Opgaven hoofdstuk 5 I Learning the Mechanics 5.1 Stel x is een random variabele die het beste beschreven wordt door een uniforme kansverdeling met c = 20 en d = 45. a. Bepaal f(x). b. Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie van x. c. Teken een grafiek van f(x) en geef de positie van µ en het interval µ ± 2σ op de grafiek aan. Merk op dat de kans dat x een waarde aanneemt binnen het interval µ ± 2σ gelijk is aan 1. 5.2 Bepaal de volgende kansen voor de standaardnormaal verdeelde random variabele z: a. P(-1 z 1) b. P(-2 z 2) c. P(-2,16 z 0,55) d. P(-0,42 < z < 1,96) e. P(z -2,33) f. P(z < 2,33) 5.3 De random variabele x heeft een normale verdeling met µ = 1000 en σ = 10. a. Bepaal de kans dat x een waarde aanneemt die meer dan twee standaarddeviaties van het gemiddelde is verwijderd. Meer dan drie standaarddeviaties van µ. b. Bepaal de kans dat x een waarde aanneemt die binnen 1 standaarddeviatie van het gemiddelde ligt. Binnen twee standaarddeviaties van het gemiddelde. c. Bepaal de waarde van x die het 80 e percentiel van deze verdeling vertegenwoordigt. Het 10 e percentiel. 5.4 Stel x is een normaal verdeelde random variabele met µ = 50 en σ = 3. Vind een waarde van x, en noem die x 0, zó dat a. P(x x 0 ) = 0,8413 b. P(x > x 0 ) = 0,-25 c. P(x > x 0 ) = 0,95 d. P(41 x < x 0 ) = 0,8630 e. 10% van de waarden van x is kleiner dan x 0.
f. 1% van de waarden van x is groter dan x 0. 5.5 Beschouw een gegevensverzameling uit een steekproef met de volgende samenvattende statistische gegevens: s = 95, Q L = 72, Q U = 195. a. Bereken het IKB. b. Bereken IKB/s c. Is de waarde van IKB/s ongeveer gelijk aan 1,3? Wat houdt dit in? 5.6 Onderzoek de steekproefgegevens in de tabel. a. Construeer een stam-en-bladdiagram om vast te stellen of de gegevens afkomstig zijn van een verdeling die bij benadering normaal is. b. Bereken s voor de steekproefgegevens. c. Bepaal de waarden van Q L en Q U en de waarde van s uit b om vast te stellen of de gegevens afkomstig zijn van een verdeling die bij benadering normaal is. d. Teken een normale-kansgrafiek voor de gegevens en gebruik deze om vast te stellen of de gegevens bij benadering normaal verdeeld zijn. 5.7 Veronderstel dat x een binomiale random variabele is met n en p gegeven als in a-f. In welke gevallen zouden we een normale verdeling kunnen gebruiken om de binomiale verdeling te benaderen? a. n = 100, p = 0,01 b. n = 20, p = 0,6 c. n = 10, p = 0,4 d. n = 1000, p = 0,05 e. n = 100, p = 0,8 f. n = 35, p = 0,7
5.8 Veronderstel dat x een binomiale random variabele is met n = 100 en p = 0,40. Gebruik een normale benadering om de volgende kansen te berekenen: a. P(x 35) b. P(40 x 50) c. P(x 38) 5.9 Stel x heeft een exponentiële verdeling met λ = 3. Bepaal de volgende kansen: a. P(x > 2) b. P(x > 1,5) c. P(x > 3) e. P(x > 0,45) 5.10 Stel dat de random variabele x een exponentiële verdeling heeft met λ = 2. Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie van x. Bepaal de kans dat x een waarde aanneemt binnen het interval: µ ± 2σ. 5.11 Veronderstel dat x een random variabele is die het beste beschreven kan worden door een uniforme verdeling met c = 10 en d = 90. a. Bepaal f(x). b. Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie van x. c. Teken een grafiek van de kansverdeling van x en geef de positie van het gemiddelde en het interval: µ ± 2σ in de grafiek aan. d. Bepaal P(x 60). e. Bepaal P(x 90). f. Bepaal P(x 80). g. Bepaal P(µ σ x µ + σ). h. Bepaal P(x > 75). 5.12 Bepaal een z-score, en noem die z 0, zó dat a. P(z z 0 ) = 0,5080 b. P(z z 0 ) = 0,5517
c. P(z z 0 ) = 0,1492 d. P(z 0 z 0,59) = 0,4773. II Applying the Concepts 5.13 In de tabel staat de frequentieverdeling van de zaak- en transportschade van een grote oliemaatschappij gedurende de afgelopen twee jaar. Deze verdeling kan door de onderneming worden gebruikt om toekomstige verliezen te voorspellen en om een geschikte mate van verzekering vast te stellen. Bij het analyseren van verliezen binnen een verdelingsinterval kunnen analisten ter vereenvoudiging het interval behandelen als een uniforme kansverdeling (Research Review, zomer 1998). In de verzekeringswereld worden deze intervallen vaak lagen genoemd. a. Gebruik een uniforme verdeling voor een model van het verlies in laag 2. Maak een grafiek van de verdeling. Bereken en interpreteer het gemiddelde en de variantie daarvan. b. Herhaal a, maar nu voor laag 6. c. Als er in laag 2 een verlies optreedt, hoe groot is dan de kans dat dit hoger is dan $10 000? Dat het minder is dan $25 000? d. Als er in laag 6 een verlies optreedt, hoe groot is de kans dat dit tussen $750 000 en $1 000 000 ligt? Dat het groter is dan $900 000. Dat het precies $900 000 is? Bron: Cozzolino, John M., en Perter J. Mikola, Application of the Piecewise Constant Pareto Distribution, Research Review, zomer 1998. 5.14 De manager van een plaatselijke frisdrankbottelarij denkt dat als een nieuwe drankverdeelmachine wordt ingesteld op het vullen met 7 ounce, deze in feite een
hoeveelheid x vult die ergens willekeurig tussen 6,5 en 7,5 ounce (inclusief) ligt. Veronderstel dat x een uniforme kansverdeling heeft. a. Is de hoeveelheid die door de machine wordt gevuld een discrete of een continue random variabele? Licht je antwoord toe. b. Maak een grafiek van de frequentiefunctie voor x, de hoeveelheid drank die volgens de manager door de nieuwe machine wordt gevuld als deze wordt ingesteld op het vullen met 7 ounce. c. Bereken het gemiddelde en de standaarddeviatie voor de verdeling waarvan de grafiek in b is getekend, en geef de plaats van het gemiddelde en het interval µ ± 2σ op de grafiek aan. d. Bepaal P(x 7). e. Bepaal P(x < 6). f. Bepaal P(6,5 x 7,25). g. Wat is de kans dat elk van de eerstvolgende zes flessen die door de nieuwe machine worden gevuld meer dan 7,25 ounce drank bevat? Veronderstel dat de hoeveelheid drank waarmee een fles wordt gevuld onafhankelijk is van de hoeveelheid drank waarmee een andere fles wordt gevuld. 5.15 Het probleem om vliegtuigcapaciteit in overeenstemming te brengen met het passagiersaanbod op elke vlucht heet het vluchttoekenningsprobleem in de luchtvaartindustrie. Verspilling wordt gedefinieerd als het aantal passagiers dat niet wordt vervoerd omdat de capaciteit van het vliegtuig niet toereikend is. Een oplossing voor het vluchttoekenningsprobleem bij Delta Airlines werd in Interfaces (jan.-feb. 1994) gepubliceerd. De auteurs - vier onderzoekers van Delta Airlines en een professor van Georgia Tech (Roy Marsten) - demonstreerden hun benadering met een voorbeeld waarin het passagiersaanbod voor een bepaalde vlucht een normale verdeling heeft met een gemiddelde van 125 passagiers en een standaarddeviatie van 45. Beschouw nu een Boeing 727 met een capaciteit van 148 passagiers, en een Boeing 757 met een capaciteit van 182 passagiers. a. Hoe groot is de kans dat het passagiersaanbod groter is dan de capaciteit van de Boeing 727? En groter dan de capaciteit van de Boeing 757? b. Als de 727 wordt toegekend voor de vlucht, hoe groot is dan de kans dat het toestel zal vertrekken met één of meer lege stoelen? Beantwoord dezelfde vraag voor de Boeing 757. c. Als de 727 wordt toegewezen voor de vlucht, hoe groot is dan de kans dat de verspilling groter zal zijn dan 100 passagiers? 5.16
Uit gegevens van de Amerikaanse overheid blijkt dat het gemiddeld uurloon voor fabrieksmedewerkers in de VS gelijk is aan $14 (Statistical Abstract of the United States: 1999). Stel dat de verdeling van het fabrieksloon over het hele land benaderd kan worden door een normale verdeling met een standaarddeviatie van $1,25 per uur. De eerste fabriek waarmee een bepaalde werknemer contact zoekt voor een nieuwe baan betaalt $15,30 per uur. a. Als de werknemer over het hele land een baan zoekt, wat zou dan ongeveer het percentage banen zijn met een uurloon hoger dan $15,30 per uur? b. Als de werknemer willekeurig een fabriek zou kiezen, hoe groot is dan de kans dat deze meer dan $15,30 per uur betaalt? c. De populatiemediaan, die we µ zullen noemen, van een continue random variabele x is de waarde waarvoor P(x µ) = P(x µ) = 0,5. Dat wil zeggen: de mediaan is de waarde µ waarvoor de helft van het oppervlak onder de kansverdeling rechts van µ, en de helft links van µ ligt. Bepaal de mediaan van de random variabele die correspondeert met het loonniveau en vergelijk dit met het gemiddelde loon. 5.17 Een machine die gebruikt wordt om de hoeveelheid kleurstof te regelen die wordt gedoseerd voor het mengen van verf kan zó worden ingesteld dat de machine gemiddeld µ milliliter kleurstof per verfblik doseert. De hoeveelheid gedoseerde kleurstof heeft een normale verdeling met een standaarddeviatie van 0,4 ml. Als er meer dan 6 ml kleurstof wordt gedoseerd voor een bepaalde tint blauwe verf, wordt de kleur onacceptabel. Bepaal hoe µ moet worden ingesteld opdat slechts 1% van de blikken verf onacceptabel is. 5.18 Zie opgave 2.22 over het onderzoek van de New Jersey Chamber of Commerce/Rutgers Business School/Arthur Anderson uit 1998 over de verwachtingen van de generatie post-babyboomers met betrekking tot hun toekomstige carrière. We hebben gezien dat in totaal 590 post-babyboomers antwoord gaven op de vraag: wat is het maximum aantal jaren dat u in de loop van uw carrière bij één en dezelfde werkgever denkt door te brengen? Het gemiddelde antwoord was 18,2 jaar met een standaarddeviatie van 10,64 jaar. Laat zien waarom het onwaarschijnlijk is dat de verdeling van het aantal jaren voor alle post-babyboomers die geantwoord hebben, een normale verdeling heeft. 5.19 De laatste jaren is de Amerikaanse consument creditcards als een gebruiksartikel gaan zien. Hierdoor is de concurrentie in de creditcardindustrie steeds toegenomen. In de tabel staan de marktaandeelgegevens van de creditcardindustrie voor midden 1999. Het is de bedoeling dat er een aselecte steekproef wordt genomen van 100 creditcardgebruikers, waarbij deze wordt gevraagd hoe tevreden ze over hun creditcardonderneming zijn. We veronderstellen eenvoudigheidshalve dat elke creditcardgebruiker precies één creditcard heeft, en dat het percentage marktaandeel
van elk merk gelijk is aan het percentage creditcardklanten dat een creditcard van dat merk heeft. Bron: Newsweek, 4 okt. 1999, p. 55. a. Geef een voorstel hoe de 100 creditcardgebruikers aselect gekozen zouden kunnen worden. b. Wat is voor een aselecte steekproef van 100 creditcardgebruikers het verwachte aantal klanten dat een Visa-card heeft? Discover? c. Wat is de kans dat ten minste de helft van de steekproef van creditcardgebruikers een Visa-card heeft? American Express? d. Geef aan waarom je de normale benadering voor de binomiale verdeling kunt gebruiken bij het beantwoorden van vraag c. 5.20 Volgens de New Jersey Business (feb. 1996) verwerkt de nieuwe terminal van Newark International Airport gemiddeld 3000 internationale passagiers per uur, maar kan de terminal in feite de dubbele hoeveelheid verwerken. 80% van de passagiers kan doorlopen zonder dat hun bagage wordt gecontroleerd, terwijl de rest wel wordt gecontroleerd. De controleafdeling kan 600 passagiers per uur verwerken zonder al te veel vertraging voor de reizigers. a. Stel dat er 1500 internationale reizigers per uur arriveren, wat is dan het verwachte aantal passagiers van wie de bagage wordt gecontroleerd? b. Men verwacht dat in de toekomst wel 4000 internationale passagiers per uur zullen arriveren. Als dat gebeurt, wat is dan het verwachte aantal passagiers van wie de bagage wordt gecontroleerd? c. Bepaal voor de situatie in b de kans dat van meer dan 600 internationale passagiers de bagage wordt gecontroleerd. (Dit is ook de kans dat reizigers bovenmatige vertraging ondervinden door het controleren van de bagage.) 5.21 Productbetrouwbaarheid is gedefinieerd als de kans dat een product naar behoren zijn functie zal vervullen gedurende de bedoelde levensduur als het onder gespecificeerde voorwaarden wordt gebruikt. De betrouwbaarheidsfunctie R(x) voor een product geeft de kans aan dat de levensduur van een product x tijdsperioden overtreft. Als de tijdsduur totdat het product het begeeft door een exponentiële verdeling kan worden
beschreven, dan is de betrouwbaarheidsfunctie van het product R(x) = e -λx (Ross, Stochastic Processes, 1996). Stel dat voor een bepaald product de tijdsduur in jaren totdat dat product het begeeft beschreven kan worden door een exponentiële verdeling met λ = 0,5. a. Wat is de betrouwbaarheidsfunctie van het product? b. Hoe groot is de kans dat het product gedurende ten minste vier jaar naar behoren zal functioneren? c. Wat is de kans dat een bepaald product langer meegaat dan de gemiddelde levensduur van dat product? d. Als λ verandert, verandert dan ook de kans die je in c hebt uitgerekend? Licht je antwoord toe. e. Stel dat er 10 000 stuks van het product worden verkocht, hoeveel daarvan zullen dan bij benadering langer dan vijf jaar naar behoren functioneren? En hoeveel daarvan zullen het binnen een jaar begeven? f. Hoelang moet de garantieperiode voor het product zijn als de fabrikant niet meer dan 5% wil vervangen van de verkochte producten die nog onder de garantie vallen? 5.22 Een artikel in het European Journal of Operational Research (Vol. 21, 1985) beschrijft een onderzoek naar de beslissingen voor het gebruik van taxi s door een taxiservice van het vliegveld. De auteurs gebruiken een model voor het systeem waarbij wordt aangenomen dat de rijtijden van opeenvolgende ritten onafhankelijke exponentiële random variabelen zijn. Veronderstel dat λ = 0,05. a. Wat is de gemiddelde tijdsduur van een taxirit? b. Hoe groot is de kans dat een bepaalde rit langer duurt dan 30 minuten? c. Twee taxi s zijn juist vertrokken. Hoe groot is de kans dat beide langer dan 30 minuten weg zijn? Dat ten minste één van de taxi s binnen 30 minuten terugkeert? 5.23 De Metropolitan Airport Commission beraadt zich over het instellen van geluidsbeperkingen rond een laatstelijk vliegveld. Op dit moment bedraagt het geluidsniveau van een vertrekkend straalvliegtuig 100 decibel met een standaarddeviatie van 6 decibel. a. Wat is de kans dat een willekeurig gekozen straalvliegtuig in de omgeving een geluidsniveau van meer dan 108 decibel genereert? b. Wat is de kans dat een willekeurig gekozen straalvliegtuig een geluidsniveau van precies 100 decibel genereert?
c. Stel dat er een voorschrift komt dat vereist dat in 95% van de gevallen het geluidsniveau van straalvliegtuigen minder dan 105 decibel bedraagt. Als we veronderstellen dat de standaarddeviatie van de geluidsverdeling hetzelfde blijft, met hoeveel moet dan het gemiddelde geluidsniveau worden verminderd opdat aan het voorschrift wordt voldaan? 5.24 Anders dan we misschien intuïtief zouden denken, is het mogelijk om op basis van een betrekkelijk kleine steekproef zeer betrouwbare conclusies te trekken over het percentage van een grote groep personen dat de voorkeur aan een bepaald product geeft of een bepaalde mening heeft. Stel bijvoorbeeld dat de doelpopulatie van consumenten 50 miljoen personen bevat en we willen vaststellen of de fractie p van de consumenten die de voorkeur geeft aan een bepaald nieuw product een bepaalde minimale waarde heeft, bijvoorbeeld 0,2. Stel dat je een aselecte steekproef neemt van niet meer dan 1600 van de 50 miljoen consumenten en dat je het aantal personen x bepaalt dat de voorkeur geeft aan het nieuwe product. Bepaal het gemiddelde en de standaarddeviatie van x als we veronderstellen dat p = 0,2. Stel dat 400 (ofwel 25%) personen van de steekproef van 1600 consumenten de voorkeur geven aan het nieuwe product. Waarom zou het resultaat van deze steekproef je ertoe kunnen leiden te concluderen dat p (de fractie consumenten in de populatie van 50 miljoen die de voorkeur geeft aan het nieuwe product) ten minste 0,2 bedraagt? [Aanwijzing: bepaal de waarden van µ en σ voor p = 0,2 en gebruik deze om vast te stellen of de waargenomen waarde van x ongewoon groot is.]