1 Analyse van het hoofdrekenen tot 100 bij Wis en Reken Karel Groenewegen Inleiding Bij deze analyse van het hoofdrekenen tot 100 binnen de methode Wis en Reken hebben we, gelijk de onderverdeling bij het programma Met Sprongen Vooruit, een onderscheid gemaakt in: Getallen en Bewerkingen met getallen. Binnen het onderdeel Getallen worden de volgende drie activiteiten onderscheiden: het tellen, het ordenen en lokaliseren van getallen op de getallenlijn, en de getallen in hun tientallige structuur. Tot het gedeelte Bewerkingen met getallen worden gerekend: het aanvullen tot 10, het splitsen van getallen en het optellen en aftrekken van getallen. 1. Getallen 1.1 Leren tellen In blok 14 1 van groep 3 vindt uitbreiding plaats naar de getallenlijn tot 100. Uitgangspunt vormt de context van het touwtje springen. Veel kinderen vinden het leuk om bij te houden hoeveel keer ze achter elkaar hebben gesprongen. Dit gegeven wordt gebruikt om de leerlingen naar voren te laten brengen hoever ze de telrij al kunnen opzeggen. Aan het eind van groep 3 zijn de leerlingen zover dat ze de telrij tot en met 100 vlot kunnen opzeggen. Bij verkennen van de getallen tot 100 komen o.a. aan de orde: het akoestisch tellen (het opzeggen van de telrij): verderen terugtellen vanaf een bepaald getal op de getallenlijn, het op volgorde zetten van getallen, het bepalen van de buurgetallen van een getal, het herkennen van getalsymbolen, het invullen van ontbrekende getallen op een deel van de getallenlijn. Een voorbeeld: Het opzeggen van de telrij tot 100 wordt gekoppeld aan het maken van bewegingen. De leerlingen lopen in een kring en zeggen de telrij op. Telkens als er een tienvoud wordt bereikt, maken ze een sprongetje en klappen in hun handen. Op deze wijze wordt de bijzondere plaats van de tienvouden geaccentueerd. Oefeningen die met de decimale structuur van de telrij samenhangen, zijn onder andere: oefeningen op de om tien gestructureerde kralenketting, het invullen van stukjes getallenlijn die 1 Een blok is een leerstofeenheid van twee weken.
2 van tienvoud tot tienvoud lopen, het werken op de Zonnelijn en het opereren op het Goudbord. Dit gebeurt ook bij het vaststellen van hoeveelheden kralen op het kralensnoer: Met behulp van dit snoer krijgen de kinderen steeds meer een idee van de tientallige structuur, zoals bijvoorbeeld het feit dat je je een getal van 36 kunt voorstellen als drie groepen van 10 en nog 6 (losse). Door het invullen van stukjes getallenlijn die van tienvoud tot tienvoud lopen, raakt de kleine getallenlijn van de eenheden verweven met de grote van de tienvouden: In blok 1 van groep 4 wordt het Zonnespel, een soort ganzenbord, geïntroduceerd. Wie het eerst op of voorbij 100 is, heeft gewonnen. Het spel is bedoeld om de schrijfwijze van de getallen nader te verkennen. Om de getallen overzichtelijk op een rij te hebben, wordt eerst een rechte versie van het Zonnespel samengesteld: De volgende oefeningen worden gedaan: getallen aanwijzen, benoemen, terugtellen en vergelijken.
3 In de komende blokken zal echter de halflege Zonnelijn (een gestructureerde getallenlijn waarop de positie van de tienvouden is geaccentueerd) een centrale rol spelen: 1.2 Ordenen en Lokaliseren Bij het ordenen en lokaliseren van getallen leren de kinderen de orde der getallen kennen en de plaats die zij ten opzichte van elkaar innemen. Binnen Wis en Reken wordt vanaf blok 14 (groep 3) regelmatig aandacht besteed aan deze beide vaardigheden: Ordenen van getallen Lokaliseren van getallen Een bijpassende oefening in dit verband is een variant van Raad-mijngetal (blok 12, groep4). Bij dit spel proberen de leerlingen de leeftijd te raden van een persoon die de leerkracht in gedachten heeft genomen. 1.3 De tientallige structuur van getallen In blok 6 van groep 4 maken de kinderen kennis met het Goudbord als een belangrijk hulpmiddel om de getallen tot en met 100 (goudstanden) uit te beelden in hun tientallige structuur.
4 Het Goudbord wordt geïntroduceerd binnen de context van de koning van Doratië. Eerder genoemd Goudbord wordt door de koning gebruikt bij het uitoefenen van zijn boekhouding, met name het bijhouden van zijn bezit in goud (uitgedrukt in goudstanden). Op het Goudbord kunnen staven en blokken dusdanig worden geplaatst, dat het totaal aantal goudstukken vlot kan worden bepaald. Bijvoorbeeld bij de goudstand 53: 10. 20, 30, 40, 50, en nog 3 is 53. Of 50 (want de goudstaven liggen tegen de dikke lijn aan) en nog 3 is 53. Met dit Goudbord kunnen de kinderen zich de getallen tot en met 100 voorstellen als combinatie van rijen van 10 en nog een aantal losse blokken. Mede op basis van dit Goudbord vindt binnen Wis en Reken een eerste verkenning plaats van elementaire optel- en aftrekopgaven tot en met 100. GOUDBORD 2. Bewerkingen met getallen 2.1 Aanvullen tot 10 In blok 6 van groep 3 vinden er activiteiten plaats rond het aanvullen in de context van krijtjes die moeten worden opgeruimd in doosjes. Het aanvullen tot 10 wordt in blok 15 van groep 3 geïntroduceerd in de context van een blikjesautomaat. Eerst wordt de automaat verkend, waarbij wordt vastgesteld dat er van elke soort 10 blikjes boven elkaar passen. Daarna bekijken de leerlingen hoeveel blikjes er van elke soort nog bij kunnen.
5 Verschillende aanpakken komen naar voren: uitgaan van dubbel 5, aanvullend optellen, aftrekken, enz... Om het aanvullen te onthechten van haar concreet aanschouwelijke karakter, wordt dit soort opgaven vervolgens op meer schematisch niveau aangeboden. De leerlingen vullen het lege gedeelte in: En op formeel niveau: 5 + 5... = 10 10-5... = 5... In blok 16 van groep 3 wordt het aanvullen tot 10 mede verkend in de context van eierdozen, waarbij gebruik wordt gemaakt van de 5-structuur. In groep 4 (blok 2) vindt uitbreiding plaats naar het aanvullen tot en met 20. Hiervoor wordt Koekiemonster geïntroduceerd. Hij brengt een doos met 20 koekjes (geordend in 4 rijen van 5) als cadeautje naar Ernie, omdat hij jarig is. Maar onderweg kan hij niet van de koekjes afblijven en daarom ontbreekt er een aantal koekjes. De vraag is nu hoeveel koekjes er ontbreken.
6 De leerlingen verkennen handige aanpakken, zoals een rijtje van 5 en een rijtje van 3, dus 8 In een vervolgactiviteit wordt daarna een meer geschematiseerde voorstelling van de situatie geïntroduceerd: Via deze geschematiseerde opgaven wordt het gebruik van de vijfstructuur verder gestimuleerd en wordt geanticipeerd op het aanvullen tot een tienvoud: 36 +.. = 40, 54 +.. = 60. In blok 12 van groep 4 wordt het aanvullen als handige aanpak voor het aftrekken verkend. Bijvoorbeeld: Hoeveel jaar verschillen twee personen die qua leeftijd niet ver uit elkaar liggen. De één is 17 jaar, de ander 25 jaar. De leerlingen leren dat het handig is om het tussenliggende tienvoud als steunpunt te gebruiken: van 17 naar 20 is 3 en van 20 naar 25 is 5; samen 8. Deze aanpak wordt aanschouwelijk gemaakt op de lege getallenlijn Daarna wordt dit soort oefeningen ook in schriftelijke vorm geoefend.
7. 2.2 Splitsen In blok 3 van groep 3 vindt een eerste verkenning plaats van het splitsen van getallen. Ieder kind krijgt vijf tweekleurige fiches (met een rode en een groene kant). Uitgangspunt vormt de context van een verjaardagspartijtje, waarbij alle feestgangers 5 rode en groene kauwgumballen krijgen. Om te bepalen hoeveel rode en groene ballen (1 en 4, 2 en 3) iedereen krijgt, schudden de kinderen de vijf fiches in hun hand en gooien ze op tafel. De combinaties worden vervolgens schematisch op het bord weergegeven: Daarna werken de kinderen in blok 6 met afgebeelde fiches: Twee blokken verder wordt het T-schema geïntroduceerd. Uitgangspunt vormt een situatie bij een tramhalte, waar acht mensen op het punt staan in te stappen in een tram die bestaat uit twee aparte, aan elkaar gekoppelde wagens: In blok 9 wordt dan de uiteindelijke splitstabel geïntroduceerd. Hiermee is het notatieschema geïntroduceerd dat in de rest van groep 3 en 4 zal worden gebruikt bij het splitsen.
8 Het accent komt nu te liggen op het bepalen van getalsplitsingen zonder meer, zonder dat er nog sprake is van ondersteunende contexten: In blok 17 maken de kinderen een splitsboekje, waarbij alle splitsingen van getallen tussen 5 en 10 worden genoteerd. Met dit boekje worden vervolgens oefeningen gedaan, waarbij iedere keer een ander getal centraal staat. In groep 4 worden splitsoefeningen regelmatig aan de orde gesteld. 2.3 Optellen en aftrekken onder de 100 In blok 7 van groep 4 vindt een eerste verkenning plaats van de elementaire optel- en aftreksommen tot en met 100 (32 + 5, 37 6). Het Goudbord van de koning van Doratië fungeert daarbij als concrete ondersteuning. De leerlingen ontdekken hoe je de tientallige structuur van het Goudbord kunt gebruiken om handig tot oplossingen te komen. Bijvoorbeeld bij de som 37-6: 'Als je van het laatste rijtje er 6 afhaalt blijft er nog 1 over, want 7-6 is 1, 30 en nog 1 is samen 31.' In eerste instantie is de goudstand (37 in dit geval) steeds zichtbaar aanwezig voor de leerlingen. Naderhand is dit niet meer het geval en gebruiken de leerlingen het Goudbord steeds meer als denksteun. Eén blok later wordt het tellen met sprongen van 10 aan de hand van het Goudbord verkend. De leerlingen worden zich ervan bewust, dat je 10 bij een bepaalde hoeveelheid goudstukken kunt doen, door er in één keer een hele rij (staaf) van 10 aan toe te voegen. In aansluiting hierop wordt het verder- en terugtellen met sprongen van 10 geïntroduceerd. Omdat de koning niet altijd evenveel zin heeft om naar de koude kelder af te dalen waar het Goudbord staat, zoekt hij iets waarmee hij gemakkelijk zijn goudstanden kan bijhouden
9 De koningin komt dan op het idee om hiervoor haar kralensnoer (het honderd-kralensnoer) te gebruiken. Dit kralensnoer biedt de mogelijkheid om er goudstanden op aan te geven met behulp van een wasknijper. Het aantal kralen voor de wasknijper geeft dan de goudstand aan op een manier die vergelijkbaar is met die van het Goudbord. Als de leerlingen vertrouwd zijn geraakt met het overzetten van goudstanden op het kralensnoer, wordt er geoefend met het oplossen van sommen als 43 + 5 en 57-4, maar ook al 45 + 6 en 42-4 met behulp van het kralensnoer. Hierbij komt naar voren dat je, op basis van de tientallige structuur van het kralensnoer, op eenzelfde manier sommen maakt als op het Goudbord. Vervolgens wordt in blok 9 de lege getallenlijn geïntroduceerd als schematisering van het kralensnoer. Deze maakt een verdere verkenning op getalsmatig niveau mogelijk. Uitgangspunt daarbij vormt wederom de context van Doratië. De koning krijgt in zijn buitenhuis aan zee te horen dat er, bij een goudstand van 47, 9 goudstukken bijkomen. Aangezien hij zijn Goudbord en kralensnoer in het paleis heeft laten liggen, probeert hij zelf te bepalen wat de nieuwe goudstand wordt. Hij tekent een lijn en zet een streepje voor het begingetal 47, om aan te geven dat daar de knijper zat met 47 kralen ervoor. Vervolgens bepaalt de koning de nieuwe goudstand met sprongen van 1, zoals hij dat al eerder op het kralensnoer en het Goudbord deed: De leerlingen helpen hem echter aan betere ideeën, zoals: 'Eerst één voor één verder springen naar 50 (overeenkomend met 'het rijtje volmaken' op het kralensnoer en het Goudbord) en dan in een keer een sprong
10 van 6 naar 56 (overeenkomstig het in één keer toevoegen van 6 kralen of goudstukken). Of nog handiger: 'in één keer een sprong van 3 naar 50 en daarna nog een sprong van 6 naar 56.' Deze reflectie op het verkorten van het oplossingsgedrag vormt een integraal onderdeel van de methode. Op het kralensnoer en het Goudbord wordt nu gecontroleerd in hoeverre de betreffende handelingen op de lege getallenlijn juist zijn. De overeenkomst tussen deze beide soorten handelingen en die op de lege getallenlijn wordt zodoende benadrukt. Dat wat je op de getallenlijn met getallen beschrijft, komt overeen met wat je met kralen op het kralensnoer en met goudstukken op het Goudbord doet. Op deze wijze wordt een basisaanpak geïntroduceerd die in de komende blokken bij de verdere verkenning van het optellen en aftrekken tot en met 100 een centrale rol speelt: de rijgaanpak op de lege getallenlijn. De kern van deze aanpak vormt het feit dat het eerste getal intact wordt gelaten, terwijl het tweede getal er in gedeelten van tien en/of eenheden aan wordt toegevoegd (aangeregen) of van afgehaald. Het hoofdrekenen onder de 100 kent een volgende opbouw bij Wis en Reken : Vanaf blok 7: rekenen met getallen kleiner dan 10: 35 + 45, 35 4 Vanaf blok 8: rekenen met tienvouden:35 + 10, 35 +30, 35 10,35 30 Vanaf blok 10: rekenen over het tienvoud heen: 35 + 8, 35 8 Vanaf blok 11: rekenen met moeilijke sommen: 46 + 37, 83 35 Vanaf blok 12 van groep 4 wordt de stapsgewijze notatie in sommentaal (het regelgewijs handelingsverslag) onder de aandacht van de kinderen gebracht. Deze notatie dient als overgang naar het meer formele rekenen met getallen. 35 + 28 30 + 20 = 50 30 + 20 = 50 5 + 8 = 13 50 + 5 = 55 50 + 13 = 63 55 + 8 = 63
11 In blok 14 wordt onderzocht hoe de splitsaanpak bij moeilijke sommen als 47 + 36 en 83 36 naast de rijgaanpak kan worden gebruikt. Omdat de splitsaanpak zich niet leent voor een beschrijving op de lege getallenlijn wordt binnen Wis en Reken gebruik gemaakt van het regelgewijs handelingsverslag: 58-29 50-20 = 30 30 + 8 = 38 38-9 = 29 Een context die zich bij uitstek leent om het gebruik van de splitsaanpak te stimuleren, is die van het rekenen met geld: Naast de rijg- en de splitsaanpak wordt er (blok16) aandacht besteed aan varia aanpakken als compenseren. Bijvoorbeeld: 35 + 29 uitrekenen door eerst 35 + 30 te doen (65) en daarna 65 1. Ook wordt gedurende het tweede halfjaar van groep 4 regelmatig de relatie tussen optellen en aftrekken aan de orde gesteld: 10 10 5 2 45 55 65 70 72 Samenvattend mogen we stellen dat Wis en Reken bij het hoofdrekenen tot 100 een grote variëteit aan oefeningen te zien geeft, waarbij de orde en regelmaat van de getallenlijn wordt benadrukt. Middels het Goudbord wordt duidelijk aandacht besteed aan het decimale aspect van getallen. Bij het optellen en aftrekken wordt een belangrijke plaats toegekend aan de rijgmethode. Eerst (zij het kort) met behulp van de om 10-gestructureerde kralenketting van honderd, daarna wordt die plaats ingenomen door de lege getallenlijn. Vanaf blok 14 richt de aandacht zich op de splitsaanpak, terwijl ook variaaanpakken, zoals compenseren, aan bod komen. Alle essentiële onderdelen worden frequent geoefend.