natuurkunde zakboek vwo

natuurkunde zakboek vwo

VWO GYMNASIUM Auteurs Hans van Bemmel Peter van Hoeflaken Lodewijk Koopman Rein Tromp Eindredactie Fons Alkemade Eerste editie Malmberg s-hertogenbosch www.nova-malmberg.nl

Inhoud Voorwoord 4 1 Bewegingen beschrijven 5 1 Plaats bepalen 6 2 Snelheid: verandering van plaats 8 3 Verandering van snelheid 14 4 Van versnelling en snelheid naar verplaatsing 18 5 Banen berekenen 24 2 Kracht en beweging 1 Verband tussen versnelling en kracht 2 Krachten samenstellen 3 Krachten ontbinden 4 Krachten in evenwicht 5 De wet van Hooke 6 Bewegingen modelleren 3 Energieomzettingen 1 Arbeid bij hijsen 2 Arbeid bij op gang komen en remmen 3 Arbeid bij het uitrekken van een veer 4 Ruilen tussen energiesoorten 5 Energie om arbeid te verrichten 6 Warmte en rendement 7 Vermogen 2

4 Elektrische systemen 1 Spanning, stroomsterkte en vermogen 2 Weerstand en geleidbaarheid 3 Weerstand van een draad 4 De wetten van Kirchhoff 5 Vervangingsweerstand 6 Speciale componenten 7 Vermogen en rendement 5 Biofysica: de natuurkunde van het leven* 1 Biofysica 2 Een model voor lopen 3 Evenwicht: het zesde zintuig 4 Moleculaire motoren 5 Nanowetenschap 6 Geofysica: de natuurkunde van de vaste aarde* 1 Het inwendige van de aarde 2 Zwaartekrachtmetingen 3 Seismologie en seismiek 4 Warmte 5 Elektrische, magnetische en elektromagnetische meetmethoden Trefwoordenregister * keuzestof schoolexamen 3

1 Bewegingen beschrijven Wat hebben een instortend gebouw, een atleet, een auto en een vlo gemeen? Ze bewegen. Dat geldt natuurlijk voor nog veel meer voorwerpen en levende wezens. Daarom is beweging een belangrijk thema in de natuurkunde. In dit hoofdstuk komen de oorzaken van beweging nog niet aan bod. Wel de manieren waarop je bewegingen kunt onderzoeken, meten en beschrijven. Belangrijk voor het onderzoeken van bewegingen zijn grafieken. Daarmee kun je de plaats, de snelheid en de versnelling van een bewegend voorwerp vastleggen en je kunt er informatie uit halen, zoals de verplaatsing.

1 Plaats bepalen Beweging heeft met snelheid en versnelling te maken. In de meeste gevallen bepaal je snelheid en versnelling door op verschillende tijdstippen de plaats van een voorwerp te bepalen. Naast het begrip plaats is het ook belangrijk dat je weet wat er wordt bedoeld met begrippen als verplaatsing en afgelegde weg. Verplaatsing, plaats en afgelegde weg De plaats van een voorwerp is de afstand die het voorwerp heeft ten opzichte van een bepaald vast punt. Voor bewegingen langs een rechte lijn kan de plaats van een voorwerp zowel positief als negatief zijn. Meestal geef je een positieve plaats rechts van het vaste punt weer en een negatieve plaats links van het vaste punt (afbeelding 1). -3,0 0 2,0 x (m) (vast punt) afbeelding 1 Een plaats is een afstand ten opzichte van een gekozen vast punt. Een verplaatsing is een verschil in plaats: de afstand tussen twee plaatsen waar het voorwerp is geweest (afbeelding 2). In een formule: Δx = x eind x begin Hierin is: Δ x de verplaatsing in meter (m), hiervoor wordt ook wel de letter s gebruikt; x de plaats in meter (m), x begin de beginplaats, x eind de eindplaats. Δ (spreek uit: delta) betekent verandering van, dus Δx betekent verandering van plaats. 6

0 x begin x eind x (m) x = x eind x begin afbeelding 2 De verplaatsing is gelijk aan het verschil in plaats. Langs de snelweg staan zogenaamde hectometerpaaltjes. Elke honderd meter (één hectometer) staat zo n paaltje. Op het bordje aan het paaltje staat een afstand in kilometer vanaf een bepaald punt. Stel dat je op de snelweg invoegt bij hectometerpaaltje 13,6 en uitvoegt bij 39,9. Je verplaatsing op de snelweg is dan: Δx = x eind x begin = 39,9 km 13,6 km = 26,3 km. Je kunt de verplaatsing steeds ten opzichte van een vaste plaats x 0 = 0 m meten. Die vaste plaats kan bijvoorbeeld het beginpunt zijn van waar een pijl uit een boog wordt weggeschoten, of de start van een raceauto op een racecircuit. Dat beginpunt kun je zelf bepalen. De verplaatsing van het voorwerp ten opzichte van het beginpunt x 0 is gelijk aan de plaats x van het voorwerp. Het is mogelijk dat je een wandeling maakt, maar dat je verplaatsing toch nul is. Als je bijvoorbeeld op een perron 15 meter heen en 15 meter terug loopt, dan ben je aan het eind van je wandeling weer terug op het punt waar je begon. Je verplaatsing is dan nul, maar je hebt wel heen en weer gelopen. De afgelegde weg is niet nul, maar 15 + 15 = 30 m. De afgelegde weg is dus de afstand die je totaal hebt afgelegd. Plaats en afstand meten Om je plaats te bepalen, meet je meestal een afstand tot een bekend punt. Er zijn verschillende methoden om de plaats te meten. Die kun je toepassen voor verschillende bewegende voorwerpen (bijvoorbeeld fietsen en auto s). Welke methode het handigst is, hangt van de situatie af. 7

2 Snelheid: verandering van plaats Snelheid is de totale verplaatsing per tijdseenheid. Hoe sneller je gaat, hoe meer afstand je aflegt in eenzelfde tijd. In de vorige paragraaf heb je kunnen lezen hoe je plaats en verplaatsing kunt meten. In deze paragraaf leer je hoe je de snelheid bepaalt. Het gaat hier steeds om bewegingen langs een rechte lijn. Snelheid bepalen Om de snelheid van een voorwerp te bepalen, bepaal je op verschillende tijdstippen de plaats van het voorwerp. Die meetgegevens kun je in een tabel zetten (tabel 1). Het is echter duidelijker als je er een (x,t)-diagram van maakt (afbeelding 3). tabel 1 meetgegevens voor de plaats van een voorwerp op verschillende tijdstippen t (s) x (m) 0,0 0,0 1,0 0,8 2,0 1,4 3,0 1,6 x (m) 2,0 1,5 1,0 0,5 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) afbeelding 3 de meetgegevens uit tabel 1, uitgezet in een (x,t)-diagram 8

Met het (x,t)-diagram kun je zowel de gemiddelde snelheid tussen twee tijdstippen als de snelheid van het voorwerp op een bepaald tijdstip bepalen. De snelheid op een bepaald tijdstip wordt ook wel de instantane snelheid genoemd. De gemiddelde snelheid v gem tussen twee tijdstippen bepaal je door de verplaatsing tussen die twee tijdstippen te delen door het tijdverschil van de twee tijdstippen (afbeelding 4): v gem = x 2 x 1 t 2 t 1 = x t Dit is gelijk aan de helling (of richtingscoëfficiënt) van de lijn in afbeelding 4. In dat geval is de gemiddelde snelheid tussen 0,0 en 4,0 seconden: 1,4 0,0 v 4,0 0,0 = 1,4 gem = 4,0 = 0,35 m/s x (m) 2,0 1,5 1,0 0,5 0 0 x t 1 2 3 4 5 6 t (s) afbeelding 4 De gemiddelde snelheid tussen 0,0 en 4,0 seconden wordt gegeven door de helling van de rechte lijn: v gem = x t. Tussen 0,0 en 4,0 seconden is de gemiddelde snelheid dus 0,35 m s 1 (voortaan wordt m s 1 gebruikt in plaats van m/s). Een deel van deze tijd is de snelheid hoger, een ander deel is de snelheid lager. Tussen 1,0 en 3,0 seconden is de gemiddelde snelheid bijvoorbeeld: v gem = 1,6 0,8 3,0 1,0 = 0,8 2,0 = 0,40 m s 1 9

x (m) 2,0 1,5 1,0 0,5 t x 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) afbeelding 5 De gemiddelde snelheid tussen 1,0 en 3,0 seconden is gelijk aan de helling van de rechte lijn. Ook hier is de gemiddelde snelheid weer gelijk aan de helling van de bijbehorende lijn (afbeelding 5). Dus tussen 1,0 en 3,0 seconden is de gemiddelde snelheid hoger dan tussen 0,0 en 4,0 seconden. Als je het tijdsinterval kleiner maakt, krijg je een steeds nauwkeuriger waarde voor de snelheid rond een bepaald tijdstip t. Om de snelheid op bijvoorbeeld t = 2,0 s te bepalen, moet je de gemiddelde snelheid op een heel klein interval rond 2,0 seconden bepalen. De lijn die je dan krijgt, is de raaklijn aan de grafiek in het punt 2,0 s. De helling van die raaklijn is gelijk aan de snelheid op dat moment (afbeelding 6): v(t) = Δx Δt = de helling van de raaklijn in het punt (t,x) 10

x (m) 3,0 2,5 2,0 1,5 x 1,0 0,5 t 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) afbeelding 6 De snelheid op t = 2,0 s wordt gegeven door de helling van de raaklijn aan de grafiek in het punt t = 2,0 s. Afspraken over eenheden Een auto die in Nederland op de snelweg rijdt waar een snelheidslimiet geldt van 100 km h 1, moet opletten dat de snelheidsmeter niet meer dan 100 aanwijst. In de Verenigde Staten zou op een snelweg met eenzelfde snelheidslimiet de wijzer niet boven de 63 uit mogen komen. Dat komt omdat beide landen verschillende eenheden gebruiken voor snelheid. In Nederland kilometer per uur, in de VS mijl per uur. Om snelheden te vergelijken moet je dezelfde eenheid gebruiken. Juist daarom bestaan er in de natuurwetenschappen afspraken over welke eenheden worden gebruikt. Een eenheid is de gekozen maat om een grootheid in uit te drukken. Zo wordt voor de grootheid plaats meestal de eenheid (of maat) meter gebruikt. In Nederland zie je dat ook terug op ANWB-wegwijzers: afstanden worden gegeven in kilometers, een maat afgeleid van de meter. In het Verenigd Koninkrijk en de Verenigde Staten wordt meestal de mijl gebruikt. Eén mijl is gelijk aan 1,609 km. Afspraken over eenheden en grootheden worden bijgehouden door het Bureau International des Poids et Mésures en vastgelegd in het Système International d Unités, ofwel het internationaal systeem van eenheden, afgekort als SI. Er zijn veel grootheden, elk met een bijbehorende eenheid. Het is niet nodig om voor elke 11

grootheid een nieuwe eenheid af te spreken, omdat je eenheden in elkaar kunt uitdrukken. De grootheid snelheid bijvoorbeeld is gelijk aan een verplaatsing gedeeld door een tijd. Omdat de eenheid van verplaatsing de meter is en van tijd de seconde, is de eenheid van snelheid gelijk aan meter per seconde. In formule: Δx [Δx] [v] = = = Δt [Δt] m s Die rechte haken kun je lezen als eenheid van, dus [v] betekent eenheid van snelheid. Als je voor de snelheid een bekende formule invult, v = Δx in dit geval, dan kun je zo afleiden wat de eenheid Δt is van snelheid. Dit kun je voor iedere grootheid doen. Er zijn zeven basisgrootheden met bijbehorende grondeen-heden (tabel 2). Alle andere eenheden kun je uitdrukken in een combinatie van deze grondeenheden. Om eenheden en grootheden uit elkaar te houden, worden grootheden cursief (schuin) en eenheden niet-cursief geschreven. De basisgroot heden vind je ook in Binas. tabel 2 de zeven basisgrootheden en bijbehorende grondeenheden van het SI basisgrootheid grondeenheid naam symbool naam symbool afstand x meter m massa m kilogram kg tijd t seconde s (elektrische) stroomsterkte I ampère A temperatuur T Kelvin K hoeveelheid stof n mol mol lichtsterkte I candela cd 12

Voorbeeldopgave 1 Wat is de afgeleide SI-eenheid van druk? Uitwerking Een formule waarin de grootheid druk voorkomt is: p = F A Hierin is F de kracht in newton en A het oppervlak in vierkante meter. Om de eenheid van p af te leiden, zet je links en rechts rechte haken om de grootheden: [p] = [F] [A] Vervolgens vul je de SI-eenheden in: N [p] = = Nm m 2 2 Dus de afgeleide eenheid voor druk is N m 2. Dit spreek je uit als newton per vierkante meter. Omdat druk veel wordt gebruikt krijgt N m 2 een aparte naam: pascal (Pa). Zo zijn er verschillende afgeleide SI-eenheden die een speciale naam hebben gekregen. Een ander voorbeeld is de eenheid voor kracht, de newton. Ook dat is een afgeleide SI-eenheid met een eigen naam. In SI-grondeenheden is de eenheid voor kracht: kg m s 2. Ook kracht komt veel voor en het is dan ook handig daarvoor als eenheid N te kunnen gebruiken. 13

3 Verandering van snelheid De grootheid versnelling geeft aan hoe snel de snelheid van een voorwerp verandert. Als de plaats verandert, heeft het voorwerp een snelheid. Als de snelheid verandert, heeft het voorwerp een versnelling. De definitie van versnelling waarmee je in deze paragraaf kennismaakt, geeft al aan wat je moet doen om deze grootheid te meten. De definitie legt ook vast wat de bijbehorende eenheid is. Snelheidsverandering en versnelling De snelheidsverandering definieer je op een manier die lijkt op de definitie van verplaatsing: het is de eindsnelheid min de beginsnelheid. In formule: Δv = v eind v begin Als een bus en een sportauto allebei beginnen met optrekken op het moment dat een stoplicht op groen springt, en ze rijden uiteindelijk ieder 50 km h 1, dan hebben beide voertuigen over de hele periode dezelfde snelheidsverandering van: Δv = 50 km h 1. De bus doet er langer over om de eindsnelheid te bereiken dan de sportauto. Dat verschil zie je in de grootheid gemiddelde versnelling, die als symbool de letter a heeft, de afkorting van het Engelse acceleration. De formule die de gemiddelde versnelling definieert, luidt: a gem = Δv Δt Hierin is: a gem de gemiddelde versnelling in meter per seconde kwadraat (m s 2 ); Δ v de snelheidsverandering in meter per seconde (m s 1 ); Δ t de tijdsduur in seconde (s). De betekenis van de grootheid a gem is hoeveel meter per seconde er per seconde bijkomt. De eenheid is dus meter per seconde per seconde. Dat zou je kunnen schrijven als (m/s)/s, maar daar is een handiger manier voor. Het werkt net als bij getallen: als je een derde door twee deelt, krijg je (1/3) / 2. De uitkomst is 1/6, de helft van 1/3. Daaraan zie je dat je kunt schrijven (1/3) / 2 = 1/(3 2). Zo kun je ook schrijven (m/s)/s = m/(s s). Vervolgens zeg je s s = s 2, dus de eenheid wordt 14

m/s 2. Dit spreek je uit als meter per seconde kwadraat. In paragraaf 2 heb je al gezien dat in dit boek de eenheid m/s voortaan wordt geschreven als m s 1. Voor m/s 2 zal net zo n notatie gebruikt worden. Deze moet je kunnen herkennen en gebruiken. Die notatie werkt net zo als met getallen: 10 2 is bijvoorbeeld hetzelfde als 1/10 2 en 1/10 5 is hetzelfde als 10 5. Zo betekent s 2 hetzelfde als 1/s 2. In plaats van (m/s)/s = m/s 2 schrijf je dan m s 1 /s = m s 1 /s 1 = m s 1 s 1 = m s 2. Deze notatie is standaard voor de versnelling: a gem is de gemiddelde versnelling in m s 2. Voorbeeldopgave 2 Een bus trekt op van 0 tot 50,0 km h 1 in 12,0 seconden. Een sportauto doet dat in 3,0 seconden. Bereken van beide voertuigen de gemiddelde versnelling. Uitwerking De snelheden moeten worden uitgedrukt in m s 1. Je rekent dus eerst om van km h 1 naar m s 1. Voor beide voertuigen is de eindsnelheid 50/3,6 = 13,89 m s 1, en voor beide geldt: Δv = v eind v begin = 13,89 0,00 = 13,89 m s 1. Δv Voor de bus geldt: a = 1,16 m s 2 gem = = 13,89. Δt 12,0 Δv Voor de sportwagen geldt: a = 4,6 m s 2 gem = = 13,89. Δt 3,0 Dezelfde snelheidsverandering Δv wordt bij de sportauto bereikt in een vier keer zo korte tijd Δt. De gemiddelde versnelling a gem is dus vier keer zo groot. Afremmen Als een voorwerp vertraagt, is de eindsnelheid lager dan de beginsnelheid. Δv = v eind v begin heeft dan een negatieve uitkomst, en a gem = Δv ook. Δt Voorbeeldopgave 3 De minimale wettelijke remvertraging voor een bromfiets is 5,2 m s 2. a Reken uit na hoeveel meter een bromfiets stilstaat die 40 km h 1 rijdt en die net aan de wettelijke eis voldoet. 15

b Als de bromfiets 1,5 maal zo hard rijdt, is de remweg meer dan 1,5 maal zo groot. Verklaar dit. Uitwerking a Als je gelijkmatig afremt tot stilstand, is je gemiddelde snelheid de helft van de beginsnelheid. Dit is namelijk het gemiddelde van de beginsnelheid en snelheid 0. Als je de gemiddelde snelheid weet en je weet hoe lang het afremmen duurt, kun je de afstand uitrekenen: de snelheid is 40 3,6 = 11,1 m s 1 ; Δ v = 0 11,1 = 11,1 m s 1 (de waarde is negatief doordat je eindsnelheid lager is dan je beginsnelheid); met a gem = Δv 11,1 m s 1 vind je 5,2 = ; Δt Δt 11,1 m s 1 Δt = = 2,13 s (merk op dat teken en 5,2 m s 2 eenheid kloppen); de afstand is v gem Δt = 5,55 m s 1 2,13 s = 11,8 m. b Als je anderhalf keer zo hard rijdt, duurt het anderhalf keer zo lang om tot stilstand te komen. Je gemiddelde snelheid tijdens het remmen is ook anderhalf keer zo groot. De afstand die je aflegt is daardoor 1,5 1,5 = 2,25 keer zo groot, dat is 26,6 m. Bepalen van de versnelling Versnelling is geen basisgrootheid, maar een afgeleide grootheid. Om deze grootheid te meten, moet je de twee grootheden meten waar deze uit is afgeleid. Dat zijn de grootheden snelheid en tijd. Snelheid is ook geen basisgrootheid maar een afgeleide grootheid. Die kun je in dit geval bepalen door de verplaatsing te delen door de daarvoor benodigde tijd. Als de snelheid niet constant is, doe je dit met de raaklijnmethode. Als je op twee tijdstippen de snelheid bepaalt, kun je de snelheden vergelijken. De gemiddelde versnelling kun je vervolgens bepalen door de snelheidsverandering te delen door de daarvoor benodigde tijd. In voorbeeldopgave 2 waren de snelheden en de tijden gegeven en kon je de versnellingen direct met de formule uitrekenen. Vaak begin je echter met gegevens over de plaats van een voorwerp op elk tijdstip. Dat is wat er op een filmopname te zien is of wat een afstandssensor van een computer registreert. Dat is ook wat er 16

op een ouderwetse tikkerband of stroboscopische foto te zien is. Als je alleen die gegevens hebt, kun je de versnelling in twee stappen bepalen. Eerst bepaal je voor een aantal tijdstippen de momentane snelheid. In de vorige paragraaf staat hoe je dat via de raaklijnmethode kunt doen. Als je met deze gegevens een grafiek maakt van de snelheid tegen de tijd, kun je daaruit vervolgens bepalen hoe snel de snelheid toeneemt. Als de grafiek van de snelheid tegen de tijd een rechte lijn is, is de versnelling constant. De waarde is de uitkomst van a = Δv Δt ofwel de steilheid van de rechte lijn in het (v,t)-diagram. Als de grafiek niet recht is, is de versnelling op een tijdstip gelijk aan de steilheid van de raaklijn aan de grafiek in dat punt. Dit wordt ook wel de instantane versnelling genoemd. Vallen Als een voorwerp in Nederland recht naar beneden valt onder invloed van alleen maar de zwaartekracht, dan is dat een versnelde beweging met een constante versnelling van 9,81 m s 2. In werkelijkheid speelt ook een andere kracht een rol, de luchtwrijving. Door een buis vacuüm te zuigen, kun je ervoor zorgen dat binnen die buis inderdaad alleen de zwaartekracht een rol speelt. Als je de buis omkeert, dan vallen alle voorwerpen met dezelfde valversnelling (aangeduid met g). Op de maan hoef je die moeite niet te doen. Daar is een valbeweging altijd een versnelde beweging met een constante versnelling. Die waarde van de valversnelling is op de maan kleiner dan op aarde: 1,63 m s 2. Een valbeweging waarin luchtweerstand geen rol speelt, wordt vrije val genoemd. Als de luchtweerstand een rol speelt, is de versnelling minder groot. Hoe groter de invloed van de luchtweerstand, hoe kleiner de versnelling. Als het vallen lang duurt, wordt zelfs een constante eindsnelheid bereikt, wat betekent dat de versnelling gelijk aan 0 is geworden. Voor een pluisje is dat al heel snel het geval, voor een regendruppel later, en voor een steen nog later. In alle gevallen begint de valbeweging als een versnelde beweging met versnelling 9,81 m s 2 en neemt de luchtweerstand toe als de snelheid toeneemt, zodat de versnelling afneemt. De versnelling zal uiteindelijk tot nul afnemen als het voorwerp niet al eerder de grond heeft bereikt. 17

4 Van versnelling en snelheid naar verplaatsing In de vorige paragrafen heb je kunnen lezen hoe je uit het (x,t)-diagram de snelheid van een voorwerp kunt bepalen. Je hebt gezien dat je op analoge wijze met behulp van het (v,t)-diagram de versnelling van het voorwerp kunt bepalen. Er zijn situaties waarin je wel de snelheid van een voorwerp weet, maar (nog) niet de verplaatsing. Zo zijn er ook situaties waarin je alleen de versnelling weet. Toch kun je in deze gevallen de verplaatsing bepalen. Van snelheid naar verplaatsing Met de auto of de fiets kun je vrij gemakkelijk meten hoeveel afstand je hebt afgelegd. Als je de omtrek van je wiel weet en je telt het aantal omwentelingen, dan kun je de afgelegde weg berekenen. Als je ook nog de tijd bijhoudt, dan weet je het verloop van de snelheid van je fiets. Bij vliegtuigen is het minder eenvoudig: ze hebben immers geen wielen die contact maken met de grond. Je kunt wel de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de omringende lucht meten. Die hoeft natuurlijk niet gelijk te zijn aan de snelheid van het vliegtuig ten opzichte van de grond. Toch geeft dit een goede benadering van de snelheid van het vliegtuig. Uit die snelheid is bovendien de verplaatsing te bepalen. De verplaatsing kun je bepalen uit het (v,t)-diagram. Het is handig eerst een eenvoudige situatie te bekijken: bijvoorbeeld een vliegtuig dat met constante snelheid vliegt. Het vliegtuig heeft een snelheid van 80 m s 1. Wat is nu de verplaatsing in 15 seconden? De snelheid 80 m s 1 betekent letterlijk dat het vliegtuig elke seconde 80 meter aflegt. Dus in 15 s legt het vliegtuig 15 s 80 m s 1 = 1200 m = 1,2 km af. In een formule: Δx = s = v t Daarbij is v een constante of gemiddelde snelheid. Een beweging waarbij de snelheid constant is heet een eenparige beweging. De afgelegde weg neemt bij een eenparige beweging in ieder tijdsinterval met eenzelfde hoeveelheid toe. In het (v,t)-diagram van afbeelding 7 is dat precies de oppervlakte onder de grafiek voor de eerste 15 seconden. Dus de verplaatsing is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek in een (v,t)-diagram. Dit is ook het geval als de snelheid niet constant is. In het (v,t)-diagram van afbeelding 8 is de snelheid niet constant, maar neemt elke 18

v (m s 1 ) 100 80 60 40 oppervlakte = 15 s 80 m s 1 = 1,2 km 20 0 0 5 10 15 t (s) afbeelding 7 De verplaatsing is gelijk aan het gearceerde oppervlak onder de grafiek in het (v,t)-diagram. v (m s 1 ) a t oppervlakte = ½ a t 2 0 0 t t (s) afbeelding 8 het (v,t)-diagram voor een eenparig versnelde beweging vanuit stilstand 19

seconde met eenzelfde hoeveelheid toe. Dit heet een eenparig versnelde beweging. Als het voorwerp vanuit stilstand begint, dan is na t seconden de snelheid: v = a t De verplaatsing vind je door het oppervlak onder de grafiek te berekenen. Je kunt zien dat de afbeelding onder de grafiek gelijk is aan een driehoek. Het oppervlak is daarom gelijk aan: Δx = s = ½ basis hoogte = ½ t (a t) = ½ a t 2 Voorbeeldopgave 4 Stel dat een vliegtuig vanuit stilstand in 10 seconden versnelt tot 80 m s 1 en vervolgens met deze snelheid verder vliegt (afbeelding 9). Wat is de verplaatsing in de eerste 15 seconden? v (m s 1 ) 100 80 60 40 20 oppervlakte = x 0 0 5 10 15 t (s) afbeelding 9 De verplaatsing is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek in het (v,t)-diagram, ook wanneer de snelheid niet constant is. 20

Uitwerking De verplaatsing is gelijk aan het oppervlak onder het (v,t)-diagram: tussen t = 0 s en t = 10 s wordt het oppervlak gegeven door het oppervlak van een driehoek: ½ basis hoogte = ½ 10 s 80 m s 1 = 400 m; tussen t =10 s en t = 15 s wordt het oppervlak gegeven door het oppervlak van een rechthoek, net als bij het eerste voorbeeld: 5 s 80 m s 1 = 400 m; de totale verplaatsing is dus: 400 m + 400 m = 800 m. Let op dat je nu alleen weet dat het vliegtuig zich in deze 15 seconden 800 meter heeft verplaatst in positieve richting. Je weet nog niet waar het vliegtuig zich bevindt. Daarvoor moet je ook nog weten waar het vliegtuig was op t = 0 s. Van versnelling naar snelheid Er zijn ook situaties waarin je alleen maar de versnelling weet en niet een snelheid, plaats of afgelegde weg. Zo hebben veel smartphones een ingebouwde versnellingsmeter, ook wel accelerometer genoemd. Een versnellingsmeter meet, als functie van de tijd, de versnelling in een bepaalde richting. Als je de versnelling van een voertuig weet, kun je de toename van de snelheid berekenen. Stel dat een auto vanuit stilstand optrekt met een constante versnelling van a = 4,0 m s 2 (afbeelding 10). Elke seconde neemt de snelheid dus toe met 4,0 m s 1. Dat betekent dat de auto na 5,0 seconden een snelheid heeft van: 5,0 s 4,0 m s 2 = 20 m s 1, of 72 km h 1. Als je naar het (a,t)-diagram kijkt, zie je dat dat gelijk is aan het oppervlak onder de grafiek. Dit geldt weer algemeen: de snel heids toename is gelijk aan het oppervlak onder de grafiek in het (a,t)-diagram. In dit hoofdstuk worden uitsluitend rechtlijnige bewegingen behandeld: versnellingen in één richting, langs een rechte lijn. In die gevallen kun je als je de versnelling weet, ook de snelheid en afgelegde weg bepalen. Uit het (a,t)-diagram is de snelheid te bepalen en daaruit een (v,t)-diagram. Vervolgens kun je uit het (v,t)-diagram weer de afgelegde weg bepalen, zoals je hiervoor hebt kunnen zien. Voor lange afstanden is deze manier om de afgelegde weg te bepalen niet erg nauwkeurig. In combinatie met een ander systeem voor plaatsbepaling kan het wel erg handig zijn. 21

a (m s 2 ) 5 4 3 2 oppervlakte = 5,0 s 4,0 m s 2 = 20 m s 1 1 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) afbeelding 10 (a,t)-diagram voor een auto die versnelt met constante versnelling: het oppervlak onder de grafiek geeft de snelheid na 5 seconden Tegenwoordig maken veel navigatiesystemen in auto s gebruik van gps, dat met behulp van satellieten werkt. Het navigatie systeem moet dan wel zicht hebben op de satellieten om contact te kunnen maken. Als een auto een dichtbegroeid bos inrijdt, werkt gps-navigatie niet meer. Een tijdelijke plaats bepaling met behulp van een versnellingsmeter kan dan helpen om toch te bepalen waar de auto zich bevindt. 22

Voorbeeldopgave 5 Een auto versnelt met a = 4,0 m s 2. Op t = 0 heeft de auto een snelheid van v 0 = 10 m s 1. Bepaal hieruit het (v,t)-diagram en de totale afgelegde weg voor de eerste vijf seconden. Uitwerking De snelheidstoename van de auto tussen 0 en t seconden is gelijk aan het oppervlak onder het (a,t)-diagram tussen 0 en t seconden. Voor de verschillende tijdstippen zijn al deze oppervlakten rechthoeken met hoogte 4,0 m s 2 en breedte t. De snelheidstoename na t seconden is dan: Δv = t 4,0 m s 1. De snelheid na t seconden is gelijk aan: v = v 0 + Δv. Dus de snelheid die de auto had aan het begin, plus de snelheidstoename. De voorgaande stappen zijn voor verschillende tijdstippen te herhalen. Het resultaat staat in tabel 3. tabel 3 snelheden op verschillende tijdstippen voor een auto die versnelt met een versnelling van a = 4 m s 2 en een beginsnelheid van v = 10 m s 1. t (s) Δv (m s 1 ) v (m s 1 ) 0 0 10 1 4 14 2 8 18 3 12 22 4 16 26 5 20 30 Deze snelheden kun je vervolgens in een (v,t)-diagram zetten (afbeelding 11). De verplaatsing van de auto is gelijk aan het oppervlak onder het (v,t)-diagram. Het oppervlak onder het diagram kun je opdelen in een rechthoek (van 5,0 s bij 10 m s 1 ) en een driehoek. Het oppervlak van de rechthoek is gelijk aan 5,0 s 10 m s 1 = 50 m. Het oppervlak van de driehoek is gelijk aan: ½ basis hoogte = ½ 5 s 20 m s 1 = 100 m. Het totale oppervlak is dus gelijk aan 150 m. In vijf seconden versnelt de auto dus van 10 m s 1 tot 30 m s 1 en legt daarbij een afstand van 150 m af. 23

v (m s 1 ) 30 20 10 0 0 1 2 3 4 5 6 t (s) afbeelding 11 De snelheden in dit (v,t)-diagram kun je bepalen uit het (a,t)-diagram. 5 Banen berekenen Als je een voorwerp horizontaal wegschiet vanaf beginhoogte h 0, en de luchtweerstand is te verwaarlozen, dan zal de snelheid in horizontale richting constant blijven. De horizontale beweging is dus een eenparige beweging. De verticale beweging is een valbeweging, dus een eenparig versnelde beweging. Deze twee bewegingen beïnvloeden elkaar niet. De combinatie van eenparige beweging met snelheid v x en eenparig versnelde beweging met versnelling g kun je beschrijven met twee formules, die samen de positie als functie van de tijd aangeven: x = v x t y = h 0 ½ g t 2 24

Baan De baan die het voorwerp doorloopt, bestaat uit de posities (x,y) waar het voorwerp zich achtereenvolgens bevindt. Bij een horizontale worp is dat een halve parabool. Dit zie je in een aantal stappen: De verandering van y is evenredig met t 2. Dat is een kwadratisch verband. Dit is de y-coördinaat als functie van de tijd. Dit is nog niet de baan, want daarbij gaat het om de y-coördinaat als functie van de x-coördinaat. Uit de beschrijving van de horizontale beweging haal je: t = x (met v v x een constante). x Dit vul je in de formule voor de y-coördinaat in. Die wordt dan: y = h 0 ½ g (x/v x ) 2 = h 0 (g/2v x2 ) x 2. Wat voor de x 2 staat is een constante. Er is dus inderdaad een kwadratisch verband tussen y en x. Deze parabolische baan herken je in een waterstraal uit een tuinslang en in de baan van een tennisbal. Deze banen zijn echter geen zuivere parabool, doordat de luchtweerstand niet helemaal verwaarloosbaar is. Horizontale worp Als je een voorwerp in horizontale richting weggooit of wegschiet, noem je dat een horizontale worp. Met de hiervoor gegeven formules kun je bijvoorbeeld berekenen hoe ver een voorwerp komt. Voorbeeldopgave 6 Je schiet een kogel vanaf 1,80 m hoogte horizontaal af met een snelheid van 900 m s 1. Bereken hoe ver de kogel komt als de luchtweerstand verwaarloosbaar is. Uitwerking De horizontale beweging is eenparig, de snelheid is bekend. De afstand is Δx = 900 m s 1 Δt. De tijdsduur wordt vastgelegd door de verticale beweging. Die verticale beweging is onafhankelijk van de horizontale beweging. Het is bekend dat het hoogteverschil 1,80 m zal zijn. Dus met Δy = ½ g t 2 krijg je 1,80 m = 4,905 m s 2 t 2. De tijdsduur is t = 0,606 s. Dit kun je invullen in de formule voor de horizontale afstand: Δx = 900 m s 1 0,606 s = 545 m. 25

Modelberekening voor schuine lancering Als je een basketbal naar de basket gooit, dan gooi je van een lager naar een hoger punt. Je lanceert de bal onder een hoek. Het is lastig om in een keer te berekenen of de bal door het net gaat. Met een computermodel kun je dit stapje voor stapje berekenen. Voorbeeldopgave 7 laat zien hoe steeds de nieuwe x en de nieuwe y berekend worden. Voorbeeldopgave 7 Maak een computermodel voor de baan van een basketbal die onder een hoek wordt geworpen. Uitwerking Het model voor de basketbal is gegeven in afbeelding 12. modelvergelijkingen startwaarden 1 dx = vx * dt 2 x = x + dx 3 dvy = g * dt 4 vy = vy + dvy 5 dy = vy * dt 6 y = y + dy 7 t + dt 1 dt = 0.1 2 y = 2.20 3 v = 10 4 g = 9.81 5 alfa = 60 6 vx = v*cos(alfa) 7 vy = v*sin(alfa) 8 t = 0 9 x = 0 afbeelding 12 model voor een weggeworpen basketbal Toelichting: Deze manier van modelleren wordt tekstmodelleren genoemd, omdat de instructies die je aan de computer geeft in de vorm van tekstregels worden gegeven. In een tekstmodel zet je de modelvergelijkingen links en de startwaarden rechts. Modelvergelijkingen zijn de natuurkundige formules die de beweging beschrijven. De startwaarden zijn constanten die de computer één keer inleest, namelijk voordat de modelvergelijkingen worden toegepast. 26

Bekijk eerst de modelvergelijkingen. De regelnummers zijn alleen weergegeven om er makkelijker naar te kunnen verwijzen. Er staat het volgende: 1 In horizontale richting is de snelheid constant. Voor elk tijdstapje geldt v x = Δx Δt Dit kun je omschrijven naar Δx = v x Δt. Regel 1 is een vertaling daarvan naar symbolen die de computer begrijpt. 2 Deze regel betekent de nieuwe plaats in horizontale richting is die van de vorige tijdstap plus de berekende verandering van de plaats in deze tijdstap. 3 Deze regel is een omschrijving van a = Δv, met de bekende waarde van a voor Δt een valbeweging. 4 Deze regel lijkt op regel 1 en betekent: de nieuwe snelheid in verticale richting is die van de vorige tijdstap plus de berekende verandering van de verticale snelheid in deze tijdstap. 5 Hier zit de clou van het modelleren: je kunt niet zomaar zeggen y = vy * t (waarbij t de tijd voorstelt) omdat de verticale snelheid vy niet constant is. Maar voor een heel klein tijdstapje kan dat juist wel, want binnen een klein tijdstapje verandert de verticale snelheid maar weinig en mag je hem als constant beschouwen. 6 Deze regel is analoog aan regel 2, maar dan voor de verticale richting. Voor de startwaarden moet je een aantal getallen kiezen: 1 Voor de tijdstap dt is 0,1 een waarde die vaak goed werkt maar je kunt met je model onderzoeken of dat ook hier het geval is. 2 De beginwaarde van de hoogte y hangt af van de lengte van de persoon die de bal gooit en is bijvoorbeeld 2,20. Let op: in computermodellen gebruik je geen komma maar een punt in getallen. 3 De beginwaarde van de snelheid is binnen ruime grenzen te kiezen en is bijvoorbeeld 10. 4 Dit is de valversnelling. 5 Alfa is de hoek met de horizontaal waaronder de bal wordt weggegooid en is bijvoorbeeld 60. 6 De startwaarde van vx. 7 De startwaarde van vy. 8 De startwaarde van t. 9 De startwaarde van x. 27