VOLKSSTERRENWACHT BEISBROEK VZW Zeeweg 96, 8200 Brugge - Tel. 050 39 05 66 www.beisbroek.be - E-mail: info@beisbroek.be PLANETENSTELSELS IN ONZE MELKWEG Opgaven Frank Tamsin en Jelle Dhaene De ster HR 8799 met zijn bijbehorend planetenstelsel, één van de weinige planetenstelsels die we kunnen waarnemen via imaging.
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 2 Nuttige gegevens Massa van de Zon: 1 M = 1.9891 10 30 kg = 333000 Straal van de Zon: 1 R = 6.96 10 8 m = 109 Massa van de Aarde: 1 M = 5.98 10 24 kg Straal van de Aarde: 1 R = 6.38 10 6 m R M Massa van Jupiter: 1 M J = 1.8986 10 27 kg = 317.8 M = 1/1047 M Straal van Jupiter: 1 R J = 6.9911 10 7 m (gemiddeld) Astronomische eenheid: 1 AU = 149597870 km Parsec: 1 pc = 3.26 ly = 3.086 10 16 m Universele gravitatieconstante: G = 6.67 10 11 m 3 kg 1 s 2 Snelheid van het licht in vacuüm: c = 2.99792458 10 8 m 3 10 8 m
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 3 Dynamica van planetenstelsels Oefening 1 Bereken de perihelium- en apheliumafstand voor de planeet Mercurius als je weet dat de halve grote as van haar baan 57909100 km is en de excentriciteit 0.206 bedraagt. Oefening 2 Bereken de excentriciteit en de lengte van de halve grote as van de baan van de Aarde als je weet dat de perihelium- en apheliumafstand repectievelijk 147098290 km en 152098232 km bedragen. Oefening 3 a) Bereken de snelheid in het aphelium van de komeet Halley als je weet dat de snelheid in het perihelium 54 k bedraagt. Verder weet je dat de afstand van het perihelium 0.586 AU bedraagt en dat de excentriciteit van de baan 0.967 is. b) Wat is de periode van Halley?
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 4 Detectie van exoplaneten Oefening 4 Beschouw de figuur hiernaast en kijk naar de exoplaneten die met behulp van de drie hier besproken methodes waargenomen zijn (dus transit, radiale snelheid en directe waarneming). a) Wat valt hieraan op? b) Verklaar het antwoord op bovenstaande vraag. Oefening 5 Bekijk opnieuw de figuur hiernaast. a) Wat is ongeveer de massa van het grootste deel van de ontdekte exoplaneten? b) Betekent dit dat dit soort planeten veel meer aanwezig is in het universum dan andere? Indien niet, verklaar dan waarom we dit toch waarnemen. De ontdekte exoplaneten (stand van zaken oktober 2010) en de manier waarop ze ontdekt zijn. Op de verticale as staat de logaritme van de massa van de planeten uitgedrukt in Jupitermassa s en op de horizontale as staat de logaritme van de afstand tot de moederster uitgedrukt in astronomische eenheden. Aldaron.
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 5 Radiale snelheidsmethode Oefening 6 De figuur hieronder stelt de radiale snelheidscurve van 51 Pegasi voor. De gemeten radiale snelheid (v rad ) is uitgezet in functie van de tijd (dagen). Deze informatie werd bekomen uit de analyse van de dopplerverschuiving van de absorptielijnen in het spectrum van de sterren. Een spectrale lijn die normaal voorkomt bij een golflengte wordt verschoven naar een golflengte + waarbij v rad c. a) Wat is de minimale en maximale radiale snelheid die de ster bereikt? b) Zijn deze gelijk? Zoniet, verklaar waarom. c) Kan je hieruit de snelheid berekenen waarmee het planetenstelsel van ons weg beweegt? Wat is de dopplerverschuiving bij deze radiale snelheid? d) Een belangrijke absorptielijn in het spectrum van een ster als de Zon is die van neutraal natrium die bestaat uit een doublet bij 589 en 589.6 nm. Bereken voor de ster 51 Pegasi naar welke golflengte deze lijnen verschoven worden. Radiale snelheidscurve van 51 Pegasi, de eerste exoplaneet die bij een Oefening 7 hoofdreeksster is ontdekt. Marcy en Butler. Uit de periode P van de curve kan met behulp van de derde wet van Kepler de afstand r P van de planeet tot de ster bepaald worden: 3 G( M * M P) 2 GM * 2 rp P P 2 2 4 4 waarbij M * en M P respectievelijk de massa van de ster en van de planeet voorstellen. Verder weten we dat de middelpuntzoekende kracht gegeven wordt door 2 M PvP F rp waarbij v P de snelheid van de planeet rond de ster voorstelt. Samen met de gravitatiewet van Newton M * M P F G 2 rp leidt tot de snelheid van de planeet rond haar ster: M * vp G r P Uit de definitie van massamiddelpunt (de impuls van het massamiddelpunt van het systeem sterplaneet is nul) kunnen we ook nog afleiden dat M v M v P P * * Neem opnieuw de figuur rechtsboven. a) Op welk punt in de curve staat 51 Pegasi het dichtst bij ons? En wanneer het verst? b) Wat is de periode van de radiale snelheidscurve? c) Wat is de semi-amplitude van de curve? d) Bepaal de afstand van de planeet tot de ster. Daarbij mag aangenomen worden dat 51 Pegasi ongeveer dezelfde massa heeft als onze Zon. e) Wat is de minimale massa van de planeet? f) Wat valt op aan de resultaten (de massa en de afstand)?
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 6 g) Toon algemeen aan dat deze methode leidt tot het bepalen van m sin i, waarbij m de massa van de exoplaneet is en i de inclinatie (dit is de hoek tussen het baanvlak van de exoplaneet en het raakvlak aan de hemelsfeer). Oefening 8 De resultaten van de vorige twee oefeningen geven nog aanleiding tot enkele bijkomende vragen. a) Vergelijk de bekomen informatie met deze van de planeten in ons zonnestelsel. Wat is verschillend aan deze nieuwe planeten? b) Verklaar waarom het moeilijk wordt om een planeet op dezelfde afstand en van dezelfde grootte als Saturnus te detecteren met deze techniek van de radiale snelheid. c) De beste spectrometer kan radiale snelheden meten tot 1. Gebruik deze waarde als limietamplitude om de massa te bepalen van de kleinste planeet die theoretische detecteerbaar is rond een zonachtige ster en op de afstand van de Aarde (1 AU). Vergelijk deze waarden met deze van de Aarde. d) Hoe zou een grafiek van de radiale snelheid van een ster verschillen met deze van 51 Pegasi in het geval van een zeer excentrische planeet (zeer elliptische baan)? e) Hoe zou een grafiek van de radiale snelheid van een ster met meerdere exoplaneten verschillen met deze van 51 Pegasi?
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 7 Transitmethode Oefening 9 De eerste ontdekking van een exoplaneet via de transitmethode werd gedaan in 1999 door de astronomen Tim Brown en David Charbonneau bij de ster HD 209458. De figuur rechts is een plot van de meetgegevens van de fotometer STIS op de Hubble Space Telescope. Er zijn duidelijk vier transits van een planeet voor de ster te zien. Op de X-as hebben staat de tijd in dagen afgebeeld en op de Y-as staat de relatieve helderheid uitgezet. Een waarde 1.0 komt overeen met een ster die niet bedekt wordt door de planeet. a) Schat de omloopperiode van de exoplaneet rond de ster HD 209458. Hebben de astronomen data voor iedere transit gedurende hun waarnemingscampagne van 18.67 dagen? Welke reden kan je bedenken waardoor het niet mogelijk was elke transit waar te nemen? b) De onderstaande vier grafieken zijn een uitvergroting van de vier transits die zichtbaar zijn in de voorgaande figuur. Hoewel de volledige transit nooit is waargenomen, zijn er toch voldoende data om
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 8 het tijdstip van het midden van de transit te bepalen. c) Probeer de vorm van de grafieken van de transits bij HD 209458 te verklaren. Waarom zijn de zijkanten schuin? Waarom is de bodem niet vlak? Wat kun je, behalve de grootte van de planeet, nog meer uit de grafiek bepalen? d) Bepaal voor elk van deze vier grafieken het tijdstip waarop het minimum van de overgang plaatsvond. Bereken voor transit 2, 3 en 4 de tijd die verstreken is tussen de transits. Gebruik deze waarden en de eerder bekomen informatie om een schatting te maken van de periode voor elke transit. e) Maak een schatting van de foutmarge. Wat zijn de mogelijke oorzaken van de fouten? Brown en Charbonneau hadden een periode gevonden van P = 3.52474 ± 0.00007 dagen. f) Gebruik de metingen van de relatieve flux om de verhouding van de straal van de exoplaneet ten opzichte van de centrale ster af te leiden. g) De ster HD 209458 is goed vergelijkbaar met onze Zon. Gebruik deze informatie om een schatting te maken van de straal van de exoplaneet in kilometer. De ster HD 209458 staat op een afstand van 150 lichtjaar van de Aarde. Maakt het voor de bepaling van de straal van de exoplaneet uit hoe groot de afstand tussen de exoplaneet en de ster is? Leg uit waarom wel of niet. h) Maak op basis van de eerder bepaalde periode van de overgang een schatting van de afstand van de exoplaneet ten opzichte van de ster. i) Hoe zou de vorm van de lichtcurves wijzigen als de exoplaneet groter zou zijn; de ster groter zou zijn; de planeet sneller zou bewegen; de ster meer licht zou geven. Oefening 10 Stel je voor dat een buitenaardse beschaving, die zich op een afstand van 20 lichtjaar van ons bevindt, naar onze Zon kijkt en de transit van Jupiter kan waarnemen. a) Hoeveel procent zal de helderheid van de Zon dalen als Jupiter (met een straal die ruwweg tien keer kleiner is dan de straal van de Zon) zich op de gezichtslijn tussen hen en de Zon in bevindt. b) Hoevel procent zal de helderheid van de Zon dalen als de Aarde zich op de gezichtslijn tussen hen en de Zon in bevindt. c) Hoe lang kan een transit van de Aarde vóór de Zon duren, waarbij gebruik mag gemaakt worden van de gekende straal van de Zon (1 R ), de gekende straal van de aardbaan (1 AU) en de gekende duur van een jaar. Is de waarde die op deze manier wordt bekomen een boven- of ondergrens? d) Omgekeerd is het mogelijk om de tijd gedurende dewelke een exoplaneet zich voor de ster bevindt te gebruiken om een limiet te plaatsen op deze afstand tussen de exoplaneet en de centrale ster. Is dit een boven- of ondergrens? e) Zal een beschaving die zich op 40 lichtjaar van ons bevindt een groter, hetzelfde of een kleiner effect meten op de heldereheid van de Zon bij een transit van Jupiter en de Aarde? Leg je antwoord uit.
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 9 Directe waarnemingen Oefening 11 De resolutie van de HST (Hubble Space Telescope) is 0.05 boogseconden. Dit wil zeggen dat als 2 objecten zich op 0.05 boogseconden van elkaar bevinden aan de hemel, dat we ze als 2 verschillende objecten zullen waarnemen. (Technisch gezien dient ook nog rekening gehouden te worden met de Point Spread Function van het optisch systeem van de telescoop, dat ervoor zal zorgen dat we enkel objecten die meer dan 0.2 boogseconden van elkaar verwijderd zijn als verschillende objecten kunnen waarnemen. Dit effect komt door het golfkarakter van licht dat ervoor zorgt dat er in ieder optisch systeem een diffractiepatroon zal aanwezig zijn. Hiervoor kunnen echter correcties doorgevoerd worden, dus jullie kunnen er van uit gaan dat de resolutie 0.05 boogseconden bedraagt.) Ga na of we met de HST volgende planeten in onderstaande systemen direct kunnen waarnemen. a) Een planeet op 1 AU rondom een ster op 20 lichtjaar afstand. b) Een planeet op 1 AU rondom een ster op 1000 lichtjaar afstand. c) Een planeet op 30 AU rondom een ster op 1000 lichtjaar afstand.
Planetenstelsels in onze Melkweg opgaven 10 Extra oefeningen Oefening 12 Er is een klein aantal exoplaneten dat zowel met de transitmethode als door middel van radiale snelheid is waargenomen. Beschouw een planetenstelsel met zonachtige ster waarvan een radiale snelheidscurve opgemeten werd. Hiervoor werd een semi-amplitude van 326 opgemeten met een periode van 18.2 dagen. a) Bereken de afstand van de planeet tot de ster en bepaal de minimale massa. b) Bereken de dichtheid van de planeet als bij een transit de lichtcurve 2 % daalt. c) Wat wordt de dichtheid als bij een transit de lichtcurve 4 % daalt? d) Waarom zouden we de gemiddelde dichtheid van een exoplaneet willen kennen? Oefening 13 In deze oefening werken we met meetgegevens van twee sterren, 51 Pegasi (een ster in het sterrenbeeld Pegasus) en HD195019 (een ster in het sterrenbeeld Dolfijn). Onderstaande tabellen geven de gemeten radiale snelheid (v rad ) in functie van de tijd (dagen) van de twee sterren. Dit werd bekomen uit de analyse van de dopplerverschuiving van de absorptielijnen in het spectrum van de sterren. Radiale snelheid van 51 Pegasi 0.6 20 4.7 28 7.8 32 10.7 57 0.7 8 4.8 23 8.6 44 10.8 51 0.8 6 5.6 45 8.7 37 11.7 3 1.6 56 5.7 48 8.8 35 11.8 5 1.7 67 5.8 56 9.6 25 12.6 39 3.6 35 6.6 65 9.7 36 12.7 49 3.7 43 6.7 63 9.8 41 13.6 3 4.6 34 7.7 23 10.6 61 13.7 18 Radiale snelheid van HD 195019 1.0 223 8.9 326 2.0 186 10.0 262 3.1 107 10.9 258 4.0 0 12.0 175 5.0 92 13.8 3 7.0 244 14.8 80 8.0 292 a) Zet voor de twee sterren de data uit in een grafiek. Plaats de waargenomen radiale snelheid (in ) op de Y-as en de dag van observatie op de X-as. b) Fit het volgende model aan de waarnemingen: v rad = v 0 + k sin ( (t t 0 )) Dit gebeurt aan de hand van een kleinste kwadratenmethode. Bedenk zelf hoe je aan goede beginschattingen komt voor de parameters. Bepaal ook de periode P (merk op dat = 2 /P). c) In hoeverre kunnen we dit antwoord nu vertrouwen? Dergelijke vragen komen in de sterrenkunde vaak voor. Een principiële kwestie is dat we nooit helemaal zeker weten of het model wel het goede is. Wat zijn de beperkingen van dit model (met andere woorden aan welke voorwaarden moet het exoplanetenstelsel voldoen opdat het model goede resultaten zou opleveren)? Op welke manier zou je kunnen nagaan of het model met succes toepasbaar is? d) Kun je een betere en meer algemeen toepasbare werkwijze bedenken om de periode te bepalen? (Tip: maak gebruik van de gereduceerde fase.) Oefening 14 Beschouw een dubbelstersysteem van 2 sterren met verschillende massa die veel groter is dan de massa van een planeet die zich in een baan rondom deze 2 sterren bevindt. Dit probleem is gekend als het drielichamenvraagstuk. a) Probeer de bewegingsvergelijking op te stellen voor dit probleem. b) Het is aangetoond dat deze bewegingsvergelijkingen niet analytisch opgelost kunnen worden. Kun je een vereenvoudiging doorvoeren zodat je dit toch kan doen? (Tip: hou er rekening mee dat de massa van de planeet veel kleiner is dan die van de sterren.)