetrische cryptografie van Benne de Weger. De overige schriftelijke materialen worden u ter beschikking gesteld via Studienet. 4 Het bestuderen van de cursus In deze cursus worden twee onderwerpen behandeld. De onderwerpen staan los van elkaar. De bestudering van de onderwerpen gaat twee maal op ongeveer dezelfde wijze. 6 OUN
Introductie tot de cursus Voor het onderwerp Lineaire algebra en Computer graphics gaat u als volgt te werk: eerst bestudeert u de Inleiding computer graphics die u in dit boek aantreft vervolgens bestudeert u het boek Vectoren en matrices, hoofdstuk 1 tot en met 8 als laatste kiest u een van de drie opdrachten Lineaire algebra en Computer graphics die u aantreft op Studienet; u werkt de opdracht uit en levert de uitwerking in bij de docent. Voor het onderwerp Getaltheorie en cryptografie gaat u als volgt te werk: eerst bestudeert u de introductie en hoofdstukken 1 tot en met 4 van het boek Elementaire getaltheorie en asymmetrische cryptografie daarna kiest u één van de drie opdrachten Getaltheorie en cryptografie die u aantreft op Studienet; u werkt de opdracht uit en levert de uitwerking in bij de docent. Gebruik opgaven Begeleiding Van groot belang bij het bestuderen van de stof is dat u de begrippen goed onder de knie krijgt. Dat gaat het beste door de voorbeelden goed te bestuderen. Om met de begrippen te kunnen werken, moet u opgaven maken. U maakt er zoveel als u zelf nodig meent te hebben. Verder moet u de theorie kennen, daarmee bedoelen we dat u de begrippen (vastgelegd in de definities) en de eigenschappen (vastgelegd in de stellingen) en de methoden moet kennen, maar daarmee bedoelen we ook dat u zelf bewijzen moet kunnen geven, zonder de bewijzen uit het hoofd te leren. Daartoe moet u de bewijzen van de gepresenteerde stellingen goed bestuderen. Overigens leert u wiskunde het beste door wiskunde te doen, dus zal veel studeertijd in het maken van opgaven gaan zitten. De cursus is ontworpen voor zelfstudie. In principe is het dus mogelijk geheel zelfstandig de cursus te bestuderen, de opdrachten uit te werken en u aan te melden voor het tentamen als u daar aan toe bent. Jaarlijks wordt er, voor hen die daar aan mee willen doen, éénmaal een begeleidingscyclus georganiseerd. De begeleiding bestaat uit een aantal elektronische bijeenkomsten. Aan de elektronische bijeenkomsten neemt u online deel, via een webconferentiesysteem. Voor deelname hebt u een voldoende snelle internetverbinding nodig. Een ADSL-verbinding is in het algemeen voldoende. De bijeenkomsten zijn afgestemd op de bestudering van de afzonderlijke onderwerpen, dus enkele bijeenkomsten voor Lineaire algebra en enkele bijeenkomsten voor Getaltheorie. Op de elektronische bijeenkomsten wordt niet uitgebreid de stof behandeld. De theorie kunt u zelfstandig met het schriftelijk materiaal bestuderen. Wel kunt u vragen stellen aan de docent. Ook uw medestudenten kunnen vragen stellen. De docent zal ingaan op uw vragen. De bijeenkomsten hebben dus de opzet van een elektronisch vragenuur. De details over de elektronische begeleidingsbijeenkomsten worden gepubliceerd op Studienet. OUN 7
Capita selecta wiskunde Tevens kunt u de discussieruimtes van Studienet gebruiken om uw vragen te stellen. Medestudenten en de docent kunnen reageren op uw vragen. Ook kunt u eerder gestelde vragen bekijken, om na te gaan of daar uw problemen al zijn behandeld. 5 Het tentamen De cursus wordt afgesloten met een mondeling tentamen. Voorwaarde voor deelname aan het tentamen is dat u uw uitwerkingen van twee opdrachten heeft ingeleverd. U moet één opdracht uitwerken over Lineaire algebra en computer graphics en één opdracht over Getaltheorie en cryptografie. De opdrachten vindt u op Studienet. U treft daar per onderwerp meerdere opdrachten aan. Per onderwerp kunt u één van de opdrachten kiezen. Zodra u uw gekozen opdracht heeft uitgewerkt (maximaal vier A4-tjes), dan stuurt u deze naar de docent (zie voor de details Studienet). U krijgt van de docent te horen of de uitwerking voldoende is, of dat ze nog verbeterd moet worden. Als de uitwerkingen van de opdrachten voldoende zijn, kunt u een afspraak maken voor een mondeling tentamen. Neemt u daartoe rechtstreeks contact op met de docent. In overleg met u wordt tijdstip en plaats van het tentamen afgesproken. Direct voorafgaand aan het mondeling tentamen krijgt u enkele opgaven over Lineaire algebra en Getaltheorie. U kunt daar één uur aan werken. Daarna volgt het mondeling tentamen dat drie kwartier duurt. De uitwerkingen van de opgaven die u heeft gekregen worden daarin met u doorgenomen. Ook worden de opdrachten die u eerder heeft ingestuurd besproken. Naar het tentamen mag u het cursusmateriaal en eventueel ook andere boeken of aantekeningen meenemen. 6 Ten slotte Het cursusteam wenst u veel genoegen en succes met de bestudering van de cursus. Het team heeft zijn best gedaan een interessante cursus samen te stellen. Mocht u opmerkingen of commentaren over de cursus hebben, dan verneemt het cursusteam die gaarne. 8 OUN